15.1.1　從分?jǐn)?shù)到分式 課時(shí)目標(biāo) 1.以描述實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系為背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基礎(chǔ)上發(fā)展學(xué)生的抽象能力. 2.借助從特殊到一般的的研究思路,類比分?jǐn)?shù),討論要使分式有意義時(shí)分母應(yīng)滿足的條件,發(fā)展學(xué)生的推理能力. 3.通過(guò)經(jīng)歷類比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)分式的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生與人合作的意識(shí),進(jìn)一步體會(huì)類比轉(zhuǎn)化、合情推理、抽象概括等學(xué)習(xí)方式,發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理意識(shí). 學(xué)習(xí)重點(diǎn) 理解分式的概念,分式有意義的條件. 學(xué)習(xí)難點(diǎn) 能熟練地求出分式有意義的條件及分式的值為零的條件. 課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì) 回顧引入 根據(jù)問(wèn)題,填空: (1)長(zhǎng)方形的面積為10 cm2,長(zhǎng)為7 cm,寬為?107　cm;長(zhǎng)方形的面積為S,長(zhǎng)為a,寬為?Sa　.? (2)把體積為200 cm3的水倒入底面積為33 cm2的圓柱形容器中,水面高度為?20033　 cm;把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中,水面高度為?VS　.? 設(shè)計(jì)意圖:以學(xué)生學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)引入分式,有利于體現(xiàn)知識(shí)的必然聯(lián)系和循序漸進(jìn)的原則;通過(guò)類比讓學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題,為新知的構(gòu)建奠定基礎(chǔ). 探究新知 探究1　分式的概念 問(wèn)題1:請(qǐng)同學(xué)們看一下這四個(gè)式子,它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)? 107,Sa,20033,VS. 學(xué)生先思考,再小組交流,教師請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生分別說(shuō)出相同點(diǎn)和不同點(diǎn). 解:相同點(diǎn):這些式子有同樣的形式,都是AB(即A÷B)的形式. 不同點(diǎn):107,20033分子和分母為整數(shù),Sa,VS分子和分母為代數(shù)式. 追問(wèn):Sa,VS和9030+v,6030-v有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)? 學(xué)生小組交流、討論得出結(jié)論. 解:相同點(diǎn)為這些式子有同樣的形式,都是AB(即A÷B)的形式,且分母都含有字母. 不同點(diǎn)為9030+v,6030-v分子不含字母,Sa,VS分子含有字母. 教師說(shuō)明這四個(gè)式子均為分式,并引導(dǎo)學(xué)生類比分?jǐn)?shù)得到分式的概念:一般地,如果A,B表示兩個(gè)整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.分式AB中,A叫做分子,B叫做分母. 問(wèn)題2:下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? 5x-7,3x2-1,b-32a+1,m(n+p)7,-5,x2-xy+y22x-1,27,45b+c,aπ,yx,a2+b2a-b. 解:整式:5x-7,3x2-1,-5; 分式:b-32a+1,m(n+p)7,x2-xy+y22x-1,27,45b+c,aπ,yx,a2+b2a-b. 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)分析問(wèn)題加深學(xué)生對(duì)分式的概念的理解,從而揭示分式的概念的本質(zhì).讓學(xué)生在眾多的代數(shù)式中區(qū)分出整式與分式,意在加深學(xué)生對(duì)分式的概念的本質(zhì)的理解,進(jìn)一步鞏固分式的概念. 探究新知 探究2　分式有意義和值為0的條件 問(wèn)題1:我們知道,要使分?jǐn)?shù)有意義,分?jǐn)?shù)中的分母不能為0,那么要使分式有意義,分式中的分母應(yīng)滿足什么條件? 學(xué)生先思考,再小組交流,類比分?jǐn)?shù)有意義的條件得到分式有意義的條件. 結(jié)論:分式中的分母表示除數(shù),由于除數(shù)不能為0,所以分式的分母不能為0,即當(dāng)B≠0時(shí),分式AB才有意義. 問(wèn)題2:計(jì)算:03,05,07. 解:0　0　0 追問(wèn):通過(guò)上述計(jì)算,你發(fā)現(xiàn)了什么? 解:當(dāng)分子為0,分母不為0時(shí),分?jǐn)?shù)的值為0. 問(wèn)題3:計(jì)算:0x2+1,0x+1(x≠-1),0a(a≠0). 解:0　0　0 追問(wèn):通過(guò)上述計(jì)算,你發(fā)現(xiàn)了什么? 解:當(dāng)分子為0,分母不為0時(shí),分式的值為0. 結(jié)論:分子為0,分母不為0,分式值為0. 設(shè)計(jì)意圖:掌握使分式有意義和值為0的條件,有利于學(xué)生更好地了解分式的概念. 典例精講 例　下列分式中的字母滿足什么條件時(shí),分式有意義? (1)23x;　(2)1x-1;　(3)15-3b;　(4)x+yx-y. 解:(1)x≠0.　(2)x≠1.　(3)b≠53.　(4)x≠y. 設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過(guò)類比分?jǐn)?shù)有意義的條件是分母不能為0,得到分式有意義的條件,自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題并找到關(guān)鍵所在,既能激發(fā)學(xué)生的求知欲望,又能讓學(xué)生有效地認(rèn)識(shí)新知,消化新知. 鞏固訓(xùn)練 1.當(dāng)x為何值時(shí),下列分式的值為0? (1)2x2x-6;(2)x2-16x-4. 解:(1)x=0.　(2)x=-4. 2.當(dāng)x為何值時(shí)下列分式無(wú)意義? (1)x-5x+5;(2)x-3(x+3)(2x-2). 解:(1)x=-5.　(2)x=-3或1. 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)鞏固訓(xùn)練,加深學(xué)生對(duì)分式有意義的條件的理解,并能正確地求出分式有意義的條件;同時(shí)讓學(xué)生明白分式的值為0、有意義、無(wú)意義時(shí)必須同時(shí)滿足的條件,區(qū)別“或”與“且”的用法.另外,設(shè)計(jì)“分式有意義”的變式題,意在讓學(xué)生在題目具有挑戰(zhàn)性的情況下,通過(guò)小組研究、討論得出答案,培養(yǎng)學(xué)生小組合作、探究的意識(shí)以及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,在獲得正確結(jié)果的情況下,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的信心. 課堂小結(jié) 1.分式的概念:一般地,如果A,B表示兩個(gè)整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.分式AB中,A叫做分子,B叫做分母. 2.分母不為0,分式有意義;分母為0,分式無(wú)意義. 3.分子為0,分母不為0,分式值為0. 4.談?wù)劷裉斓氖斋@? 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂小結(jié),回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí),為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ). 課堂8分鐘. 1.教材第128,129頁(yè)練習(xí)第1,2,3題. 2.七彩作業(yè). 15.1.1　從分?jǐn)?shù)到分式 　　　 一、分式的定義. 二、分式有意義的條件: 三、例題講解. 四、課堂評(píng)價(jià). 教學(xué)反思 ? 15.1.2　分式的基本性質(zhì) 第1課時(shí)　分式的基本性質(zhì)與約分 課時(shí)目標(biāo) 1.通過(guò)類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)歸納得出分式的基本性質(zhì),體驗(yàn)類比轉(zhuǎn)化的思想方法,發(fā)展學(xué)生的推理能力. 2.通過(guò)類比分?jǐn)?shù)的約分得出分式的約分,從中體會(huì)“數(shù)式通性”和類比的思想方法,發(fā)展學(xué)生的抽象能力. 3.經(jīng)歷運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分的過(guò)程,體會(huì)運(yùn)算的原理以及最簡(jiǎn)分式的內(nèi)涵,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算意識(shí),發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力. 學(xué)習(xí)重點(diǎn) 理解并掌握分式的基本性質(zhì). 學(xué)習(xí)難點(diǎn) 能運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的約分. 課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì) 情境引入 有位老爺爺把一塊地分給三個(gè)兒子,老大分到了這塊地的13,老二分到了這塊地的26,老三分到了這塊地的412.老大、老二覺(jué)得自己很吃虧,于是他們就爭(zhēng)吵起來(lái).剛好阿凡提路過(guò),問(wèn)清爭(zhēng)吵的原因后,哈哈大笑了起來(lái),給他們講了幾句話,三兄弟就停止了爭(zhēng)吵.你知道阿凡提給他們講的是什么嗎?13,26,412這三個(gè)數(shù)相等嗎? 設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)故事情境導(dǎo)入新課,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)本課的好奇心,同時(shí)運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)變形,復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),為類比學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)作鋪墊. 探究新知 探究1　分式的基本性質(zhì) 師生活動(dòng):以提問(wèn)的方式回顧分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),教師黑板上板書. 由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可知,如果數(shù)c≠0,那么23=2c3c,4c5c=45. 一般地,對(duì)于任意一個(gè)分?jǐn)?shù)ab,有ab=a·cb·c,ab=a÷cb÷c(c≠0),其中a,b,c是數(shù). 問(wèn)題1:類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),你能猜想分式有什么性質(zhì)嗎? 學(xué)生獨(dú)立思考,小組討論,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié): 分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式,分式的值不變. 用式子表示為AB=A·CB·C,AB=A÷CB÷C(C≠0),其中A,B,C是整式. 探究2　分式的約分與最簡(jiǎn)分式 問(wèn)題2:聯(lián)想分?jǐn)?shù)的約分,你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行約分嗎? 師生活動(dòng):教師在黑板上板書:4c5c=45,讓學(xué)生觀察等式兩邊的特點(diǎn). 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出約分的概念:把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分. 教師在黑板上板書:4c5bc=45b,讓學(xué)生觀察這次約分有什么不同? 教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論:這次約分后是分式的形式,且分子與分母沒(méi)有公因式. 教師歸納出最簡(jiǎn)分式的概念:分子與分母沒(méi)有公因式的分式,叫做最簡(jiǎn)分式. 設(shè)計(jì)意圖:給學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會(huì),并在研究思路上加以引導(dǎo),同時(shí)滲透類比的思想方法.這樣做一方面可以提高學(xué)生對(duì)分式基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí),另一方面可通過(guò)師生歸納,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)分式基本性質(zhì)的理解. 典例精講 例　約分: (1)-25a2bc315ab2c;　　　　(2)x2-9x2+6x+9;　　　　(3)6x2-12xy+6y23x-3y. 解:(1)原式=-25a2bc3÷(5abc)15ab2c÷(5abc)=-5ac23b. (2)原式=(x+3)(x-3)(x+3)2=x-3x+3. (3)原式=6(x-y)23(x-y)=2x-2y. 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)例題,進(jìn)一步鞏固分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用條件、基本方法和需要注意的問(wèn)題,使學(xué)生明確:1.找出分子和分母的公因式是約分的第一步,同時(shí)公因式應(yīng)找全,約分要徹底;2.分子與分母沒(méi)有公因式的分式是最簡(jiǎn)分式,使學(xué)生加深對(duì)最簡(jiǎn)分式的理解. 鞏固訓(xùn)練 1.下列各式中哪一個(gè)是最簡(jiǎn)分式(　D　) A.x2-y2x2+y2　　　　B.a-bb-a　　　　C.x2-1x+1　　　　D.a2+b2a+b 2.填空: (1)x-yx+y=(x2-2xy+y2)x2-y2; (2)c-ba=(c2-bc)ac(c≠0); (3)x3xy=(　x2　)y,3x2+3xy6x2=x+y(　2x　); (4)1ab=(　a　)a2b,2a-ba2=(　2ab-b2　)a2b(b≠0). 3.約分: (1)a2bab2;　　　　(2)x2-16x2+8x+16;　　　　(3)5x2-10xy+5y2x-y. 解:(1)原式=a2b÷(ab)ab2÷(ab)=ab. (2)原式=(x+4)(x-4)(x+4)2=x-4x+4. (3)原式=5(x-y)2x-y=5x-5y. 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)鞏固訓(xùn)練,及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí),進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)分式基本性質(zhì)的理解. 課堂小結(jié) 1.本節(jié)課探究了分式的哪些問(wèn)題? 2.分式的基本性質(zhì): 分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式,分式的值不變. 3.把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分. 4.分子與分母沒(méi)有公因式的分式,叫做最簡(jiǎn)分式. 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂小結(jié),回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí),及時(shí)查漏補(bǔ)缺. 課堂8分鐘. 1.教材第132頁(yè)練習(xí)第1題,第133頁(yè)習(xí)題15.1第3,5,6題. 2.七彩作業(yè). 第1課時(shí)　分式的基本性質(zhì)與約分 　　　 一、分式的基本性質(zhì). 二、分式的變號(hào)法則. 三、分式的約分→最簡(jiǎn)分式. 四、例題講解. 五、課堂評(píng)價(jià). 教學(xué)反思 ? 第2課時(shí)　分式的通分 課時(shí)目標(biāo) 1.通過(guò)類比分?jǐn)?shù)的通分得出分式的通分,從中體會(huì)“數(shù)式通性”和類比的思想方法,發(fā)展學(xué)生的抽象能力. 2.經(jīng)歷用觀察、類比、聯(lián)想的方法探索分式通分方法的過(guò)程,體會(huì)分式通分運(yùn)算的原理,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算意識(shí). 3.理解最簡(jiǎn)公分母的內(nèi)涵,能準(zhǔn)確確定分式的最簡(jiǎn)公分母,熟練進(jìn)行分式的通分. 學(xué)習(xí)重點(diǎn) 能運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的通分. 學(xué)習(xí)難點(diǎn) 分式通分時(shí)最簡(jiǎn)公分母的確定. 課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì) 回顧引入 問(wèn)題:1.把分?jǐn)?shù)78和512通分:78=?2124　,512=?1024　.? 2.利用分式的基本性質(zhì),把12ab和2-b3a2化成分母都是6a2b的分式. 解:12ab=1·(　3a　)2ab·(　3a　)=(　3a　)6a2b,2-b3a2=(2-b)·(　2b　)3a2·(　2b　)=(　4b-2b2　)6a2b. 設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)的通分和分式的基本性質(zhì),并利用它解決問(wèn)題,喚醒學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備,為分式通分的概念的自然引入作好鋪墊.同時(shí)教學(xué)中要貫徹以學(xué)生為本的指導(dǎo)思想,通過(guò)具體問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生采用類比推理、合作探究等方法來(lái)探究分式通分的概念. 探究新知 問(wèn)題:聯(lián)想分?jǐn)?shù)的通分,由此你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行通分嗎? 師生活動(dòng):通過(guò)教學(xué)活動(dòng)1中具體的例子,教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)的通分,再利用類比的方法得出分式的通分: 根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 為通分,要先確定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母,它叫做最簡(jiǎn)公分母. 在教學(xué)過(guò)程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、思考、類比等方法來(lái)總結(jié)歸納確定最簡(jiǎn)公分母的一般步驟:(1)找系數(shù):如果各分母的系數(shù)都是整數(shù),那么取它們的最小公倍數(shù);(2)找字母:凡各分母因式中出現(xiàn)的所有字母或含字母的多項(xiàng)式都要選取;(3)找指數(shù):取分母因式中出現(xiàn)的所有字母或含字母的多項(xiàng)式中指數(shù)最大的,這樣取出的因式的積,就是最簡(jiǎn)公分母. 設(shè)計(jì)意圖:以此活動(dòng)激活學(xué)生原有的知識(shí)體系,充分體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上自我生成的一個(gè)過(guò)程,有利于讓學(xué)生更好地掌握類比的學(xué)習(xí)方法. 典例精講 例　找出下列各組分式的最簡(jiǎn)公分母并通分: (1)32a2b與a-bab2c;　(2)2xx-5與3xx+5. 解:(1)最簡(jiǎn)公分母是2a2b2c, 32a2b=3·bc2a2b·bc=3bc2a2b2c, a-bab2c=(a-b)·2aab2c·2a=2a2-2ab2a2b2c. (2)最簡(jiǎn)公分母是(x-5)(x+5), 2xx-5=2x(x+5)(x-5)(x+5)=2x2+10xx2-25, 3xx+5=3x(x-5)(x+5)(x-5)=3x2-15xx2-25. 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)例題,使學(xué)生能夠準(zhǔn)確確定分式的最簡(jiǎn)公分母,熟練進(jìn)行分式的通分,提高學(xué)生的教學(xué)應(yīng)用能力. 鞏固訓(xùn)練 指出下列分式的最簡(jiǎn)公分母并通分: (1)26a3bc與a-215a2b2d;　(2)x-2x2+2x與x-1(x+2)2;　(3)a-1a2+2a+1與6a2-1. 解:(1)最簡(jiǎn)公分母:15a3b2cd, 26a3bc = 13a3bc = 1·5bd3a3bc·5bd = 5bd15a3b2-cd, a-215a2b2d = (a-2)·ac15a2b2d·ac = ac-2ac15a3b2cd. (2)最簡(jiǎn)公分母:x(x+2)2, x-2x2+2x = x-2x(x+2) = (x-2)·(x+2)x(x+2)·(x+2) = x2-4x(x+2)2, x-1(x+2)2 = (x-1)·x(x+2)2·x = x2-xx(x+2)2. (3)最簡(jiǎn)公分母:(a+1)2(a-1), a-1a2+2a+1 = a-1(a+1)2 = (a-1)·(a-1)(a+1)2·(a-1) = (a-1)2(a+1)2(a-1), 6a2-1 = 6·(a+1)(a+1)(a-1)·(a+1) = 6(a+1)(a+1)2(a-1). 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)鞏固訓(xùn)練,一是使學(xué)生注意當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí),把分母分解因式后,再確定最簡(jiǎn)公分母;二是通過(guò)解決題目的過(guò)程,讓學(xué)生反思解決問(wèn)題的方法和結(jié)論,形成批判性思維和發(fā)散性思維,提高學(xué)生的總結(jié)概括能力和運(yùn)算能力. 課堂小結(jié) 1.本節(jié)課探究了分式的哪些問(wèn)題? 2.分式的通分: 根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 3.最簡(jiǎn)公分母的確定:①找系數(shù);②找字母;③找指數(shù). 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂小結(jié),回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí),為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ). 課堂8分鐘. 1.教材第132頁(yè)練習(xí)第2題,第133頁(yè)習(xí)題15.1第7題. 2.七彩作業(yè). 第2課時(shí)　分式的通分 　　　 一、分式的通分. 二、最簡(jiǎn)公分母的確定: 最簡(jiǎn)公分母1.找系數(shù)2.找字母3.找指數(shù) 三、例題講解. 四、課堂評(píng)價(jià). 教學(xué)反思 ?

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