TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【題型1 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【題型2 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 2
\l "_Tc9321" 【題型3 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 3
\l "_Tc3497" 【題型4 利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc3497 \h 4
\l "_Tc6718" 【題型5 利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】 PAGEREF _Tc6718 \h 6
\l "_Tc12846" 【題型6 線段垂直平分線的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 7
\l "_Tc11587" 【題型7 尺規(guī)作線段垂直平分線】 PAGEREF _Tc11587 \h 8
\l "_Tc16260" 【題型8 線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc16260 \h 9
\l "_Tc22963" 【題型9 線段垂直平分線的實際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22963 \h 10
【知識點(diǎn)1 線段垂直平分線的性質(zhì)】
線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.
【題型1 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】
【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若△ABC的周長是20，AB=4，AC=7，則△AEF的周長為（ ）

A．4B．7C．9D．11
【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點(diǎn)D，DM⊥BA的延長線于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．若AB=3，BC=7，則AM的長為 ．
【變式1-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，則AE= ．

【變式1-3】（2023春·遼寧丹東·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23cm，則OA的長為 ．

【題型2 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】
【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任一點(diǎn)，則△ABP周長的最小值是 ．

【變式2-1】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，若△AEC的周長是11，則直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為（ ）

A．28B．18C．10D．7
【變式2-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC=2，△ABC面積為3，則BM+MD長度的最小值等于 ．
【變式2-3】（2023春·山東青島·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上從C向A運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q在BC上從B向C運(yùn)動，當(dāng)∠PDQ＝ 時，△PDQ的周長最?。?
【題型3 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】
【例3】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N為AC邊上的兩點(diǎn)，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點(diǎn)D，且NM=ND，若∠A=α，則∠C=（ ）

A．32αB．90°?12αC．120°?αD．2α?90°
【變式3-1】（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為 ．

【變式3-2】（2023春·四川甘孜·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，若DE垂直平分AB，求∠C的度數(shù)．

【變式3-3】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（ ）

A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°?12α
【題型4 利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度、線段之間的關(guān)系】
【例4】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是長方形，E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交邊BC的延長線于F，過點(diǎn)E作AF的垂線交邊BC于M，連接AM．
（1）請說明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）試說明AM = BC + MC；
（3）設(shè)S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關(guān)系，并說明理由．
【變式4-1】（2023春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)校考期末）△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點(diǎn)，則線段PA和BC的關(guān)系正確的是（ ）
A．PA12BCD．PA≥12BC
【變式4-2】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，OF是∠MON的平分線，點(diǎn)A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連接AB，PB．
(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖2，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．
【變式4-3】（2023春·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線AP和AB的垂直平分線DP，交點(diǎn)為P．
（1）如圖2，若點(diǎn)P正好落在BC邊上．
①求∠B的度數(shù)；
②求證：BC=3PC．
（2）如圖3，若點(diǎn)C、P、D恰好在一條直線上，線段AD、PD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是否滿足AD+PD=BC？若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由．
【題型5 利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】
【例5】（2023春·陜西榆林·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點(diǎn)C作CF∥BD交AB于點(diǎn)F，延長AB，CD交于點(diǎn)E．求證：

(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【變式5-1】（2023春·重慶綦江·八年級校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D， DM丄AB與M， DN丄AC交AC的延長線于N，你認(rèn)為BM與CN之間有什么關(guān)系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．
【變式5-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E、F在AB上，連接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，試證明∠CFE=∠CEF．

【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級校考開學(xué)考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線GF交AC于點(diǎn)F，交AC的平行線BG于點(diǎn)G，DE⊥GF，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EF．
(1)求證：BG=CF．
(2)試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．
【知識點(diǎn)2 線段垂直平分線的判定】
到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個）
【題型6 線段垂直平分線的判定】
【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．
(1)求證：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面積是4，則DE= ．
【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．

【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥CD，交AB于點(diǎn)G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；
(2)求證：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．
【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分BD．

【題型7 尺規(guī)作線段垂直平分線】
【例7】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長．
【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，ABEF，理由見解析
【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF．
【詳解】（1）證明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△BGD與△CFD中，
∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFDASA．
∴BG=CF．
（2）解：BE+CF>EF．
理由如下：連接EG，
∵△BGD≌△CFDASA，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴DE垂直平分FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的定義和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法并根據(jù)條件靈活選擇是解題的關(guān)鍵．
【知識點(diǎn)2 線段垂直平分線的判定】
到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個）
【題型6 線段垂直平分線的判定】
【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．
(1)求證：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面積是4，則DE= ．
【答案】(1)見解析
(2)85
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFDHL，得AE=AF，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，代入計算即可．
【詳解】（1）∵AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
在Rt△AED與Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB?ED+12AC?DF=12DEAB+AC=4，
∵AB=3，AC=2，
∴DE=85，
故答案為：85．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．

【答案】見解析
【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分線，因此AB=AC．再根據(jù)AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得證點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．
【詳解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴AB=AC．
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，
∴AC=CE，
∴點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥CD，交AB于點(diǎn)G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；
(2)求證：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)四邊形BCEG的面積為10．
【分析】（1）證明EG⊥AB，即可證明結(jié)論成立；
（2）利用角平分線性質(zhì)定理即可證明結(jié)論成立；
（3）證明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出BE是線段CG的垂直平分線，利用四邊形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）證明：∵EG∥CD，CD⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠A+∠AEG=90°；
（2）證明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴EC=EG；
（3）解：∵EC=EG，EB=EB，
∴Rt△EBG≌Rt△EBCHL，
∴BC=BG，
∴BE是線段CG的垂直平分線，
∴四邊形BCEG的面積=12BE×CG=12×5×4=10．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分BD．

【答案】見解析
【分析】先證明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可證明OE垂直平分BD．
【詳解】證明：在△ABO和△CDO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD
∴△ABO≌△CDOAAS，
∴OB=OD，
又∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，證明△ABO≌△CDO得到OB=OD是解題的關(guān)鍵．
【題型7 尺規(guī)作線段垂直平分線】
【例7】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)題意，作AB的垂直平分線與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，即可解答．
【詳解】∵在AC上求作一點(diǎn)M，
∴AM+MC=AC，
∵M(jìn)C+MB=AC，
∴MB=AM，
即點(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上．
如圖，點(diǎn)M即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長．
【答案】(1)見解析
(2)13
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作法，作出AC的垂直平分線；
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，進(jìn)而根據(jù)AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．
【詳解】（1）如圖，
（2）∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D
∴AD=CD
∴△ABD的周長為：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13
【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的作法和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．
【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學(xué)校考期中）如圖，已知△ABC，AB

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15.2 線段的垂直平分線

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