線段的垂直平分線的定義
經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又叫做線段的中垂線.
∴ MN是AB的垂直平分線
∵ MN⊥AB，AO=BO
∵ MN是AB的垂直平分線
∴ MN⊥AB，AO=BO
使線段AA'的兩個(gè)端點(diǎn)互相重合，
問題：怎樣作出線段的垂直平分線？
就是線段AA'的垂直平分線.
畫垂線的方法
用刻度尺量出線段的中點(diǎn)，
作出線段的垂直平分線 .
大于 AB為半徑
用尺規(guī)作圖法，作出線段AB的垂直平分線
1、分別以點(diǎn)A，B為圓心，
2、過E，F(xiàn) 兩點(diǎn)作直線。
則直線 EF 就是線段 AB 的垂直平分線.
2、過E，F(xiàn) 兩點(diǎn)作直線.
則直線EF就是線段AB的垂直平分線.
設(shè)所作直線EF交于AB于點(diǎn)O，你能給出證明嗎？
為什么這樣作出的直線EF，
就是線段AB的垂直平分線呢？
知識(shí)拓展：這個(gè)作法實(shí)際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn).
量一量：PA、PB的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？
點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn)，
如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，
由此你能得到什么規(guī)律？
到線段兩端的距離相等.
已知：如圖，直線 MN 經(jīng)過線段 AB 的中點(diǎn) O，且 MN⊥AB， P 是 MN 上任意一點(diǎn) . 求證：PA =PB．
∵ MN⊥AB
在 △AOP和△BOP 中，
∴ △AOP ≌ △BOP
(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
∵ 點(diǎn) O 是線段 AB 的中點(diǎn)
∴ ∠AOP= ∠BOP=90o
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
這個(gè)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.
∵ 點(diǎn) P 在線段AB的垂直平分線上
(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.)
用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，因此它為證明線段相等提供了新方法.
提醒：見垂直平分線，得線段相等
1、如圖所示，直線 CD 是線段 AB 的垂直平分線，點(diǎn) P 為直線 CD 上的一點(diǎn)，且 PA=5，則線段 PB 的長(zhǎng)為（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2、如圖，在 △ABC 中，AC＝5 cm，AB 的垂直平分線 DE 交 AB，AC 于點(diǎn) E，D. (1) 若 BC＝4cm，求△BCD的周長(zhǎng).
∵ DE是AB的垂直平分線
∴ △BCD 的周長(zhǎng)=
又∵ AC=5cm，BC=4cm
(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)
利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng)．
2、如圖，在 △ABC 中，AC＝5 cm，AB 的垂直平分線 DE 交 AB，AC 于點(diǎn) E，D. (2) 若 △BCD 的周長(zhǎng)為 8cm，求 BC 的長(zhǎng)；
∵ DE 是 AB 的垂直平分線
∵ △BCD的周長(zhǎng)為 8cm
∴ BD +DC+BC
＝AC+BC=8(cm)
3、如圖，在 △ABC 中，∠A＝40°，∠B＝90°，線段 AC 的垂直平分線 MN 與 AB 交于點(diǎn) D，與 AC 交于點(diǎn) E，求 ∠BCD 的度數(shù).
∵ ∠B＝90°，∠A＝40°
∴ ∠ACB＝180°-∠A-∠B=50°
又∵ MN 是線段 AC 的垂直平分線
∴ ∠DCE=∠A=40°
它是真命題嗎？你能證明嗎？
到線段兩端距離相等的點(diǎn)
在線段的垂直平分線上.
已知：如圖，PA=PB，求證：點(diǎn) P 在線段 AB 的垂直平分線上.
∴ ∠ACP=∠BCP=90°
在 Rt△ACP 和 Rt△BCP 中
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP
∴ 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
過 P 點(diǎn)作 PC⊥AB，垂足為 C
(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)
∴ PC 是線段AB的垂直平分線
到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
點(diǎn)在線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上)
作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.
∴ 點(diǎn) P 在 AB 的垂直平分線上．
(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等)
例 如圖，已知 △ABC 的邊 AB，AC 的垂直平分線相交于點(diǎn) P. 求證：點(diǎn) P 在 BC 的垂直平分線上.
(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）
連接 PA，PB，PC.
∵ 點(diǎn) P 在 AB，AC 的垂直平分線上
∴ PA=PB，PA=PC
∴ 點(diǎn) P 在 BC 的垂直平分線上.
三角形三邊的垂直平分線
這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)：
1、在銳角三角形 ABC 內(nèi)一點(diǎn) P，滿足 PA=PB=PC，則點(diǎn)P是△ABC ( ) A .三條角平分線的交點(diǎn) B.三條中線的交點(diǎn) C.三條高的交點(diǎn) D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)
2、如圖，AB =AC，MB =MC．直線 AM 是線段 BC 的垂直平分線嗎？
∵ AB =AC，MB =MC
∴ 點(diǎn) A、M 在BC 的垂直平分線上
∴ 直線AM 是線段BC 的垂直平分線．
(與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）
判斷線段垂直平分線的兩種方法：
——用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí)，必須要證明直線上有兩點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
3、如圖，下列說法正確的是（　?。〢．若AC=BC，則 CD 是線段的垂直平分線B．若 AD=DB，則 AC=BCC．若 CD⊥AB，則 AC=BCD．若 CD 是線段 AB 的垂直平分線，則 AC=BC
點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
1、如圖，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB 于 E . 求證：直線 AD 是 CE 的垂直平分線．
∴ ∠EAD＝∠CAD
∵ ∠ACB＝90°，DE⊥AB
∴ ∠AED＝∠ACB＝90°
在 △AED 和 △FCE 中
∴ △ADE≌△ADC
∴ 點(diǎn)A、D都在CE的垂直平分線上
∴ 直線AD是CE的垂直平分線
2、如圖，已知 AB＝AD，BC＝DC，E 是 AC 上一點(diǎn)， 求證：(1) BE＝DE；(2) ∠ABE＝∠ADE.
∴ 點(diǎn)A，C都在線段BD的垂直平分線上
∴ AC是線段BD的垂直平分線
又∵ 點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線AC上
在△ABE和△ADE中
∴ △ABE≌△ADE
∴ ∠ABE＝∠ADE
3、已知：如圖，AB=CD，線段 AC 的垂直平分線與線段 BD的垂直平分線相交于點(diǎn) E. 求證：∠ABE=∠CDE．
交直線 于點(diǎn)C，
4、公路 同側(cè)的A，B兩村，共同出資在公路邊修建一個(gè)?？空綜，使?？空镜紸，B兩村距離相等.請(qǐng)你確定?？空綜的位置.
解：作AB的垂直平分線，
則點(diǎn)C就是?？空镜奈恢?
分別作AB，BC的垂直平分線DE，GF，
5、如圖，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A，B，C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問：該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？
則點(diǎn)M就是所要確定的購(gòu)物中心的位置.
6、已知：點(diǎn) A，B 在直線 l 的異側(cè)，試在直線 l 上確定 一點(diǎn) P，使 PA+PB 最短.
7、已知：點(diǎn) A，B 在直線 l 的同側(cè)，試在直線 l 上確定 一點(diǎn) P，使 PA+PB 最短.
則點(diǎn) P即為所求
(1) 作出點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)A′.
(2) 連接 A′B.
線段A′B與直線 l 交于點(diǎn)P，
8、古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)A，B．他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng)．他時(shí)常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(0,2)，B(4,1)，P 是 x 軸上任意一點(diǎn)，當(dāng) PA+PB 取得最小值時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 .
10、如圖，(1) 在網(wǎng)格中畫出 △ABC 關(guān)于 y 軸對(duì)稱的 △A1B1C1；(2) 寫出 △ABC 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的 △A2B2C2 的各頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3) 在 y 軸上確定一點(diǎn) P，使 △PAB 周長(zhǎng)最短．只需作圖，保留 作圖痕跡．
11、如圖，已知點(diǎn) A 是銳角 ∠MON 內(nèi)的一點(diǎn)，試分別在 OM、ON 上確定點(diǎn) B、點(diǎn) C，使 △ABC 的周長(zhǎng)最小．寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你所確定的點(diǎn).(要求畫出草圖，保留作圖痕跡)
解：① 分別作點(diǎn) A 關(guān)于 OM，ON 的對(duì)稱點(diǎn) A′，A″； ② 連接A′，A″，分別交 OM，ON 于點(diǎn) B、點(diǎn) C，則點(diǎn) B、 點(diǎn) C 即為所求．
解決此類問題的方法是分別作出這個(gè)點(diǎn)關(guān)于兩條射線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接所得的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，所得線段與兩條射線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn).
軸對(duì)稱解決最短距離的方法：
12、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥ BC，E 為 CD的中點(diǎn)，連接 AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng) AE 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.求證： (1) FC＝AD； (2) AB＝BC＋AD.
∴ ∠ADC＝∠ECF
∴ △ADE ≌ △FCE
（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）
12、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥ BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證： (1) FC＝AD； (2) AB＝BC＋AD.
∴ BE是線段AF的垂直平分線
又∵ BF＝BC＋CF
13、如圖所示，在 △ABC 中，AB，AC 的垂直平分線分別交BC 于 D，E，垂足分別是 M，N．(1) 若 △ADE 的周長(zhǎng)為 6，求 BC 的長(zhǎng)；(2)若 ∠BAC=100°，求 ∠DAE 的度數(shù)．

相關(guān)課件

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.2 線段的垂直平分線優(yōu)秀ppt課件：

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.2 線段的垂直平分線優(yōu)秀ppt課件，共28頁。PPT課件主要包含了探究發(fā)現(xiàn)，線段垂直平分線的性質(zhì)，你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎，驗(yàn)證結(jié)論，典例精析，解1如圖所示，逆命題，線段垂直平分線的判定，∴ACBC，知識(shí)要點(diǎn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)上冊(cè)15.2 線段的垂直平分線集體備課ppt課件：

這是一份初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)上冊(cè)15.2 線段的垂直平分線集體備課ppt課件，共21頁。PPT課件主要包含了尺規(guī)作圖，PAPB，針對(duì)性訓(xùn)練，實(shí)際問題，∵PAPB已知，整理小結(jié)，一種作圖，一個(gè)方法，兩個(gè)定理，作業(yè)布置等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中15.2 線段的垂直平分線課文內(nèi)容課件ppt：

這是一份初中15.2 線段的垂直平分線課文內(nèi)容課件ppt，共12頁。PPT課件主要包含了溫故類比，方法②過中點(diǎn)畫垂線，動(dòng)手操作，方法①折紙，方法③尺規(guī)作圖，問題探究，思路分析，求證PAPB，獲得結(jié)論，談?wù)勈斋@等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

數(shù)學(xué)15.2 線段的垂直平分線課堂教學(xué)ppt課件

數(shù)學(xué)15.2 線段的垂直平分線課堂教學(xué)ppt課件
滬科版八年級(jí)上冊(cè)第15章 軸對(duì)稱圖形和等腰三角形15.2 線段的垂直平分線授課課件ppt

滬科版八年級(jí)上冊(cè)第15章 軸對(duì)稱圖形和等腰三角形15.2 線段的垂直平分線授課課件ppt
2021學(xué)年15.2 線段的垂直平分線課堂教學(xué)ppt課件

2021學(xué)年15.2 線段的垂直平分線課堂教學(xué)ppt課件
2021學(xué)年15.2 線段的垂直平分線多媒體教學(xué)課件ppt

2021學(xué)年15.2 線段的垂直平分線多媒體教學(xué)課件ppt
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）八年級(jí)上冊(cè)電子課本

15.2 線段的垂直平分線

版本： 滬科版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部