第15章  軸對稱圖形與等腰三角形15.2　線段的垂直平分線教學目標1.能夠利用尺規(guī)法作一條已知線段的垂直平分線，并能證明它的正確性.2.經歷探索、證明線段垂直平分線的性質定理及其逆定理的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力. 3.能夠利用線段的垂直平分線的性質及其逆定理證明相關結論，理解三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離相等.教學重難點重點：線段垂直平分線的有關性質.難點：用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，并利用垂直平分線的性質解決一些實際問題.教學過程知識回顧1.線段的垂直平分線的定義 經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線. 2.如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應點所連線段的垂直平分線，反過來，成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分. 3.我們學過的作一條線段的垂直平分線方法：折紙法、過線段中點畫垂線法 新課導入某區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū) A、B、C 之間修建一個購物中心，試問該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？探究新知問題：怎樣作出線段的垂直平分線？ 【教師活動】在紙上畫一條線段，將其標為AA′，然后將其對折，使A ，A′兩點重合.接下來將紙展開.將折痕用筆畫出，并將其與線段A A′的交點標為O，你能發(fā)現(xiàn)什么？AO與A′O是什么樣的關系呢？【學生活動】線段是軸對稱圖形，折痕所在的這條直線就是線段AB的對稱軸，對折之后呢，AO與A′O是重合的，所以AO＝ A′O.【教師提問】怎么利用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線？【學生活動】先獨立思考，再與同伴交流.已知：線段AB.求作：AB的垂直平分線. 作法：1.分別以點A和B為圓心，以大于AB一半的長為半徑作弧，兩弧相交于點E和F.2.作直線EF.直線EF就是線段AB的垂直平分線.2.線段垂直平分線性質定理【教師活動】出示探究問題，讓學生動手測量，引導學生分析問題..探究：如圖，直線l垂直平分線段 AB，P1，P2，P3…是l 上的點，請你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1，P2，P3，… 到點A與點B 的距離之間的數量關系.（1）P1A ____P1B；（2）P2A ____ P2B；（3）P3A ____ P3B.【學生活動】動手測量線段，交流測量的結果，猜想存在的結論.猜想：點P1，P2，P3… 到點 A 與點 B 的距離分別相等.  【教師活動】根據測量的結果，進行交流，由此你能得到什么結論？【學生】用語言敘述得出的結論.命題：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.【教師活動】你能驗證這一結論嗎？（巡視學生做題情況，對出現(xiàn)的問題及時糾正）【學生活動】按照題意畫出圖形，寫出已知，求證，寫出證明過程，在小組內交流.驗證：已知：如圖，直線MN經過線段AB的中點，且MN⊥AB，垂足為O，P 是MN上任意一點.求證：PA ＝PB.證明：∵ MN⊥AB，(已知) ∴ ∠AOP ＝∠BOP＝90°（垂直定義）. 在△AOP和△BOP中，∵  ∴ △AOP ≌△BOP（SAS）.∴ PA＝PB（全等三角形對應邊相等）.  【師生互動總結】文字敘述線段垂直平分線的性質定理，并用幾何語言進行敘述.結論：線段垂直平分線的性質定理： 線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等. 幾何語言： ∵ 　CO是線段AB的垂直平分線，∴ 　AC＝BC.典型例題例1　如圖，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC 的周長為35 cm，則BC 的長為（     ）A.5 cm    B.10 cm    C.15 cm    D.17.5 cm解析： ∵  △DBC 的周長為BC＋BD＋CD＝35 cm， 又∵  DE 垂直平分AB， ∴  AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵  AC＝AD＋DC＝20 cm，∴  BC＝35－20＝15(cm). 答案：C 【互動總結】利用線段垂直平分線的性質，實現(xiàn)線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長. 3.線段垂直平分線的判定探究想一想：如果 PA＝PB ,那么點 P 是否在線段 AB 的垂直平分線上呢？已知：如圖，PA ＝PB.求證：點P 在線段 AB 的垂直平分線上.性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.你能寫出這個定理的逆命題嗎？如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上，即到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上. 當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明.性質定理的逆命題： 到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.【教師活動】提出探究問題，讓學生寫出線段垂直平分線性質定理的逆命題，指導學生根據逆命題寫出已知和求證，分析證明思路，巡視學生做題情況，并及時點撥.【學生活動】先小組交流線段垂直平分線性質定理的逆命題，寫出命題的已知和求證，分析證明方法，由兩名學生分別到黑板板演證明過程，小組內交流證明過程.已知：線段AB，點P是平面內一點且PA＝PB.求證：P點在AB的垂直平分線上.證明：（方法一） 過點P 作AB 的垂線PC，垂足為點C. 則∠PCA ＝∠PCB ＝90°.在Rt△PCA 和Rt△PCB中，  PA＝PB，PC＝PC，∴  Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）.∴   AC＝BC. 又PC⊥AB，∴ 點P 在線段AB的垂直平分線上.（方法二）把線段AB的中點記為O,連接PO.    ∵ O為AB的中點，   ∴ AO＝BO.    ∵ PA＝PB,PO＝PO，    ∴ △APO ≌△BPO（SSS），   ∴ ∠POA＝∠POB＝90°，   ∴ PO⊥AB， 即P在AB的垂直平分線上. 【師生互動總結】根據證明的結論，師生總結線段垂直平分線的判定，并用幾何語言進行描述，總結定理的作用.結論： 線段垂直平分線的判定： 到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.應用格式： ∵  PA＝PB， ∴  點P在AB 的垂直平分線上.作用： 判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.典型例題例2  已知：如圖, △ABC 的邊AB，BC 的垂直平分線交于P.  求證：點P在線段AC的垂直平分線上. 證明：連接PA，PB，PC. ∵ 點P在線段AB，BC的垂直平分線上，(已知) ∴ PA＝PB，PB＝PC.(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)∴ PA＝PC（等量代換） ∴ 點P在AC的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）.【教師活動】先分析問題，指出證明點P在線段AC的垂直平分線上，即證明點P到線段AC兩端點的距離相等即可.【學生活動】寫出證明過程，小組內交流，總結三角形角平分線的交點到具有的特點，進行總結.【互動結論】三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.典型例題例3   在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點O.△ADE的周長為6 cm.（1）求證：AD＝BD，AE＝CE；（2）求BC的長；（3）分別連結OA、OB、OC，若△OBC的周長為16 cm，求OA的長. （1）證明：∵ l1是AB邊的垂直平分線，l2是AC邊的垂直平分線，∴ AD＝BD，AE＝CE；（2）解：△ADE的周長為6，∴ AD+DE+EA＝6，∴ BD+DE+EC＝BC＝6；（3）解：∵ l1是AB邊的垂直平分線，l2是AC邊的垂直平分線，∴ OB＝OA，OC＝OA，△OBC的周長為16，∴ OB+OC+BC＝16，∴ OB+OC＝16﹣6＝10，∴ OA＝OB＝OC＝5. 【教師活動】巡視學生做題，提示線段垂直平分線的性質定理的應用.【學生活動】先獨立思考，再小組交流.課堂練習1.在銳角三角形 ABC 內一點P，滿足 PA＝PB＝PC,則點P是△ABC（   ）    A.三條角平分線的交點      B.三條中線的交點 C.三條高的交點            D.三邊垂直平分線的交點2.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有　　　　種.3.下列說法：① 若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB.其中正確的有               （填序號）.4.如圖，△ABC中，AB＝AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC＝16cm,則△BCE的周長是        cm.5.已知：如圖，點C，D是線段AB外的兩點，且AC ＝BC，  AD＝BD，AB與CD相交于點O.  求證：AO＝BO.6.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF 的關系.參考答案1.D  2.無數   3.①②③  4.16　解析：因為DE是AB的垂直平分線，所以AE＝BE，因為AB＝AC，AB+BC＝16 cm,所以AC+BC＝16 cm，所以△BCE的周長＝BC+BE+CE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝16 cm.5.證明：∵  AC ＝BC，AD＝BD，∴ 點C和點D在線段AB的垂直平分線上，∴  CD為線段AB的垂直平分線.又 ∵ AB與CD相交于點O，∴ AO＝BO.6. 解： AD垂直平分EF.∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.又∵ AD＝AD，∴ △ADE≌△ADF， ∴ AE＝AF，DE＝DF. ∴ A、D均在線段EF的垂直平分線上， 即直線AD垂直平分線段EF.課堂小結布置作業(yè)教材習題15.2第1,2,3,4題.板書設計15.2　線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質.2.線段垂直平分線的判定.3.三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等. 教學反思                                     教學反思                                                 教學反思                                                    教學反思                                                        教學反思                                        教學反思                                        教學反思              

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15.2 線段的垂直平分線

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