初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）八年級(jí)上冊(cè)14.1 全等三角形同步練習(xí)題

這是一份初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）八年級(jí)上冊(cè)14.1 全等三角形同步練習(xí)題，共86頁。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21418" 【題型1 平移模型】 PAGEREF _Tc21418 \h 1
\l "_Tc13938" 【題型2 軸對(duì)稱模型】 PAGEREF _Tc13938 \h 3
\l "_Tc32049" 【題型3 旋轉(zhuǎn)模型】 PAGEREF _Tc32049 \h 4
\l "_Tc11934" 【題型4 一線三等角模型】 PAGEREF _Tc11934 \h 6
\l "_Tc20622" 【題型5 倍長(zhǎng)中線模型】 PAGEREF _Tc20622 \h 8
\l "_Tc12933" 【題型6 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】 PAGEREF _Tc12933 \h 10
\l "_Tc13816" 【題型7 手拉手模型】 PAGEREF _Tc13816 \h 12
\l "_Tc28043" 【題型8 角平分線模型】 PAGEREF _Tc28043 \h 15
\l "_Tc1855" 【題型9 半角全等模型】 PAGEREF _Tc1855 \h 16
【知識(shí)點(diǎn)1 平移模型】
【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.
【常見模型】
【題型1 平移模型】
【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD，AC、DE交于點(diǎn)O．下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．∠B=∠FB．AC⊥DEC．BC=DFD．AC、DE互相平分
【變式1-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB =CD，BC = DE．
(1)求證：△ABC≌△CDE；
(2)將△ABC沿射線AC方向平移得到△A'B'C' ，邊B'C'與邊CD的交點(diǎn)為F ，連接EF，若EF將CDE分為面積相等的兩部分，且AB = 4，則 CF =
【變式1-2】（2023春·重慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)F．
(1)求證：△AFB≌ △CFD；
(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范圍．
【變式1-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABC，AB=AC,∠ABC=∠ACB，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如圖，連接BD、AF，則BD__________AF（填“>”“AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；
(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BF,CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【知識(shí)點(diǎn)4 一線三等角模型】
【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.

【題型4 一線三等角模型】
【例4】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．
【變式4-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（ ）
A．3B．2C．94D．92
【變式4-2】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）通過對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．求證：BC=AE．
[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為________________．
[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_____________．
【變式4-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫出此題答案：BE的長(zhǎng)為________．
（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌ΔCAF．
（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF與ΔBDE的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）
【知識(shí)點(diǎn)5 倍長(zhǎng)中線模型模型】
【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．
【常見模型】

【題型5 倍長(zhǎng)中線模型】
【例5】（2023春·甘肅慶陽·八年級(jí)校考期末）小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，△ABC中，AB=7，AC=5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值 范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED?△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：
(1)小明證明△BED?△CAD用到的判定定理是： (用字母表示)；
(2)AD的取值范圍是 ；
(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD平分∠BAC，求證：AB=AC．
【變式5-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點(diǎn)D在AC上，AD=3,AB+AC=10，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，則CD= ．
【變式5-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AM=3，DE= ．
【變式5-3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．
小明的解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．
在△ABD與△ECD中BD=DC∠ADB=∠EDCAD=DE
∴△ABD?△ECD（SAS）
∴AB＝ ．
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴ ＜AE＜ ．
又∵AE＝2AD．
∴ ＜AD＜ ．
【探索應(yīng)用】如圖②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長(zhǎng)為 ．（直接寫答案）
【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．
【知識(shí)點(diǎn)6 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】
【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長(zhǎng): 指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線
段: 補(bǔ)短: 指將短線段延長(zhǎng), 延長(zhǎng)部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等服三角形、角平分線等關(guān)鍵詞
句, 可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程, 截長(zhǎng)補(bǔ)短法(往往需證2次全等) 。
【模型圖示】
(1)截長(zhǎng): 在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段, 再證剩下的那一段等于另一短線段。
例: 如圖, 求證BE+DC=AD；
方法:①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF=BE
(2)補(bǔ)短:將短線段延長(zhǎng),證與長(zhǎng)線段相等
【題型6 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】
【例6】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖①，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)50°角，角的兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E、F，連接EF．
（1）探究BE、EF、FC之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）若點(diǎn)E、F分別在AB、CA延長(zhǎng)線上，其他條件不變，如圖②所示，則BE、EF、FC之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由．
【變式6-1】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【變式6-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如圖1，若BD=4，BC=6.5，求CE的長(zhǎng)；
②如圖2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
【變式6-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面材料：
【原題呈現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長(zhǎng)．
【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．
【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；
（2）拓展提升：如圖3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長(zhǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)7 手拉手模型】
【模型解讀】 如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=。結(jié)論：△BAD≌△CAE。
【模型分析】手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。
【題型7 手拉手模型】
【例7】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC是一個(gè)銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、△ACE，連接BE、CD交于點(diǎn)F，連接AF．
(1)求證：△ABE≌△ADC；
(2)求∠EFC的度數(shù)；
(3)求證：AF平分∠DFE．
【變式7-1】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．
(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；
(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．
【變式7-2】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若△ACB 和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
(1)求證：△ACD≌△BCE；
(2)若CM＝2，BE＝3，求AE的長(zhǎng)．
【變式7-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．
(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝ ；
(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝ ；
(3)如圖3，若∠DAB＝α，試探究∠AFG與α的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【知識(shí)點(diǎn)8 角平分線模型】
模型一：如圖一，角平分線+對(duì)稱型
利用角平分線圖形的對(duì)稱性, 在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形, 可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移, 這是經(jīng)常使用的---種解題技巧。
【理論依據(jù)】: 三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等
模型二：如圖二，角平分線+垂直兩邊型
【幾何語言】:∵OC為∠AOB的角平分線, D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA, DF⊥OB
∴△CED≌△OFD(AAS),
∴DE=DF
模型三：如圖三，角平分線+垂直平分線型
【說明】構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的 三線合一, 也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形, 進(jìn)而
得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。
模型四：如圖四，角平分線+平行線型
【說明】 有角平分線時(shí), 常過角平分線上一點(diǎn)作角的有邊的平行線, 構(gòu)造等腰三角形, 為證明結(jié)論提供更多的條件,體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。
【題型8 角平分線模型】
【例8】（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．
【變式8-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=36°，則∠CAP= ．
【變式8-2】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝12CD．
【變式8-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．
（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【知識(shí)點(diǎn)9 半角模型】
【模型解讀】 如圖：已知∠2=12∠AOB，OA=OB
【說明】連接F′B，將△FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF
【題型9 半角全等模型】
【例9】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請(qǐng)直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；
（3）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請(qǐng)直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： ．
【變式9-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（ ）
A．36B．21C．30D．22
【變式9-2】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）問題情境
在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
歸納證明
（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
拓展應(yīng)用
（4）△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為 ．
【變式9-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，CA=CB，CA⊥CB，∠ECF=45°，CD=CF，∠ACD=∠BCF．
（1）求∠ACE+∠BCF的度數(shù)；
（2）以E為圓心，以AE長(zhǎng)為半徑作??；以F為圓心，以BF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，試探索△EFG的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請(qǐng)說明理由．
專題14.3 全等三角形的九大經(jīng)典模型
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21418" 【題型1 平移模型】 PAGEREF _Tc21418 \h 1
\l "_Tc13938" 【題型2 軸對(duì)稱模型】 PAGEREF _Tc13938 \h 6
\l "_Tc32049" 【題型3 旋轉(zhuǎn)模型】 PAGEREF _Tc32049 \h 11
\l "_Tc11934" 【題型4 一線三等角模型】 PAGEREF _Tc11934 \h 19
\l "_Tc20622" 【題型5 倍長(zhǎng)中線模型】 PAGEREF _Tc20622 \h 26
\l "_Tc12933" 【題型6 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】 PAGEREF _Tc12933 \h 34
\l "_Tc13816" 【題型7 手拉手模型】 PAGEREF _Tc13816 \h 43
\l "_Tc28043" 【題型8 角平分線模型】 PAGEREF _Tc28043 \h 51
\l "_Tc1855" 【題型9 半角全等模型】 PAGEREF _Tc1855 \h 57
【知識(shí)點(diǎn)1 平移模型】
【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.
【常見模型】
【題型1 平移模型】
【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD，AC、DE交于點(diǎn)O．下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．∠B=∠FB．AC⊥DEC．BC=DFD．AC、DE互相平分
【答案】D
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，則可對(duì)A、B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；AC交DE于O點(diǎn)，如圖，證明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，
∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，
只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；
只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，所以A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，
而AD=CE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，OA=OC
即AC、 DE互相平分，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．
【變式1-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB =CD，BC = DE．
(1)求證：△ABC≌△CDE；
(2)將△ABC沿射線AC方向平移得到△A'B'C' ，邊B'C'與邊CD的交點(diǎn)為F ，連接EF，若EF將CDE分為面積相等的兩部分，且AB = 4，則 CF =
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】（1）首先由點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)得出AC=CE，再根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得A'B'=CD=AB=4,再由EF將CDE分為面積相等的兩部分得CF=DF=12CD=2
【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，
∴AC=CE
在△ABC和△CDE中，
AB=CDBC=DEAC=CE
∴△ABC≌△CDE
（2）解：將△ABC沿射線AC方向平移得到ΔA'B'C'，且AB = 4，
∴A'B'=CD=AB=4,
∵邊B'C'與邊CD的交點(diǎn)為F ，連接EF，EF將CDE分為面積相等的兩部分，如圖
∴CF=DF=12CD=2,
故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及平移的性質(zhì)，根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·重慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)F．
(1)求證：△AFB≌ △CFD；
(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)1AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；
(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BF,CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1)60°
(2)BF+CF=2CN，理由見解析
【分析】（1）如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K，使得CK=BE，證明ΔBCE?ΔCBK(SAS)，推出BK=CE,∠BEC=∠BKD，再證明∠ADF+∠AEF=180°，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：BF+CF=2CN．首先證明∠BFC=120°．如圖2中，延長(zhǎng)CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，證明ΔCNM?ΔQNF(SAS)，推出FQ=CM=BC，延長(zhǎng)CF到P，使得PF=BF，則ΔPBF是等邊三角形，再證明ΔPFQ?ΔPBC(SAS)，推出PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，推出ΔPCQ是等邊三角形，可得結(jié)論
【詳解】（1）解：如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K，使得CK=BE，
在ΔBCE和ΔCBK中，
BC=CB∠BCE=∠CBEBE=CK，
∴ΔBCE?ΔCBK(SAS)，
∴BK=CE,∠BEC=∠BKD，
∵CE=BD，
∴BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF=180°，
∴∠ADF+∠AEF=180°，
∴∠A+∠EFD=180°，
∵∠A=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠CFE=180°-120°=60°．
（2）結(jié)論：BF+CF=2CN．
理由：如圖2中，∵AB=AC,∠A=60°，
∴ΔABC是等邊三角形，
∴AB=CB,∠A=∠CBD=60°，
∵AE=BD，
∴ΔABE?ΔBCD(SAS)，
∴∠BCF=∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF=60°，
∴∠BFC=120°，
如圖2中，延長(zhǎng)CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，
∵NM=NF,∠CNM=∠FNQ,CN=NQ，
∴ΔCNM?ΔQNF(SAS)，
∴FQ=CM=AC=BC，∠M=∠NFQ，
∴FQ ∥CM，
∴∠PFQ=∠FCM．
延長(zhǎng)CF到P，使得PF＝BF，
∵∠BFP=180°-120°=60°，
∴ΔPBF是等邊三角形，
∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，
∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，
∵PB=PF，
∴ΔPFQ?ΔPBC(SAS)，
∴PQ=PC,∠CPB=∠QPF=60°，
∴ΔPCQ是等邊三角形，
∴BF+CF=PF+CF=PC=PQ=QC=2CN．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
【知識(shí)點(diǎn)4 一線三等角模型】
【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.

【題型4 一線三等角模型】
【例4】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．
【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解
【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷ΔADB≌ΔCEA；
（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，得出∠CAE=∠ABD，然后問題可求證；
（3）由題意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，由（1）（2）易證ΔADB≌ΔCEA，則有AE=BD，然后可得∠FBD=∠FAE，進(jìn)而可證ΔDBF≌ΔEAF，最后問題可得證．
【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在ΔADB和ΔCEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；
解：（2）成立，理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在ΔADB和ΔCEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；
（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?120°，
∴∠CAE=∠ABD，
∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)，
∴AE=BD，
∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE，
∴∠FBD=∠FAE，
∴ΔDBF≌ΔEAF（SAS），
∴FD=FE,∠BFD=∠AFE，
∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°，
∴△DFE是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（ ）
A．3B．2C．94D．92
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，
∴AD＝ED，
在△ABD與△DCE中，
∠BAD=∠CDE∠B=∠CAD=ED，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
【變式4-2】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）通過對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．求證：BC=AE．
[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為________________．
[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_____________．
【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈現(xiàn)]證明△ABC≌△DAE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BC=AE；
[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3，AG=EP=6,CG=DH=4，CG=BG=3，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；
[深入探究]過點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過點(diǎn)E作EQ⊥AG交AG的延長(zhǎng)線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，證明△DPG≌△EQG，得到PG=GQ.，進(jìn)而求出AG，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，
∵BC⊥AC,DE⊥AC，
∴∠ACB=∠DEA=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
在△ABC和△DAE中，
∠ABC=∠DAE∠ACB=∠DAEBA=AD，
∴△ABC≌△DAE(AAS)，
∴BC=AE；
[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH，
∴AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3，
則S實(shí)線圍成的圖形=12(4+6)×(3+6+4+3)?12×3×6?12×3×6?12×3×4?12×3×4=50，
故答案為：50；
[深入探究]過點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過點(diǎn)E作EQ⊥AG交AG的延長(zhǎng)線于Q，
由[模型呈現(xiàn)]可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA，
∴DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，
在△DPG和△EQG中，
∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ，
∴△DPG≌△EQG(AAS)，
∴PG=GQ，
∵BC=21，
∴AQ+AP=21，
∴AP+AP+PG+PG=21，
∴AG=AP+PG=10.5，
∴S△ADQ=12×10.5×12=63，
故答案為：63．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫出此題答案：BE的長(zhǎng)為________．
（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌ΔCAF．
（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF與ΔBDE的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）
【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5
【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；
（3）先證明△ABE≌△CAF，得到ΔACF與ΔBDE的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)CD=2BD故可求解．
【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，{∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．
∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm
故答案為：0.8cm；
（2）證明：∵∠1＝∠2，
∴∠BEA＝∠AFC．
∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，
∴∠4＝∠ABE．
∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
（3）∵∠BED=∠CFD=∠BAC
∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF
又AB=AC
∴△ABE≌△CAF，
∴S△ABE=S△CAF
∴ΔACF與ΔBDE的面積之和等于ΔABE與ΔBDE的面積之和，即為△ABD的面積，
∵CD=2BD，△ABD與△ACD的高相同
則S△ABD=13S△ABC=5
故ΔACF與ΔBDE的面積之和為5
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)5 倍長(zhǎng)中線模型模型】
【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．
【常見模型】

【題型5 倍長(zhǎng)中線模型】
【例5】（2023春·甘肅慶陽·八年級(jí)校考期末）小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，△ABC中，AB=7，AC=5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值 范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED?△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：
(1)小明證明△BED?△CAD用到的判定定理是： (用字母表示)；
(2)AD的取值范圍是 ；
(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD平分∠BAC，求證：AB=AC．
【答案】(1)SAS
(2)1