TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26211" 【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【題型2 垂線段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 2
\l "_Tc30887" 【題型3 平行線之間的距離最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 3
\l "_Tc5892" 【題型4 將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】 PAGEREF _Tc5892 \h 4
\l "_Tc22693" 【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 5
\l "_Tc24968" 【題型6 雙對稱周長最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 6
\l "_Tc12728" 【題型7 兩定兩動(dòng)】 PAGEREF _Tc12728 \h 8
\l "_Tc17418" 【題型8 兩定一定長】 PAGEREF _Tc17418 \h 9
\l "_Tc31265" 【題型9 兩動(dòng)一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 10
\l "_Tc28588" 【題型10 費(fèi)馬點(diǎn)】 PAGEREF _Tc28588 \h 11
【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】
【例1】（2023春·福建寧德·八年級(jí)校考期中）如圖，平地上A，B兩點(diǎn)位分別位于一條排水溝的兩旁，其上用鋼梁覆蓋，位于A處的螞蟻從第 號(hào)鋼梁上通過到達(dá)B處，才能使得全程路程最短．

【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第七中學(xué)校考期末）在同一平面內(nèi)，線段AB=5cm，C為任意一點(diǎn)，則AC+BC的最小值為 ．
【變式1-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（ ）．
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023春·全國·八年級(jí)課堂例題）[應(yīng)用意識(shí)]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設(shè)兩座橋，橋與河岸垂直．設(shè)兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫作法）

【題型2 垂線段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在線段BC上，CD=3.3，點(diǎn)E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接BF，當(dāng)BF有最小值時(shí)，寫出AE的值為 .

【變式2-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長度的最小值是 ．

【變式2-2】（2023春·全國·八年級(jí)課堂例題）如圖，OB平分∠MON,A為OB的中點(diǎn)，AE⊥ON，垂足為E,AE=3,D為OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC∥OM,C是DA的延長線與BC的交點(diǎn)，求線段CD的最小值．

【變式2-3】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD，BD為鄰邊作?ADBE，連接DE，則DE長的最小值為 ．

【題型3 平行線之間的距離最短】
【例3】如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值是 ．

【變式3-1】如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式3-2】（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）直線，對平面內(nèi)不在上，且不在上的任意一點(diǎn)，若到，的距離分別為，，則記．
(1)若，則線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為______；
(2)若取最小值且，則的取值范圍是______．
【變式3-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，，，P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．
（1）當(dāng)時(shí)，有最小值，求m的值；
（2）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，探究、與的關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫出、與的關(guān)系．
【題型4 將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】
【例4】（2023春·廣東揭陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，則PC+PD的最小值為 ．
【變式4-1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【變式4-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是 ．
【變式4-3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，若AE=3，
(1)求BC的長；
(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為_________．
【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】
【例5】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB=12cm，△BMC的周長是20cm，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA?PB的最大值為 .
【變式5-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A1B1C1．
（2）在直線MN上找點(diǎn)P，使|PB﹣PA|最大，在圖形上畫出點(diǎn)P的位置，并直接寫出|PB﹣PA|的最大值．
【變式5-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6，則BP?PE的最大值是 ．
【變式5-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且∠BAD=25°，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則PB?PC的最大值是 ．
【題型6 雙對稱周長最小】
【例6】（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一個(gè)點(diǎn)M，N，使△AMN的周長最小，則∠AMN+∠ANM= °

【變式6-1】（2023春·遼寧遼陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A?2,3，B?3,1，C1,?2．
(1)請?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；
(2)△ABC的面積是________；
(3)在y軸上有一點(diǎn)P，使得△ABP的周長最小，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△ABP的周長最小值．
【變式6-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=8．如圖1在OC邊上取一點(diǎn)D，將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊上，記作E點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長；
(2)如圖2，在OC、CB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)F、G，將△FCG沿FG折疊，使點(diǎn)C落在OA上，記為H點(diǎn)，設(shè)OH=x，GC=y，寫出y關(guān)于x的關(guān)系式以及x的取值范圍；
(3)在x軸上取兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=5，取線段BA段的中點(diǎn)為F，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到哪里時(shí)，四邊形BMNF的周長最??？請畫出示意圖并求出周長最小值．
【題型7 兩定兩動(dòng)】
【例7】（2023春·福建泉州·八年級(jí)?？计谀缀文Ｐ停簵l件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．
問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小．
解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為線段A'B的長．

(1)根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決問題的圖形；
(2)應(yīng)用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出△PCD周長的最小值；
②如圖3，∠AOB=20°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=ON=2，點(diǎn)P，Q分別在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是________．
【變式7-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是 ．
【變式7-2】（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【變式7-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀┤鐖D，在等邊△ABC中，AC=12，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且AP=5．如果點(diǎn)M、N分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，那么PM+MN+NB的最小值為 ．

【題型8 兩定一定長】
【例8】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是線段OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2，則△AOM與△NCB周長和的最小值是 ．
【變式8-1】（2023春·河南安陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，線段CD長為8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF為線段CD上兩動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)在E右側(cè)且EF=1，則由A到B的路徑：AE+EF+FB的最小值為 ．
【變式8-2】（2023春·遼寧朝陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，則GE+CF的最小值為（ ）

A．23B．22C．32D．33
【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C，D是y軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C下方）且CD=2，連接AC，BD，則AC+BD的最小值為
【題型9 兩動(dòng)一定】
【例9】（2023春·湖南衡陽·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面積為18，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為 ．

【變式9-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB，AC上，則線段DE+DF的最小值是（ ）
A．BC邊上高的長B．線段EF的長度
C．BC邊的長度D．以上都不對
【變式9-2】（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，點(diǎn)P、Q分別是邊BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值等于（ ）

A．4B．245C．5D．485
【變式9-3】（2023春·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，點(diǎn)M、N分別是線段AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，則MN+BN的最小值是 ．

【題型10 費(fèi)馬點(diǎn)】
【例10】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題提出】
（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM，CM．若連接MN，則△BMN的形狀是________．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．
【問題解決】
（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂場E，分別從A、B、C向游樂場E修三條AE,BE,CE，求三條路的長度和（即AE+BE+CE）最小時(shí)，平行四邊形公園ABCD的面積．
【變式10-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．
【變式10-2】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為 ．
【變式10-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．
如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AP'C'，則可以構(gòu)造出等邊△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP'+PB+P'C'的值，當(dāng)B，P，P'，C四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC的長為所求的最小值，即點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”．
(1)【拓展應(yīng)用】
如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'．
①若PA=3，則點(diǎn)P與點(diǎn)P'之間的距離是______；
②當(dāng)PA=3，PB=5，PC=4時(shí)，求∠AP'C的大??；
(2)如圖2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
專題15.7 軸對稱圖形中的最值問題十大考點(diǎn)
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26211" 【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【題型2 垂線段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 4
\l "_Tc30887" 【題型3 平行線之間的距離最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 9
\l "_Tc5892" 【題型4 將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】 PAGEREF _Tc5892 \h 14
\l "_Tc22693" 【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 18
\l "_Tc24968" 【題型6 雙對稱周長最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 22
\l "_Tc12728" 【題型7 兩定兩動(dòng)】 PAGEREF _Tc12728 \h 29
\l "_Tc17418" 【題型8 兩定一定長】 PAGEREF _Tc17418 \h 36
\l "_Tc31265" 【題型9 兩動(dòng)一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 41
\l "_Tc28588" 【題型10 費(fèi)馬點(diǎn)】 PAGEREF _Tc28588 \h 45
【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】
【例1】（2023春·福建寧德·八年級(jí)校考期中）如圖，平地上A，B兩點(diǎn)位分別位于一條排水溝的兩旁，其上用鋼梁覆蓋，位于A處的螞蟻從第 號(hào)鋼梁上通過到達(dá)B處，才能使得全程路程最短．

【答案】4
【分析】將點(diǎn)A向右移動(dòng)兩個(gè)鋼梁之間的距離長度，得到點(diǎn)A'，再連接A'B，與哪個(gè)鋼梁相交，就從哪個(gè)鋼梁上通過．
【詳解】解：將點(diǎn)A向右移動(dòng)兩個(gè)鋼梁之間的距離長度，得到點(diǎn)A'，再連接A'B，如下圖：

線段A'B與4號(hào)鋼梁相交，則從4號(hào)鋼梁上通過時(shí)，全程路程最短，
故答案為：4
【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，先對A點(diǎn)進(jìn)行平移．
【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第七中學(xué)校考期末）在同一平面內(nèi)，線段AB=5cm，C為任意一點(diǎn)，則AC+BC的最小值為 ．
【答案】5cm
【分析】分三種情況討論∶ 當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線或反向延長線上時(shí)， 點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，結(jié)合兩點(diǎn)之間，線段最短，即可求解．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)， AC+BC=AB=5cm，
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線或反向延長線上時(shí)，
∴AC+BC>AB=5cm，
點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，
∵兩點(diǎn)之間，線段最短，
∴AC+BC>AB=5cm，
綜上所述，AC+BC的最小值為5cm．
故答案為：5cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段之間的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握兩點(diǎn)之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題利用軸對稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．
【詳解】解：如圖：作點(diǎn)A關(guān)于街道的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交街道所在直線于點(diǎn)C，
∴ A'C=AC，
∴ AC+BC=A'B，
在街道上任取除點(diǎn)C以外的一點(diǎn)C'，連接A'C'，BC'，AC'，
∴ AC'+BC'=A'C'+BC'，
在ΔA'C'B中，兩邊之和大于第三邊，
∴ A'C'+BC'>A'B，
∴ AC'+BC'>AC+BC，
∴點(diǎn)C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。?br>
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短路線的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題．會(huì)作對稱點(diǎn)是解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用．另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會(huì)有變式：請你找出點(diǎn)C的位置．
【變式1-3】（2023春·全國·八年級(jí)課堂例題）[應(yīng)用意識(shí)]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設(shè)兩座橋，橋與河岸垂直．設(shè)兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行作圖即可．
【詳解】解：如圖所示：

（1）過點(diǎn)P作PA⊥l1，垂足為A，過點(diǎn)Q作QB⊥l4，垂足為B；
（2）分別在PA和QB上截取PC=QD=河的寬度；
（3）連接CD，分別交l2和l3于點(diǎn)E和M；
（4）過點(diǎn)E和M分別作l1和l4的垂線段，垂足分別為F和N；
（5）連接PF和QN．則橋建在FE和MN處才能使兩村之間的路程最短．
【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
【題型2 垂線段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在線段BC上，CD=3.3，點(diǎn)E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接BF，當(dāng)BF有最小值時(shí)，寫出AE的值為 .

【答案】1.3
【分析】過D作BD垂線且使得B' D=BD，連接B' E，構(gòu)造△ B' DE≌△BDF得BF= B' E，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短知B' E⊥AC時(shí)，B' E取最小值，求出此時(shí)AE即可．
【詳解】解：如圖，過D作BD垂線且使得B' D=BD，連接B' E，

∵∠EDF=∠ B' DB=90°，
∴∠BDF+∠ B' DF=∠ B' DF+∠ B' DE，
∴∠BDF=∠ B' DE，
在△ B' DE與△BDF中，
B'D=BD∠B'DE=∠BDFDE=DF，
∴△ B' DE≌△BDFSAS，
∴BF= B' E，
∵點(diǎn)到直線垂線段最短，
∴ B' E⊥AC時(shí)，B' E取最小值，
過點(diǎn)B'作B' G⊥AC交AC于G，
∵∠C=∠CD B' =∠CG B' =90°，
∴ AC∥BD,B'G∥CD，
∴ B' G=CD=3.3，CG= B' D=BD=8?3.3=4.7，
∴BF取最小值時(shí)AE=AG=AC?CG=1.3，
故答案為：1.3．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線垂線段最短，平行線之間的距離相等，作出輔助線構(gòu)造△ B' DE≌△BDF是本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長度的最小值是 ．

【答案】1
【分析】取CB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時(shí)最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．
【詳解】解：取BC的中點(diǎn)G，連接MG，如圖所示：

∵旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等邊△ABC的高線，
∴HB=12AB，
∴HB=BG，
又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BG=BH∠MBG=∠NBHMB=NB，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時(shí)，MG最短，此時(shí)即HN最短，
∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×4=2，
在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∠CMG=90°，MG=12CG=12×2=1，
∴HN=MG=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，含30°的直角三角形等，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
【變式2-2】（2023春·全國·八年級(jí)課堂例題）如圖，OB平分∠MON,A為OB的中點(diǎn)，AE⊥ON，垂足為E,AE=3,D為OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC∥OM,C是DA的延長線與BC的交點(diǎn)，求線段CD的最小值．

【答案】6
【分析】根據(jù)BC∥OM，OA=AB，可以證明△OAD≌△BAC，得到AD=AC繼而得到CD=2AD，故線段CD的最小值轉(zhuǎn)化為線段DA得最小值，根據(jù)垂線段最短，結(jié)合角的平分線的性質(zhì)定理計(jì)算即可．
【詳解】∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠CBA，
∵點(diǎn)A為OB的中點(diǎn)
∴OA=AB，
∵∠DOA=∠CBAOA=BA∠DAO=∠CAB，
∴△OAD≌△BACASA，
∴AD=AC，
∴CD=2AD，
∴線段CD的最小值轉(zhuǎn)化為線段DA得最小值，
根據(jù)垂線段最短，
∴DA⊥OM，
∵AE⊥ON，OB平分∠MON，
∴AE=AD，
∵AE=3，
∴AD=3，
∴CD=2AD=6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短原理，熟練掌握角的平分線性質(zhì)定理，三角形全等，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD，BD為鄰邊作?ADBE，連接DE，則DE長的最小值為 ．

【答案】9.6
【分析】過B作BF⊥AC于點(diǎn)F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂線段最短可知，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE有最小值，由于平行線間的距離處處相等，故這個(gè)最小值也就是BF的長度．
【詳解】解：過B作BF⊥AC于點(diǎn)F，

∵平行四邊形ADBE中，AD∥BE，即AC∥BE，
∵AB=AC=10，BC=12，
設(shè)CF=x，則AF=10?x，
∵BF2=CB2?CF2=AB2?AF2，
即122?x2=102?10?x2，
解得，x=7.2，
∴CF=3.6，
∴BF= BC2?CF2=122?7.22=9.6.，
由垂線段最短可知，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE有最小值，
由于平行線間的距離處處相等，AC∥BE，故這個(gè)最小值也就是BF的長度．
∴DE的最小值為9.6．
故答案為：9.6．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)；構(gòu)造直角形求出BF是解題的關(guān)鍵．
【題型3 平行線之間的距離最短】
【例3】如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值是 ．

【答案】8
【分析】根據(jù)垂線段最短進(jìn)行求解即可
【詳解】解：∵直線，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，
∴根據(jù)垂線段最短可知，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，線段有最小值，
∵a，b之間相距，
∴線段的最小值為，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．
【詳解】解：由題意可知當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，
此時(shí)，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值為2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進(jìn)行求解．
【變式3-2】（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線，對平面內(nèi)不在上，且不在上的任意一點(diǎn)，若到，的距離分別為，，則記．
(1)若，則線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為______；
(2)若取最小值且，則的取值范圍是______．
【答案】(1)0或1
(2)
【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時(shí)，作出相應(yīng)圖形即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，分兩種情況分析：當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在，之間時(shí)，結(jié)合圖形求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時(shí)，
此時(shí)線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時(shí)，如圖所示：
此時(shí)線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

故答案為：0或1；
（2）當(dāng)取最小值且時(shí)，如圖所示：
此時(shí)點(diǎn)A恰好在，的中間直線上，
∴，之間的距離為2，即，

當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時(shí)，如圖所示：

此時(shí)即為，之間的距離為2；
當(dāng)點(diǎn)P在，之間時(shí)，如圖所示：

∵，
∴當(dāng)點(diǎn)P在，的中間直線上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)P不在，的中間直線上時(shí)，；
綜上可得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查垂線的定義及點(diǎn)到直線的距離，理解題意，作出相應(yīng)圖形求解是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，，，P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．
（1）當(dāng)時(shí)，有最小值，求m的值；
（2）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，探究、與的關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫出、與的關(guān)系．
【答案】（1）10；（2），見解析；（3）或
【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)PC+PD的值最小，解答即可；
（2）當(dāng)t＜m時(shí)，過P在AE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，然后仿照第（2）問的證明方法，作出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與E不重合時(shí)，在中，，
當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，此時(shí)最小，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故時(shí)，值最??；
（2），理由如下：
如圖，當(dāng)即時(shí)，點(diǎn)P在AE上，過點(diǎn)P作，
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）當(dāng)m＜t≤15即10＜t≤15時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，過點(diǎn)P作PHa，如圖：
又∵ab，
∴PHab，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即當(dāng)10＜t≤15時(shí)，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；
當(dāng)t＞15時(shí)，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，過點(diǎn)P作PGa，如圖：
又∵ab，
∴PGab，
∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，
又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，
∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）
＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM
＝∠PCM－∠PDA，
∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
綜上所述，當(dāng)t＞10時(shí)，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【題型4 將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】
【例4】（2023春·廣東揭陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，則PC+PD的最小值為 ．
【答案】5
【分析】作C點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C'，連接C'D交AB于P點(diǎn)，連接C'B，根據(jù)勾股定理即可求出C'D的長，即 PC+PD的值最小值.
【詳解】
解：如圖，作C點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C'，連接C'D交AB于P點(diǎn)，則PC+PD=PC'+PD=C'D，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知此時(shí)PC+PD的值最小，
連接C'B，
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴∠ABC=45°，
∵C點(diǎn)與C'關(guān)于AB對稱，
∴C'B=CB=2,∠C'BA=∠CBA=45°,
∴∠C'BC=90°,
∵BC=2, D為BC邊的中點(diǎn)，
∴BD=1,
∴C'D=C'B2+BD2=22+12=5,
∴PC+PD的最小值為5．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱以及求最短路徑問題，熟練掌握將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.
【變式4-1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17km
【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線MN，由題意先作A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，構(gòu)建直角三角形，則A'B就是最短路線；在Rt△A'DB中，∠A'DB=90°，BD=8km，A'D=AD+A'A，利用勾股定理即可求出A'B．
【詳解】如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于小河MN的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P，則A'B就是牧童要完成這件事情所走的最短路程長度．

由題意知：A'D=4+4+7=15km，BD=8km，∠D=90°，
在Rt△A'DB中，由勾股定理求得A'B=A'D2+BD2=17km，
則他要完成這件事情所走的最短路程是17km．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)得到∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，證明△CBD≌△A'BD，得到CD=A'D，推出當(dāng)A、D、A'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=A'B+AB=4．
【詳解】解：如圖，連接A'D，
∵正△ABC的邊長為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，
∴∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，
∴∠CBC'=60°，
∴∠CBC'=∠A'BC'，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△A'BD，
∴CD=A'D，
∴AD+CD=A'D+CD，
∴當(dāng)A、D、A'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=A'B+AB=4，
故答案為：4．
．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，若AE=3，
(1)求BC的長；
(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關(guān)系即可求出BC的長；
（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長度．
【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=12(180°?∠BAC)=30°
∵AB邊的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，
∴BE=AE=3，
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=∠BAC?∠BAE=120°?30°=90°
在Rt△CAE中，∠C=30°
∴CE=2AE=6
∴BC=BE+CE=3+6=9
（2）解：如圖，
取點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)，即點(diǎn)B；連接B,C兩點(diǎn)，與直線DE交于點(diǎn)P(E)，
∵ PA=PB
∴ PA+PC=PB+PC
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短
則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對稱性質(zhì)的充分利用是解題關(guān)鍵．
【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】
【例5】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB=12cm，△BMC的周長是20cm，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA?PB的最大值為 .
【答案】8cm
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到MA=MC，再利用三角形兩邊之差小于第三邊解答即可．
【詳解】解：∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴MA=MC，
又∵C△BMC=BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，
∴BC=20?12=8cm，
在MN上取點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，
∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴PA?PB=PC?PB，
在△PBC中PC?PB

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