專題14.4 證明三角形全等的五種基本思路 【滬科版】 考卷信息： 本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對證明三角形全等的五種基本思路的理解！ 【類型1 已知兩邊對應(yīng)相等，尋找第三邊相等，用“SSS”】 1．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等時(shí)，下面的4個(gè)條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（????） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 2．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC與BD交于點(diǎn)O．則下列說法不正確的是（????） ?? A．BE=DF B．△AEB≌△CFD C．∠EAB=∠OAE D．AE∥CF 3．（2023春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，已知：PA＝PB，AC＝BD，PC＝PD，△PAD和△PBC全等嗎？請說明理由． 4．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，A，E，B在同一直線上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.試說明：∠F＝∠C. 5．（2023春·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在邊AB，邊BC上，連接DE,AD=AC，ED=EC． (1)求證：∠ADE=∠C． (2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度數(shù)． 6．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一點(diǎn)，AE⊥CD于點(diǎn)E，BF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F，若CE=BF，AE=EF+BF，試判斷直線AC與BC的位置關(guān)系，并說明理由． 【類型2 已知兩邊對應(yīng)相等，尋找夾角相等，用“SAS”】 1．（2023春·貴州遵義·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，F(xiàn)，C是AD上兩點(diǎn)，且AF=CD；點(diǎn)E，F(xiàn)，G在同一直線上，∠B=∠AGF，BC=EF 求證：ΔABC≌ΔDEF. 2．（2023春·山西朔州·八年級校考期末）已知：如圖，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形． （1）求證：AD=CE； （2）求證：AD⊥CE 3．（2023·陜西西安·九年級西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎鐖D，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，且不與A、B兩點(diǎn)重合，AE⊥AB，AE＝BD．連接DE、DC，求證：CE＝CD． 4．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，連接EC并延長，交DB的延長線于點(diǎn)F． (1)求證：AC=DB； (2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度數(shù)． 5．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，且B、C、E在一直線上，AC、BD交于F點(diǎn)，AE、CD交于G點(diǎn)，試說明FG∥BE的理由． 6．（2023春·四川成都·八年級校考開學(xué)考試）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側(cè)作∠ACM＝∠ACB，點(diǎn)D為射線BC上任意一點(diǎn)，在射線CM上載取CE＝BD，連接AD、AE. (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC的延長線上時(shí)，求證：△ABD≌△ACE； (2)在(1)的條件下，求出∠ADE的度數(shù)； (3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC（不含端點(diǎn)）上時(shí)，作AH⊥BC，垂足為H，作AG⊥EC,垂足為G，連接HG，判斷△GHC的形狀，并說明現(xiàn)由. 【類型3 已知兩角對應(yīng)相等，尋找夾邊相等，用“ASA”】 1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB:BC=5:7，S△ADC=8，則S△ABD= . ?? 2．（2023春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D四邊形ABCD中，∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，AF=CE．求證：BE=DF． 3．（2023春·江西宜春·七年級江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點(diǎn)F，且∠CAD=45°．若BC=7，AD=5，求AF的長． 4．（2023春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，∠ABC=∠E,∠D=∠A,BE=CF，求證：△ABC≌△DEF． ?? 5．（2023春·云南文山·七年級統(tǒng)考期末）如圖．已知線段AB，分別過線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM、BN，使AM∥BN，點(diǎn)E為∠MAB平分線上的一點(diǎn)，且BE⊥AE，垂足為E，若∠BAE=60°，請解答下列問題： ?? (1)求∠EBN的度數(shù)； (2)過點(diǎn)E作直線CD，交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C．求證：DE=CE； (3)無論線段DC的兩個(gè)端點(diǎn)在AM、BN上如何移動(dòng)，只要線段DC經(jīng)過點(diǎn)E，那么AD+BC的值是否發(fā)生變化？請說明理由． 6．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）【問題背景】 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分線BE和AD相交于點(diǎn) G． ?? 【問題探究】 (1)∠AGB的度數(shù)為 °； (2)過G作GF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn) F，交AC于點(diǎn) H，判斷AB與FB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (3)在（2）的條件下，若AD=10，F(xiàn)G=6，求GH的長． 【類型4 已知一邊一角對應(yīng)相等，尋找另一角對應(yīng)相等，用“AAS”或“ASA”】 1．（2023春·四川德陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②⑤ 2．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習(xí)）如圖，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面積． ???? 3．（2023春·江西鷹潭·七年級?？茧A段練習(xí)）將兩個(gè)三角形紙板△ABC和△DBE按如圖所示的方式擺放，連接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC． ?? (1)試說明△ABC≌△DBE． (2)若∠ACD=72°，求∠BED的度數(shù)． 4．（2023春·陜西西安·七年級西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)F，且AD=CD． ?? (1)求證：△ABD?△CFD； (2)若BC=9，AD=7，求AF的長． 5．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E． ?? (1)求證：△ACD≌△CBE； (2)若AD=12，DE=7，求BE的長． 6．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，F(xiàn)C=2，BE=4，求BC的長度. （2）如圖2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的數(shù)量關(guān)系，并證明. （3）如圖3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，則DC=______. 【類型5 已知一邊一角對應(yīng)相等，尋找夾該角的另一邊對應(yīng)相等，用“SAS”】 1．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE=4，BC=3，DE=2，∠ABC=∠AED=90°，∠DAC=12∠BAE，則五邊形ABCDE的面積等于（????） ?? A．16 B．20 C．24 D．26 2．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接CE，將長方形ABCD沿著直線CE折疊，點(diǎn)D恰好落在AB的中點(diǎn)F上，點(diǎn)G為CF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，則PF+PG的最小值是(????) ?? A．a(chǎn)+c?b B．b+2c C．a(chǎn)+b+2c D．a(chǎn)+b 3．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB與CF交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為CF上一點(diǎn)，連接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2． ?? (1)請?zhí)砑右粋€(gè)條件________使△ADF≌△BCE，并說明理由． (2)在（1）的條件下請?zhí)骄緼E與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）已知：在△ABC中，AB=CD?BD，AD⊥BC，求證：∠B=2∠C． ?? 5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線． ?? (1)按要求作圖：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD；連接BE． (2)求證：△ACD≌△EBD． (3)求證：AB+AC>2AD． (4)若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍． 6．（2023春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的將分線，BD與CE相交于點(diǎn)P． ?? (1)如圖1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，那么∠BPC=________． (2)如圖2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，那么（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． (3)小月同學(xué)在完成（2）之后，發(fā)現(xiàn)CD、BE、BC三者之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，于是她在邊CB上截取了CF=CD，連接PF，把DC、EB轉(zhuǎn)換到BC邊上來，請你寫出小月同學(xué)發(fā)現(xiàn)，并完成她的說理過程． 專題14.4 證明三角形全等的五種基本思路 【滬科版】 考卷信息： 本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對證明三角形全等的五種基本思路的理解！ 【類型1 已知兩邊對應(yīng)相等，尋找第三邊相等，用“SSS”】 1．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等時(shí)，下面的4個(gè)條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（????） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根據(jù)全等三角形的SSS判定條件解答即可． 【詳解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， AC=FDBC=EDAB=FE， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵． 2．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC與BD交于點(diǎn)O．則下列說法不正確的是（????） ?? A．BE=DF B．△AEB≌△CFD C．∠EAB=∠OAE D．AE∥CF 【答案】C 【分析】利用線段的和差即可判斷A選項(xiàng)；利用“SSS”即可證明△AEB≌△CFD，判斷B選項(xiàng)；利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定，即可判斷C、D選項(xiàng)． 【詳解】解：∵BF=DE， ∴BF?EF=DE?EF， ∴BE=DF，A選項(xiàng)正確； 在△AEB和△CFD中， AB=CDBE=DFAE=CF， ∴△AEB≌△CFDSSS，B選項(xiàng)正確； ∵△AEB≌△CFD， ∴∠EAB=∠FCD，∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF，C選項(xiàng)不正確，D選項(xiàng)正確． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 3．（2023春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，已知：PA＝PB，AC＝BD，PC＝PD，△PAD和△PBC全等嗎？請說明理由． 【答案】詳見解析 【分析】由AC=BD，利用線段的和差關(guān)系可得AD=BC，利用SSS即可證明△PAD≌△PBC. 【詳解】∵AC＝BD， ∴AC+CD=BD+CD，即AD＝BC， 又∵PA＝PB，PC＝PD， ∴△PAD≌△PBC(SSS) 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵. 4．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，A，E，B在同一直線上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.試說明：∠F＝∠C. 【答案】見解析 【分析】根據(jù)SSS的方法證明△DEF≌△ABC,即可得到結(jié)論. 【詳解】因?yàn)镈A＝EB， 所以DE＝AB. 在△DEF和△ABC中， 因?yàn)镈E＝AB，DF＝AC，EF＝BC， 所以△DEF≌△ABC(SSS)， 所以∠F＝∠C. 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),屬于簡單題,找到證明全等的方法是解題關(guān)鍵. 5．（2023春·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在邊AB，邊BC上，連接DE,AD=AC，ED=EC． (1)求證：∠ADE=∠C． (2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度數(shù)． 【答案】(1)證明見解析 (2)60° 【分析】（1）連接AE，利用SSS定理證出△ADE?△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證； （2）先根據(jù)垂直的定義可得∠ADE=90°，再根據(jù)（1）的結(jié)論可得∠C=90°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得． 【詳解】（1）證明：如圖，連接AE， 在△ADE和△ACE中，AD=ACED=ECAE=AE， ∴△ADE?△ACESSS， ∴∠ADE=∠C． （2）解：∵AB⊥DE， ∴∠ADE=90°， 由（1）已證：∠ADE=∠C， ∴∠C=90°， ∵∠B=30°， ∴∠A=180°?∠B?∠C=60°． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、垂直的定義、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 6．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一點(diǎn)，AE⊥CD于點(diǎn)E，BF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F，若CE=BF，AE=EF+BF，試判斷直線AC與BC的位置關(guān)系，并說明理由． 【答案】AC⊥BC．理由見解析 【分析】證明∴△ACE≌△CBF，可得∠BCF=∠CAE，再根據(jù)AE⊥CD，利用等量代換可得∠ACB=90°即可． 【詳解】解：AC⊥BC．理由如下： ∵AE=EF+BF，CE=BF， ∴AE=EF+CE， ∴AE=CF， 在△ACE和△CBF中， AC=CBAE=CFCE=BF， ∴△ACE≌△CBFSSS， ∴∠BCF=∠CAE， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC=90°， ∴∠CAE+∠ACE=90°， ∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°， ∴AC⊥BC． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)證明△ACE≌△CBF是解題的關(guān)鍵． 【類型2 已知兩邊對應(yīng)相等，尋找夾角相等，用“SAS”】 1．（2023春·貴州遵義·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，F(xiàn)，C是AD上兩點(diǎn)，且AF=CD；點(diǎn)E，F(xiàn)，G在同一直線上，∠B=∠AGF，BC=EF 求證：ΔABC≌ΔDEF. 【答案】證明見解析 【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到BC∥EG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCA=∠EFD．根據(jù)等式的性質(zhì)得到AC=DF，即可根據(jù)SAS證明△ABD≌△DEF． 【詳解】∵∠B=∠AGF，∴BC∥EG，∴∠BCA=∠EFD． ∵AF=CD，∴AC=DF． 在△ABD和△DEF中，∵AC=DF，∠BCA=∠EFD，BC=EF，∴△ABD≌△DEF（SAS）． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵． 2．（2023春·山西朔州·八年級校考期末）已知：如圖，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形． （1）求證：AD=CE； （2）求證：AD⊥CE 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析 【詳解】試題分析：（1）要證AD=CE，只需證明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，所以易證得結(jié)論． （2）延長AD，根據(jù)（1）的結(jié)論，易證∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE． 試題解析：（1）∵△ABC和△DBE均為等腰直角三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC， 即∠ABD=∠CBE， ∴△ABD≌△CBE， ∴AD=CE． （2）延長AD分別交BC和CE于G和F， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE， ∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， 又∵∠BGA=∠CGF， ∴∠AFC=∠ABC=90°， ∴AD⊥CE． 考點(diǎn)：1.等腰直角三角形；2.全等三角形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定． 3．（2023·陜西西安·九年級西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎?，如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，且不與A、B兩點(diǎn)重合，AE⊥AB，AE＝BD．連接DE、DC，求證：CE＝CD． 【答案】見解析. 【分析】由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠CAE=∠B，從而可利用SAS判定△ACE≌△BCD,得證． 【詳解】證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAD＝45°． ∵AE⊥AB， ∴∠CAE+∠CAD＝90°． ∴∠CAE＝45°． ∴∠CAE＝∠B． 在△ACE和△BCD中，AE=BD∠CAE=∠BAC=BC， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴CE＝CD． 【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，證明△ACE≌△BCD是解題的關(guān)鍵． 4．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，連接EC并延長，交DB的延長線于點(diǎn)F． (1)求證：AC=DB； (2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度數(shù)． 【答案】(1)見解析 (2)∠F=40° 【分析】（1）由DE∥BC得到∠ABC=∠DEB，證明△ABC≌△DEB即可； （2）推導(dǎo)BE=BC，即∠BCE=∠BEC解題即可． 【詳解】（1）證明：∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠DEB， 在△ABC和△DEB中， AB=DE∠ABC=∠DEBBC=DB， ∴△ABC≌△DEB（SAS）， ∴CD=CE； （2）解：∵△ABC≌△DEB， ∴∠D=∠A=30°， ∵DE∥BC， ∴∠FBC=∠D=30°， ∵∠CDE=40° ∴∠EBC=40°， ∵BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC=70°， ∴∠F=40°． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵． 5．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，且B、C、E在一直線上，AC、BD交于F點(diǎn)，AE、CD交于G點(diǎn)，試說明FG∥BE的理由． 【答案】見解析 【分析】運(yùn)用SAS證得△ACD≌△ACE，得到∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE;由公共部分∠ACD,利用角和差可確定∠BCF=∠DCF，結(jié)合BC=AC，判定△BCF≌△ACG，可得∠ACD=∠BAC=60°,CF=CG;可以發(fā)現(xiàn)△CFG也是等邊三角形，則∠CFG=60°,即∠CFG=∠BCA=60°，利用平行線判定定理，即可判定平行． 【詳解】解：理由如下： ∵已知△ABC和△CDE都是等邊三角形 ∴AC=AB,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠DCE=∠CED=∠EDC=60° ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE 在△ACD和△ACE中 BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE ∴△ACD≌△ACE（SAS） ∴∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE ∴∠BCD-∠ACD=∠ACE-∠ACD??即∠ACD=∠BCA=60°； 在△BCF和△ACG中 ∠CAE=∠CBDAC=BC∠ACD=∠BCA ∴△BCF≌△ACG（ASA） ∴CF=CG ∴△CFG是等邊三角形 ∴∠CFG=60° ∴∠CFG=∠BCA=60° ∴FG∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及平行線的判定，其中全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵． 6．（2023春·四川成都·八年級校考開學(xué)考試）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側(cè)作∠ACM＝∠ACB，點(diǎn)D為射線BC上任意一點(diǎn)，在射線CM上載取CE＝BD，連接AD、AE. (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC的延長線上時(shí)，求證：△ABD≌△ACE； (2)在(1)的條件下，求出∠ADE的度數(shù)； (3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC（不含端點(diǎn)）上時(shí)，作AH⊥BC，垂足為H，作AG⊥EC,垂足為G，連接HG，判斷△GHC的形狀，并說明現(xiàn)由. 【答案】（1）證明見解析；（2）30° ；（3）?HGC為等邊三角形，理由見解析. 【分析】（1）利用SAS定理證明△ABD≌△ACE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可求得∠ADE的度數(shù)； 【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∵∠ACM＝∠ACB， ∴∠ACM＝∠ABC， 在△ABD和△ACE中， AB＝AC∠ABC＝∠ACEBD＝CE， ∴△ABD≌△ACE. （2）由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∵ΔABD≌ΔACE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE． ∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°． ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝30°； ?? (3)?HGC為等邊三角形. 理由:∵AH⊥BC,AG⊥EC, ∴∠AHC=∠AGC=90°.∵∠ACB=∠ACM,AC=AC,∴ΔAHC?ΔAGC(ASA).∴HC=GC.∵∠HCA=30°,∴∠HCG=60°. ∴?HGC為等邊三角形. 【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 【類型3 已知兩角對應(yīng)相等，尋找夾邊相等，用“ASA”】 1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB:BC=5:7，S△ADC=8，則S△ABD= . ?? 【答案】20 【分析】延長AD交BC于點(diǎn)E，證△ABD≌△EBD可得AB=BE，S△ABD=S△EBD，AD=DE，由AB:BC=5:7可得S△EBD：S△ECD=5:2，進(jìn)而即可求解； 【詳解】解：如圖，延長AD交BC于點(diǎn)E， ?? ∵BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90° ∵BD=BD， ∴△ABD≌△EBDASA ∴AB=BE，S△ABD=S△EBD，AD=DE， ∵AB:BC=5:7，即BE:BC=5:7 ∴BE:EC=5:2 ∴S△EBD：S△ECD=5:2， ∵AD=DE，S△ADC=8， ∴S△ECD=S△ADC=8， ∴S△ABD=52S△ADC=20 故答案為：20． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義，三角形中線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 2．（2023春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D四邊形ABCD中，∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，AF=CE．求證：BE=DF． 【答案】證明見解析 【分析】根據(jù)等量代換可得AE=CF，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明． 【詳解】證明：∵AF=CE， AF+FE=CE+FE， ∴AE=CF， 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFDAE=CF∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDFASA， ∴BE=DF． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 3．（2023春·江西宜春·七年級江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點(diǎn)F，且∠CAD=45°．若BC=7，AD=5，求AF的長． 【答案】3 【分析】證明△ABD≌△CFDASA，得到BD=DF，利用BD=BC?CD，求出BD的長，再利用AF=AD?DF，計(jì)算即可． 【詳解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠ADC=∠CDF=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°， ∴∠BAD=∠FCD， ∵∠ADC=90°，∠CAD=45°， ∴∠ACD=45°， ∴AD=CD， 在△ABD和CFD中， ∠ADB=∠CDFAD=DC∠BAD=∠DCF， ∴△ABD≌△CFDASA． ∴BD=DF． ∵BC=7，AD=DC=5， ∴DF=BD=BC?CD=2， ∴AF=AD?DF=5?2=3． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明△ABD≌△CFD． 4．（2023春·廣東惠州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，∠ABC=∠E,∠D=∠A,BE=CF，求證：△ABC≌△DEF． ?? 【答案】見解析 【分析】根據(jù)已知條件證明EF=CB，進(jìn)而根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEF． 【詳解】證明：∵BE=CF， ∴BE+BF=BF+FC，即EF=CB， 在△ABC,△DEF中， ∠D=∠A∠ABC=∠EEF=CB ∴△ABC≌△DEFAAS． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 5．（2023春·云南文山·七年級統(tǒng)考期末）如圖．已知線段AB，分別過線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM、BN，使AM∥BN，點(diǎn)E為∠MAB平分線上的一點(diǎn)，且BE⊥AE，垂足為E，若∠BAE=60°，請解答下列問題： ?? (1)求∠EBN的度數(shù)； (2)過點(diǎn)E作直線CD，交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C．求證：DE=CE； (3)無論線段DC的兩個(gè)端點(diǎn)在AM、BN上如何移動(dòng)，只要線段DC經(jīng)過點(diǎn)E，那么AD+BC的值是否發(fā)生變化？請說明理由． 【答案】(1)30° (2)見解析 (3)AD+BC的值不會(huì)發(fā)生變化，都等于AB的長，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAM+∠ABN=180°,得出∠ABN=60°,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABE=30°,從而可得出結(jié)論； （2）延長AE交BN于點(diǎn)F，證明△AEB≌△FEB得到AB=FB，再根據(jù)ASA證明△AED≌△FEC即可得出DE=CE； （3）由（2）知△AED≌△FEC得AD=FC，從而可證明AD=FC,再證明FB=AB，從而可得出結(jié)論． 【詳解】（1）∵AE是∠BAM的平分線， ∴∠BAE=∠MAE=12∠MAB, ∵∠BAE=60°, ∴∠BAM=2∠BAE=120°, ∵AM∥BN, ∴∠BAM+∠ABN=180°, ∴∠ABN=180°?∠BAM=180°?120°=60°, ∵AE⊥BE, ∴∠AEB=90°, ∴∠BAE+∠ABE=90°, ∴∠ABE=90°?∠BAE=90°?60°=30°, ∴∠EBN=∠ABN?∠ABE=60°?30°=30°； （2）證明：如圖所示，延長AE交BN于點(diǎn)F， ?? ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=∠FEB=90°， ∵AE是∠BAM的平分線， ∴∠BAE=DAF， ∵AM∥BN， ∴∠BFA=∠DAF，∠ADE=∠FEC， ∴∠EAB=∠EFB， 又∵BE=BE， ∴△AEB≌△FEBAAS， ∴AE=FE, ∴△AED≌△FECASA， ∴DE=CE； （3）解：AD+BC的值不會(huì)發(fā)生變化，都等于AB的長，理由如下： 由（2）得△AED≌△FEC，△AEB≌△FEB ∴AD=FC,AB=BF， ∴AD+BC=FC+BC=BF=AB， ∴線段DC經(jīng)過點(diǎn)E，那么AD+BC的值不會(huì)發(fā)生變化，都等于AB的長 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵 6．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）【問題背景】 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分線BE和AD相交于點(diǎn) G． ?? 【問題探究】 (1)∠AGB的度數(shù)為 °； (2)過G作GF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn) F，交AC于點(diǎn) H，判斷AB與FB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (3)在（2）的條件下，若AD=10，F(xiàn)G=6，求GH的長． 【答案】(1)135 (2)AB=BF，理由見解析 (3)4 【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠BAC=90°，再由角平分線的定義得到∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，由此即可利用三角形內(nèi)角和定理求出答案； （2）利用三角形內(nèi)角和定理證明∠F=∠HAG，進(jìn)而證明∠F=∠BAG，由此可證明△ABG≌△FBG得到AB=BF； （3）由全等三角形的性質(zhì)得到AG=FG=6，則DG=AD?AG=4，再證明△AGH≌△FGD，即可得到GH=DG=4． 【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠BAC=180°?∠ACB=90°， ∵∠ABC和∠BAC的平分線BE和AD相交于點(diǎn) G， ∴∠GAB=12∠BAC，∠GBA=12∠ABC， ∴∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°， ∴∠AGB=180°?∠GAB?∠GBA=135°， 故答案為：135； （2）解：AB=BF，理由如下： ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=90°， ∵FG⊥AD， ∴∠AGH=∠FCH=90°， 又∵∠FHC=∠AHG， ∴∠F=∠HAG， ∵∠ABC和∠BAC的平分線BE和AD相交于點(diǎn) G， ∴∠CAD=∠BAD，∠ABG=∠CBG， ∴∠F=∠BAG， 又∵BG=BG， ∴△ABG≌△FBGAAS， ∴AB=BF； （3）解：∵△ABG≌△FBG， ∴AG=FG=6， ∴DG=AD?AG=4， 又∵∠AGH=∠FGD=90°，∠HAG=∠F， ∴△AGH≌△FGDASA， ∴GH=DG=4． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵． 【類型4 已知一邊一角對應(yīng)相等，尋找另一角對應(yīng)相等，用“AAS”或“ASA”】 1．（2023春·四川德陽·八年級校考階段練習(xí)）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②⑤ 【答案】D 【分析】①利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可判定； ②證明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再證明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可判定； ③利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可； ④可以證明S四邊形ABDE=2S△ABP，據(jù)此即可判定； ⑤由DH∥PE，利用等高模型即可判定． 【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， 又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAP=∠DAC，∠ABP=∠FBP， ∴∠BAD+∠ABE=12∠CAB+∠CBA=12×90°=45°， ∴∠APB=180°?∠BAD+∠ABE=135°，故①正確； ∴∠BPD=180°?∠APB=180°?135°=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPD=∠APF=90°， ∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°， ∴∠APB=∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ∠ABP=∠FBPBP=BP∠APB=∠FPB， ∴△ABP≌△FBPASA， ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF， ∴∠PAH=∠BAP=∠PFD， 在△APH和△FPD中， ∠APH=∠FPDAP=FP∠PAH=∠PFD， ∴△APH≌△FPDASA， ∴PH=PD， ∴AD=AP+PD=PF+PH，故②正確； ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH=S△EPD， ∴S△EPH+S△APE=S△EPD+S△APE，即S△APH=S△AED，故⑤正確； ∵S四邊形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD =S△ABP+S△AEP+S△EPH+S△PBD =S△ABP+S△APH+S△PBD =S△ABP+S△FPD+S△PBD =S△ABP+S△FBP =2S△ABP，故④不正確； 若DH平分∠CDE，則∠CDH=∠EDH， ∵DH∥BE， ∴∠CDH=∠CBE=∠ABE， ∴∠CDE=∠ABC， ∴DE∥AB， 這個(gè)顯然與已知條件不符，故③不正確， 綜上所述，正確的結(jié)論有①②⑤， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題． 2．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習(xí)）如圖，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面積． ???? 【答案】8 【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，通過證明△DAE≌△ACB求得三角形高，從而求面積． 【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E， ???? ∵∠ABC=∠CAD=90°， ∴∠DEA=∠ABC，∠DAE+∠ADE=∠DAE+∠BAC=90°， ∴∠ADE=∠BAC， 又∵AC=AD， ∴△DAE≌△ACB， ∴DE=AB=4， ∴S△BAD=12AB?DE=12×4×4=8，即△BAD的面積為8． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵． 3．（2023春·江西鷹潭·七年級?？茧A段練習(xí)）將兩個(gè)三角形紙板△ABC和△DBE按如圖所示的方式擺放，連接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC． ?? (1)試說明△ABC≌△DBE． (2)若∠ACD=72°，求∠BED的度數(shù)． 【答案】(1)見解析 (2)∠BED=36° 【分析】（1）利用AAS證明三角形全等即可； （2）全等三角形的性質(zhì)，得到∠BED=∠BCA，證明△DBC≌△ABCSSS，得到∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，即可得解． 【詳解】（1）解：因?yàn)椤螪BA=∠CBE， 所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE， 即∠DBE=∠ABC． 在△ABC和△DBE中， ∠ABC=∠DBE∠BAC=∠BDEAC=DE， 所以△ABC≌△DBEAAS． （2）因?yàn)椤鰽BC≌△DBE， 所以BD=BA，∠BCA=∠BED． 在△DBC和△ABC中， DC=ACCB=CBBD=BA， 所以△DBC≌△ABCSSS， 所以∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°， 所以∠BED=∠BCA=36°． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明三角形全等． 4．（2023春·陜西西安·七年級西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)F，且AD=CD． ?? (1)求證：△ABD?△CFD； (2)若BC=9，AD=7，求AF的長． 【答案】(1)見解析 (2)AF=5 【分析】（1）先證明∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，則∠BAD=∠FCD=90°?∠B，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△ABD?△CFD； （2）先由BC=9，AD=CD=7求得BD=2，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明BD=FD=2，則AF=AD?FD=5． 【詳解】（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°． ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°． ∴∠BAD=∠FCD． 在△ABD和△CFD中， ∠ADB=∠CDF,AD=DC,∠BAD=∠FCD, ∴△ABD≌△CFDASA． （2）∵△ABD≌△CFD， ∴BD=DF． ∵BC=9，AD=DC=7， ∴BD=BC?CD=2． ∴DF=2． ∴AF=AD?DF=7?2=5． 【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且通過推理證明三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵． 5．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E． ?? (1)求證：△ACD≌△CBE； (2)若AD=12，DE=7，求BE的長． 【答案】(1)見解析 (2)5 【分析】（1）根據(jù)垂直定義求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根據(jù)等式性質(zhì)求出∠ACD=∠CBE，根據(jù)AAS證明△BCE≌△CAD； （2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD=CE，CD=BE，再根據(jù)AD=12，DE=7，即可解答． 【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°,BE⊥CE， ∴∠ECB+∠ACD=90°,∠ECB+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， ∵AD⊥CE,BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE； （2）解：∵△ACD≌△CBE， ∴AD=CE,CD=BE， ∵AD=12,DE=7， ∴BE=CD=CE?DE=12?7=5． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明△ADC和△CEB全等的三個(gè)條件． 6．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，F(xiàn)C=2，BE=4，求BC的長度. （2）如圖2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的數(shù)量關(guān)系，并證明. （3）如圖3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，則DC=______. 【答案】（1）6；（2）BC=BE?CF，證明見解析；（3）5 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=∠EDF，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BED=∠FDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=FC=2，BE=CD=4，最后由BC=BD+CD即可解答； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=∠EDF，求得∠ABD=∠DCF，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答； （3）在△ABC內(nèi)部作∠CEF=∠C交BC于F，于是得到∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，求得∠DFE=∠B=∠ADE=45°，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=EF=CF=2，最后根據(jù)DC=DF+CF即可解答． 【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠B=∠EDF， ∴∠B=∠C=∠EDF， ∵∠B+∠BED+∠BDE=∠FDC+∠EDF+∠BDE， ∴∠BED=∠FDC， 在△BED和△FDC中， ∠B=∠C∠BED=∠CDFDE=DF ∴△BED?△FDC（AAS）， ∴BD=FC=2，BE=CD=4， ∴BC=BD+CD=6； （2）BC=BE?CF，證明如下： ∵AB=AC，∠ABC=∠EDF， ∴∠ABC=∠ACB=∠EDF， ∴∠ABD=∠DCF，∠BED+∠BDE=∠BDE+∠CDF， ∴∠BED=∠CDF， ∴△BED?△CDF（AAS）， ∴BD=CF，BE=CD， ∴BC=CD?BD=BE?CF； （3）如圖：在△ABC內(nèi)部作∠CEF=∠C交BC于F， ∴∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF， ∵∠B=∠ADE=45°， ∴∠DFE=∠B=∠ADE=45°， ∵∠BAD+∠B+∠ADB=∠FDE+∠ADE+ADB=180°， ∴∠BAD=∠FDE， ∴△BAD≌△FDE（AAS）， ∴BD=EF=CF=2，AB=DF=3， ∴DC=DF+CF=5． 【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 【類型5 已知一邊一角對應(yīng)相等，尋找夾該角的另一邊對應(yīng)相等，用“SAS”】 1．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE=4，BC=3，DE=2，∠ABC=∠AED=90°，∠DAC=12∠BAE，則五邊形ABCDE的面積等于（????） ?? A．16 B．20 C．24 D．26 【答案】B 【分析】延長DE至F，使EF=BC，連接AF，通過證明△AEF≌△ABC可得∠FAE=∠CAB，AF=AC，由∠DAC=12∠BAE可得∠DAF=∠DAC，從而可證明△ADF≌△ADCSAS，得到S△ADC=S△AFD=S△ADE+S△ACB，最后由S五邊形ABCDE=S△ADE+S△ACD+S△ABC，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案． 【詳解】解：如圖，延長DE至F，使EF=BC，連接AF， 則∠AEF=90°， 在△AEF和△ABC中， EF=BC∠AEF=∠ABCAE=AB， ∴△AEF≌△ABCSAS， ∴∠FAE=∠CAB，AF=AC， ∵ ∠DAC=12∠BAE，∠BAE=∠EAD+∠DAC+∠BAC， ∴∠DAC=∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠EAF=∠DAF， 在△ADF和△ADC中， AD=AD∠DAF=∠DACAF=AC， ∴△ADF≌△ADCSAS， ∴S△ADC=S△AFD=S△ADE+S△ACB， ∵S△ADE=12DE?AE=12×2×4=4，S△ABC=12BC?AB=12×3×4=6， ∴S△ADC=4+6=10， ∴S五邊形ABCDE=S△ADE+S△ACD+S△ABC=4+10+6=20， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵． 2．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接CE，將長方形ABCD沿著直線CE折疊，點(diǎn)D恰好落在AB的中點(diǎn)F上，點(diǎn)G為CF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，則PF+PG的最小值是(????) ?? A．a(chǎn)+c?b B．b+2c C．a(chǎn)+b+2c D．a(chǎn)+b 【答案】D 【分析】取CD的中點(diǎn)H，連接PH、FH，可得PF+PG=PH+PF≥FH=a+b,所以當(dāng)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PG的值最?。?【詳解】解：取CD的中點(diǎn)H，連接PH、FH， ?? ∵四邊形ABCD是長方形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)， ∴四邊形ADHF是長方形， ∴FH=AD=AE+DE=a+b； 由折疊可知：CD=CF， ∵G是CF的中點(diǎn)，H是CE的中點(diǎn)， ∴CG=CH， 在△GCP和△HCP中， CG=CH∠GCP=∠HCPCP=CP， ∴△GCP≌△HCP(SAS)， ∴PG=PH， ∴PF+PG=PH+PF≥FH=a+b, ∴當(dāng)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PG的值最小，最小值為：a+b. 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，利用兩邊之和大于第三邊解決問題． 3．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB與CF交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為CF上一點(diǎn)，連接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2． ?? (1)請?zhí)砑右粋€(gè)條件________使△ADF≌△BCE，并說明理由． (2)在（1）的條件下請?zhí)骄緼E與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【答案】(1)DF=CE，理由見解析； (2)AE=BE，理由見解析． 【分析】（1）利用SAS判定定理，添加DF=CE即可判斷； （2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，再結(jié)合等角對等邊即可判斷． 【詳解】（1）解：添加條件：DF=CE，理由如下： ∵AD=BC，∠1=∠2，DF=CE， ∴△ADF≌△BCESAS； （2）解：AE=BE，理由如下： ∵△ADF≌△BCE， ∴∠F=∠CEB，AF=BE ∵∠CEB=∠AEF， ∴∠F=∠AEF， ∴AE=AF， ∴AE=BE． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等角對等邊，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）已知：在△ABC中，AB=CD?BD，AD⊥BC，求證：∠B=2∠C． ?? 【答案】見解析 【分析】方法一：在DC上取一點(diǎn)E，使BD=DE，如圖1，易證△ABD≌△AED，可得AB=AE，∠B=∠AED，進(jìn)而可知AE=AB=CD?BD=CD?DE=EC，可得∠C=∠EAC，再利用三角形的外角即可證明結(jié)論； 方法二：延長DB到點(diǎn)E，使BE=AB，如圖2，可得∠E=∠EAB，由AB=CD?BD，可得CD=AB+BD=BE+BD=ED，即可知ED=CD，易證△AED≌△ACD，可得∠E=∠C．再利用三角形的外角即可證明結(jié)論． 【詳解】方法一：在DC上取一點(diǎn)E，使BD=DE，如圖1， 在△ABD和△AED中，AD⊥BC，則∠ADB=∠ADE=90°， ∵BD=ED，AD=AD． ∴△ABD≌△AED． ∴AB=AE，∠B=∠AED． 又∵AE=AB=CD?BD=CD?DE=EC， ∴∠C=∠EAC， ∴∠C+∠EAC=∠AED=2∠C ∴∠B=2∠C． ???? 方法二：延長DB到點(diǎn)E，使BE=AB，如圖2， ∴∠E=∠EAB． ∵AB=CD?BD， ∴CD=AB+BD=BE+BD=ED 即：ED=CD． 在△AED和△ACD中，AD⊥BC，∠ADC=∠ADE=90°， ∵ED=CD，AD=AD． ∴△AED≌△ACD． ∴∠E=∠C． ∵∠ABD=2∠E ∴∠B=2∠C． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵． 5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線． ?? (1)按要求作圖：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD；連接BE． (2)求證：△ACD≌△EBD． (3)求證：AB+AC>2AD． (4)若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3)見解析 (4)1

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