專題15.5 角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】 【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc17141" 【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長度】  PAGEREF _Toc17141 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc22379" 【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】  PAGEREF _Toc22379 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc19085" 【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】  PAGEREF _Toc19085 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc32587" 【題型4 角平分線的判定】  PAGEREF _Toc32587 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc6038" 【題型5 尺規(guī)作角平分線】  PAGEREF _Toc6038 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc18514" 【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc18514 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc12720" 【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】  PAGEREF _Toc12720 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc2449" 【題型8 角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc2449 \h 10  【知識(shí)點(diǎn)1 角平分線的性質(zhì)】 角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等. 用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理： 若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF. 【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長度】 【例1】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，則AE的長為（???） ?? A．13 B．12 C．11 D．10 【變式1-1】（2023春·貴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，射線AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，作EF⊥AB于點(diǎn)F，并延長FE交CD于點(diǎn)G，連接CE．若∠AEC=90°，EH=1則FG的長為 ． ?? 【變式1-2】（2023春·福建漳州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，則△BDE的周長是 cm． ?? 【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD=5，則CE的值為 ． 【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】 【例2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，則△ABC的面積是（　?。??? A．6 B．9 C．18 D．36 【變式2-1】（2023春·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=10，DE=3，則△BCE的面積等于（????） A．9 B．13 C．15 D．30 【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC，若S△CDE:S△ABE=2:3，則S△ADE∶S△DCE= ． ?? 【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為 ． 【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】 【例3】（2023春·四川綿陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P． (1)直接寫出∠DPE=___________°； ?? (2)求證：PD=PE； (3)探究AB、AD、BE的數(shù)量關(guān)系． 【變式3-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論． 【變式3-2】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過O作OF⊥BC于F， ?? (1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【知識(shí)點(diǎn)2 角平分線的判定】 角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上. 用符號(hào)語言表示角的平分線的判定： 若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB 【題型4 角平分線的判定】 【例4】（2023春·廣東江門·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)校考期中）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OABC，直線l垂直平分AC；作∠ABC的平分線交直線l于點(diǎn)D，連接AD，CD； (1)尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形； (2)判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】 【例6】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=50°． ?? (1)求∠ACE的度數(shù)； (2)求證：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面積． 【變式6-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，連接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如圖1，求證：DF＝CF； （2）如圖2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，連接BE交CD于H，求證：∠ABE＝∠CBE； （3）如圖3，在（2）的條件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的長． 【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角． (1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角． ①直接寫出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系___________； ②連接AE，猜想∠BAE與∠CAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． (2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若已知DE=DC=AD，求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角． 【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點(diǎn)G． ?????? (1)如圖1，求∠BGC的度數(shù)； (2)如圖2，求證：EG=FG； (3)如圖3，過點(diǎn)C作CD⊥EC交BF延長線于點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)N在BA延長線上，連接NG交AC于點(diǎn)M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長． 【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】 【例7】（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，BF是中線，AE與BF相交于O，∠C>∠ABC以下結(jié)論正確的有（????） ?? ①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF=S△CBF； ③∠EAD=12∠C?∠ABC；④S△ABE:S△ACE=AB:AC； A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【變式7-1】（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正確的有（????） ???? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分別是△ABC的中線、角平分線和高線，BE交CF于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，下面說法中一定正確的是（????） △ACD的面積等于△ABD的面積；????②∠CEG=∠CGE； ③∠ACF=2∠ABE；????????④AH=BH． ?? A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列結(jié)論：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，則AG=9；④ S△ACD:S△ABD=AB:AC；其中正確的是（??） ?? A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【題型8 角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩條公路AO，BO交于點(diǎn)O，村莊M，N的位置如圖所示，M在公路OA上，現(xiàn)要修建一個(gè)快遞站P，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． ?? 【變式8-1】（2023春·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC=1000m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著BC行走了800m到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為 m． ?? 【變式8-2】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭P供大家休息，且涼亭P到草坪三邊的距離相等，利用直尺和圓規(guī)，確定涼亭P的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法） 【變式8-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩條公路AB，CD形成S區(qū)域，S區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)農(nóng)貿(mào)市場E，F(xiàn)，現(xiàn)想在S區(qū)域內(nèi)建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站M，使M不僅到兩條公路距離相等，且到兩個(gè)農(nóng)貿(mào)市場距離也相等，請(qǐng)?jiān)趫D中求作點(diǎn)M的位置．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡） 專題15.5 角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】 【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc17141" 【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長度】  PAGEREF _Toc17141 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc22379" 【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】  PAGEREF _Toc22379 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc19085" 【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】  PAGEREF _Toc19085 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc32587" 【題型4 角平分線的判定】  PAGEREF _Toc32587 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc6038" 【題型5 尺規(guī)作角平分線】  PAGEREF _Toc6038 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc18514" 【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc18514 \h 28  HYPERLINK \l "_Toc12720" 【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】  PAGEREF _Toc12720 \h 40  HYPERLINK \l "_Toc2449" 【題型8 角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc2449 \h 46  【知識(shí)點(diǎn)1 角平分線的性質(zhì)】 角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等. 用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理： 若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF. 【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長度】 【例1】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，則AE的長為（???） ?? A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F，由HL可證明Rt△DFC≌Rt△BEC和Rt△AFC≌Rt△AEC，從而得到BE=DF和AF=AE，利用AB+AD=AE+BE+AF?DF=2AE即可得到答案． 【詳解】解：過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F， ?? ∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F， ∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°， 在Rt△DFC和Rt△BEC中， CE=CFCD=CB， ∴Rt△DFC≌Rt△BECHL， ∴BE=DF， 在Rt△AFC和Rt△AEC中， CE=CFAC=AC， ∴Rt△AFC≌Rt△AECHL， ∴AF=AE， ∵AB=17，AD=9， ∴AB+AD=AE+BE+AF?DF=2AE=17+9=26， ∴AE=13． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答． 【變式1-1】（2023春·貴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，射線AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，作EF⊥AB于點(diǎn)F，并延長FE交CD于點(diǎn)G，連接CE．若∠AEC=90°，EH=1則FG的長為 ． ?? 【答案】2 【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC+∠ACD=180°，再根據(jù)角平分線的定義和“等角的余角相等”可得∠ACE=∠ECD，再由AB∥CD,GF⊥AB，可得GF⊥CD，由角平分線的性質(zhì)可得EF=EH,EG=EH，即可求出FG的長． 【詳解】∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， 即∠BAE+∠CAE+∠ACE+∠ECD=180°． ∵∠AEC=90°，???? ∴∠CAE+∠ACE=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∴∠ACE=∠ECD， ∴CE平分∠ACD． ∵AB∥CD,GF⊥AB， ∴GF⊥CD． ∵EH⊥AC， ∴EF=EH=1,EG=EH=1， ∴FG=EF+EG=2． 故答案為：2 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，“等角對(duì)等邊”．熟練掌握以上知識(shí)，且證明CE平分∠ACD是解題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023春·福建漳州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，則△BDE的周長是 cm． ?? 【答案】12 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD，再證Rt△DAC ≌ Rt△DECHL，推出CE=AC，進(jìn)而解答即可． 【詳解】解：∵∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E， ∴DE=AD， 在Rt△DAC和Rt△DEC中， DE=DADC=DC， ∴Rt△DAC ≌ Rt△DECHL， ∴AC=EC， ∴△BDE的周長=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BC?CE=AB+BC?AC=8+10?6=12cm， 故答案為：12． 【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD． 【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD=5，則CE的值為 ． 【答案】52 【分析】延長BA、CE相交于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)可得∠ABD=∠CBD，利用ASA證明△BCE≌△BFE，得到CE=EF，根據(jù)同角的余角相等得到∠ABD=∠ACF，通過ASA證明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，從而即可得到答案． 【詳解】解：如圖，延長BA、CE相交于點(diǎn)F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵CE⊥BD， ∴∠BEF=∠BEC=90°， 在△BCE和△BFE中， ∠ABD=∠CBDBE=BE∠BEF=∠BEC=90°， ∴△BCE≌△BFEASA， ∴CE=EF， ∵∠BAC=90°，CE⊥BD， ∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°， ∴∠ABD=∠ACF， ∵∠BAC=90°，∠BAC+∠CAF=180°， ∴∠BAC=∠CAF=90°， 在△ABD和△ACF中， ∠ABD=∠ACFAB=AC∠BAC=∠CAF=90°， ∴△ABD≌△ACFASA， ∴BD=CF， ∵CF=CE+EF=2CE， ∴BD=2CE=5， ∴CE=52， 故答案為：52． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵． 【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】 【例2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，則△ABC的面積是（　?。??? A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】C 【分析】由角平分線的性質(zhì)得到OM=OD=ON，由△ABC的面積=△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，得到△ABC的面積=12AB+BC+AC?OD，由△ABC的周長=18，OD=2，即可求出△ABC的面積=12×18×2=18． 【詳解】解：過O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB， ∴OM=OD，ON=OD， ∵△ABC的面積=△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積， ∴△ABC的面積=12AB?OM+12BC?OD+12AC?ON=12AB+BC+AC?OD， ∵△ABC的周長=18，OD=2， ∴△ABC的面積=12×18×2=18． 故選：C． ?? 【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式得到△ABC的面積=12AB+BC+AC?OD． 【變式2-1】（2023春·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=10，DE=3，則△BCE的面積等于（????） A．9 B．13 C．15 D．30 【答案】C 【分析】過E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF=DE=3，根據(jù)三角形面積公式求出即可． 【詳解】解：過E作EF⊥BC于F， ∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC， ∴EF=DE=3， ∵BC=10， ∴△BCE的面積為12×BC×EF=15． 故選C． 【點(diǎn)睛】考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=EF是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等． 【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC，若S△CDE:S△ABE=2:3，則S△ADE∶S△DCE= ． ?? 【答案】5:2 【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BE=EF，然后證明Rt△ABE≌Rt△AFEHL，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ABE=S△AFE，同理可得：S△EFD=S△ECD，設(shè)S△CDE=2k，S△ABE=3k，表示出S△ADE=5k，然后求解即可． 【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于F， ???? ∵∠B=90°， ∴EB⊥AB， ∵AE平分∠BAD， ∴BE=EF， 在Rt△ABE和Rt△AFE中， AE=AEBE=EF， ∴Rt△ABE≌Rt△AFEHL， ∴S△ABE=S△AFE， 同理：S△EFD=S△ECD， 設(shè)S△CDE=2k，S△ABE=3k， ∴S△ADE=S△AFE+S△EFD=S△ABE+S△CDE=3k+2k=5k， ∴S△ADE:S△DCE=5k:2k=5:2， 故答案為：5:2． 【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為 ． 【答案】41 【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH，再利用“HL”證明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，然后根據(jù)全等三角形的面積相等列方程求解即可． 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，如圖， ∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF=DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中， AD=ADDF=DH， ∴Rt△ADF≌Rt△ADHHL， ∴SRt△ADF=SRt△ADH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， DE=DGDF=DH， ∴Rt△DEF≌Rt△DGHHL， ∴SRt△DEF=SRt△DGH， ∵△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，SRt△ADE+SRt△DEF=S△ADG?SRt△DGH， ∴SRt△ADE+4.5=50?4.5 ∴SRt△ADE=41． 故答案為：41． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】 【例3】（2023春·四川綿陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P． (1)直接寫出∠DPE=___________°； ?? (2)求證：PD=PE； (3)探究AB、AD、BE的數(shù)量關(guān)系． 【答案】(1)120 (2)見解析 (3)AB=AD+BE 【分析】（1）根據(jù)角平分線平分線以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠APB的度數(shù)，對(duì)頂角相等，即可得到∠DPE的度數(shù)； （2）過點(diǎn)P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC，證明△PGD≌△PHE，即可得證； （3）在AB上截取BM=BE，證明△BPM≌△BPE，△APM≌△APD即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：∵∠C=60°， ∴∠ABC+∠CAB=180°?∠C=120°， ∵AE,BD是△ABC的角平分線， ∴∠PAB=12∠CAB,∠PBA=12∠CBA， ∴∠PAB+∠PBA=12∠CAB+12∠CBA=60°， ∴∠APB=180°?∠PAB+∠PBA=120°， ∴∠DPE=∠APB=120°； 故答案為：120； （2）證明：過點(diǎn)P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC， ?? 則：∠PGD=∠PGC=∠PHE=90°， ∵AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P， ∴PG=PF=PH， ∵∠C+∠PGC+∠PHC+∠GPH=180°， ∴∠GPH=120°， ∵∠DPE=120°， ∴∠DPG=∠EPH， ∴△PGD≌△PHE， ∴PD=PE； （3）解：在AB上截取BM=BE， ?? ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBM=∠PBE， ∵BP=BP， ∴△BPM≌△BPE， ∴∠BPM=∠BPE=180°?∠APB=60°， ∴∠APM=∠APB?∠BPM=60°， ∵∠APD=180°?∠APB=60°， ∴∠APD=∠APM， ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP=∠MAP， 又AP=AP， ∴△APM≌△APD， ∴AM=AD， ∴AB=AM+BM=AD+AE． 【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，證明三角形全等． 【變式3-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論． 【答案】相等，證明見解析 【分析】連接EB、EC，利用角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得EF=EG、EB=EC，然后借助“HL”證明Rt△EFB≌Rt△EGC，由全等三角形的性質(zhì)可證明BF=CG． 【詳解】BF與CG的大小關(guān)系為相等． 證明如下：連接EB、EC，如下圖， ∵AE是∠BAC的平分線，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G， ∴EF=EG， ∵ED⊥BC于D，D是BC的中點(diǎn)， ∴EB=EC， ∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)， ∴BF=CG． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及垂直平分線段的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 【變式3-2】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過O作OF⊥BC于F， ?? (1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【答案】(1)∠AOB+∠COF=180°，證明見詳解 (2)OE=OD，證明見詳解 【分析】（1）過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON=OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB=90°+12∠ACB，∠COF=90°?∠OCF，即可求出答案． （2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠OFD，根據(jù)AAS證出△MOE≌△FOD即可． 【詳解】（1）∠AOB+∠COF=180°， 證明：過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N， ?? ∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC， ∴OM=ON，ON=OF， ∴OM=OF， ∴O在∠ACB的角平分線上， ∴∠OCF=12∠ACB， ∵OF⊥BC， ∴∠CFO=90°， ∴∠COF+∠OCF=90°， ∴∠COF=90°?∠OCF，① ∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA， ∴∠AOB=180°?∠OAB+∠OBA =180°?12∠CAB+∠CBA =180°?12180°?∠ACB =90°+12∠ACB =90°+∠OCF，② 由①②得：∠AOB+∠COF=90°+∠OCF+90°?∠OCF=180°； （2）OE=OD， 證明：∵∠ACB=60°， ∴由（1）知：∠AOB=90°+12∠ACB=90°+30°=120°， ∴∠EOD=∠AOB=120°， ∵OM⊥AC，OF⊥BC， ∴∠OME=∠OFD=90°，∠CMO=∠CFO=90°， ∴∠MOF=360°?90°?90°?60°=120°， ∴∠MOE=∠DOF=120°?∠MOD， 在△EOM和△DOF中 ∠OME=∠OFD∠MOE=∠DOFOM=OF ∴△EOM≌△DOFAAS， ∴OE=OD． 【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 【變式3-3】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連OC，過O作OF⊥BC于F． (1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【答案】(1)∠AOB+∠COF=180°，見解析 (2)OE=OD，見解析 【分析】（1）過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON=OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB=90°+12∠ACB，∠COF=90°?∠OCF，即可求出答案． （2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠OFD，根據(jù)AAS證出△MOE≌△FOD即可． 【詳解】（1）∠AOB+∠COF=180°， 證明：過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N， ∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC， ∴OM=ON，ON=OF， ∴OM=OF， ∴O在∠ACB的角平分線上， ∴∠OCF=12∠ACB， ∵OF⊥BC， ∴∠CFO=90°， ∴∠COF+∠OCF=90°， ∴∠COF=90°?∠OCF，① ∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA， ∴∠AOB=180°?∠OAB+∠OBA =180°?12∠CAB+∠CBA =180°?12180°?∠ACB =90°+12∠ACB =90°+∠OCF，② 由①②得：∠AOB+∠COF=90°+∠OCF+90°?∠OCF=180°； （2）OE=OD， 證明：∵∠ACB=60°， ∴由（1）知：∠AOB=90°+12∠ACB=90°+30°=120°， ∴∠EOD=∠AOB=120°， ∵OM⊥AC，OF⊥BC， ∴∠OME=∠OFD=90°，∠CMO=∠CFO=90°， ∴∠MOF=360°?90°?90°?60°=120°， ∴∠MOE=∠DOF=120°?∠MOD， 在△EOM和△DOF中 ∠OME=∠OFD∠MOE=∠DOFOM=OF ∴△EOM≌△DOFAAS， ∴OE=OD． 【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 【知識(shí)點(diǎn)2 角平分線的判定】 角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上. 用符號(hào)語言表示角的平分線的判定： 若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB 【題型4 角平分線的判定】 【例4】（2023春·廣東江門·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OABC，直線l垂直平分AC；作∠ABC的平分線交直線l于點(diǎn)D，連接AD，CD； (1)尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形； (2)判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【答案】(1)見解析 (2)∠BAD+∠BCD=180°；證明見解析 【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可； （2）DM⊥AB交AB于點(diǎn)M；作DN⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)N；構(gòu)造Rt△DMA≌Rt△DNC(HL)可得∠BAD=∠DCN；進(jìn)而得出結(jié)論； 【詳解】（1）解：作圖如下： （2）解：∠BAD+∠BCD=180° ；理由如下： 如圖，作DM⊥AB交AB于點(diǎn)M；作DN⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)N； ∵l 垂直平分AC ∴DA=DC ∵BD平分∠ABC ∴DM=DN 在Rt△DMA 和Rt△DNC中 DA=DCDM=DN ∴Rt△DMA≌Rt△DNC(HL) ∴∠BAD=∠DCN ∵∠DCN+∠BCD=180° ∴∠BAD+∠BCD=180° 【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線、中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)；運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】 【例6】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=50°． ?? (1)求∠ACE的度數(shù)； (2)求證：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面積． 【答案】(1)40° (2)見解析 (3)15 【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和垂直的定義可得∠ACD=80°、∠CHE=90°，進(jìn)而得到∠ECH=40°,然后根據(jù)∠ACE=∠ACD?∠ECH即可解答； （2）如圖：過E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的定義可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答； （3）根據(jù)S△ACD=S△ACE+S△CED結(jié)合已知條件可得EM=3，最后運(yùn)用三角形的面積公式即可解答． 【詳解】（1）解：∵∠ACB=100°， ∴∠ACD=180°?100°=80°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE=90°， ∵∠CEH=50°， ∴∠ECH=90°?50°=40°， ∴∠ACE=∠ACD?∠ECH=80°?40°=40°． （2）證明：如圖：過E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N， ?? ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE=∠ECH=40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN=EH， ∴EM=EN， ∴AE平分∠CAF． （3）解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH， ∴S△ACD=S△ACE+S△CED=12AC?EN+12CD?EH=12(AC+CD)?EM=21， 即12×14?EM=21，解得EM=3， ∵AB=10， ∴S△ABE=12AB?EM=15． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與判定定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵． 【變式6-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，連接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如圖1，求證：DF＝CF； （2）如圖2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，連接BE交CD于H，求證：∠ABE＝∠CBE； （3）如圖3，在（2）的條件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的長． 【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）1 【分析】（1）證明Rt△EFD?Rt△EFC(HL)，可得結(jié)論． （2）證明ΔEMD?ΔEGC(AAS)，推出EM=EG，再利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題即可． （3）如圖3中，過點(diǎn)B作BN⊥CD于N，過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，過點(diǎn)H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P．利用面積法證明DH:CH=2:3，求出CH，CF，可得結(jié)論． 【詳解】（1）證明：如圖1中，∵EF⊥CD， ∴∠EFD=∠EFC=90°， 在RtΔEFD和RtΔEFC中， ED=ECEF=EF， ∴Rt△EFD?Rt△EFC(HL)， ∴DF=CF． （2）證明：如圖2中，過點(diǎn)E作EM⊥AB于M． ∵EG⊥BC， ∴∠EMD=∠EGC=90°， ∵∠AED+∠DEC=180°，∠AED=∠ABC， ∴∠ABC+∠DEC=180°， ∵∠ABC+∠BCE+∠DEC+∠BDE=360°， ∴∠BCE+∠BDE=180°， ∵∠ADE+∠BDE=180°， ∴∠ADE=∠BCE， 在ΔEMD和ΔEGC中， ∠EMD=∠EGC=90°∠ADE=∠BCEED=EC， ∴ΔEMD?ΔEGC(AAS)， ∴EM=EG， ∵EM⊥AB，EG⊥BC， ∴BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE． （3）解：如圖3中，過點(diǎn)B作BN⊥CD于N，過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，過點(diǎn)H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P． ∵ΔEMD?ΔEGC， ∴DM=GC，EM=EG， 在Rt△BEM和Rt△BEG中， BE=BEEM=EG， ∴Rt△BEM?Rt△BEG(HL)， ∴BM=BG， ∵BC=6CG， ∴BD=BM?DM=BG?CG=BC?2CG=4CG， ∵BH平分∠ABC，HP⊥AB，HQ⊥BC， ∴HP=HQ， ∴SΔDBH:SΔCBH=12?BD?HP:12?BC?HQ=4:6=2:3， ∵SΔDBH:SΔCBH=12?DH?BN:12?CH?BN， ∴DH:CH=2:3， ∵DH=4， ∴CH=6， ∴CD=DH+CH=4+6=10， ∴CF=12CD=5， ∴HF=CH?CF=6?5=1． 【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型． 【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角． (1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角． ①直接寫出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系___________； ②連接AE，猜想∠BAE與∠CAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． (2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若已知DE=DC=AD，求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角． 【答案】(1)①∠E=12∠A；②∠CAE+∠BAE=180°，理由見解析 (2)見解析 【分析】（1）①運(yùn)用角平分線的定義，以及三角形外角的性質(zhì)，推導(dǎo)得到∠DCE=∠ABE+12∠A，∠DCE=∠ABE+∠E，即、可得出∠E=12∠A；②過點(diǎn)E作EM⊥BA交BA延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EH⊥BD交BD延長線于點(diǎn)H，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定定理可證∠MAE=∠CAE，由∠MAE+∠BAE=180°，可得∠CAE+∠BAE=180°； （2）過D作DM⊥BA交BA于點(diǎn)M，過D作DN⊥BC交BC延長線于點(diǎn)N，先證四邊形DMBN是矩形，再證△AMD≌△CND，最后證得CE平分∠ACN，BD平分∠ABC即可． 【詳解】（1）解：①∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC=12∠ABC， ∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠ABE+∠A． ∵CE平分∠ACD，即∠ACE=∠ECD=12∠ACD， ∴∠DCE=∠ABE+12∠A． 又∵∠DCE=∠ABE+∠E， ∴∠E=12∠A． ②猜想：∠CAE+∠BAE=180°，理由如下： 如圖2，過點(diǎn)E作EM⊥BA交BA延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EH⊥BD交BD延長線于點(diǎn)H， ∵CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD， ∴EN=EH， 同理，EM=EH， ∴EM=EN， ∵EM⊥AB，EN⊥AC， ∴AE平分∠MAC，即∠MAE=∠CAE， ∵∠MAE+∠BAE=180°， ∴∠CAE+∠BAE=180°． （2）證明：如圖3，過D作DM⊥BA交BA于點(diǎn)M，過D作DN⊥BC交BC延長線于點(diǎn)N， ∵DM⊥BA，DN⊥BC，∠ABC=90°， ∴∠DMB=90°，∠DNB=90°，∠ABC=90°， ∴四邊形DMBN是矩形， ∴∠MDN=90°， 即∠MDC+∠CDN=90°， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADM+∠MDC=90°， ∴∠ADM=∠CDN， ∵DM⊥BA，DN⊥BC， ∴∠AMD=∠DNC=90°， 在△AMD與△DNC中， ∵∠AMD=∠DNC∠ADM=∠CDNAD=DC， ∴△AMD≌△CNDAAS， ∴DM=DN， ∵DM⊥BA，DN⊥BC， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=45°，即BD平分∠ABC， ∴∠ECN=∠DBC+∠E=45°+∠E， ∵∠ADC=90°，AD=DC， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴∠ACE=45°+∠DCE， ∵DE=DC， ∴∠E=∠DCE， ∴∠ACE=∠ECN， ∴CE平分∠ACN， ∵BD平分∠ABC， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角． 【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)及判定，熟練掌握角平分線判定定理及相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點(diǎn)G． ?????? (1)如圖1，求∠BGC的度數(shù)； (2)如圖2，求證：EG=FG； (3)如圖3，過點(diǎn)C作CD⊥EC交BF延長線于點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)N在BA延長線上，連接NG交AC于點(diǎn)M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長． 【答案】(1)120° (2)見解析 (3)5 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根據(jù)BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，得出∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，求出∠GBC+∠GCB=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，即可求出結(jié)果； （2）作GH平分∠BGC交BC于點(diǎn)H，證明△BGE≌△BGH，得出EG=GH，證明△CGF≌△CGH，得出FG=GH，即可證明結(jié)論； （3）作DP⊥BC交BC延長線于點(diǎn)P，作DQ⊥AB交BA延長線于點(diǎn)Q，作DR⊥AC于點(diǎn)R，證明CD平分∠ACP，根據(jù)DR⊥AC，DP⊥BC，得出DR=DP，根據(jù)BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，得出DP=DQ，證明DR=DQ，證明△NEG≌△CFG，得出NG=CG=10，證明△BEG≌△MFG，得出BE=MF，作FL⊥NG于點(diǎn)L，F(xiàn)K⊥CG于點(diǎn)K，GW⊥MC于點(diǎn)W，根據(jù)S△MGF=12MG?FL=12MF?GW，S△CGF=12GC?FK=12FC?GW，得出MGGC=MFFC=12，求出MG=5即可得出答案． 【詳解】（1）解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∵∠BAC=60° ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∵BF平分∠ABC、CE平分∠ACB， ∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB=60°， 在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°， ∴∠BGC=120°． （2）解：作GH平分∠BGC交BC于點(diǎn)H，如圖所示： ?? ∴∠BGH=∠CGH=60°， ∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°， ∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF， ∵∠GBC=∠GBE，BG=BG ∴△BGE≌△BGH， ∴EG=GH， ∵∠GCH=∠GCF，CG=CG， ∴△CGF≌△CGH， ∴FG=GH， ∴EG=FG； （3）解：作DP⊥BC交BC延長線于點(diǎn)P，作DQ⊥AB交BA延長線于點(diǎn)Q，作DR⊥AC于點(diǎn)R，如圖所示： ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠ACE， ∵CD⊥EC， ∴∠ECD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∵∠ACB+∠ACP=180°， ∴∠ACP=2∠ACD， ∴CD平分∠ACP， ∵DR⊥AC，DP⊥BC， ∴DR=DP， ∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB， ∴DP=DQ， ∴DR=DQ， ∴AD平分∠QAC， ∵∠BAC=60°， ∴∠DAQ=∠DAC=60°， ∴∠NGD=∠DAC=60°， 由（1）得∠BGC=120°， ∴∠BEG=∠FGC=180°?∠BGC=60°， ∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°， ∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°， ∠ABF=∠FBC， ∴∠BNG=∠ECB， ∵∠ECB=∠ACE， ∴∠ACE=∠BNG， 由（2）得EG=FG， ∴△NEG≌△CFG， ∴NG=CG=10， ∠NEG=∠CFG， ∵∠NEG+∠BEG=180°， ∠CFG+∠MFG=180°， ∴∠BEG=∠MFG， ∴△BEG≌△MFG， ∴BE=MF， ∵BE:FC=1:2， ∴MF:FC=1:2， 作FL⊥NG于點(diǎn)L，F(xiàn)K⊥CG于點(diǎn)K，GW⊥MC于點(diǎn)W， ∵∠MGF=∠CGF=60°， ∴FK=FL， S△MGF=12MG?FL=12MF?GW， S△CGF=12GC?FK=12FC?GW， ∴MGGC=MFFC=12， ∴MG=5， ∴MN=NG?MG=5． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法． 【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】 【例7】（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，BF是中線，AE與BF相交于O，∠C>∠ABC以下結(jié)論正確的有（????） ?? ①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF=S△CBF； ③∠EAD=12∠C?∠ABC；④S△ABE:S△ACE=AB:AC； A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】D 【分析】解：由高的定義，得∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C=90°，①正確；由中線得AF=CF，兩三角形等底同高，于是S△ABF=S△CBF,②正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余及外角知識(shí)，得∠EAD=90°?(∠ABC+∠BAE)，結(jié)合角平分線定義可判斷③正確；如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB,EI⊥AC，垂足為H，I，根據(jù)角平分線性質(zhì)，得EH=EI，可證得S△ABE:S△ACE=(12AB?EH):(12AC?EI)=AB:AC．④正確． 【詳解】解：∵AD是高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∴∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C=90°，①正確； ∵BF是中線， ∴AF=CF． 令△ABC中AC邊上的高為h， ∴S△ABF=12AF??=12CF??=S△CBF,②正確； ∵∠EAD+∠AED=90°,∠AED=∠ABC+∠BAE ∴∠EAD=90°?(∠ABC+∠BAE). ∵AE是角平分線， ∴∠BAE=12∠BAC=12(180°?∠ABC?∠ACB)=90°?12∠ABC?12∠ACB． ∴∠EAD=90°?(∠ABC+90°?12∠ABC?12∠ACB)=12(∠C?∠ABC)，③正確； 如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB,EI⊥AC，垂足為H，I， ∵AE是角平分線， ∴EH=EI． ?? S△ABE:S△ACE=(12AB?EH):(12AC?EI)=AB:AC．④正確． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查三角形角平分線，中線，高的定義，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵． 【變式7-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正確的有（????） ???? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【答案】A 【分析】根據(jù)BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，求出∠OBC=20°,∠OCB=40°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求出∠BOC=120°，即可判斷①；連接AO，則AO平分∠BAC，推出∠BOE=∠COD=60°，則∠OEM=∠OBE+∠BOE=80°，∠ODN=180°?∠OCD?∠COD=80°，進(jìn)而得出△OEM≌△ODNAAS，即可判斷②④；通過證明Rt△AOM≌Rt△AONHL，即可判斷③． 【詳解】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線， ∴∠OBC=20°,∠OCB=40°， 在△OBC中，∠BOC=180°?20°?40°=120°， 故①正確，符合題意； ②④連接AO， ∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線， ∴AO平分∠BAC， ∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴OM=ON，∠OME=∠OND=90°， ∵∠BOC=120°， ∴∠BOE=∠COD=180°?120°=60°， ∴∠OEM=∠OBE+∠BOE=20°+60°=80°，∠ODN=180°?∠OCD?∠COD=80°， ∴∠OEM=∠ODN， 在△OEM和△ODN中， ∠OEM=∠ODN∠OME=∠OND=90°OM=ON， ∴△OEM≌△ODNAAS， ∴OE=OD，EM=DN． 故②④正確，符合題意； ③在Rt△AOM和Rt△AON中， AO=AOOM=ON， ∴Rt△AOM≌Rt△AONHL， ∴AM=AN， 故③正確，符合題意． 綜上：正確的有①②③④，共4個(gè)． 故選：A． ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等． 【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分別是△ABC的中線、角平分線和高線，BE交CF于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，下面說法中一定正確的是（????） △ACD的面積等于△ABD的面積；????②∠CEG=∠CGE； ③∠ACF=2∠ABE；????????④AH=BH． ?? A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】①根據(jù)三角形中線平分三角形的面積，即可判斷△ACD的面積等于△ABD的面積； ②先根據(jù)同角的余角相等證得∠CAB=∠BCG，再根據(jù)角平分線的定義得出∠ABE=∠CBE，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEG=∠CAB+∠ABE，∠CGE=∠CBE+∠BCG，即可得證； ③先根據(jù)同角的余角相等證得∠ACF=∠CBF再根據(jù)角平分線的定義得出∠CBF=2∠ABE，于是推出∠ACF=2∠ABE； ④無法證得AH=BH． 【詳解】解：∵AD是△ABC的中線， ∴CD=BD， ∴△ACD的面積等于△ABD的面積， 故①正確； ∵BE是△ABC的角平分線， ∴∠ABE=∠CBE， ∵CF是△ABC的高線， ∴∠CFA=90°， ∴∠CAB+∠ACF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF+∠BCG=90°， ∴∠CAB=∠BCG， ∵∠CEG是△ABE的一個(gè)外角， ∴∠CEG=∠CAB+∠ABE， ∵∠CGE是△BCG的一個(gè)外角， ∴∠CGE=∠CBE+∠BCG， ∴∠CEG=∠CGE， 故②正確； ∵CF是△ABC的高線， ∴∠CFB=90°， ∴∠CBF+∠BCF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF+∠BCF=90°， ∴∠ACF=∠CBF， ∵BE是△ABC的角平分線， ∴∠CBF=2∠ABE， ∴∠ACF=2∠ABE， 故③正確； 無法證得AH=BH，故④錯(cuò)誤； 故正確的有①②③ 故選∶B． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等，角平分線的定義，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列結(jié)論：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，則AG=9；④ S△ACD:S△ABD=AB:AC；其中正確的是（??） ?? A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】證出＋∠DAC=∠F=45°?∠CBO=∠BAO，則可得出①正確； 證明△ABO≌△FBOASA，由全等三角形的性質(zhì)得出 AO=FO，AB=BF，證明 △AOG≌△FODASA，由全等三角形的性質(zhì)得出 OD=OG，DF=AG，則可判斷②正確； 求出 AG=DF=BF?BD=9，可得出③正確，由三角形面積公式及角平分線的性質(zhì)可得出④錯(cuò)誤． 【詳解】∵BE平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC， ∵∠BOD=45°， ∴∠AOB=180°?∠BOD=180°?45°=135°， ∵OF⊥AD， ∴∠AOE=∠EOG=45°， ∴∠BOF=180°?∠EOG=135°， ∴∠BAO=180°?135°?∠ABO=45°?∠ABO， ∵OF⊥AD，∠ACB=90°， ∴∠F=∠DAC， ∴∠DAC=∠F=180°?135°?∠CBO=45°?∠CBO=∠BAO， ∴AD平分∠BAC， 故①正確； ∵∠BOA=∠BOF=135°， 又∵BO=BO，∠ABO=∠FBO， ∴△ABO≌△FBOASA， ∴AO=FO，AB=BF， ∵∠ADC+∠DAC=90°=∠ADC+∠F， ∴∠F=∠DAC， 又∵∠AOF=∠FOD=90°， ∴△AOG≌△FODASA， ∴OD=OG，DF=AG， ∴AD=AO+OD=OF+OG， 故②正確； ∵BD=3，AB=12， ∴BF=AB=12， ∴AG=DF=BF?BD=9， 故③正確； ∵AD平分∠BAC， ∴點(diǎn)D到AB，AC的距離相等，設(shè)為?， ∴S△ACD=12×AC×?，S△ABD=12×AB×?， ∴S△ACDS△ABD=12×AC×?12×AB×?=ACAB， 故④錯(cuò)誤； 故選: B. 【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵． 【題型8 角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩條公路AO，BO交于點(diǎn)O，村莊M，N的位置如圖所示，M在公路OA上，現(xiàn)要修建一個(gè)快遞站P，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． ?? 【答案】見解析 【分析】作線段MN的垂直平分線EF，作∠AOB的角平分線OT，則OT交EF于一點(diǎn)，即為點(diǎn)P． 【詳解】解：點(diǎn)P即為所求，如圖所示： ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題． 【變式8-1】（2023春·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC=1000m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著BC行走了800m到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為 m． ?? 【答案】200 【分析】過D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DC，再求出DC的長即可． 【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB于點(diǎn)E， ??， ∵∠ACB=90°， ∴DC⊥AC， ∵AD為∠CAB的平分線，DE⊥AB， ∴DE=DC， ∵BC=1000m，BD=800m， ∴DC=BC?BD=200m， ∴DE=DC=200m， ∴此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為200m， 故答案為：200． 【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵． 【變式8-2】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭P供大家休息，且涼亭P到草坪三邊的距離相等，利用直尺和圓規(guī)，確定涼亭P的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法） 【答案】見解析 【分析】分別作∠ABC與∠ACB的平分線，兩角平分線的交點(diǎn)就是涼亭P的位置． 【詳解】以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，作射線BM；再以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交AC、BC于點(diǎn)G、F，分別以點(diǎn)G、F為圓心，大于12GF長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)N，作射線CN．CN交BM于點(diǎn)P，P就是涼亭的位置． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作角平分線，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖——作角的平分線，角平分線的性質(zhì)． 【變式8-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩條公路AB，CD形成S區(qū)域，S區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)農(nóng)貿(mào)市場E，F(xiàn)，現(xiàn)想在S區(qū)域內(nèi)建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站M，使M不僅到兩條公路距離相等，且到兩個(gè)農(nóng)貿(mào)市場距離也相等，請(qǐng)?jiān)趫D中求作點(diǎn)M的位置．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡） 【答案】見解析 【分析】作CT平分∠BCD，作PS垂直平分線段EF，PS交CT于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求． 【詳解】解：如圖，點(diǎn)M即為所求． 【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線，正確的理解題意并作出圖形是解決本題的關(guān)鍵．

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