北京市通州區(qū)2024-2025學年高三上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知集合，集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用集合的運算，即可求解.
【詳解】因為，又，
所以，
故選：D.
2. 設復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復數(shù)的四則運算和復數(shù)對應點的特征求解即可.
【詳解】因為，所以，
故復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標是，故C正確.
故選：C
3. 下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】選項A和D，對函數(shù)求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，即可判斷選項A和D的正誤，選項B和C，根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】對于選項A，由，得恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以選項A正確，
對于選項B，因為在上單調(diào)遞減，所以選項B錯誤，
對于選項C，因為在上單調(diào)遞減，所以選項C錯誤，
對于選項D，由，得到，當時，，當時，，
所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項D錯誤，
故選：A.
4. 已知角終邊經(jīng)過點，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及，求得，再求即可.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，故可得，
則.
故選：A.
5. 設，為非零向量，則“”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】，為非零向量，“”平方后展開，進而判斷出結(jié)論.
【詳解】，為非零向量，“”展開為：
∴“”是“”的充要條件.
故選：C.
【點睛】本題考查充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.
6. 在中，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的性質(zhì)得到，由正弦的和角公式得，再利用正弦定理，即可求解.
【詳解】因為，，得到，
又，，
由正弦定理得，所以，
故選：D.
7. 沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.現(xiàn)有一個沙漏（如圖）上方裝有的細沙，細沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過時剩余的細沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過時，上方還剩下一半細沙，要使上方細沙是開始時的，需經(jīng)過的時間為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依題意有，解得，，由此能得出結(jié)果．
【詳解】依題意有，即，
兩邊取對數(shù)得，所以，得到，
當容器中只有開始時的時，則有，所以，
兩邊取對數(shù)得，所以，
故選：C．
8. 設函數(shù)，已知，，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用的性質(zhì)，得到和，從而得到，即可求解.
【詳解】因為，且，
所以，得到①
又，則，得到②，
由①②得到，，即，又，所以的最小值為，
故選：B
9. 設集合，則（）
A. 對任意實數(shù)a，B. 對任意實數(shù)a，
C. 當且僅當時，D. 當且僅當時，
【答案】C
【解析】
【分析】利用的取值，反例判斷是否成立即可．
【詳解】對A，若，則，
將代入不全部滿足，此時可知，故A錯誤；
對B，當時，則，
將代入全部滿足，此時可知，故B錯誤；
對C，若，，解之可得，所以C正確；
對D，當，則，將代入不全滿足，
所以，故D錯誤.
故選：C
10. 已知是的重心，過點作一條直線與邊，分別交于點，（點，與所在邊的端點均不重合），設，，則的最小值是（）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值.
【詳解】如圖：
取中點，則，，
，
∵三點共線，∴，即，
∴，
當且僅當時，取等號；
故選：B
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域是___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用具體函數(shù)定義域的求法求解即可.
【詳解】因為，
所以，則且，
故的定義域是.
故答案為：.
12. 已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，得到，且，再利用數(shù)積的定義及運算律，即可求解.
【詳解】由圖知，，且，
所以，
故答案為：.
13. 已知等差數(shù)列的首項為，設其前項和為，且，則過點和，且滿足的直線的斜率是________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解通項公式，再結(jié)合斜率公式求解即可.
【詳解】設公差為，因為，所以，解得，
所以，，
故直線斜率為.
故答案為：2
14. 設函數(shù)
①若，則函數(shù)的零點個數(shù)有________個.
②若函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】①，由來求得零點的個數(shù).
②，對進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.
【詳解】①，當時，，
由解得；
由，解得或.
綜上所述，的零點個數(shù)有個.
②，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
值域為，無最值.
當時，，
開口向上，對稱軸，，
當時，，
則，①，
的開口向上，對稱軸為，
，則①不成立.
當時，，
則，解得.
綜上所述，.
故答案為：；
15. 已知無窮數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：
①，；
②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；
③，使得；
④，均有.
其中正確結(jié)論的序號是________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根據(jù)以及即可得，進而得，即可判斷①②③，利用，利用累加法求和即可判斷④.
【詳解】由，，
進而可得，結(jié)合，以此類推可得，
故，故，故①②正確，③錯誤，
由可得，故
由于，故，進而可得，故，
因此，
累加，故1an2?1a12>2n?1?1an2≥2n+2，
當時，，故，故④正確，
故答案為：①②④
【點睛】關鍵點點睛：，利用累加法求和.
三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
16. 已知函數(shù)，.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）直線與函數(shù)，的圖象分別交于兩點，求的最大值.
【答案】（1）最小正周期為，
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用誘導公式化簡三角函數(shù)，求解最小正周期和函數(shù)值即可.
（2）利用題意把線段長度表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.
【小問1詳解】
因為，
所以，的最小正周期為.
【小問2詳解】
由題意可知，兩點的坐標為，，
則，即，
故
，
因為，所以，
所以，
所以MN在時的最大值為.
17. 記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.
（1）求及；
（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的面積.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和邊長即可.
（2）首先證明條件①不符合題意，選擇條件②和條件③時利用余弦定理結(jié)合給定條件求解面積即可.
【小問1詳解】
由和余弦定理可得.
因為為的內(nèi)角，所以，故，
由變形得，由正弦定理得.
【小問2詳解】
選擇條件①：，
由正弦定理得，解得，
因為為的內(nèi)角，所以，故，
與相互矛盾，故不存在這樣的三角形，
所以我們不選擇條件①，
選擇條件②：，
因為，，所以，
解得，由余弦定理得，
化簡得，解得或（舍），
所以.
選擇條件③：，
因為，所以.
因為，所以，
由余弦定理得，化簡得.
解得或，當時，是直角三角形，與題干不符，故排除，
所以.
18. 已知為數(shù)列的前項和，滿足，．數(shù)列是等差數(shù)列，且，．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設求數(shù)列的前項和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先由數(shù)列的前項和和通項的關系式求出相鄰項之間的關系，
判斷出數(shù)列的類型，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式即可求解；
（2）利用分組求和法及公式法進行求和即可．
【小問1詳解】
解：因為，，①
所以有，．②
②①得．
所以數(shù)列成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．
所以．
又數(shù)列是等差數(shù)列，且，．
所以，．
所以．
【小問2詳解】
因為
設數(shù)列的前項和為，
所以
．
19. 設函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值8.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，以及相應x的值；
（3）證明：曲線是中心對稱圖形.
【答案】（1），.
（2），最小值為8，，最大值為24.
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)極值點及極值可求的值；
（2）根據(jù)導數(shù)討論其符號后可得單調(diào)性，從而可求何時取何最值；
（3）可證曲線上任意點關于的對稱的點仍在曲線上，從而可得曲線的對稱性.
【小問1詳解】
，
由題意函數(shù)在處取得極小值8得，
解得，.
此時，
當或時，f′x>0，當時，f′x

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