專題20 圓-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題
1. （2024江蘇連云港）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（）

A. 傾斜直線B. 拋物線C. 圓弧D. 水平直線
【答案】C
【解析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓?。?br>在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，
故選：C．
2. （2024四川涼山）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點，連接，作的垂直平分線交于點，交于點，測出，則圓形工件的半徑為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識．由垂徑定理，可得出的長；設圓心為O，連接，在中，可用半徑表示出的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．
【詳解】∵是線段的垂直平分線，
∴直線經(jīng)過圓心，設圓心為，連接．

中，，
根據(jù)勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故輪子的半徑為，
故選：C．
3. （2024四川瀘州）如圖，，是的切線，切點為A，D，點B，C在上，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作輔助線是解題關鍵．
根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，由得，由切線長定理得，即可求得結(jié)果．
詳解】如圖，連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切線，根據(jù)切線長定理得，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
4. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得，利用圓周角定理求得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵半徑，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
5. （2024云南?。┤鐖D，是的直徑，點、在上．若，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了弧弦圓心角的關系，圓周角定理，連接，由可得，進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】連接，
∵，
∴，
∴，
故選：．
6. （2024甘肅臨夏）如圖，是直徑，，則（）
A.B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查圓周角定理，關鍵是由圓周角定理推出．
由圓周角定理得到，由鄰補角的性質(zhì)求出．
，
，
．
故選：D．
7. （2024甘肅威武）如圖，點A，B，C在上，，垂足為D，若，則的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)得到，根據(jù)得到，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，計算即可．
本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選A．
8. （2024湖南?。┤鐖D，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關鍵．根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，圓周角和圓心角同對著，
，
，
．
故選：C．
9. （2024吉林?。┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，過點B作，交于點E．若，則的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先根據(jù)得到，再由四邊形內(nèi)接于得到，即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∴,
故選：C．
10. （2024四川宜賓）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等．根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到，同弧或等弧所對的圓周角相等得到，進一步計算即可解答．
【詳解】是的直徑，
，
，
，
，
故選：A．
11. （2024四川宜賓）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，平分交于．則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，合理作輔助線為解題的關鍵．
作輔助線如圖，先證明，，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接、，
∵是的直徑，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在四邊形中，，
∴，
∴繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，則三點共線，如圖所示
∴，
∵由旋轉(zhuǎn)可知，
∴，
∴在等腰直角三角形中，，
∴．
故選：A
12. （2024武漢市）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，即可證得，進而可求得，再利用圓周角定理得到，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．
【詳解】延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴
∴
∵
∴，
∴是的直徑，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴，,
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故選：A．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．
13. （2024上海市）在中，，，，點在內(nèi)，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關系是（）
A. 內(nèi)含B. 相交C. 外切D. 相離
【答案】B
【解析】本題考查圓的位置關系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關系是解決問題的關鍵．
【詳解】圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，
圓含在圓內(nèi)，即，
在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運動，如圖所示：
當?shù)轿恢脮r，圓與圓圓心距離最大，為，
，
圓與圓相交，
故選：B．
14. （2024福建省）如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】∵，為的中點，
∴
∵
∴
∵直線與相切，
∴，
∴
故選：A．
二、填空題
1. （2024北京市）如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則___________

【答案】55
【解析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先由垂徑定理得到，由得到，故．
【詳解】∵直徑平分弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
2. （2024江蘇連云港）如圖，是圓的直徑，、、、的頂點均在上方的圓弧上，、的一邊分別經(jīng)過點A、B，則__________．

【答案】90
【解析】本題考查圓周角定理，根據(jù)半圓的度數(shù)為，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即可．
∵是圓的直徑，
∴所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為，
∵、、、所對的弧的和為半圓，
∴，
故答案為：90．
3. （2024陜西?。┤鐖D，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數(shù)是________．

【答案】##90度
【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，
可證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，由此即得答案．
【詳解】是所對的圓周角，是所對的圓心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
4. （2024江蘇蘇州）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則______．
【答案】##62度
【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
5. （2024山東棗莊）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，，則________．
【答案】##40度
【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，利用圓周角定理求出的度數(shù)，利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可求解．
【詳解】連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
6.（2024江蘇蘇州）鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，所在圓的圓心C恰好是的內(nèi)心，若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）______．（結(jié)果保留）
【答案】
【解析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定，得出，利用余弦得出，再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．
【詳解】解：如圖所示：過點C作，
∵六條弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，
∴，
∴為等邊三角形，
∵圓心C恰好是的內(nèi)心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴長為：，
∴花窗的周長為：，
故答案：．
7. （2024江蘇鹽城）如圖，是的內(nèi)接三角形，，連接，則________．

【答案】50
【解析】本題考查主要考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)圓周角定理計算出，再根據(jù)等邊對等角得出，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出．
【詳解】，
，
，
，
，
，
故答案為：50．
8. （2024四川眉山）如圖，內(nèi)接于，點在上，平分交于，連接．若，，則的長為______．
【答案】
【解析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于，由圓周角定理可得，，進而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：延長，交于，
是的直徑，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案為：．
9. （2024重慶市B）如圖，是的直徑，是的切線，點為切點．連接交于點，點是上一點，連接，，過點作交的延長線于點．若，，，則的長度是________；的長度是________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】由直徑所對的圓周角是直角得到，根據(jù)勾股定理求出，則，由切線的性質(zhì)得到，則可證明，解直角三角形即可求出；連接，由平行線的性質(zhì)得到，再由，，推出，得到，則．
【詳解】解：∵是的直徑，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
在中，；
如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；．
【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明是解題的關鍵．
三、解答題
1.（2024湖北?。?中，，點在上，以為半徑的圓交于點，交于點．且．
（1）求證：是的切線．
（2）連接交于點，若，求弧的長．
【答案】（1）見解析（2）弧的長為．
【解析】（1）利用證明，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；
（2）設的半徑為，在中，利用勾股定理列式計算求得，求得，再求得，利用弧長公式求解即可．
小問1詳解】
證明：連接，
在和中，，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
設的半徑為，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的長為．
【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長公式．正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．
2. （2024貴州省）如圖，為半圓O的直徑，點F在半圓上，點P在的延長線上，與半圓相切于點C，與的延長線相交于點D，與相交于點E，．
（1）寫出圖中一個與相等的角：______；
（2）求證：；
（3）若，，求的長．
【答案】（1）（答案不唯一）（2）（3）
【解析】分析】（1）利用等邊對等角可得出，即可求解；
（2）連接，利用切線的性質(zhì)可得出，利用等邊對等角和對頂角的性質(zhì)可得出，等量代換得出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出，即可得證；
（3）設，則可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
故答案為：（答案不唯一）；
【小問2詳解】
證明：連接，
，
∵是切線，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：設，則，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應用等知識，靈活運用以上知識是解題的關鍵．
3. （2024甘肅臨夏）如圖，直線與相切于點，為的直徑，過點作于點，延長交直線于點．
（1）求證：平分；
（2）如果，，求的半徑．
【答案】（1）見解析（2）4
【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出，結(jié)合題意可證，即得出，再根據(jù)等邊對等角可得出，即得出，即平分；
（2）設的半徑為r，則，．再根據(jù)勾股定理可列出關于r的等式，求解即可．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接．
∵直線與相切于點，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
【小問2詳解】
解：設的半徑為r，則，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半徑為4．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓半徑相等，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理等知識．連接常用的輔助線是解題關鍵．
4. （2024北京市）如圖，是的直徑，點，在上，平分.

（1）求證：；
（2）延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，求半徑的長.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】（1）根據(jù)題意，得，結(jié)合，得到，繼而得到，根據(jù)平分，得到，繼而得到，可證；
（2）不妨設，則，求得，證明，，求得，取的中點M，連接，則，求得，，結(jié)合切線性質(zhì)，得到，解答即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
∵，，
不妨設，則，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中點M，連接，
則
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是切線，
∴，
∴，
解得，
故半徑的長為.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關計算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關計算是解題的關鍵.
5. （2024福建?。┤鐖D，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求證：與互相平分．
【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結(jié)果；
（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得
，再證得，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；
（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，從而得出，得出，再上平行線判定得出，再證得，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果．
【小問1詳解】
，且是的直徑，
．
，
在中，．
，
中，．
，
；
小問2詳解】
過點作，交延長線于點．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
．
【小問3詳解】
如圖，連接．
是的直徑，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
與互相平分．
【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．
6. （2024甘肅威武）如圖，是的直徑，，點E在的延長線上，且．
（1）求證：是的切線；
（2）當?shù)陌霃綖?，時，求的值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】【分析】（1）連接，，證明垂直平分，得出，證明，得出，說明，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)是的直徑，得出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角函數(shù)定義求出，證明，得出即可．
【小問1詳解】
證明：連接，，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴點O、B在的垂直平分線上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵的半徑為2，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質(zhì)．
7. （2024深圳）如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：
（1）連接并延長，交于點，連接，易證垂直平分，圓周角定理，切線的性質(zhì)，推出四邊形為矩形，即可得證；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的長，設的半徑為，在中，利用勾股定理進行求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接并延長，交于點，連接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵為的切線，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴；
小問2詳解】
由（1）知四邊形為矩形，，，
∴，
∴，
設的半徑為，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半徑為．
8. （2024廣西）如圖，已知是的外接圓，．點D，E分別是，的中點，連接并延長至點F，使，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）求證：與相切；
（3）若，，求的半徑．
【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）
【解析】【分析】（1）先證明，，再證明，可得，，再進一步解答即可；
（2）如圖，連接，證明，可得過圓心，結(jié)合，證明，從而可得結(jié)論；
（3）如圖，過作于，連接，設，則，可得，求解，可得，求解，設半徑，可得，再利用勾股定理求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵點D，E分別是，的中點，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
證明：如圖，連接，
∵，為中點，
∴，
∴過圓心，
∵，
∴，
而為半徑，
∴為的切線；
【小問3詳解】
解：如圖，過作于，連接，
∵，
∴，
設，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
設半徑為，
∴，
∴，
解得：，
∴的半徑為．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理的應用，做出合適的輔助線是解本題的關鍵．
9. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，于點D，將沿所在的直線翻折，得到，點D的對應點為E，延長交的延長線于點F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】【分析】（1）連接，由折疊的性質(zhì)得，，再證明，推出，據(jù)此即可證明是的切線；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面積公式求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵，
∴，
∵沿直線翻折得到，
∴，，
∵是的半徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于點C，
又∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定與扇形面積公式，折疊的性質(zhì)，解直角三角形．充分運用圓的性質(zhì)，綜合三角函數(shù)相關概念，求得線段長度是解題的關鍵．
10. （2024湖南省）【問題背景】
已知點A是半徑為r的上的定點，連接，將線段繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點A作的切線l，在直線l上取點C，使得為銳角．
【初步感知】
（1）如圖1，當時，；
【問題探究】
（2）以線段為對角線作矩形，使得邊過點E，連接，對角線，相交于點F．
①如圖2，當時，求證：無論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立：
②如圖3，當，時，請補全圖形，并求及的值．
【答案】（1）；①證明見解析；②補全圖形見解析，，
【解析】【分析】（1）可證是等邊三角形，則，由直線l是的切線，得到，故；
（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)與切線的性質(zhì)證明，則，而，由，得到；
②過點O作于點G，于點H，在中，先證明點E在線段上，，由等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)互余關系可得，可求，解，求得，可證明，故在中，．
【詳解】解：（1）由題意得，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵直線l是的切線，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）①如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴；
②補全圖形如圖：
過點O作于點G，于點H，
在中，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴點E在線段上，
∴在，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴設，
∴由勾股定理得，
∴，
∴在中，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在中，．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關鍵．
11. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】【分析】（1）連接，延長，交于點，連接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，得，，由可得，從而可證明是的切線；
（2）由得，即，證明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根據(jù)求出，進一步求出
【小問1詳解】
證明：連接，延長，交于點，連接如圖，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直徑，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關鍵．
12. （2024四川眉山）如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，，平分交于點，連結(jié)．
（1）求證：是的切線；
（2）當時，求的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．
（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到，求得，連接，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：連接，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
【小問2詳解】
解：，，
，
，
，
，
，
連接，
平分，
，
，
，
是的直徑，
，
．

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