一、選擇題
1. （2024貴州?。┬〖t學習了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關系式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查等式的性質(zhì)，設“▲”的質(zhì)量為a，根據(jù)題意列出等式，，然后化簡代入即可解題．
【詳解】設“▲”的質(zhì)量為a，
由甲圖可得，即，
由乙圖可得，即，
∴，
故選C．
2. （2024四川宜賓）某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（ ）
A. 8箱B. 9箱C. 10箱D. 11箱
【答案】C
【解析】本題考查是二元一次方程的正整數(shù)解問題，設用個大箱，個小箱，利用每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數(shù)解可得答案．
【詳解】設用個大箱，個小箱，
∴，
∴，
∴方程的正整數(shù)解為：
或，
∴所裝的箱數(shù)最多為箱；
故選C．
3. （2024廣西）《九章算術》是我國古代重要的數(shù)學著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有多少畝？設出租的田有x畝，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)“第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢”列方程即可．
【詳解】根據(jù)題意，得，
故選：B．
4. （2024福建?。┙衲晡覈鴩窠?jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，根據(jù)今年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，列出方程即可．
將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，根據(jù)題意得：
，
故選：A．
5. （2024黑龍江齊齊哈爾）校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現(xiàn)突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（ ）
A. 5種B. 4種C. 3種D. 2種
【答案】B
【解析】本題考查了二元一次方程的應用，設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，根據(jù)題意列出方程，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)，即可求解．
【詳解】設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，
依題意，
∴
∵，為正整數(shù)，
∴當時，，
當時，
當時，
當時，
∴購買方案有4種，
故選：B．
6. （2024湖北?。毒耪滤阈g》中記載這樣一個題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設每頭牛值金，每只羊值金，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了二元一次方程組的應用．根據(jù)未知數(shù)，將今有牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，兩個等量關系具體化，聯(lián)立即可．
【詳解】解：設每頭牛值x金，每頭羊值y金，
∵牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，
∴，
故選：A．
7. （2024四川成都市）中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了這樣一個題目：今有共買琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．問人數(shù)，琎價各幾何？其大意是：今有人合伙買琎石，每人出錢，會多出4錢；每人出錢，又差了3錢．問人數(shù)，琎價各是多少？設人數(shù)為，琎價為，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了列二元一次方程組，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可．
設人數(shù)為，琎價為，
根據(jù)每人出錢，會多出4錢可得出，
每人出錢，又差了3錢．可得出，
則方程組為：，
故選：B．
8. （2024天津市）《孫子算經(jīng)》是我國古代著名的數(shù)學典籍，其中有一道題：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設木長尺，繩子長尺，則可以列出的方程組為（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】本題考查的是二元一次方程組的應用.用一根繩子去量一根長木，繩子剩余4.5尺可知：；繩子對折再量長木，長木剩余1尺可知：；從而可得答案.
【詳解】由題意可得方程組為：
，
故選：A.
9. （2024內(nèi)蒙古赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應用．根據(jù)題意設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，再利用現(xiàn)需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板分別得出方程組即可．
【詳解】設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，
由題意得：，
故選：C．
10. （2024山東威海）《九章算術》是我國古老的數(shù)學經(jīng)典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多尺．繩長、井深各是多少尺？若設繩長尺，井深尺，則符合題意的方程組是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本題考查二元一次方程組的應用，此題中的等量關系有：①將繩三折測之，繩多四尺；②繩四折測之，繩多一尺，不變的是井深，據(jù)此即可得方程組．正確理解題意，找準等量關系解題的關鍵．
【詳解】解：設繩長x尺，井深y尺，
依題意，得：．
故選：C．
11. （2024深圳）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組．設該店有客房x間，房客y人；每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．
【詳解】解：設該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：
，
故選：A．
12. （2024四川遂寧）分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵．
方程兩邊同時乘以得，，
解得，
∵分式方程的解為正數(shù)，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范圍為且，
故選：．
13. （2024黑龍江齊齊哈爾）如果關于的分式方程的解是負數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. 且B. C. D. 且
【答案】A
【解析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是負數(shù)得到，并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為，求出的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
【詳解】方程兩邊同時乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是負數(shù)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故選：．
14. （2024甘肅臨夏）端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的原價是元，所得方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程．根據(jù)降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程．
【詳解】由題意可得，
，
故選：C．
15. （2024黑龍江綏化）一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時間，與以該航速沿江逆流航行所用時間相等，則江水的流速為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速靜水速水速，逆水速靜水速水速，設未知數(shù)列出方程，解方程即可求出答案．
【詳解】設江水的流速為，根據(jù)題意可得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的根，
答：江水的流速為．
故選：D．
16. （2024山東棗莊）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（ ）
A. 200B. 300C. 400D. 500
【答案】B
【解析】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
設改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，根據(jù)“改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可．
【詳解】設改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是分式方程的解，且符合題意，
答：改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)．
故選：B．
17. （2024四川達州）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工個零件．可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，再根據(jù)時間工作總量工作效率結(jié)合甲的工作時間比乙的工作時間少30分鐘列出方程即可．
【詳解】設乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，
由題意得，
故選：D．
18. （2024貴州?。┮辉畏匠痰慕馐牵? ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【詳解】 ，
∴，
∴或，
∴，，
故選∶B．
19. （2024河北?。╀夸吭谟嬎阏龜?shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（ ）
A. 1B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】本題考查了一元二次方程的應用，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
由題意得方程，利用公式法求解即可．
由題意得：，
解得：或（舍）
故選：C．
20. （2024吉林省）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟練掌握開平方法解方程是解題的關鍵．
分別對每一個選項運用直接開平方法進行解方程即可判斷．
【詳解】A、，故該方程無實數(shù)解，故本選項不符合題意；
B、，解得：，故本選項符合題意；
C、，，解得，故本選項不符合題意；
D、，，解得，故本選項不符合題意．
故選：B．
21. （2024上海市）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當時，方程的兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．
【詳解】A． ，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；
B． ，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；
C． ，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；
D． ，該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；
故選：D．
22. （2024四川涼山）若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（ ）
A.2B. C. 2或D.
【答案】A
【解析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數(shù)不為．由一元二次方程的定義，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【詳解】是關于的一元二次方程，
，即
由一個根，代入，
可得，解之得；
由得；
故選A
23. （2024北京市）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值
為（ ）
A. B. C. 4D. 16
【答案】C
【解析】根據(jù)方程的根的判別式即可．本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．
【詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，，
∴，
∴，
解得．
故選C．
24. （2024四川廣安）若關于一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A. 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根．由關于的一元二次方程兩個不相等的實數(shù)根，可得且，解此不等式組即可求得答案．
【詳解】關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范圍是：且．
故選：A．
25. （2024黑龍江綏化）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意得出原方程中，，逐項分析判斷，即可求解．
∵小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是和；
∴，
又∵小冬寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．
∴
A. 中，，，故該選項不符合題意；
B. 中，，，故該選項符合題意；
C. 中，，，故該選項不符合題意；
D. 中，，，故該選項不符合題意；
故選：B．
26. （2024四川樂山）若關于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：若方程的兩實數(shù)根為，則．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到，然后通分，，從而得到關于p的方程，解方程即可．
【詳解】解：，
，
而，
，
，
故選：A．
27. （2024四川內(nèi)江）某市2021年底森林覆蓋率為，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，則符合題意得方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件．設年平均增長率為x，根據(jù)2023年底森林覆蓋率2021年底森林覆蓋率，據(jù)此即可列方程求解．
【詳解】根據(jù)題意，得
即，
故選：B．
28. （2024云南?。﹥赡昵吧a(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元．設甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)甲種藥品成本的年平均下降率為，利用現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本年（平均下降率），即可得出關于的一元二次方程．
【詳解】甲種藥品成本的年平均下降率為，
根據(jù)題意可得，
故選：B．
29. （2024四川眉山）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題意、列出方程是解題的關鍵．
設該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可．
根據(jù)題意得：．
故選：B．
二、填空題
1. （2024貴州?。┰谠焓澜芩摹端阈g啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數(shù)是______．
【答案】20
【解析】本題考查了一元一次方程的應用，設快馬追上慢馬需要x天，根據(jù)快馬走的路程等于慢馬走的總路程，列方程求解即可．
【詳解】設快馬追上慢馬需要x天，
根據(jù)題意，得，
解得，
故答案為：20．
2. （2024江蘇揚州）《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，書中第八章內(nèi)容“方程”里記載了一個有趣的追及問題，可理解為：速度快的人每分鐘走米，速度慢的人每分鐘走米，現(xiàn)在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．問速度快的人追上他需要____分鐘．
【答案】
【解析】本題考查了一元一次方程的運用，理解數(shù)量關系，列出方程是解題的關鍵．
根據(jù)題意，設需要分鐘追上，則速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【詳解】根據(jù)題意，設分鐘追上，
∴，
解得，，
∴速度快人追上速度慢的人需要分鐘，
故答案為： ．
3.（2024江蘇鹽城） 中國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為________尺．
【答案】15
【解析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題關鍵．
設繩索長 尺，竿長 尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出關于 的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】設繩索長 尺，竿長 尺，
根據(jù)題意得： ．
解得：
故答案為15．
4. （2024四川成都市）分式方程的解是____．
【答案】x=3
【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．
考點：解分式方程
5. （2024北京市）方程的解為___________.
【答案】
【解析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關鍵．
先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根．
【詳解】
，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，
所以，原方程的解為，
故答案為：．
6. （2024湖南?。┓质椒匠?1的解是_______．
【答案】x=1
【解析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程2=x+1，求解后并檢驗即可．
方程的兩邊同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1．
檢驗：當x=1時，x+1=2≠0．
所以原方程的解為x=1．
故答案為：x=1．
【點睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關鍵．
7. （2024武漢市）分式方程的解是______．
【答案】
【解析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關鍵．首先等號兩邊同時乘以完成去分母，再按照去括號，移項、合并同類項的步驟求解，檢驗即可獲得答案．
【詳解】，
等號兩邊同時乘以，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
經(jīng)檢驗，是該分式方程的解，
所以，該分式方程的解為．
故答案為：．
8. （2024四川達州）若關于的方程無解，則的值為______．
【答案】或2
【解析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到，再根據(jù)分式方程無解得到或，解關于k的方程即可得到答案．
【詳解】
去分母得：，
解得：，
∵關于的方程無解，
∴當或時，分式方程無解，
解得：或（經(jīng)檢驗是原方程的解），
即或，無解．
故答案為：或2．
9. （2024深圳）已知一元二次方程一個根為1，則______．
【答案】
【解析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關于的方程，然后解方程即可．
【詳解】關于的一元二次方程的一個根為，
滿足一元二次方程，
，
解得，．
故答案為：．
10. （2024甘肅臨夏）若關于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為______．
【答案】-1
【解析】根據(jù)關于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個相等的實數(shù)根可知△=0，求出m的取值即可．
【詳解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案為-1.
【點睛】本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．
11. （2024河南省）若關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為___________．
【答案】##
【解析】本題考查一元二次方程根與判別式的關系．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，該方程沒有實數(shù)根是解題關鍵．根據(jù)一元二次方程根與其判別式的關系可得：，再求解即可．
【詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
故答案為：．
12. （2024四川眉山）已知方程的兩根分別為，，則的值為______．
【答案】##0.5
【解析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，若一元二次方程的兩根分別為，，則，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．
先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，，然后把化簡為然后整體代入即可．
【詳解】方程的兩根分別為，，
，，
．
故答案為：．
13. （2024山東煙臺）若一元二次方程兩根為m，n，則的值為________．
【答案】6
【解析】本題考查了根與系數(shù)的關系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的兩根時，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題關鍵．
根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，，
∴，
∴
故答案為：6．
14. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為______．
【答案】7
【解析】本題考查了根與系數(shù)的關系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值．先利用已知條件求出，，從而得到，再將原式利用完全平方公式展開，利用替換項，整理后得到，再將代入即可．
【詳解】∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
則
∴
故答案：7
15. （2024四川涼山）已知，則值為______．
【答案】
【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
將代入，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，，要進行舍解．
【詳解】∵，
∴，
將代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案為：3．
16. （2024四川瀘州）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是______．
【答案】
【解析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形求值．對于一元二次方程，若該方程的兩個實數(shù)根為，，則，．先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，，再根據(jù)完全平方公式的變形，求出，由此即可得到答案．
【詳解】，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
，，
，
，
．
故答案為：．
17. （2024重慶市B）重慶在低空經(jīng)濟領域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為________．
【答案】
【解析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，則第二季度低空飛行航線安全運行了架次，第三季度低空飛行航線安全運行了架次，據(jù)此列出方程即可．
【詳解】設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，
由題意得，，
故答案為：．
18. （2024重慶市A）隨著經(jīng)濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．
【答案】
【解析】本題主要考查一元二次方程的應用．設平均增長率為x，然后根據(jù)題意可列方程進行求解．
設平均增長率為x，由題意得：
，
解得：，（不符合題意，舍去）；
故答案為：．
19. （2024吉林?。﹫D①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中，于點C，尺，尺．設的長度為x尺，可列方程為______．
【答案】
【解析】本題考查了勾股定理的實際應用，正確理解題意，運用勾股定理建立方程是解題的關鍵．
設的長度為x尺，則，在中，由勾股定理即可建立方程．
【詳解】設的長度為x尺，則，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
故答案為：．
三、解答題
1. （2024廣西）解方程組：
【答案】
【解析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可．
【詳解】，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
∴方程組的解為：.
2. （2024江蘇蘇州） 解方程組：．
【答案】
【解析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握加減消元法求解．根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可．
得，，解得，．
將代入①得．
方程組的解是
3. （2024上海市）解方程組：．
【答案】，或者，．
【解析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關鍵是利用代入法進行求解．
【詳解】，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
當時，，
當時，，
∴方程組的解為或者．
4. （2024陜西?。┙夥匠蹋海?br>【答案】
【解析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項，合并同類項得：，
檢驗：把代入得：，
∴是原方程的解．
5. （2024福建?。┙夥匠蹋海?br>【答案】．
【解析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．
【詳解】解：，
方程兩邊都乘，得．
去括號得：，
解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的根．
6. （2024黑龍江齊齊哈爾）解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【解析】利用因式分解的方法解出方程即可.
利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
則x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【點睛】本題考查解一元二次方程因式分解法,關鍵在于熟練掌握因式分解的方法步驟.
7. （2024安徽?。┙夥匠蹋?br>【答案】，
【解析】先移項，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
∵，
∴，
∴，
∴，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法進行解題．
8. （2024四川南充）已知，是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求的取值范圍．
（2）若，且，，都是整數(shù)，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵．
（1）根據(jù)“，是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根”，則，得出關于的不等式求解即可；
（2）根據(jù)，結(jié)合（1）所求的取值范圍，得出整數(shù)的值有，，，分別計算討論整數(shù)的不同取值時，方程的兩個實數(shù)根，是否符合都是整數(shù)，選擇符合情況的整數(shù)的值即可．
【小問1詳解】
解：∵，是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
解得：；
【小問2詳解】
解：∵，由（1）得，
∴，
∴整數(shù)的值有，，，
當時，方程為，
解得：，（都是整數(shù)，此情況符合題意）；
當時，方程為，
解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；
當時，方程，
解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；
綜上所述，的值為．
9. （2024四川遂寧）已知關于的一元二次方程．
（1）求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）如果方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）或．
【解析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
（1）根據(jù)根的判別式證明恒成立即可；
（2）由題意可得，，，進行變形后代入即可求解．
【小問1詳解】
證明：，
∵無論取何值，，恒成立，
∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
【小問2詳解】
解：∵是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，
解得：或．
10. （2024四川內(nèi)江）已知關于的一元二次方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根和．
（1）填空：________，________；
（2）求，；
（3）已知，求的值．
【答案】（1），；
（2），；
（3）．
【解析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關系，根的判別式，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關系是解題的關鍵．
（）利用根和系數(shù)的關系即可求解；
（）變形為，再把根和系數(shù)的關系代入計算即可求解，由一元二次方程根的定義可得，即得，進而可得；
（）把方程變形為，再把根和系數(shù)的關系代入得，可得或，再根據(jù)根的判別式進行判斷即可求解．
【小問1詳解】
解：由根與系數(shù)的關系得，，，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∵關于的一元二次方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根和，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：由根與系數(shù)的關系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程為或，
當時，，不合題意，舍去；
當時，，符合題意；
∴．
11. （2024吉林?。╀撉偎赜小皹菲髦酢钡拿婪Q，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數(shù)．
【答案】白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個
【解析】本題考查了列一元一次方程解應用題，正確理解題意是解題的關鍵．
設黑色琴鍵x個，則白色琴鍵個，可得方程，再解方程即可．
【詳解】設黑色琴鍵x個，則白色琴鍵個，
由題意得：，
解得：，
∴白色琴鍵：（個），
答：白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個．
12. （2024江蘇連云港）我市將5月21日設立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動的紀念品．折扇單價為8元，其中郵費和優(yōu)惠方式如下表所示：
若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？
【答案】兩次郵購的折扇分別是40把和160把
【解析】【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，首先判斷出兩次購買數(shù)量的范圍，再設設一次郵購折扇把，則另一次郵?折扇把，根據(jù)“兩次郵購折扇共花費1504元”列出一元一次方程，求解即可
【詳解】解：若每次購買都是100把，則．
一次購買少于100把，另一次購買多于100把．
設一次郵購折扇把，則另一次郵購折扇把．
由題意得：，
解得．
．
答：兩次郵購的折扇分別是40把和160把．
13. （2024北京市）為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準6b階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求類物質(zhì)排放量不超過，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過一次技術改進，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術改進后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標準”，并說明理由.
【答案】符合，理由見詳解
【解析】本題考查了列一元一次方程解應用題，正確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．
設技術改進后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，根據(jù)汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為建立方程求解即可．
【詳解】解：設技術改進后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，
由題意得：，
解得：，
∵，
∴這次技術改進后該汽車的類物質(zhì)排放量符合“標準”．
14. （2024貴州省）為增強學生的勞動意識，養(yǎng)成勞動的習慣和品質(zhì)，某校組織學生參加勞動實踐．經(jīng)學校與勞動基地聯(lián)系，計劃組織學生參加種植甲、乙兩種作物．如果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學生．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學生？
（2）種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學生人數(shù)不超過55人，至少種植甲作物多少畝？
【答案】（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學生
（2）至少種植甲作物5畝
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，
（1）設種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學生，根據(jù)“種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名”列方程組求解即可；
（2）設種植甲作物a畝，則種植乙作物畝，根據(jù)“所需學生人數(shù)不超過55人”列不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學生，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學生；
【小問2詳解】
解：設種植甲作物a畝，則種植乙作物畝，
根據(jù)題意，得：，
解得，
答：至少種植甲作物5畝．
15. （2024安徽?。┼l(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一些田地．采用新技術種植兩種農(nóng)作物．種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表：
已知農(nóng)作物種植人員共位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，投入資金共萬元．問這兩種農(nóng)作物的種植面積各多少公頃？
【答案】農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃．
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解，根據(jù)題意，找到等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
【詳解】解：設農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃，
由題意可得，，
解得，
答：設農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃．
16. （2024四川自貢）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動．已知七（3）班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同．求甲，乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子．
【答案】甲組平均每小時包100個粽子，乙組平均每小時包80個粽子．
【解析】本題主要考查了分式方程的實際應用．設乙組每小時包個粽子，則甲組每小時包個粽子，根據(jù)時間等于總工作量除以工作效率，即可得出關于的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)果．
【詳解】設乙組平均每小時包個粽子，則甲組平均每小時包個粽子，
由題意得：
，解得：，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解，且符合題意，
∴分式方程的解為：，
∴
答：甲組平均每小時包100個粽子，乙組平均每小時包80個粽子．
17. （2024江蘇揚州）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數(shù)與B型機器處理300噸垃圾所用天數(shù)相等．B型機器每天處理多少噸垃圾？
【答案】B型機器每天處理60噸垃圾
【解析】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是正確找出題中的等量關系，本題屬于基礎題型．
設型機器每天處理噸垃圾，則型機器每天處理噸垃圾，根據(jù)題意列出方程即可求出答案．
【詳解】設型機器每天處理噸垃圾，則型機器每天處理噸垃圾，
根據(jù)題意，得，
解得．
經(jīng)檢驗，是所列方程的解．
答：B型機器每天處理60噸垃圾．
18. （2024云南省）某旅行社組織游客從地到地的航天科技館參觀，已知地到地的路程為300千米，乘坐型車比乘坐型車少用2小時，型車的平均速度是型車的平均速度的3倍，求型車的平均速度．
【答案】型車的平均速度為
【解析】本題考查分式方程的應用，設型車的平均速度為，則型車的平均速度是，根據(jù)“乘坐型車比乘坐型車少用2小時，”建立方程求解，并檢驗，即可解題．
【詳解】設型車的平均速度為，則型車的平均速度是，
根據(jù)題意可得，，
整理得，，
解得，
經(jīng)檢驗是該方程的解，
答：型車的平均速度為．
19. （2024山東威海）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數(shù)量的型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節(jié)能燈每年的用電量比一盞型節(jié)能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節(jié)能燈每年的用電量．
【答案】千瓦·時
【解析】本題考查分式方程的應用，根據(jù)題意列方程是關鍵，并注意檢驗．根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式分式方程求解即可．
【詳解】設一盞型節(jié)能燈每年用電量為千瓦·時，
則一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時
整理得
解得
經(jīng)檢驗：是原分式方程的解．
答：一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時.
20. （2024重慶市B）某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半．據(jù)測算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000元，已知種外墻漆每千克的價格比種外墻漆每千克的價格多2元．
（1）求、兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？
（2）已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？
【答案】（1）種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元．
（2）甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．
【解析】【分析】本題考查的是分式方程的應用，一元一次方程的應用，理解題意建立方程是解本題的關鍵；
（1）設種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元，再根據(jù)總費用為15000元列方程求解即可；
（2）設甲每小時粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；利用乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時．從而建立分式方程求解即可．
【小問1詳解】
解：設種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元，
∴，
解得：，
∴，
答：種外墻漆每千克的價格為元，種外墻漆每千克的價格為元．
【小問2詳解】
設甲每小時粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的根且符合題意，
答：甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．
郵購數(shù)量
100以上（含100）
郵寄費用
總價的
免費郵寄
折扇價格
不優(yōu)惠
打九折
農(nóng)作物品種
每公頃所需人數(shù)
每公頃所需投入資金（萬元）

相關試卷

專題17 多邊形問題-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）：

這是一份專題17 多邊形問題-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版），文件包含專題17多邊形問題原卷版doc、專題17多邊形問題解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

專題14 幾何圖形初步-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）：

這是一份專題14 幾何圖形初步-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版），文件包含專題14幾何圖形初步原卷版doc、專題14幾何圖形初步解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

專題10 反比例函數(shù)-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）：

這是一份專題10 反比例函數(shù)-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版），文件包含專題10反比例函數(shù)原卷版doc、專題10反比例函數(shù)解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

專題05 一元一次不等式（組）及其應用-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）

專題05 一元一次不等式（組）及其應用-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）
專題01 實數(shù)-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）

專題01 實數(shù)-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）
2023中考數(shù)學真題專項匯編特訓 專題08不等式(組)及其應用(原卷版+解析)

2023中考數(shù)學真題專項匯編特訓 專題08不等式(組)及其應用(原卷版+解析)
專題06 一次方程（組）及其應用- 2023年中考數(shù)學真題分類匯編（通用版含解析）

專題06 一次方程（組）及其應用- 2023年中考數(shù)學真題分類匯編（通用版含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部