目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc28653" 高頻考點(diǎn)一：求四邊形中邊（或角） PAGEREF _Tc28653 \h 1
\l "_Tc15595" 高頻考點(diǎn)二：四邊形中面積問題(含最值問題） PAGEREF _Tc15595 \h 10
\l "_Tc23234" 高頻考點(diǎn)三：實(shí)際問題中的四邊形問題 PAGEREF _Tc23234 \h 19
高頻考點(diǎn)一：求四邊形中邊（或角）
典型例題
例題1．（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，，，則___________.
例題2．（2023春·河南鄭州·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，為的角平分線上一點(diǎn)，且與分別位于邊的兩側(cè)，若
(1)求的面積;
(2)若，求的長(zhǎng).
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求的長(zhǎng)．
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．
(1)求的大小；
(2)若點(diǎn)在直線同側(cè)，，求的取值范圍．
例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，的面積為，．
（1）求的值；
（2）若，求的長(zhǎng)．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）濕地公園是國(guó)家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則______千米．
2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖,在平面四邊形中,,.
(1)試用表示的長(zhǎng);
(2)求的最大值.
3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平面四邊形中，，，．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．
4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，某景區(qū)擬開辟一個(gè)平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．
(1)求BE的長(zhǎng)；
(2)若，求五邊形ABCDE的周長(zhǎng)．
5．（2023春·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在梯形中，，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的長(zhǎng).
高頻考點(diǎn)二：四邊形中面積問題(含最值問題）
典型例題
例題1．（2023·四川成都·成都七中校考二模）如圖所示，在圓內(nèi)接四邊形中，，，，，則四邊形的面積為_____________．
例題2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在已知圓周上有四點(diǎn)、、、，，，.
(1)求的長(zhǎng)以及四邊形的面積；
(2)設(shè)，，求的值.
例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，是半徑為的半圓的圓心，為右端點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以向外做一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)在的異側(cè)，設(shè).
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形面積的最大值.
例題4．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△中，角的對(duì)邊分別為．
（1）求的大??；
（2）若為△外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．
例題5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在平面凸四邊形中（凸四邊形指沒有角度數(shù)大于的四邊形），，，．
(1)若，，求；
(2)已知，記四邊形的面積為．
①求的最大值；
②若對(duì)于常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（直接寫結(jié)果，不需要過程）
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，平面四邊形中，，，，，則四邊形的面積的最大值為______．
2．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，四邊形的面積為4，求的值.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，．
(1)證明：為直角三角形；
(2)若，求四邊形面積S的最大值．
4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四邊形ABCD面積的最大值；
(2)求對(duì)角線AC長(zhǎng)的取值范圍．
5．（2023秋·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，， ，為外一點(diǎn)，．
(1)求角的大小，并判斷的形狀；
(2)求四邊形的面積的最大值．
6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，設(shè)的內(nèi)角??的對(duì)邊分別為??，，且.若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，則當(dāng)角D等于多少度時(shí)，四邊形的面積有最大值，并求出最大值.
高頻考點(diǎn)三：實(shí)際問題中的四邊形問題
典型例題
例題1．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）為了迎接亞運(yùn)會(huì)， 濱江區(qū)決定改造一個(gè)公園，準(zhǔn)備在道路的一側(cè)建一個(gè)四邊形花圃種薰衣草（如圖）.已知道路長(zhǎng)為4km，四邊形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)， 設(shè)計(jì)在以為直徑的半圓上. 記.
(1)為了觀賞效果， 需要保證，若薰衣草的種植面積不能少于 km2，則應(yīng)設(shè)計(jì)在什么范圍內(nèi)?
(2)若， 求當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，并求出此最大值.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為提升城市旅游景觀面貌，城建部門擬對(duì)一公園進(jìn)行改造，已知原公園是直徑為百米的半圓，出入口在圓心處，點(diǎn)為一居民小區(qū)，距離為2百米，按照設(shè)計(jì)要求，取圓弧上一點(diǎn)A，并以線段為一邊向圓外作等邊三角形，使改造之后的公園成四邊形，并將區(qū)域建成免費(fèi)開放的植物園，如圖所示．設(shè)．
(1)當(dāng)，求四邊形的面積；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，線段最長(zhǎng)并求最長(zhǎng)值
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)，早隔離．某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域沿邊界用固定高度的板材圍城一個(gè)封閉隔離區(qū)，經(jīng)測(cè)量，邊界與的長(zhǎng)都是200米，．
(1)若，求BC的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到米）
(2)圍成該區(qū)域至多需要多少米長(zhǎng)度的板材？（不計(jì)損耗，結(jié)果精確到米）
第10講 拓展五：四邊形問題 (精講）
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc28653" 高頻考點(diǎn)一：求四邊形中邊（或角） PAGEREF _Tc28653 \h 1
\l "_Tc15595" 高頻考點(diǎn)二：四邊形中面積問題(含最值問題） PAGEREF _Tc15595 \h 10
\l "_Tc23234" 高頻考點(diǎn)三：實(shí)際問題中的四邊形問題 PAGEREF _Tc23234 \h 19
高頻考點(diǎn)一：求四邊形中邊（或角）
典型例題
例題1．（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，，，則___________.
【答案】
【詳解】在中，由正弦定理可得：，
所以①，
在中，由正弦定理可得：，
所以②，
又因?yàn)?，所以由①②可得：?br>解得：，
所以在中，由余弦定理得：
，
解得：.
故答案為: .
例題2．（2023春·河南鄭州·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，為的角平分線上一點(diǎn)，且與分別位于邊的兩側(cè)，若
(1)求的面積;
(2)若，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在中，，
即，解得(負(fù)根舍)，
所以.
（2）因?yàn)?，平分，所以?br>又，所以，
在中，由正弦定理，得，①
在中，由正弦定理，得，②
①②，得，所以，
又，且，所以，
將代入②，得，所以.
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，，，∴，
記，則，
∵，，∴，
在中，由正弦定理得：，則，
可得，化簡(jiǎn)得，
聯(lián)立方程，解得或，
∵，則，
故．
（2）解法一：由（1）知：，
由正弦定理得：，∴，
解法二：在中，，
在中，由余弦定理得：，
即，則，解得或（舍去），
故.
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．
(1)求的大??；
(2)若點(diǎn)在直線同側(cè)，，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設(shè)，則，
因，，，
則，而，，
則有，即，又，，因此，，
所以.
（2）由（1）知，，連AC，有，則，
而，中，由正弦定理有，
，，，
又，令，則，，
因此，
因，則，有，
即，，
所以的取值范圍為．
例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，的面積為，．
（1）求的值；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）因?yàn)椤鰽BD的面積S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，
所以sin∠DAB＝．
又0＜∠DAB＜，所以∠DAB＝，所以cs∠DAB＝cs＝．
由余弦定理得
BD＝＝，
由正弦定理得sin∠ABD＝＝．
（2）因?yàn)锳B⊥BC，所以∠ABC＝，
sin∠DBC＝sin(－∠ABD)＝cs∠ABD＝＝．
在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝．
由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcs∠DCB＝BD2，
可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－ (舍去)．
故BC的長(zhǎng)為．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）濕地公園是國(guó)家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則______千米．
【答案】
【詳解】在三角形中由正弦定理得，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，所以為等腰直角三角形，所以，
在中由余弦定理得
，
所以.
故答案為：.
2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖,在平面四邊形中,,.
(1)試用表示的長(zhǎng);
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）（）,,,
，則
在中,
,
,則.
（2）在中,
,
則當(dāng)時(shí),取到最大值.
故的最大值是
3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平面四邊形中，，，．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）解：連接，
因?yàn)?，，故為等邊三角形，?br>，則，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
因此，四邊形周長(zhǎng)的最大值為.
4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，某景區(qū)擬開辟一個(gè)平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．
(1)求BE的長(zhǎng)；
(2)若，求五邊形ABCDE的周長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，則.
（2）由（1）知：，則，
，
由且，則，
所以.
所以五邊形ABCDE的周長(zhǎng).
5．（2023春·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考階段練習(xí)）如圖所示，在梯形中，，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）.
（2）由（1）知，，
∵，
∴，，
，
由.
高頻考點(diǎn)二：四邊形中面積問題(含最值問題）
典型例題
例題1．（2023·四川成都·成都七中?？级＃┤鐖D所示，在圓內(nèi)接四邊形中，，，，，則四邊形的面積為_____________．
【答案】
【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)闉閳A內(nèi)接四邊形，
所以180°，則，利用余弦定理得，
，解得，所以．
由，得，
因?yàn)?，所以?br>．
故答案為：.
例題2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在已知圓周上有四點(diǎn)、、、，，，.
(1)求的長(zhǎng)以及四邊形的面積；
(2)設(shè)，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）解：由余弦定理可得，
整理可得，因?yàn)?，解?
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，
所以，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，
因?yàn)椋?br>所以，
.
（2）解：由余弦定理可得，
，則為銳角，為鈍角，
所以，，，
則，，
因此，.
例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，是半徑為的半圓的圓心，為右端點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以向外做一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)在的異側(cè)，設(shè).
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，解得.
（2）在中，，由余弦定理得.
因?yàn)椋?
所以四邊形的面積.
因?yàn)椋?，根?jù)正弦函數(shù)的最值可知，所以，即當(dāng)時(shí)，四邊形面積取到最大值.
例題4．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△中，角的對(duì)邊分別為．
（1）求的大??；
（2）若為△外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）在△中，∵，
∴，
∴，
∴
又∵，故，
∴，即 tanC＝1．
又∵，∴．
（2）在△BCD中，，
∴．
又，由（1）可知，
∴△為等腰直角三角形，
∴
又∵，
∴
∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積有最大值，最大值為．
例題5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在平面凸四邊形中（凸四邊形指沒有角度數(shù)大于的四邊形），，，．
(1)若，，求；
(2)已知，記四邊形的面積為．
①求的最大值；
②若對(duì)于常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（直接寫結(jié)果，不需要過程）
【答案】(1)
(2)①；②
【詳解】（1），
，
∴，
∴或（舍）.
（2）①，
．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由，得，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.
②.
由①知：，則需研究的范圍．
當(dāng)增大時(shí)，增大，從而B隨之增大，
所以，當(dāng)A，B，C趨于共線時(shí)，趨于，其中鈍角滿足，
當(dāng)減小時(shí)，減小，從而B隨之減小，
所以，當(dāng)A，B，D趨于共線時(shí)，趨于，其中銳角滿足，
，
令，則在上遞增，在上遞減
并且
，.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，平面四邊形中，，，，，則四邊形的面積的最大值為______．
【答案】
【詳解】連接，如圖，令，
在中，由余弦定理得：，
因，，則，
因此，四邊形的面積
，而，則當(dāng)，即時(shí)，，
所以四邊形的面積的最大值為.
故答案為：
2．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，四邊形的面積為4，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：在中，∵，則
∴．
在中，由正弦定理得，，
∴．
∵，∴，
∴．
（2）解：在、中，由余弦定理得，
，
，
從而①，
由得，
②，
得，，
∴．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，．
(1)證明：為直角三角形；
(2)若，求四邊形面積S的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)12
【詳解】（1）∵，由與余弦定理
∴，
整理得，，
∴．
∴為直角三角形．
（2）∵，
∴．
由，得．
．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
所以四邊形面積S的最大值為12．
4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四邊形ABCD面積的最大值；
(2)求對(duì)角線AC長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）因?yàn)锳D＝BD＝1，，所以三角形ABD為正三角形．設(shè)BC＝a，CD＝b．
在三角形BCD中，由余弦定理得，
所以，
所以，
因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以四邊形ABCD的面積，即最大值為；
（2）設(shè)，
在三角形BCD中，由正弦定理得，
，所以，
在三角形ABC中，由余弦定理得，
，
因?yàn)椋?，所以?br>5．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）如圖，在中，， ，為外一點(diǎn)，．
(1)求角的大小，并判斷的形狀；
(2)求四邊形的面積的最大值．
【答案】(1)，等邊三角形
(2)
【詳解】（1）由題知,即
解得或(舍),所以
因?yàn)?所以
所以的形狀為等邊三角形
（2）設(shè),在中由余弦定理得
的面積
的面積
四邊形ABCD的面積
當(dāng),等號(hào)成立
所以四邊形ABCD的面積的最大值為
6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，設(shè)的內(nèi)角??的對(duì)邊分別為??，，且.若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，則當(dāng)角D等于多少度時(shí)，四邊形的面積有最大值，并求出最大值.
【答案】；
【詳解】解：，
由正弦定理可得，
所以，，
，，可得，，，
所以，為等邊三角形，設(shè)，則，
由余弦定理可得，
，
，
所以，四邊形的面積為，
，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最大值.
高頻考點(diǎn)三：實(shí)際問題中的四邊形問題
典型例題
例題1．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了迎接亞運(yùn)會(huì)， 濱江區(qū)決定改造一個(gè)公園，準(zhǔn)備在道路的一側(cè)建一個(gè)四邊形花圃種薰衣草（如圖）.已知道路長(zhǎng)為4km，四邊形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)， 設(shè)計(jì)在以為直徑的半圓上. 記.
(1)為了觀賞效果， 需要保證，若薰衣草的種植面積不能少于 km2，則應(yīng)設(shè)計(jì)在什么范圍內(nèi)?
(2)若， 求當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，并求出此最大值.
【答案】(1)
(2)，10km
【詳解】（1）解：，
，
由題意， ，
，
因?yàn)?，所以?br>解得；
（2）由BC = AD可知，
，
故，
，
從而四邊形ABCD周長(zhǎng)最大值是10km， 當(dāng)且僅當(dāng)， 即時(shí)取到.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中學(xué)校考階段練習(xí)）為提升城市旅游景觀面貌，城建部門擬對(duì)一公園進(jìn)行改造，已知原公園是直徑為百米的半圓，出入口在圓心處，點(diǎn)為一居民小區(qū)，距離為2百米，按照設(shè)計(jì)要求，取圓弧上一點(diǎn)A，并以線段為一邊向圓外作等邊三角形，使改造之后的公園成四邊形，并將區(qū)域建成免費(fèi)開放的植物園，如圖所示．設(shè)．
(1)當(dāng)，求四邊形的面積；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，線段最長(zhǎng)并求最長(zhǎng)值
【答案】(1)平方百米
(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為3百米
【詳解】（1）由題意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四邊形的面積為
平方百米．
（2）在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以為銳角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：
．
∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為3百米．
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)，早隔離．某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域沿邊界用固定高度的板材圍城一個(gè)封閉隔離區(qū)，經(jīng)測(cè)量，邊界與的長(zhǎng)都是200米，．
(1)若，求BC的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到米）
(2)圍成該區(qū)域至多需要多少米長(zhǎng)度的板材？（不計(jì)損耗，結(jié)果精確到米）
【答案】(1)163米
(2)631米
【詳解】（1）連接，則在中，，
由正弦定理可得，
所以，
所以BC的長(zhǎng)約為163米；
（2）設(shè)，
則，
在中，由得
，
，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，
所以此時(shí)圍成該區(qū)域需要板材長(zhǎng)度最大且為，
所以圍成該區(qū)域至多需要631米長(zhǎng)度的板材

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