TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18854" 第一部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc18854 \h 2
\l "_Tc20438" 第二部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc20438 \h 4
\l "_Tc18650" 高頻考點一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法 PAGEREF _Tc18650 \h 4
\l "_Tc26243" 角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系 PAGEREF _Tc26243 \h 4
\l "_Tc12572" 角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系 PAGEREF _Tc12572 \h 6
\l "_Tc28036" 高頻考點二：空間角的向量求法 PAGEREF _Tc28036 \h 10
\l "_Tc3817" 角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角 PAGEREF _Tc3817 \h 10
\l "_Tc25939" 角度2：用向量法求異面直線所成角 PAGEREF _Tc25939 \h 10
\l "_Tc14072" 角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） PAGEREF _Tc14072 \h 11
\l "_Tc30028" 角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） PAGEREF _Tc30028 \h 13
\l "_Tc19122" 高頻考點三：距離問題 PAGEREF _Tc19122 \h 20
\l "_Tc23245" 角度1：點到直線的距離 PAGEREF _Tc23245 \h 20
\l "_Tc30026" 角度2：點到平面的距離（等體積法） PAGEREF _Tc30026 \h 21
\l "_Tc4695" 角度3：點到平面的距離（向量法） PAGEREF _Tc4695 \h 22
\l "_Tc20180" 高頻考點四：立體幾何折疊問題 PAGEREF _Tc20180 \h 24
第一部分：高考真題回歸
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
2．（2023·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>5．（2023·全國（甲卷文）·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
6．（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
第二部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法
角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系
典型例題
例題1．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四棱錐中，，，，為中點.

(1)求證：平面；
(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求三棱錐的體積.
例題2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直角梯形中（如圖一），，，.將沿折起，使（如圖二）.

(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為線段的中點，求點到直線的距離.
例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點在線段上，且平面，試確定點的位置；
(2)若，求四棱錐的體積.
例題4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，分別為的中點，，如圖①，以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖②．
(1)證明：；
(2)若平面，且，求點C到平面的距離
例題5．（2023·四川涼山·三模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，且直線與底面所成的角為．
(1)求證：平面平面；
(2)求點到平面的距離．
角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系
典型例題
例題1．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

(1)證明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
例題2．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，，，，為邊上的點，，，將沿直線翻折到的位置，且，連接，．
(1)證明：；
(2)Q為線段PA上一點，且，若二面角的大小為，求實數(shù)的值．
考點一練透核心考點
1．（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為AC、AA1的中點，AC=AA1=2.
(1)求證：DE∥平面A1BC；
(2)求DE與平面BCC1B1夾角的余弦值.
2．（2023·山東·校聯(lián)考二模）如圖，在正三棱臺ABC—DEF中，M，N分別為棱AB，BC的中點，.
(1)證明：四邊形MNFD為矩形；
(2)若四邊形MNFD為正方形，求直線BC與平面ACFD所成角的正弦值.
3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，是棱上的一點.
(1)是否存在點，使得平面？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)求多面體ABCDEF的體積.
4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點，，，.
(1)證明：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.
5．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點.
(1)證明：.
(2)求二面角的平面角的余弦值.
6．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）在如圖所示的幾何體中，平面平面；是的中點.
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面的夾角的余弦值.
高頻考點二：空間角的向量求法
角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角
典型例題
例題1．（2023·河北·模擬預(yù)測）在正方體中，點為的中點，點為的中點，則直線與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是棱上一點，則當(dāng)截面的周長最短時，與所成角的余弦值等于______．

例題3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，，，且，點，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為__________，與所成角的余弦值為__________.
角度2：用向量法求異面直線所成角
典型例題
例題1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動點，則當(dāng)線段最短時，異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在正方體中，，平面平面，則直線與所成角的余弦值為__________．
角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））
典型例題
例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體中，分別為棱的中點.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
例題2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，如圖、分別是，的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與所成角的正弦值．
例題3．（2023·山東德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；
(2)在線段上存在點使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．
例題4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，若已知，，點在底面的射影為點，則
(1)證明：
(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請說明理由.
角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））
典型例題
例題1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，在斜三棱柱中，，，的中點為，的中點為.

(1)證明：平面；
(2)若，，，求平面與平面所成角的大小.
例題2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，點分別是棱的中點，平面.

(1)證明：平面平面；
(2)過點作的平行線交的延長線于點，，點是線段上的動點，問：點在何處時，平面與平面夾角的正弦值最小，并求出該最小正弦值.
例題3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；
(2)若，在線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

例題4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.
考點二練透核心考點
1．（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點O為四棱錐外接球的球心，E為上的動點，則直線與所成的最小角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點，為棱上的動點（不含端點），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是______.
3．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是________.
4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為______．
5．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點．

(1)證明：平面．
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知，垂足為點，三棱錐的體積為．

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．

7．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)已知上是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.
8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點，點在邊上且.
(1)若為的中點，求四面體的體積；
(2)在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
9．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．
10．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，在五邊形中，四邊形是矩形，，將沿著折起，使得點到達點的位置，且平面平面，點，分別為線段，的中點，點在線段上，且.

(1)當(dāng)時，證明：平面；
(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值及此時的值.
11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.

(1)求證：平面平面PBC；
(2)求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.
12．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為.

(1)求側(cè)棱的長；
(2)側(cè)棱上是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由.
13．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點，M為PD（不包含端點）上的點，，．

(1)若，求證：平面；
(2)若平面，求與平面所成角的最大值．
高頻考點三：距離問題
角度1：點到直線的距離
典型例題
例題1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是,且，，為的中點，則點到直線的距離為（ ）

A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是______．
角度2：點到平面的距離（等體積法）
典型例題
例題1．（2023春·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知在矩形中，，，為邊的中點，將，分別沿著直線，翻折，使得，兩點重合于點，則點到平面的距離為______．

例題2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，將邊長的正方形沿對角線折起，連接，構(gòu)成一四面體，使得，則點到平面的距離為_____________．

例題3．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點到平面距離是______．

角度3：點到平面的距離（向量法）
典型例題
例題1．（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二濟源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，則點到平面的距離為_________．

例題2．（2023春·高二課時練習(xí)）已知直四棱柱中，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則直線與之間的距離為________.
例題3．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，，依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；
(2)求點到平面的距離．
考點三練透核心考點
1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，點E為棱的中點，則點到直線BE的距離為（ ）
A．3B．C．D．
2．（2023秋·高二課時練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知AB，CM分別為圓柱上、下底面的直徑，且AB＝2，圓柱的高為，，則點M到平面ABC的距離為______.
4．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD， E是PC的中點，已知，，，則P 到平面ABE的距離為___________．
5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，C1到平面B1BD的距離為_____．
6．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，，分別為的中點.則點到平面的距離為__________.
7．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┰谌忮F中，平面平面，若棱長，且，則點到平面的距離為________．
8．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，E為棱的中點，則點D到平面的距離為______．
9．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點．

(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
高頻考點四：立體幾何折疊問題
典型例題
例題1．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，，為中點，現(xiàn)沿平行于的折疊，使得，如圖2所示，則關(guān)于圖2下列結(jié)論正確的有______．

①平面
②該幾何體為三棱臺
③二面角的大小為
④該幾何體的體積為
例題2．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，直角梯形中，，，，為的中點，現(xiàn)將沿著折疊，使，得到如圖2所示的幾何體，其中為的中點，為上一點，與交于點，連接.

(1)求證：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角.
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，.現(xiàn)沿平行于的折疊，使得且平面，如圖2所示.
(1)求的長度；
(2)求二面角的大小.
練透核心考點
1．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點，現(xiàn)在將沿著CD進行翻折，使得翻折后S點在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點，如圖乙所示.
(1)證明：平面SBC；
(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.
2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示的五邊形中是矩形，，，沿折疊成四棱錐，點是的中點，．
(1)在四棱錐中，可以滿足條件①；②；③，請從中任選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面底面；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．）
(2)在（1）的條件下求直線與平面所成角的正弦值．
第09講 立體幾何與空間向量 章節(jié)總結(jié)
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18854" 第一部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc18854 \h 1
\l "_Tc20438" 第二部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc20438 \h 9
\l "_Tc18650" 高頻考點一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法 PAGEREF _Tc18650 \h 9
\l "_Tc26243" 角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系 PAGEREF _Tc26243 \h 9
\l "_Tc12572" 角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系 PAGEREF _Tc12572 \h 14
\l "_Tc28036" 高頻考點二：空間角的向量求法 PAGEREF _Tc28036 \h 27
\l "_Tc3817" 角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角 PAGEREF _Tc3817 \h 27
\l "_Tc25939" 角度2：用向量法求異面直線所成角 PAGEREF _Tc25939 \h 29
\l "_Tc14072" 角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） PAGEREF _Tc14072 \h 31
\l "_Tc30028" 角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） PAGEREF _Tc30028 \h 37
\l "_Tc19122" 高頻考點三：距離問題 PAGEREF _Tc19122 \h 65
\l "_Tc23245" 角度1：點到直線的距離 PAGEREF _Tc23245 \h 65
\l "_Tc30026" 角度2：點到平面的距離（等體積法） PAGEREF _Tc30026 \h 66
\l "_Tc4695" 角度3：點到平面的距離（向量法） PAGEREF _Tc4695 \h 69
\l "_Tc20180" 高頻考點四：立體幾何折疊問題 PAGEREF _Tc20180 \h 79
第一部分：高考真題回歸
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以.
因為平面，平面，所以，
因為，平面，，
所以平面，因為平面，所以，.
同理：，又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因為，
所有棱長之和為.
故選：C
2．（2023·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，
，，由的面積為，得，
解得，于是，
所以圓錐的體積.
故選：B
3．（2023·全國（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為平面平面，
所以，同理，
所以為直角三角形，
又因為，，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
5．（2023·全國（甲卷文）·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
【答案】(1)證明見解析.
(2)
【詳解】（1）證明：因為平面，平面,
所以,
又因為，即，
平面，,
所以平面，
又因為平面,
所以平面平面.
（2）如圖，

過點作，垂足為.
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱錐的高為.
因為平面，平面,
所以,,
又因為，為公共邊，
所以與全等，所以.
設(shè)，則，
所以為中點，,
又因為,所以,
即，解得，
所以，
所以四棱錐的高為．
6．（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【詳解】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，
因為，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因為，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
第二部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法
角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系
典型例題
例題1．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四棱錐中，，，，為中點.

(1)求證：平面；
(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：

取中點,連,
是中點,∴且,
又∵且.∵且,
∴四邊形為平行四邊形，,
又∵平面，?平面，∴平面．
（2）取中點，連，過作交于，連,
∵分別是中點，∴，又∵平面．
∴⊥平面,平面,
∴，又∵，平面，
∴⊥平面，平面，
∴，∴是平面與平面的夾角的平面角.
∴.
,
∴.
∴,
例題2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直角梯形中（如圖一），，，.將沿折起，使（如圖二）.

(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為線段的中點，求點到直線的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取的中點，連接，如圖所示：

因為，，
則四邊形為正方形，所以，
因為，所以.
因為，，，平面，
所以平面.
又因為平面，所以.
因為，，，平面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（2）取的中點，連接，

因為平面，，所以平面，
又因為平面，所以.
因為，所以.
因為，，，平面，
所以平面，
又因為平面，所以.
因為，，且，
所以，
即點 E 到直線 CD 的距離為.
例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點在線段上，且平面，試確定點的位置；
(2)若，求四棱錐的體積.
【答案】(1)點為線段上靠近點的三等分點；
(2).
【詳解】（1）如圖，過點作交于點，連接，
因為，所以四點共面，
若平面，由平面，平面平面，
所以，所以四邊形為平行四邊形，,
則，

所以當(dāng)且僅當(dāng)點為線段上靠近點的三等分點時，平面.
（2）如圖，取的中點，連接，取的中點，連接，則，所以，
又，則，又，則，
所以.
因為，平面，
所以平面，
則四棱錐的體積為.
例題4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，分別為的中點，，如圖①，以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖②．
(1)證明：；
(2)若平面，且，求點C到平面的距離
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）證明：在圖1中，因為，且為的中點，
，又為的中點，所以，
在圖2中，，且，平面，
平面，又平面，
所以；
（2）因為平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，連接，則，
因為，為等邊三角形，
所以，，，
所以，
取的中點，連接，則，
設(shè)點到平面的距離為，
，即，解得，
即點到平面的距離為．
例題5．（2023·四川涼山·三模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，且直線與底面所成的角為．
(1)求證：平面平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵平面ABCD，故為直線PD與平面ABCD所成的角，因此，又，∴
∵底面ABCD為矩形，且，∴底面ABCD為正方形，∴
又，而，平面PAC，∴平面PAC，又平面PBD，∴平面平面PAC，
（2），
由于,所以，
設(shè)點C到平面PBD的距離為d，則
∵，∴，解得：
∴設(shè)點C到平面PBD的距離為．
角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系
典型例題
例題1．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

(1)證明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取的中點,連接，
在正三棱柱中，不妨設(shè);
以為原點，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則,，
；
設(shè)平面的一個法向量為，則, ，
取，則，即；
設(shè)平面的一個法向量為，則,
即，取得.
因為，所以平面平面；

（2）因為，由（1）可得，即，
易知平面的一個法向量為,
；
二面角的余弦值為.
例題2．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意，
在矩形中，，，,
，分別是，的中點，
∴，，
在四棱錐中，面平面，
面面，， ∴面，
面，∴，
取中點，連接，由幾何知識得，
∵，∴，
∵面，面，
∴面，
∴
以、、為、、軸建立空間直角坐標系如下圖所示，

∴，
∴，面的一個法向量為，
∵，
∴平面.
（2）由題意，（1）及圖得，
在面中，，
，
設(shè)其法向量為，
則，即，解得：，
當(dāng)時，，
在面中，其一個法向量為，
設(shè)二面角為
∴，
由圖象可知二面角為鈍角，
∴二面角的余弦值為.
例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，，，，為邊上的點，，，將沿直線翻折到的位置，且，連接，．
(1)證明：；
(2)Q為線段PA上一點，且，若二面角的大小為，求實數(shù)的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）因為，所以，，又，PE、平面PAE，
所以平面PAE，平面ABCE，
所以平面平面PAE．
在梯形ABCD中，，所以，
所以在四棱錐中，．
因為，所以為正三角形．
取AE中點O，連接PO，OB，OC，易得，，
因為平面平面PAE，平面平面，平面可得平面，平面,
所以．
又，，，所以四邊形OBCE為正方形，所以，
又，OC、平面POC，
所以平面POC，因為平面POC，所以;
（2）由（1）知OA，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則：，，，，
由得，
則，，設(shè)平面QBC的一個法向量為，
故即，令，得，，
所以，
易知平面ABC的一個法向量為，
所以，
解得或（舍）．
所以實數(shù)的值為．
考點一練透核心考點
1．（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為AC、AA1的中點，AC=AA1=2.
(1)求證：DE∥平面A1BC；
(2)求DE與平面BCC1B1夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵點D、E分別為AC、AA1的中點，
∴DE為三角形ACA1的中位線，即DE∥CA1，
平面，平面，
∴DE∥平面A1BC
（2）過點A1作B1C1的垂線，垂足為F，連結(jié)，
因為平面平面，且平面平面，
，所以平面，所以為在平面的射影，
即為所求角，，，
所以.
2．（2023·山東·校聯(lián)考二模）如圖，在正三棱臺ABC—DEF中，M，N分別為棱AB，BC的中點，.
(1)證明：四邊形MNFD為矩形；
(2)若四邊形MNFD為正方形，求直線BC與平面ACFD所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）延長,則相交于一點,連接,
M，N分別為棱的中點，所以 且，
由于，所以又，
所以,所以四邊形為平行四邊形，
在三棱錐中，,所以,
進而得 ,又 ,因此
所以 ，故四邊形為矩形
（2）由可知分別是的中點，
所以,
又四邊形為正方形，所以，所以,
由于三棱錐為正三棱錐，且，因此三棱錐為正四面體，
因此直線BC與平面ACFD所成的角即為直線與平面所成角，
取的中心為,連接,則平面，所以為直線與平面所成角，
設(shè)四面體的棱長為 ，在中，由正弦定理可得， ，
在中，,
故直線BC與平面ACFD所成的角的正弦值為
3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，是棱上的一點.
(1)是否存在點，使得平面？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)求多面體ABCDEF的體積.
【答案】(1)存在，時，平面
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，滿足平面，
過點作AD交AF于點G，連接BG，則，
因為，，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
故，
因為平面，平面，
所以平面，此時；
（2）連接AE，DE，
四邊形ABCD為直角梯形，過點B作BN⊥AD于點N，則四邊形BCDN為正方形，
故BC=DN=1，BN=CD=1，故AN=AD-DN=3-1=2，
由勾股定理得：，
面積為，
平面平面，交線為AB，
因為四邊形為正方形，所以，平面ABEF，
故平面ABCD，且
則四棱錐，
過點N作NH⊥AB于點H，則，
則點D到AB的距離為，
因為平面平面，交線為AB，NH⊥AB，且平面ABCD，
所以NH⊥平面ABEF，
則點D到平面ABEF的距離為，
正方形ABEF的面積為，則，
多面體ABCDEF的體積為.
4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點，，，.
(1)證明：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：在三棱柱中，平面，，，.
所以，則，則，則如下圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，
設(shè)，則
,
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，
所以，令，則，即，
所以，得，
又平面，所以平面；
（2）三棱錐的體積，
解得，則，
由（1）知平面的法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，，
所以，令，則，即，
則，
由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
于是，
故二面角的正弦值為.
5．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點.
(1)證明：.
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
.
因為，所以；
（2）設(shè)平面的法向量為，
則取，可得.
設(shè)平面的法向量為，
則取，可得.
.
故二面角的平面角的余弦值為.
6．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）在如圖所示的幾何體中，平面平面；是的中點.
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析；
(2)；
(3).
【詳解】（1）因為，以為原點，分別以，所在直線為，軸，過點且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
所以，，
所以，
所以，即；
（2）因為，設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，又，
設(shè)與平面所成角為，則，
直線與平面所成的角的正弦值為；
（3）由題， ，
設(shè)平面的法向量，
由，令，則，
又平面的法向量，
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
高頻考點二：空間角的向量求法
角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角
典型例題
例題1．（2023·河北·模擬預(yù)測）在正方體中，點為的中點，點為的中點，則直線與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】如圖,取的中點,的中點,
連接,則易得，
則四邊形是平行四邊形，所以,
因為，，
所以，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
所以即為直線與所成的角(或其補角).
設(shè)止方體的棱長為2,
則,,
所以,所以,
所以.
故選：A.

例題2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是棱上一點，則當(dāng)截面的周長最短時，與所成角的余弦值等于______．

【答案】
【詳解】四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，
平面，平面, ，平面，平面，故平面，
，將矩形沿旋轉(zhuǎn)到與在同一平面，如圖1，連接,此時 交于點 的最小值為，,,故的最小值為，此時，，

圖1 圖2
過作交于，連接，，
由題意可得，故為異面直線與所成的角，
又，，平面，平面，故，，
又可得，，，
．
故答案為：
例題3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，，，且，點，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為__________，與所成角的余弦值為__________.
【答案】
【詳解】
取的中點G，連接，，則，，故或其補角為異面直線與所成的角，
過A作平面于點O，連接，，，則，
又，且，故平面，故，同理可得，
即為的垂心，故，又，，平面，
平面，故平面，故，即與所成角為；
所以，由可得，故，
即異面直線與所成角的余弦值為；
故答案為：①，②.
角度2：用向量法求異面直線所成角
典型例題
例題1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動點，則當(dāng)線段最短時，異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，
所以，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、，
設(shè)，其中，
，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)點為線段的中點時，取最小值，此時點，
則，，
，
因此，當(dāng)線段最短時，異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
例題2．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在正方體中，，平面平面，則直線與所成角的余弦值為__________．
【答案】
【詳解】作出圖形，如圖所示．
延長至E，使得，則≌，≌，
故，，故四邊形為平行四邊形，
連接，延長，交于點G，連接，則即為直線l．
以D為坐標原點，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)，過點作軸于點，則∽，且相似比為1:2，
故，，
則，，，，
故，，
故直線l與所成角的余弦值為．
故答案為：
角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））
典型例題
例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體中，分別為棱的中點.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：以為原點，所在直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為2，
則，，，，，，.
因為為棱的中點，為棱的中點，所以，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則由
令，可得，所以，
因為，所以，
又因為平面，所以平面.
（2）解：由（1）得，，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.

例題2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，如圖、分別是，的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設(shè)棱長為，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
所以，則平面平面．
（2）設(shè)直線與平面所成角的為，而，平面的法向量，
所以．
直線與所成角的正弦值．
例題3．（2023·山東德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；
(2)在線段上存在點使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：在圖1中，連接，交于，

，
所以，
所以，四邊形是菱形，
所以，且．
在圖2中，滿足，
所以，所以，，
又平面，所以，平面，
又平面，所以，平面平面；
（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，得，
設(shè)，在線段上存在點使得與平面的正弦值為，
所以
解得或（舍），
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，得，
設(shè)平面與平面的平面角為，
所以，平面與所成角的余弦值為
例題4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，若已知，，點在底面的射影為點，則
(1)證明：
(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)在線段PC上是否存在一點M，滿足條件，且.
【詳解】（1）因為點P在底面ABC的射影為點H，
所以平面，又平面，
所以，
因為，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因為，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因為，，
所以點為的垂心，所以，
因為，，平面，，
所以平面，又平面，
所以；
（2）延長交于點，由（1）可得，
又，所以點為線段的中點，
所以，同理可得，
所以為等邊三角形，又，所以，
如圖，以點為原點，以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，
故，
設(shè)存在點M，使得BM與平面所成角的余弦值為，且，
則，
設(shè)平面的法向量為，，
則，所以，
令，可得，
所以為平面的一個法向量，
所以，
設(shè)直線BM與平面所成角為，則，又，
所以，故，
所以或，又，
所以.
所以在線段PC上存在點M，使得BM與平面PAB所成角的余弦值為，且.

角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））
典型例題
例題1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，在斜三棱柱中，，，的中點為，的中點為.

(1)證明：平面；
(2)若，，，求平面與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【詳解】（1）連接，因為四邊形為平行四邊形，
所以為的中點，
因為為的中點，
所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面.

（2）因為，又，，平面，
所以平面，
因為平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面，
取的中點，
因為，所以，
因為平面平面，平面平面，
所以平面，，
建立如圖所示空間直角坐標系，，

由得，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，所以 ，
因為平面，所以可取平面的法向量為.
設(shè)平面與平面所成角為，由圖可知為銳角，
則，
故平面與平面所成角為.
例題2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，點分別是棱的中點，平面.

(1)證明：平面平面；
(2)過點作的平行線交的延長線于點，，點是線段上的動點，問：點在何處時，平面與平面夾角的正弦值最小，并求出該最小正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由可知，又，故（三線合一），
又平面，平面，故，
又，平面，故平面，
又平面，故平面平面
（2）
在平面中，過作，垂足為，不妨設(shè)，由于，
則，
以所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，
設(shè)，則，，，.
設(shè)平面的法向量，由，即，
則是其中一條法向量；
設(shè)平面的法向量，由，即，
則是其中一條法向量.
設(shè)平面與平面夾角為，則，
當(dāng)時，取到最大值，此時正弦值取到最小值為.
例題3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；
(2)若，在線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，或
【詳解】（1）取中點，連接，

四邊形為菱形，，，，，
，平面，平面，
平面，.
（2），，
，解得：；
，，；
在平面中，作，交于點，
則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

假設(shè)在線段上存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，
，，，
又，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
軸平面，平面的一個法向量，
，解得：，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)或時，平面與平面所成角的余弦值為.
例題4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)存在，
【詳解】（1）連接與相交于點，連接，如圖所示：

四邊形為菱形，，
為等邊三角形，是的中點，有，
、面，，面，又面，
則，又已知，，平面，
所以平面.
（2），分別為，的中點，連接，，
由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，
又因為為等邊三角形，，平面
以為原點，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系

則，，，，由，
，
設(shè)，，
則，
設(shè)平面的一個法向量，
則有，
令，則，
易取平面的一個法向量為 ，
由已知平面與平面的夾角的正弦值為，
則平面與平面的夾角的余弦值為，
則有，
，由解得.
所以，點存在，.
考點二練透核心考點
1．（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點O為四棱錐外接球的球心，E為上的動點，則直線與所成的最小角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系，
設(shè)，則，，，
球心在平面的投影坐標為，則設(shè)球心，
則，即，
解得，則.
設(shè)，，，，
設(shè)，則，，
則，
當(dāng)時，有最大值為，
此時直線與所成的角最小，對應(yīng)的正弦值為.
故選：D
2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點，為棱上的動點（不含端點），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】方法1：取的中點N，連接，如圖所示，

則，面，
所以異面直線AB與EG所成角即為，，
設(shè)，（），
所以，
又因為，
所以，
所以，即： .
方法2：如圖所示建立空間直角坐標系，

則，，，，
所以，，
所以，（），
又因為當(dāng)時，；當(dāng)或時，，
所以，
又因為，
所以.
故答案為：.
3．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是________.
【答案】/
【詳解】在棱長為2的正方體中，取中點，連接，如圖，

因為為的中點，有，則四邊形是平行四邊形，
于是，又，即有四邊形是平行四邊形，
因此，則是異面直線與所成的角或補角，
而為底面的中心，則，又平面，
從而平面，而平面，則，
在中，，于是，
所以異面直線與所成角的余弦值是.
故答案為：
4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為______．
【答案】或
，解得，
故，
以為軸建立空間直角坐標系，
，，，或，
或，，
異面直線AD與BC所成的角的大小為，，
，；
或，；
綜上所述：異面直線AD與BC所成的角的大小為或.
故答案為：或
5．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點．

(1)證明：平面．
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，．

因為，分別是棱，的中點，所以．
因為平面，平面，所以平面．
因為，分別是棱，的中點，所以．
因為平面，平面，所以平面．
因為，平面，且，所以平面平面．
因為平面，所以平面．
（2）以為坐標原點，分別以，的方向為，軸的正方向，垂直平面向上的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設(shè)，則，．
由余弦定理可得，則，
從而，，，，，
故，，．
設(shè)平面的法向量為，
則,令，得．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知，垂足為點，三棱錐的體積為．

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取邊的中點，連接，因為，所以，
由已知，可得．
因為，設(shè)點到底面的距離為，
由，解得．
因為，所以平面，平面，所以平面平面，
又因各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等，
所以平面，平面，平面都與底面垂直．
取邊的中點，連接，則平面，
所以有，從而易得，
可得，所以四邊形是平行四邊形，
所以，已知，所以．
因為平面平面，平面平面，
由于，平面，所以平面，
所以．因為，平面，
所以平面．

（2）由（1）可得到直線兩兩垂直，
以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系．

可得，，
求得，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，所以．
所以.
7．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)已知上是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，
又因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）上存在點，使與平面所成角的正弦值為，且.
理由如下：
取中點，連接，因為，所以，
又，所以為等邊三角形，所以，
因為，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
以為原點，以方向分別為軸，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
.
因為平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
假設(shè)上存在一點，使與平面所成角的正弦值為，設(shè)，
則，所以，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，
令，則，可取，
又，
所以，
即，解得，此時；
因此上存在點，使與平面所成角的正弦值為，且.
8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點，點在邊上且.
(1)若為的中點，求四面體的體積；
(2)在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）解：由題意可得兩兩互相垂直，
所以可以以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
∴，，，，
∴，，.
設(shè)平面的一個法向量，
，不妨令y＝1，∴.
設(shè)點到平面的距離為，則，
又因為，，∴的面積為.
∴四面體的體積為.
（2）設(shè)點坐標為，∴，.
∵，即，∴，
∴，∴.
設(shè)，，
∴.
設(shè)平面的一個法向量，
∴，即，令得
∴，
∴，
∵與面所成角的余弦值是，正弦值為.
∴，整理得，
∴，（舍去）.
∴存在滿足條件的點，且.
9．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：

由三棱臺知：，
在梯形中，取的中點，連接，
因，
故，四邊形是平行四邊形，
∴，
，
所以，
，即，
因，所以，
又因，所以，
又因，所以平面，
因平面，
所以平面平面；
（2）解：
取的中點，的中點，連接，，則，
因，所以，
由條件知：四邊形是等腰梯形，所以，
平面平面
平面,
平面平面
∴平面，
分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖，

則在等腰梯形中，由平面幾何知識可得：，
∴，，，，
設(shè)平面的法向量，
則由 得，
令，得，，
所以，
又平面的法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則．
10．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，在五邊形中，四邊形是矩形，，將沿著折起，使得點到達點的位置，且平面平面，點，分別為線段，的中點，點在線段上，且.

(1)當(dāng)時，證明：平面；
(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值及此時的值.
【答案】(1)見解析
(2)的最大值為1,此時的值為.
【詳解】（1）取的中點,連接,,
分別為,的中點,
,
四邊形是矩形,點為的中點
.
,
四邊形為平行四邊形，.
又平面平面,
平面.
（2）由題可知，又點為的中點，,
平面平面,平面平面平面,
平面,
以點為坐標原點,的方向分別為,軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,

則,，
由題設(shè),
當(dāng)時,顯然不符合;
當(dāng)時,,
.
設(shè)平面的法向量為,
則，
取,則,
，
取平面的一個法向量為,
，
當(dāng)時,,此時取得最大值1.
的最大值為1,此時的值為.
11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.

(1)求證：平面平面PBC；
(2)求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【詳解】（1）中，E為PB的中點，所以.
在正方形ABCD中，.
因為平面ABCD，平面ABCD，即.
又因為，平面PAB，所以平面PAB.
平面PAB，即，又因為，，平面PBC.
所以平面PBC，平面AEF，
即平面平面PBC.
（2）因為平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP兩兩垂直.
以A為原點， AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

有，，，，，
PB中點，設(shè)，.
，，，.
設(shè)平面PCD的法向量，由，
得，取.
設(shè)平面的法向量，由，
得，取.
所以平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值為.
令，，
則，
所以當(dāng)即時，平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值取得最大值，
此時平面AEF與平面PCD的夾角取得最小值.
12．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為.

(1)求側(cè)棱的長；
(2)側(cè)棱上是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由.
【答案】(1)2
(2)存在在的三等分點靠近的分點處，證明見解析
【詳解】（1）取的中點，連接，
因為，則，
又因為側(cè)面為矩形，則，//，
且//，則//，即四點共面，
平面平面，
所以平面，則，
則是二面角的平面角，
則，所以，
設(shè)，
因為，則，
又因為，則，
可得，
在中，由余弦定理
得：，即，
平方整理得，得或（舍去），
即為2.

（2）解法一：如圖，建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，

過作底面，
因為，可得，
則，，
可得，
所以，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則，
則，令，則，即，
設(shè)，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，
因為，
則，
令，則，即，
平面與平面所銳二面角為，
可得，解得，
所以存在，在的三等分點靠近的分點處.
解法二：把三棱柱補為四棱柱，如圖，為中點，過作，

由（1）知：，則，
由棱柱的性質(zhì)易得：且，即為平行四邊形，
所以，故，又，
，面，則面，在面內(nèi)，
所以，而，面，
則平面，且平面，則，
過作，連，，面，
則平面，且平面，可得，
則為二面角的平面角，
設(shè)，則，
可得，
由點到的距離為，
則，解得，
所以存在，在的三等分點靠近的分點處.
13．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點，M為PD（不包含端點）上的點，，．

(1)若，求證：平面；
(2)若平面，求與平面所成角的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）延長FM和CD交于點Q，連BQ交AD于點H，連FH，F(xiàn)N，
由，故，
所以，
即H為AD的中點，
此時，，且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，
所以平面；
（2）以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面BMF的法向量，
則有，令，則，
所以，
設(shè)DB與平面MFB所成的角為，
則
，
當(dāng)時，的最大值為，
又，故DB與平面所成角的最大值．

高頻考點三：距離問題
角度1：點到直線的距離
典型例題
例題1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是,且，，為的中點，則點到直線的距離為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】在平行六面體中，不妨設(shè)，，．
,，
，，
所以，，
，
所以E到直線的距離為，
故選：A
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是______．
【答案】/
【詳解】因為平面，底面為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則點、、，
，，，
所以，，
所以，的中點到直線的距離.
故答案為：.
角度2：點到平面的距離（等體積法）
典型例題
例題1．（2023春·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知在矩形中，，，為邊的中點，將，分別沿著直線，翻折，使得，兩點重合于點，則點到平面的距離為______．

【答案】/
【詳解】因為ABCD為矩形，所以，，
因為，平面，
所以平面，
因為，
所以，
，
點到平面MAD的距離為h，，
所以，解得．
故答案為：
例題2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，將邊長的正方形沿對角線折起，連接，構(gòu)成一四面體，使得，則點到平面的距離為_____________．

【答案】/
【詳解】由已知可得，，，
取的中點，連接，
因為，，所以，
因為，，所以，
又，所以，
因為，點為的中點，
所以，由平面，，
所以平面，
所以點到平面的距離為，又的面積為，
所以三棱錐的體積為，
設(shè)點到平面的距離為，則，
又，
因為，所以的面積為，
所以，
所以.
所以點到平面的距離為.
故答案為：.

例題3．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點到平面距離是______．

【答案】/
【詳解】，為邊長為的等邊三角形，
設(shè)到平面的距離為，根據(jù)，
則，
解得.
故答案為：.
角度3：點到平面的距離（向量法）
典型例題
例題1．（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二濟源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，則點到平面的距離為_________．

【答案】
【詳解】如圖，以D為坐標原點，以DA，DC，分別為x，y，z軸建立如圖坐標系，
設(shè)正方體的棱長為2，則，，，

∴，，，
設(shè)平面BGF的法向量為，則，令，則，
∴，則點到平面BGF的距離.
故答案為： .
例題2．（2023春·高二課時練習(xí)）已知直四棱柱中，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則直線與之間的距離為________.
【答案】
【詳解】以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標系，
則D(0,0,0)，B(2,2,0)，，
∴.
直線BD與EF之間的距離即為點D到直線EF的距離.
設(shè)，
則，
∴，
∴所求距離為
故答案為：.
例題3．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，，依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）在直三棱柱中，，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
，，
所以異面直線所成角的余弦值為．
（2）設(shè)平面AEF的一個法向量為，而，
則，令，得，又，
于是．
所以點到平面AEF的距離為．
考點三練透核心考點
1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，點E為棱的中點，則點到直線BE的距離為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系.
則，，，，，
，點到直線BE的距離為.
故選：C.
2．（2023秋·高二課時練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．
【答案】
【詳解】方法一：如圖，因為平面,平面,所以,
又因為是矩形，所以,
因為,所以平面,
因為平面，所以,所以為到的距離.
在矩形中，因為，所以,
在直角三角形中，由勾股定理得,
所以到的距離為.
故答案為：.
方法二：建立如圖所示坐標系，在矩形中，，
所以，所以
,所以,
所以為到的距離.
,所以到的距離為.
故答案為：

3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知AB，CM分別為圓柱上、下底面的直徑，且AB＝2，圓柱的高為，，則點M到平面ABC的距離為______.
【答案】
【詳解】如圖所示，連接AM，BM，設(shè)，O分別為上、下底面圓的圓心，連接AO，BO，.
因為，又，，則平面ABO，
則，
過C作垂直于圓柱上底面，垂足為，連接，，
則，，
設(shè)點M到平面ABC的距離為d，
則有，解得，
故點M到平面ABC的距離為.
故答案為：
4．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD， E是PC的中點，已知，，，則P 到平面ABE的距離為___________．
【答案】
【詳解】
解：取AB的中點F，連接EF，AC，取AC的中點O，連接EO，
E是PC的中點，底面ABCD是矩形，
，且，，
又底面ABCD，底面ABCD ，，，
而，平面PAB，平面PAB，
平面PAB，即EF為三棱錐的高，
,
在中，，
在中，，則，，
在中，，則，
在中，，
又分別是PC，AC的中點，底面ABCD，
，且，，
在中，，
則，是等邊三角形，
設(shè)P 到平面ABE的距離為d，則，
故答案為：.
5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，C1到平面B1BD的距離為_____．
【答案】
【詳解】如圖，因為正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，
所以，，
設(shè)C1到平面B1BD的距離為h，
由，得，即．
故答案為：．
.
6．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，，分別為的中點.則點到平面的距離為__________.
【答案】/
【詳解】因為，，所以.
又由直三棱柱的性質(zhì)，可知平面.
如圖，以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，
所以，，，.
設(shè)是平面的一個法向量，
則，即，
取，則是平面的一個法向量.
因為，在方向上投影向量的模為，
所以，點到平面的距離為.
故答案為：.
7．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┰谌忮F中，平面平面，若棱長，且，則點到平面的距離為________．
【答案】
【詳解】如圖所示，以AD的中點O為原點，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標系，
則A，B，C，D，
∴＝，＝，＝，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，所以y＝－x，z＝－x，
可取,代入 ，得，
即點D到平面ABC的距離是.
故答案為：.
8．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，E為棱的中點，則點D到平面的距離為______．
【答案】1
【詳解】如圖所示，以D為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故，
點D到平面的距離為.
故答案為：1
9．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點．

(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取中點，連接、，
因為、分別為、的中點，則且，
因為四邊形為矩形，則且，
因為為的中點，所以，且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，故，
因為平面，平面，因此，平面.
（2）解：因為平面，底面為矩形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，可得，
因為，故點到平面的距離為.
高頻考點四：立體幾何折疊問題
典型例題
例題1．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，，為中點，現(xiàn)沿平行于的折疊，使得，如圖2所示，則關(guān)于圖2下列結(jié)論正確的有______．

①平面
②該幾何體為三棱臺
③二面角的大小為
④該幾何體的體積為
【答案】①④
【詳解】因為，，，
，，為中點，
所以，
如圖作，，則，
,
所以，
即，
又，，
平面，，
所以平面，
又平面，則，
又平面，，
所以平面，①正確；

由題知，平面平面，
而，故和不會交于一點，
所以該幾何體不可能為三棱臺，②錯；
由題知，建立空間直角坐標系如圖，

則，
即可為平面的法向量，
設(shè)平面的法向量為，
又，，
則，得，
令，則，
，
所以二面角的大小不是，③錯；
該幾何體的體積
，④正確.
故答案為：①④
例題2．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，直角梯形中，，，，為的中點，現(xiàn)將沿著折疊，使，得到如圖2所示的幾何體，其中為的中點，為上一點，與交于點，連接.

(1)求證：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在直角梯形中，，，，為的中點，
由翻折的性質(zhì)可得，翻折后，，
又，，
，則，故，，兩兩互相垂直，
以點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖示：
則，，，，
，，
，即，
又平面，平面，
平面．
（2）設(shè)點到平面的距離為，
則，解得，
點為的中點，
在空間直角坐標系中，，，.
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，，
故平面的一個法向量為，
又平面的一個法向量為，
所以，
令平面與平面的夾角，由圖可知，，
則，即．
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，.現(xiàn)沿平行于的折疊，使得且平面，如圖2所示.
(1)求的長度；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)1
(2)
【詳解】（1）由平面，平面，得，
在矩形中，由，，知，
設(shè)，則，，
故，，
由勾股定理：，
解得：，
的長度為1；
（2）因為，，，
且平面，所以平面，
結(jié)合知，兩兩互相垂直，故以點為原點，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，所以
，，，，，，
所以，，，，
設(shè)為平面的一個法向量，所以，
取，則，
設(shè)為平面的一個法向量，所以，
取，則，
記所求二面角大小為，為鈍角，則，
所求二面角的大小為.
練透核心考點
1．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點，現(xiàn)在將沿著CD進行翻折，使得翻折后S點在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點，如圖乙所示.
(1)證明：平面SBC；
(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取SB的中點為N，連接MN，CN，如圖所示：
在圖甲中，∵C，D分別為SB，SA上的中點，
∴，，
又∵M，N分別為SA，SB的中點，
∴，，
∴MNCD為平行四邊形，∴，
又∵平面SBC，平面SBC，
∴平面SBC.
（2）∵，
∴，，，
∴平面SBC，又平面ABCD，
平面平面ABCD，
因為S點在底面的投影H在線段BC上，
∴平面ABCD，∴.
SC與平面ABCD所成角的平面角為，
，
過H作，則HP，HB，HS兩兩互相垂直，
以H為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
，，
易知為平面SBC的一個法向量；
設(shè)為平面ADS的一個法向量，
則有，
可取，
設(shè)平面ADS與平面SBC所成銳二面角的大小為，
則，
所以平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.
2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示的五邊形中是矩形，，，沿折疊成四棱錐，點是的中點，．
(1)在四棱錐中，可以滿足條件①；②；③，請從中任選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面底面；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．）
(2)在（1）的條件下求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：（1）方案一：選條件①②．
因為在四棱錐中，點是的中點，，所以，
又因為在中，，所以，
又因為是矩形，，所以，，
由可得，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因為側(cè)面，
所以側(cè)面底面；
方案二：選條件①③．
因為在四棱錐中，點是的中點，，所以，
又因為在中，，
所以由正弦定理得：，即，所以，
即，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因為側(cè)面，
所以側(cè)面底面；
方案三：選條件②③．
因為在四棱錐中，點是的中點，，所以，
又因為在中，，所以，
又因為是矩形，，所以，
又因為在中，，則，
設(shè)，，
所以有，解得或（舍，所以，
由可得，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因為側(cè)面，
所以側(cè)面底面；
（2）在（1）條件下知平面，且，
故如圖所示：以為坐標原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則，則，
，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
直線與平面所成角的正弦值為.

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