TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10563" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc10563 \h 2
\l "_Tc27992" 第二部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc27992 \h 4
\l "_Tc10360" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc10360 \h 5
\l "_Tc6062" 高頻考點一：導(dǎo)數(shù)的概念 PAGEREF _Tc6062 \h 5
\l "_Tc1083" 高頻考點二：導(dǎo)數(shù)的運算 PAGEREF _Tc1083 \h 8
\l "_Tc31802" 高頻考點三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 PAGEREF _Tc31802 \h 10
\l "_Tc22197" 角度1：求切線方程（在型） PAGEREF _Tc22197 \h 10
\l "_Tc19854" 角度2：求切線方程（過型） PAGEREF _Tc19854 \h 11
\l "_Tc11544" 角度3：已知切線方程（或斜率）求參數(shù) PAGEREF _Tc11544 \h 12
\l "_Tc32107" 角度4：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc32107 \h 14
\l "_Tc19983" 角度5：共切點的公切線問題 PAGEREF _Tc19983 \h 18
\l "_Tc11258" 角度6：不同切點的公切線問題 PAGEREF _Tc11258 \h 21
\l "_Tc9378" 角度7：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題 PAGEREF _Tc9378 \h 24
\l "_Tc15776" 第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點）題 PAGEREF _Tc15776 \h 26
\l "_Tc31540" 第五部分：高考新題型 PAGEREF _Tc31540 \h 28
\l "_Tc13436" ①開放性試題 PAGEREF _Tc13436 \h 28
\l "_Tc20363" ②探究性試題 PAGEREF _Tc20363 \h 30
\l "_Tc4822" 第六部分：數(shù)學(xué)思想方法 PAGEREF _Tc4822 \h 31
\l "_Tc4099" ①函數(shù)與方程的思想 PAGEREF _Tc4099 \h 31
\l "_Tc30213" ②數(shù)形結(jié)合得思想 PAGEREF _Tc30213 \h 32
\l "_Tc21330" ③轉(zhuǎn)化與化歸思想 PAGEREF _Tc21330 \h 34
溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Hme可回到開頭
第一部分：知識點必背
1、平均變化率
（1）變化率
事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.
（2）平均變化率
一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：.
（3）如何求函數(shù)的平均變化率
求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：
①作差：求出和
②作商：對所求得的差作商，即.
2、導(dǎo)數(shù)的概念
（1）定義：函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.
（2）定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：
求函數(shù)的增量：；
求平均變化率：；
求極限，得導(dǎo)數(shù)：.
3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.
4、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
5、導(dǎo)數(shù)的運算法則
若，存在，則有
（1）
（2）
（3）
6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積．
7、曲線的切線問題
（1）在型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設(shè)切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（甲卷理，文）·高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．
3．（2021·全國（甲卷理）·高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．
4．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：導(dǎo)數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度隨開窗通風(fēng)換氣時間的關(guān)系如圖所示，則下列時間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023秋·陜西·高二校聯(lián)考期末）設(shè)，則（ ）
A．B．C．3D．12
例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A．B．
C．D．
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（ ）
A．2B．1C．D．
3．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．3B．C．D．0
高頻考點二：導(dǎo)數(shù)的運算
典型例題
例題1．（2023春·天津和平·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023秋·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┮阎瘮?shù)，則（ ）
A．－1B．0C．－8D．1
例題3．（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則__________．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
2．（多選）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)滿足，則_____________
高頻考點三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
角度1：求切線方程（在型）
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，那么在點處的切線方程為___________．
例題2．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）函數(shù)在點處的切線方程為___________.
練透核心考點
1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．
2．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為__________．
角度2：求切線方程（過型）
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點，則直線的方程為__________.
例題2．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____________.
練透核心考點
1．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出曲線過點的一條切線方程__________．
2．（2023春·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，過點作曲線的切線，則其切線方程為______．
角度3：已知切線方程（或斜率）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）函數(shù)有一條斜率為2的切線，則切點的坐標(biāo)為_____________
例題2．（2023春·天津河?xùn)|·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則實數(shù)_______.
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______．
練透核心考點
1．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線是曲線的切線，則______.
3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線是曲線的切線，則________．
角度4：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象
典型例題
例題1．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，則（ ）
A．B．C．0D．2
例題2．（2022·高二課時練習(xí)）已知是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
例題3．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中?？计谥校┤鐖D，直線是曲線在處的切線，則___________.
練透核心考點
1．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個不同的點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，則關(guān)于排序正確的是_____________．
3．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______ ．
角度5：共切點的公切線問題
典型例題
例題1．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點是曲線與曲線的公共切點，則兩曲線在點處的公共切線方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
例題2．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知 的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率 __________.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
若點為函數(shù)與圖象的唯一公共點，且兩曲線存在以點為切點的公共切線，求的值：
練透核心考點
1．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，， 若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數(shù)______.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若曲線和曲線存在有公共切點的公切線，則該公切線的方程為__________.
角度6：不同切點的公切線問題
典型例題
例題1．（多選）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
例題2．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標(biāo)為______．
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線與有公共切線，求實數(shù)的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)與函數(shù)存在一條過原點的公共切線，則__________.
2．（2023秋·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．
角度7：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題
典型例題
例題1．（2023·四川成都·川大附中校考二模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（ ）
B．C．D．
練透核心考點
1．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則y的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是_____.
第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點）題
1．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考）牛頓迭代法又稱牛頓－拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y＝f (x)的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，作曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處的切線l1，設(shè)l1與x軸交點的橫坐標(biāo)為x1，并稱x1為r的1次近似值；作曲線y＝f (x)在點(x1，f (x1))處的切線l2，設(shè)l2與x軸交點的橫坐標(biāo)為x2，并稱x2為r的2次近似值．一般的，作曲線y＝f (x)在點(xn，f (xn))(n∈N)處的切線ln＋1，記ln＋1與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn＋1，并稱xn＋1為r的n＋1次近似值．設(shè)f (x)＝x3＋x－1的零點為r，取x0＝0，則r的2次近似值為________．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程的根就是函數(shù)的零點r，取初始值處的切線與x軸的交點為在處的切線與x軸的交點為，一直這樣下去，得到，它們越來越接近r.若，則用牛頓法得到的r的近似值約為___________（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在18世紀(jì)，法國著名數(shù)學(xué)家拉格日在他的《解析函數(shù)論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，如果函數(shù)f（x）區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)（存在導(dǎo)函數(shù)），在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個點x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的中值點，則關(guān)于x的f（x）＝ex+mx在區(qū)間[﹣1，1]上的中值點x0的值為 __________________.
4．（2023·高二課時練習(xí)）我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實施“以直代曲”的近似計算，用正邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設(shè)，則曲線在點處的切線方程為______；用此結(jié)論近似計算的值為______．
第五部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下列條件①②的函數(shù)____________．
①的圖象關(guān)于點對稱；②曲線在點處的切線方程為
2．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過點，且與曲線相切，寫出l的一個方程_______．
3．（2022秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)經(jīng)過點，且，請寫出一個符合條件的函數(shù)表達(dá)式：__________.
②探究性試題
1．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法—牛頓迭代法，做法如下：如圖，設(shè)r是的根，選取作為r的初始近似值，過點作曲線的切線，則l與x軸的交點的橫坐標(biāo)，稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是r的二次近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（ ）
A．若取初始近似值為1，則過點作曲線的切線
B．若取初始近似值為1，則該方程解的三次近似值為
C．
D．
第六部分：數(shù)學(xué)思想方法
①函數(shù)與方程的思想
1．（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．2D．
2．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式，則_____________．
3．（2022秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線和，若直線與，都相切，且與的相切于點，則的橫坐標(biāo)為______.
②數(shù)形結(jié)合得思想
1．（2023·河南鄭州·高二?？迹c在函數(shù)的圖象上.若滿足到直線的距離為的點有且僅有個，則實數(shù)的值為________.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點P是曲線上任意一點，且點P到直線的距離的最小值是，則實數(shù)a的值是__________.
③轉(zhuǎn)化與化歸思想
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實數(shù)使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為__．
基本初等函數(shù)
導(dǎo)數(shù)
(為常數(shù))
()
()
(，)
第01講 導(dǎo)數(shù)的概念及運算 (精講）
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10563" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc10563 \h 2
\l "_Tc27992" 第二部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc27992 \h 4
\l "_Tc10360" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc10360 \h 5
\l "_Tc6062" 高頻考點一：導(dǎo)數(shù)的概念 PAGEREF _Tc6062 \h 5
\l "_Tc1083" 高頻考點二：導(dǎo)數(shù)的運算 PAGEREF _Tc1083 \h 8
\l "_Tc31802" 高頻考點三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 PAGEREF _Tc31802 \h 10
\l "_Tc22197" 角度1：求切線方程（在型） PAGEREF _Tc22197 \h 10
\l "_Tc19854" 角度2：求切線方程（過型） PAGEREF _Tc19854 \h 11
\l "_Tc11544" 角度3：已知切線方程（或斜率）求參數(shù) PAGEREF _Tc11544 \h 12
\l "_Tc32107" 角度4：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc32107 \h 14
\l "_Tc19983" 角度5：共切點的公切線問題 PAGEREF _Tc19983 \h 18
\l "_Tc11258" 角度6：不同切點的公切線問題 PAGEREF _Tc11258 \h 21
\l "_Tc9378" 角度7：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題 PAGEREF _Tc9378 \h 24
\l "_Tc15776" 第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點）題 PAGEREF _Tc15776 \h 26
\l "_Tc31540" 第五部分：高考新題型 PAGEREF _Tc31540 \h 28
\l "_Tc13436" ①開放性試題 PAGEREF _Tc13436 \h 28
\l "_Tc20363" ②探究性試題 PAGEREF _Tc20363 \h 30
\l "_Tc4822" 第六部分：數(shù)學(xué)思想方法 PAGEREF _Tc4822 \h 31
\l "_Tc4099" ①函數(shù)與方程的思想 PAGEREF _Tc4099 \h 31
\l "_Tc30213" ②數(shù)形結(jié)合得思想 PAGEREF _Tc30213 \h 32
\l "_Tc21330" ③轉(zhuǎn)化與化歸思想 PAGEREF _Tc21330 \h 34
溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Hme可回到開頭
第一部分：知識點必背
1、平均變化率
（1）變化率
事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.
（2）平均變化率
一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：.
（3）如何求函數(shù)的平均變化率
求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：
①作差：求出和
②作商：對所求得的差作商，即.
2、導(dǎo)數(shù)的概念
（1）定義：函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.
（2）定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：
求函數(shù)的增量：；
求平均變化率：；
求極限，得導(dǎo)數(shù)：.
3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.
4、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
5、導(dǎo)數(shù)的運算法則
若，存在，則有
（1）
（2）
（3）
6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積．
7、曲線的切線問題
（1）在型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設(shè)切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（甲卷理，文）·高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
2．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【詳解】∵，∴，
設(shè)切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
3．（2021·全國（甲卷理）·高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．
【答案】
【詳解】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上．
求導(dǎo)得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
4．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
【答案】(1)
【詳解】（1），故，而，
曲線在點處的切線方程為即.
5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：因為，所以，
即切點坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：導(dǎo)數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度隨開窗通風(fēng)換氣時間的關(guān)系如圖所示，則下列時間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】如圖分別令、、、、、、所對應(yīng)的點為,
所以內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；
故選：B
例題2．（2023秋·陜西·高二校聯(lián)考期末）設(shè)，則（ ）
A．B．C．3D．12
【答案】B
【詳解】，.
故選：B
例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】由圖知：，即.
故選：A
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為函數(shù)，
所以該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為
，
故選：A
2．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，
所以.
故選：A
3．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．3B．C．D．0
【答案】A
【詳解】因為，
因為，所以，所以，
故選:A.
高頻考點二：導(dǎo)數(shù)的運算
典型例題
例題1．（2023春·天津和平·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】，所以，解得．
故選：A．
例題2．（2023秋·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┮阎瘮?shù)，則（ ）
A．－1B．0C．－8D．1
【答案】C
【詳解】解：因為函數(shù)，
所以，
則，
解得，
則，
所以，
故選：C
例題3．（2023春·浙江溫州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則__________．
【答案】6
【詳解】因為，
所以，
所以，，
所以，
故答案為：6.
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
【答案】A
【詳解】由已知條件得，
則，解得，
故選：A．
2．（多選）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【詳解】A：，故A錯誤；
B：，故B正確；
C：，故C正確；
D：，故D錯誤.
故選：BC.
3．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）若函數(shù)滿足，則_____________
【答案】1
【詳解】因為，
所以，則，解得：，
則，則.
故答案為：1.
高頻考點三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
角度1：求切線方程（在型）
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，那么在點處的切線方程為___________．
【答案】
【詳解】由，則，
所以，
又，
所以在點處的切線方程為，即．
故答案為：．
例題2．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）函數(shù)在點處的切線方程為___________.
【答案】
【詳解】由得，
所以，又，
即為切點，所以切線方程為，即.
故答案為：．
練透核心考點
1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．
【答案】
【詳解】因為，所以．因為，，所以所求切線方程為，即.
故答案為：
2．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為__________．
【答案】
【詳解】由題意，得，
所以，
又，
則所求切線的方程為，
故答案為：
角度2：求切線方程（過型）
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點，則直線的方程為__________.
【答案】
【詳解】解：設(shè)切點坐標(biāo)為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為
又直線l過點，
所以，
整理得，解得，
所以，
直線l的斜率，
所以直線l的方程為，
故答案為：.
例題2．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學(xué)校校考開學(xué)考試）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____________.
【答案】
【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，,則切線的斜率，
故切線方程為，又因為點在切線上，
所以，整理得到，
解得，所以切線方程為．
故答案為: .
練透核心考點
1．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出曲線過點的一條切線方程__________．
【答案】或（寫出其中的一個答案即可）
【詳解】解：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．
因為，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
因為當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標(biāo)，所以直線也符合題意．
故答案為：或（寫出其中的一個答案即可）
2．（2023春·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，過點作曲線的切線，則其切線方程為______．
【答案】或
【詳解】設(shè)切點為，
因為，所以，
所以切線的斜率為，
所以切線方程為，
因為切線過，所以，解得或，
所以切線方程為或.
故答案為：或
角度3：已知切線方程（或斜率）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)有一條斜率為2的切線，則切點的坐標(biāo)為_____________
【答案】
【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由函數(shù)可得，
因為函數(shù)有一條斜率為2的切線，所以，
解得，所以切點坐標(biāo)為，
故答案為：.
例題2．（2023春·天津河?xùn)|·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則實數(shù)_______.
【答案】
【詳解】因為，其中，則，所以，，
易知直線的斜率存在，由題意可得，解得.
故答案為：.
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______．
【答案】
【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為，
對求導(dǎo)得，所以，即，
所以，所以切點為，
由切點在切線上，可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
所以的最小值是．
故答案為：．
練透核心考點
1．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.
【答案】-1
【詳解】因為，所以.
又的 圖象在處的切線方程為，所以，解得，
則，所以，代入切線方程得，解得，
所以 ,
故答案為：-1.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線是曲線的切線，則______.
【答案】
【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，其中，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為，即，
所以，，解得.
故答案為：.
3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線是曲線的切線，則________．
【答案】2
【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點，則，由點在切線上得，即，所以，解得，．
故答案為：2
角度4：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象
典型例題
例題1．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，則（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【詳解】由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，，
切線方程為，則切點坐標(biāo)為，有，
所以.
故選：C.
例題2．（2022·高二課時練習(xí)）已知是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由題中的圖象可以看出，在內(nèi)，，
且在內(nèi)，單調(diào)遞增，
在內(nèi)，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，
且其圖象在內(nèi)越來越陡峭，
在內(nèi)越來越平緩．
故選：D．
例題3．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中?？计谥校┤鐖D，直線是曲線在處的切線，則___________.
【答案】
【詳解】直線過點，，直線斜率，
又直線是在處的切線，，又，
.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個不同的點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：由圖可知函數(shù)在點的切線斜率小于，即，
在點的切線斜率等于，即，
在點的切線斜率大于，即，
所以；
故選：B
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，則關(guān)于排序正確的是_____________．
【答案】
【詳解】由圖象知在上單調(diào)遞增，
又過點和點的直線的斜率為，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知為曲線在處的切線方程的斜率，
為曲線在處的切線方程的斜率，如圖，
得，
即．
故答案為：
3．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______ ．
【答案】##5.5
【詳解】由函數(shù)的圖像可得，直線過點和，則直線的斜率，
又由直線是曲線在點處的切線，則，
所以．
故答案為：
角度5：共切點的公切線問題
典型例題
例題1．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點是曲線與曲線的公共切點，則兩曲線在點處的公共切線方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為
對曲線求導(dǎo)得，
對曲線求導(dǎo)得，得解得，得點坐標(biāo)為，切線為．
故答案為B.
例題2．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知 的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率 __________.
【答案】
【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線的切點為，
因為，所以切線斜率為，切線方程為，即，
設(shè)的圖象的切線的切點為，因為，所以切線斜率為，
切線方程為，即，
由題，解得，，斜率為.
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）若點為函數(shù)與圖象的唯一公共點，且兩曲線存在以點為切點的公共切線，求的值：
【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）由題意可知，與的圖象在唯一公共點處的切線相同，
又因為，，
所以，即，
由得，可得或.
由點唯一可得或，即或，
所以，由可得，可得，合乎題意.
綜上可得，；
練透核心考點
1．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，， 若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數(shù)______.
【答案】1
【詳解】，，
設(shè)公共點為，則，即，消得
，
令，
∴在上單調(diào)遞增，又，∴，．.
故答案為：1.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若曲線和曲線存在有公共切點的公切線，則該公切線的方程為__________.
【答案】
【詳解】，，則有，．
設(shè)公共切點的坐標(biāo)為，，則
，，
，．
根據(jù)題意，有
，解得．
公切線的切點坐標(biāo)為，切線斜率為2．
公切線的方程為，即．
故答案為：
角度6：不同切點的公切線問題
典型例題
例題1．（多選）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】AB
【詳解】由題意可得，，
因為在直線l上，當(dāng)為的切點時，
則，所以直線l的方程為，
又直線l與相切，
所以滿足，得；
當(dāng)不是的切點時，
設(shè)切點為，
則，
所以，得，
所以，所以直線的方程為.
由，得，
由題意得，所以.
綜上得或.
故選:AB
例題2．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標(biāo)為______．
【答案】
【詳解】設(shè)直線與曲線和分別相切于，兩點，
分別求導(dǎo)，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因為直線為兩曲線的公切線，
所以，解得，
所以直線的方程為，令，則．
則直線與軸的交點坐標(biāo)為．
故答案為：.
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線與有公共切線，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】．
【詳解】設(shè)切線與相切于點，則，
∴切線方程為，即，
聯(lián)立得，
∴，即，
即有解，令，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，又時，，
故的值域為，
∴，即，
故實數(shù)a的取值范圍是
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)與函數(shù)存在一條過原點的公共切線，則__________.
【答案】
【詳解】設(shè)該公切線過函數(shù)、函數(shù)的切點分別為，.
因為，所以該公切線的方程為
同理可得，該公切線的方程也可以表示為
因為該公切線過原點，所以，解得.
故答案為：
2．（2023秋·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．
【答案】8或
【詳解】因為過原點斜率不存在的直線為，該直線與曲線不相切，
所以設(shè)曲線的過原點的切線的方程為，切點為，
則，，，
所以，
當(dāng)時，，
所以直線與曲線相切，設(shè)切點為，
則，，，
所以或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
則，，，
滿足方程的解不存在，故不存在.
所以或，
故答案為：8或.
角度7：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題
典型例題
例題1．（2023·四川成都·川大附中?？级＃┤酎c是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小.
設(shè)切點為，，
所以，切線斜率為，
由題知得或（舍），
所以，，此時點到直線距離.
故選：C
例題2．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：可以理解為點之間距離的平方，
即，
可知在函數(shù)的圖象上，在直線上，
可得，
設(shè)函數(shù)在點處的切線與直線平行，則直線的斜率為1，
可得，整理得，
∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，
∴方程有且僅有一個解，
則，
故的最小值為點到直線的距離，
故的最小值為.
故選：C.
練透核心考點
1．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則y的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：可以理解為點之間距離的平方，
即，
可知在函數(shù)的圖像上，在直線上，
可得，
設(shè)函數(shù)在點處的切線與直線平行，則直線的斜率為1，
可得，整理得，
∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，
∴方程有且僅有一個解，則，
故的最小值為點到直線的距離，
故的最小值為.
故選：C.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是_____.
【答案】
【詳解】設(shè)直線與相切，則切線的斜率為
且，令，則，即切點的橫坐標(biāo)為，
將，代入，可得，即切點坐標(biāo)為，
所以點P到直線的距離的最小值即為到直線的距離，
即，
故答案為:
第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點）題
1．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考）牛頓迭代法又稱牛頓－拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y＝f (x)的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，作曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處的切線l1，設(shè)l1與x軸交點的橫坐標(biāo)為x1，并稱x1為r的1次近似值；作曲線y＝f (x)在點(x1，f (x1))處的切線l2，設(shè)l2與x軸交點的橫坐標(biāo)為x2，并稱x2為r的2次近似值．一般的，作曲線y＝f (x)在點(xn，f (xn))(n∈N)處的切線ln＋1，記ln＋1與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn＋1，并稱xn＋1為r的n＋1次近似值．設(shè)f (x)＝x3＋x－1的零點為r，取x0＝0，則r的2次近似值為________．
【答案】##
【詳解】由，得，取，，
所以過點作曲線的切線的斜率為1，
所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標(biāo)為1，即，
因為，所以過點作曲線的切線的斜率為4，
所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標(biāo)為，即，
故答案為：
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程的根就是函數(shù)的零點r，取初始值處的切線與x軸的交點為在處的切線與x軸的交點為，一直這樣下去，得到，它們越來越接近r.若，則用牛頓法得到的r的近似值約為___________（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
【答案】
【詳解】由，，所以在處的切線方程為：，令，
可得：，所以在處的切線方程為：，令，
故答案為：
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在18世紀(jì)，法國著名數(shù)學(xué)家拉格日在他的《解析函數(shù)論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，如果函數(shù)f（x）區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)（存在導(dǎo)函數(shù)），在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個點x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的中值點，則關(guān)于x的f（x）＝ex+mx在區(qū)間[﹣1，1]上的中值點x0的值為 __________________.
【答案】
【詳解】解：當(dāng)x∈[﹣1，1]時，由拉格朗日中值定理可得＝，
∵f'（x）＝ex+m，
∴+m，即，
∴.
故答案為：.
4．（2023·高二課時練習(xí)）我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實施“以直代曲”的近似計算，用正邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設(shè)，則曲線在點處的切線方程為______；用此結(jié)論近似計算的值為______．
【答案】 ##
【詳解】，則，，又，所以切線方程為，
由近似計算理論有，所以．
故答案為：；．
第五部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下列條件①②的函數(shù)____________．
①的圖象關(guān)于點對稱；②曲線在點處的切線方程為
【答案】（答案不唯一）
【詳解】因為曲線在點處的切線方程為，
故切點為，，
由的圖象關(guān)于點對稱可得為一個奇函數(shù)向上平移1個單位長度得到，
結(jié)合以上條件，故不妨令，定義域為R，
且，
故的圖象關(guān)于點對稱，
又，，
且，
故在點處的切線方程為，
整理得：，滿足題意.
故答案為：.（答案不唯一）
2．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過點，且與曲線相切，寫出l的一個方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】因為，
所以，
不妨設(shè)直線l與的切點為，斜率為，
則，解得或或，
當(dāng)時，直線l為；
當(dāng)時，直線l為，即；
當(dāng)時，直線l為，即；
綜上：直線l的方程為或或.
故答案為：（答案不唯一）.
3．（2022秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)經(jīng)過點，且，請寫出一個符合條件的函數(shù)表達(dá)式：__________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】不妨考慮為一次函數(shù)情況，設(shè)，滿足，
進(jìn)而，由得，所以，
故答案為：
②探究性試題
1．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法—牛頓迭代法，做法如下：如圖，設(shè)r是的根，選取作為r的初始近似值，過點作曲線的切線，則l與x軸的交點的橫坐標(biāo)，稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是r的二次近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（ ）
A．若取初始近似值為1，則過點作曲線的切線
B．若取初始近似值為1，則該方程解的三次近似值為
C．
D．
【答案】ABD
【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，則，取初始近似值，，，則，即，則A正確；
，，
，則B正確；
根據(jù)題意，可知，
上述式子相加，得，C不正確，則D正確.
故選：ABD.
第六部分：數(shù)學(xué)思想方法
①函數(shù)與方程的思想
1．（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
故，即，
所以.
故選：B.
2．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式，則_____________．
【答案】
【詳解】由，函數(shù)兩邊求導(dǎo)得：，
令，則，所以
代入函數(shù)得：．
故答案為：
3．（2022秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線和，若直線與，都相切，且與的相切于點，則的橫坐標(biāo)為______.
【答案】
【詳解】由題意，，
設(shè)與相切于點，
在中， ，，，
在中，，，，
∵直線與，都相切，
∴，即，
在中，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴
∵，即
∴，即，
∴解得
∴
故選：C.
②數(shù)形結(jié)合得思想
1．（2023·河南鄭州·高二?？迹c在函數(shù)的圖象上.若滿足到直線的距離為的點有且僅有個，則實數(shù)的值為________.
【答案】
【詳解】設(shè)，則點到直線的距離，
滿足題意的點有且僅有個，有且僅有個不同解；
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
當(dāng)，即時，圖象如下圖所示，
即與至多有個交點，即方程至多有個不同解，不合題意；
當(dāng)，即時，圖象如下圖所示，
若與有且僅有個不同交點，則，解得：，
即當(dāng)時，方程有且僅有個不同解；
綜上所述：.
故答案為：.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點P是曲線上任意一點，且點P到直線的距離的最小值是，則實數(shù)a的值是__________.
【答案】
【詳解】由題設(shè)且，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，如圖所示，
當(dāng)為平行于并與曲線相切直線的切點時，距離最近.
令，可得（舍）或，
所以，則曲線上切線斜率為1的切點為，
所以，即（舍去）或，
故答案為：.
③轉(zhuǎn)化與化歸思想
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實數(shù)使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】不等式成立，
即，即，
其幾何意義表示點與的距離的平方不超過，即最大值為．
∵為直線：即上一點，
∴設(shè)與平行，且與相切于點，
∴，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點處切線的斜率，
∴解得，∴，
∴直線：上的點與曲線的距離的最小值即點到直線的距離，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時，，
∴解得，
綜上所述，的取值集合為．
故選：A．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為__．
【答案】
【詳解】實數(shù)，，，滿足，
，．分別設(shè)，．
則的最小值可看做曲線和直線上的動點與的最小距離，
設(shè)直線與曲線相切于點，．
則，，解得，．
．點到直線的距離．
即的最小值為．
故答案為：．
基本初等函數(shù)
導(dǎo)數(shù)
(為常數(shù))
()
()
(，)

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