高考數學一輪復習高頻考點精講精練(新高考專用)第12講拓展五：利用洛必達法則解決導數問題(高頻精講)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10143" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc10143 \h 1
\l "_Tc2558" 第二部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc2558 \h 3
\l "_Tc29475" 高頻考點一：洛必達法則的簡單計算 PAGEREF _Tc29475 \h 3
\l "_Tc7836" 高頻考點二：洛必達法則在導數中的應用 PAGEREF _Tc7836 \h 5
第一部分：知識點必背
一、型及型未定式
1、定義：如果當（或）時，兩個函數與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）設當時，及；
（2）在點的某個去心鄰域內（點的去心 \t "" 鄰域內）都有，都存在，且；
（3）；
則：.
3、定理2（型）：若函數和滿足下列條件：(1) 及；
(2)，和在與上可導，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函數和滿足下列條件：(1) 及；
(2)在點的去心 \t "" 鄰域內，與可導且；
(3)，
那么 =.
5、將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.
6、若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:
,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.
二、型、、、型
1、型的轉化：
或；
2、型的轉化：
3、、型的轉化：冪指函數類
第二部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：洛必達法則的簡單計算
典型例題
例題1、求
例題2、求
例題3．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（）
A．0B．C．1D．2
例題4．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子，分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．
如：，則______．
練透核心考點
1．求
2．求
3．（2023·廣東韶關·?？寄M預測）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再
4．（2023·黑龍江雞西·高三?？茧A段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則________．
高頻考點二：洛必達法則在導數中的應用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）設函數，
(1)若，（為常數），求的解析式；
(2)在（1）條件下，若當時，，求的取值范圍．
例題2．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）已知函數.
（1）若函數在點處的切線經過點，求實數的值；
（2）若關于的方程有唯一的實數解，求實數的取值范圍.
例題3．（2023·河北邯鄲·高三大名縣第一中學?？茧A段練習）已知函數在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求實數的值；
(2)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
練透核心考點
1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽實驗高級中學?？寄M預測）已知函數，.
(1)若函數是上的單調遞增函數，求實數的最小值；
(2)若，且對任意，都有不等式成立，求實數的取值范圍.
2．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對于恒成立，求的取值范圍.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數
(1)當時，求函數的單調區(qū)間；
(2)若函數有3個不同零點，求實數的取值范圍.
4．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知函數，且.
(1)求實數a的值；
(2)求證：存在唯一的極小值點，且；
(3)設，.對，恒成立，求實數b的取值范圍.
第12講拓展五：利用洛必達法則解決導數問題(精講）
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10143" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc10143 \h 1
\l "_Tc2558" 第二部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc2558 \h 3
\l "_Tc29475" 高頻考點一：洛必達法則的簡單計算 PAGEREF _Tc29475 \h 3
\l "_Tc7836" 高頻考點二：洛必達法則在導數中的應用 PAGEREF _Tc7836 \h 5
第一部分：知識點必背
一、型及型未定式
1、定義：如果當（或）時，兩個函數與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）設當時，及；
（2）在點的某個去心鄰域內（點的去心 \t "" 鄰域內）都有，都存在，且；
（3）；
則：.
3、定理2（型）：若函數和滿足下列條件：(1) 及；
(2)，和在與上可導，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函數和滿足下列條件：(1) 及；
(2)在點的去心 \t "" 鄰域內，與可導且；
(3)，
那么 =.
5、將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.
6、若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:
,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.
二、型、、、型
1、型的轉化：
或；
2、型的轉化：
3、、型的轉化：冪指函數類
第二部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：洛必達法則的簡單計算
典型例題
例題1、求
【答案】0
解析：不適合條件，需轉化：
故答案為：0
例題2、求
【答案】
解析：
故答案為：
例題3．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【詳解】，
故選：D
例題4．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子，分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．
如：，則______．
【答案】2
【詳解】由題可得.
故答案為：2.
練透核心考點
1．求
【答案】1
【詳解】
故答案為：1.
2．求
【答案】
【詳解】
3．（2023·廣東韶關·校考模擬預測）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有______．
【答案】
【詳解】由題意可得：．
故答案為：.
4．（2023·黑龍江雞西·高三?？茧A段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則________．
【答案】##0.5
【詳解】
故答案為：
高頻考點二：洛必達法則在導數中的應用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）設函數，
(1)若，（為常數），求的解析式；
(2)在（1）條件下，若當時，，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為，，
所以，，
解得，
所以；
（2）由（1）可知，時，，此時，；
故時，成立時，成立，
對恒成立，
即對恒成立；
記，則，
記，則，
記，則，
∴當0時，，在上單調遞增；
，
所以在上單調遞增；；
∴時，0，即在上單調遞增；
記，，
當時，，符合洛必達法則條件，
∴，
∴時，，
∴．
例題2．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）已知函數.
（1）若函數在點處的切線經過點，求實數的值；
（2）若關于的方程有唯一的實數解，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1），所以在點處的切線的斜率，
又，所以切線的方程為：，
即，由經過點可得：.
（2）易知為方程的根，
由題只需說明當和時原方程均沒有實數解即可.
①當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解
若，，，
令，故在單調遞增，在單調遞減
故在單調遞減
從而，，此時方程也無解.
若，由，
記，則，
設，則有恒成立，
所以恒成立，
故令在上遞增，在上遞減
，可知原方程也無解
由上面的分析可知時，，方程均無解.
②當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解
若，和①中的分析同理可知此時方程也無解.
若，由，
記，則，
由①中的分析知，
故在恒成立，從而在上單調遞增
，
如果，即，則，
要使方程無解，只需，即有
如果，即，此時，方程一定有解，不滿足.
由上面的分析知時，，方程均無解，
綜合①②可知，當且僅當時，方程有唯一解.
例題3．（2023·河北邯鄲·高三大名縣第一中學?？茧A段練習）已知函數在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求實數的值；
(2)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：,
；
函數在處取得極值，
；
又曲線在點處的切線與直線垂直，
；
解得：；
（2）不等式恒成立可化為，
即；
當時，恒成立；當時，恒成立，
令，
則；
令，
則；
令，
則；
得在是減函數，
故，
進而
（或，，
得在是減函數，進而）．
可得：，故，所以在是減函數，
而要大于等于在上的最大值，
當時，沒有意義，由洛必達法得，
．
練透核心考點
1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽實驗高級中學?？寄M預測）已知函數，.
(1)若函數是上的單調遞增函數，求實數的最小值；
(2)若，且對任意，都有不等式成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）∵函數在上單調遞增，
∴恒成立，∴，即，∴，
即實數的最小值為.
（2）∵，∴函數，
由（1）可得在上單調遞增，故當，，即，
由對任意都成立，得恒成立.
即恒成立.
①當，恒成立；
②當，恒成立；
③當時，即：恒成立；
令，則
∴在上單調遞增；
由洛必達法則：，
故，即實數的取值范圍為.
初等方法解決：
∵，∴函數，∵，∴.
對于任意，令，
則
①當，即時，，
∴在上為單調遞增函數，∴，符合題意，∴.
②當，即時，令，于是.
∵，∴，∴，∴在上為單調遞增函數，
∴，即，∴.
①當，即時，，
∴在上為單調遞增函數，于是，符合題意，∴.
②當，即時，存在，使得當時，有，
此時在上為單調遞減函數，從而，不能使恒成立，
綜上所述，實數的取值范圍為.
2．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對于恒成立，求的取值范圍.
【答案】
【詳解】當時，原不等式等價于.
記，則.
記，則.
因為，，
所以在上單調遞減，且，
所以在上單調遞減，且.
因此在上單調遞減，且，
故，因此在上單調遞減.
由洛必達法則有，
即趨向于0時，趨向，即有.
故時，不等式對于恒成立.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數
(1)當時，求函數的單調區(qū)間；
(2)若函數有3個不同零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為
(2)
（1）
時，
，
令得或在時單調遞增，
時單調遞減，時單調遞增；
所以函數得單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；
（2）
注意到，
設，則在時有兩不同解，
，令
，，令，則有，
是增函數，則時，，時，，
所以時，單調遞減，時，單調遞增，，
所以時，，時，，
所以在時，單調遞減，時，單調遞增，
因為，
當時，，，
即，當時，，
并且，，并且，
當時，，
函數圖像如下：
所以即；
綜上，函數得單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，
.
4．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知函數，且.
(1)求實數a的值；
(2)求證：存在唯一的極小值點，且；
(3)設，.對，恒成立，求實數b的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
(1)解：由題意，函數，可得其定義域為，
因為，且，可得，且時函數的一個極值點，
令，可得，
因為，且，可得，解得，
當時，，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，符合題意.
所以實數的值為.
(2)
證明：由函數，
可得，
令，則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
又由，，，
所以，使得，
當時，，即，單調遞增；
當時，，即，單調遞減；
當時，，即，單調遞增，
所以存在唯一極小值點.
因為，所以，
又因為，所以
設，可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
因為，所以，
綜上可得：.
(3)解：對，恒成立，即恒成立，
即不等式恒成立.
當時，不等式對任意實數b都成立；
當時，，所以，
令，
可得，
令，
則，
令，則，
所以在上單調遞減，
所以，所以，單調遞減，所以，
所以，單調遞減，
又由洛必達法則：所以，
所以，即實數的取值范圍是.

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