TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25607" 第一部分：思維導圖 PAGEREF _Tc25607 \h 2
\l "_Tc29280" 第二部分：知識點必背 PAGEREF _Tc29280 \h 2
\l "_Tc32110" 第三部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc24740" 第四部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc24740 \h 5
\l "_Tc30156" 高頻考點一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc30156 \h 5
\l "_Tc22056" 高頻考點二：元素與集合的關系 PAGEREF _Tc22056 \h 6
\l "_Tc266" 高頻考點三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc266 \h 7
\l "_Tc23096" 高頻考點四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc23096 \h 7
\l "_Tc18461" 高頻考點五：集合的基本關系 PAGEREF _Tc18461 \h 9
\l "_Tc15691" 高頻考點六：集合的運算 PAGEREF _Tc15691 \h 11
\l "_Tc24475" 高頻考點七：圖的應用 PAGEREF _Tc24475 \h 13
\l "_Tc30672" 高頻考點八：集合新定義問題 PAGEREF _Tc30672 \h 14
\l "_Tc25526" 第五部分：數(shù)學思想方法 PAGEREF _Tc25526 \h 15
\l "_Tc11429" ①數(shù)形結合 PAGEREF _Tc11429 \h 15
\l "_Tc28003" ②分類討論 PAGEREF _Tc28003 \h 16
\l "_Tc21560" 第六部分：核心素養(yǎng) PAGEREF _Tc21560 \h 17
\l "_Tc29052" ①數(shù)學運算 PAGEREF _Tc29052 \h 17
\l "_Tc32148" ②邏輯推理 PAGEREF _Tc32148 \h 17
溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Hme可回到開頭
第一部分：思維導圖
第二部分：知識點必背
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
（2）元素與集合的關系：屬于 或 不屬于，數(shù)學符號分別記為：和.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.
（4）常見數(shù)集和數(shù)學符號
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；
②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.
集合應滿足.
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.
具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
2、集合間的基本關系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.
（4）空集的性質： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本運算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．
4、集合的運算性質
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高頻考點結論
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（乙卷（文））·統(tǒng)考高考真題）集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國（甲卷（文））·統(tǒng)考高考真題）設集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國（乙卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國（甲卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
第四部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集為{(-2，3)}
C．集合與集合表示同一個集合
D．方程組的解集是
例題2．（2023·高一單元測試）下面關于集合的表示正確的是（ ）
①；②；
③；④
A．①B．②C．③D．④
練透核心考點
1．（2023·湖南永州·高一?？茧A段練習）以下元素的全體不能夠構成集合的是
A．中國古代四大發(fā)明B．周長為的三角形
C．方程的實數(shù)解D．地球上的小河流
2．（2023·全國·高三專題練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
高頻考點二：元素與集合的關系
典型例題
例題1．（多選）（2023秋·湖南長沙·高一長沙市明德中學?？计谀┮阎?，且，則實數(shù)的取值不可以為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是____________．
例題3．（2023·高一課時練習）數(shù)集滿足條件：若，則.
（1）若，求集合中一定存在的元素；
（2）集合內的元素能否只有一個？請說明理由；
（3）請寫出集合中的元素個數(shù)的所有可能值，并說明理由.
練透核心考點
1．（多選）（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P系中表述正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一課時練習）已知關于x的不等式的解集是M，若且，則實數(shù)a的取值范圍是______．
3．（2023·高三課時練習）由實數(shù)構成的非空集合A滿足條件：①；②若，則.試證明：
(1)若，則在集合A中必有另外兩個數(shù)；
(2)若，則集合A不可能是單元素集合；
(3)若，且，則集合A中至少有三個元素.
高頻考點三：集合中元素的特性
典型例題
例題1．（2023秋·浙江紹興·高三期末）已知集合，集合，且，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·河北·高三學業(yè)考試）設集合，，，則中的元素個數(shù)為______．
例題3．（2023·高三課時練習）設集合，，且，求實數(shù)、的值.
練透核心考點
1．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）已知集合，，且，則實數(shù)（ ）
A．B．1C．或1D．0
2．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）集合，若，則__________
3．（2022秋·天津河西·高三統(tǒng)考期中）含有3個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則 _____．
高頻考點四：集合的表示方法
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，則集合中所含元素個數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
例題2．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）集合用列舉法表示為（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023秋·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）下列集合與區(qū)間表示的集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
例題4．（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習）已知集合，寫出一個滿足集合至少有5個元素的的值：______．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為（ ）
A．0B．1C．D．
2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學?？奸_學考試）設集合，，則集合（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）直角坐標平面中除去兩點?可用集合表示為（ ）
A．
B．或
C．
D．
4．（2023上海浦東新·高一上海南匯中學?？茧A段練習）用列舉法表示集合，______．
高頻考點五：集合的基本關系
典型例題
例題1．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知集合，，則的子集個數(shù)（ ）
A．1B．2C．3D．4
例題2．（多選）（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合有且僅有兩個子集，則下面正確的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，且，則
例題3．（2023秋·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.
(1)當時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
例題4．（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學?？奸_學考試）集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已集合，若，則實數(shù)a的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.
(1)若，求的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
3．（2023秋·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
4．（2023秋·海南·高一海南華僑中學?？计谀┮阎?，，全集
(1)當時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
高頻考點六：集合的運算
典型例題
例題1．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知集合滿足，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學?？计谀┮阎?，.
(1)當時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
例題3．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題橫線處，并進行解答．
問題：已知集合___________，集合．
(1)當時，求，；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
例題4．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校?？计谀┮阎?，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范圍.
練透核心考點
1．（2023春·廣西南寧·高一統(tǒng)考開學考試）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學考試）已知集合，，若，則實數(shù)___________
3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學?？计谀┮阎?，集合，定義集合且
(1)若，求．
(2)若，求a的取值范圍．
4．（2023秋·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.
(1)當時，求；
(2)若______，求實數(shù)的取值范圍.
5．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知集合.
(1)求集合A；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.
高頻考點七：圖的應用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，全值，集合，，則陰影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習）年春節(jié)影市火爆依舊，《無名》、《滿江紅》、《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學生的觀影情況，隨機調查了名在校學生，其中看過《無名》或《滿江紅》的學生共有位，看過《滿江紅》的學生共有位，看過《滿江紅》且看過《無名》的學生共有位，則該校高三年級看過《無名》的學生人數(shù)的估計值為（ ）
A．B．C．D．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校?？计谀┠嘲嘤?0名同學參加數(shù)學、物理、化學課外研究小組，每名同學至多參加兩個小組．已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為，，，同時參加數(shù)學和化學小組的有人，同時參加物理和化學小組的有人，則同時參加數(shù)學和物理小組的人數(shù)為 _______．
高頻考點八：集合新定義問題
1．（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習）定義，集合，，則（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（2023秋·四川成都·高一成都實外?？计谀┒x若則中元素個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全國·高三專題練習）設P和Q是兩個集合，定義集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習）給定數(shù)集 ，若對于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號是______：
①集合是閉集合；
②正整數(shù)集是閉集合；
③集合是閉集合；
④若集合、為閉集合，則為閉集合．
第五部分：數(shù)學思想方法
①數(shù)形結合
1．（2023·上海黃浦·高三?？茧A段練習）設為全集，、為非空子集，，則下列關系中錯誤的是（ ）
A．?B．?
C．D．
2．（多選）（2023·福建福州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，是全集的兩個子集，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一?？计谀┰O集合，若，則a的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知集合，，則______.
5．（2023·上海虹口·高一上海市復興高級中學校考階段練習）已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍為____．
②分類討論
1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎?，集合．
(1)求；
(2)若集合，，且．求實數(shù)的取值范圍．
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）已知命題：“，使得不等式成立”是真命題，設實數(shù)取值的集合為.
(1)求集合；
(2)設不等式的解集為，若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
3．（2023·福建泉州·高一泉州五中?？奸_學考試）設集合，，．
(1)若，求實數(shù)的取值范圍．
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
4．（2023·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實數(shù)的取值范圍.
第六部分：核心素養(yǎng)
①數(shù)學運算
1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中?？茧A段練習）定義集合運算，若集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（多選）（2023江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習）對于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關系為（ ）
A．B．C．D．
3．（多選）（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）關于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．5
②邏輯推理
1．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第七中學?？茧A段練習）整數(shù)集合Z中，被4所除余數(shù)為K的所有整數(shù)組成一個“類”，記作，以下判斷正確的是（ ）.
A．B．
C．D．，，則
2．（2022·福建·）設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意，都有、、、（除數(shù)），則稱P是一個數(shù)域．例如有理數(shù)集是數(shù)域，有下列命題：①數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)；②整數(shù)集是數(shù)域；③若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；④數(shù)域必為無限集．其中正確的命題的序號是____________．（把你認為正確的命題的序號填上）
3．（2023·北京·高一北京市第十七中學?？计谥校τ诮o定的數(shù)集A． 若對于任意，有，且，則稱集合A為閉集合.
(1)判斷集合是否為閉集合；
(2)若集合A，B為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；
(3)若集合A，B為閉集合，且?，?，證明：?.
數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
或
第01講 集合(精講）
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25607" 第一部分：思維導圖 PAGEREF _Tc25607 \h 2
\l "_Tc29280" 第二部分：知識點必背 PAGEREF _Tc29280 \h 2
\l "_Tc32110" 第三部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc24740" 第四部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc24740 \h 5
\l "_Tc30156" 高頻考點一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc30156 \h 5
\l "_Tc22056" 高頻考點二：元素與集合的關系 PAGEREF _Tc22056 \h 7
\l "_Tc266" 高頻考點三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc266 \h 10
\l "_Tc23096" 高頻考點四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc23096 \h 12
\l "_Tc18461" 高頻考點五：集合的基本關系 PAGEREF _Tc18461 \h 15
\l "_Tc15691" 高頻考點六：集合的運算 PAGEREF _Tc15691 \h 19
\l "_Tc24475" 高頻考點七：圖的應用 PAGEREF _Tc24475 \h 24
\l "_Tc30672" 高頻考點八：集合新定義問題 PAGEREF _Tc30672 \h 26
\l "_Tc25526" 第五部分：數(shù)學思想方法 PAGEREF _Tc25526 \h 27
\l "_Tc11429" ①數(shù)形結合 PAGEREF _Tc11429 \h 27
\l "_Tc28003" ②分類討論 PAGEREF _Tc28003 \h 29
\l "_Tc21560" 第六部分：核心素養(yǎng) PAGEREF _Tc21560 \h 32
\l "_Tc29052" ①數(shù)學運算 PAGEREF _Tc29052 \h 32
\l "_Tc32148" ②邏輯推理 PAGEREF _Tc32148 \h 33
溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Hme可回到開頭
第一部分：思維導圖
第二部分：知識點必背
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
（2）元素與集合的關系：屬于 或 不屬于，數(shù)學符號分別記為：和.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.
（4）常見數(shù)集和數(shù)學符號
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；
②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.
集合應滿足.
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.
具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
2、集合間的基本關系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.
（4）空集的性質： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本運算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．
4、集合的運算性質
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高頻考點結論
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（乙卷（文））·統(tǒng)考高考真題）集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，，所以．
故選：A.
2．（2022·全國（甲卷（文））·統(tǒng)考高考真題）設集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，，所以．
故選：A.
3．（2022·全國（乙卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
4．（2022·全國（甲卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
5．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】，故，
故選：D
6．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
第四部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集為{(-2，3)}
C．集合與集合表示同一個集合
D．方程組的解集是
【答案】D
【詳解】對于A，方程的解集是，故A錯誤；
對于B，方程的解集為，故B錯誤；
對于C，集合表示數(shù)集，集合表示點集，故不是同一集合，故C錯誤；
對于D，由解得，故解集為{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正確.
故選：D.
例題2．（2023·高一單元測試）下面關于集合的表示正確的是（ ）
①；②；
③；④
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【詳解】根據(jù)集合元素的無序性和集合的表示，可得，所以①不正確；
根據(jù)集合的表示方法，可得集合為點集，集合表示數(shù)集，
所以，所以②不正確；
根據(jù)集合的表示方法，可得集合，所以③正確；
根據(jù)集合的表示方法，可得集合，
所以，所以④是正確的.
故選：CD.
練透核心考點
1．（2023·湖南永州·高一?？茧A段練習）以下元素的全體不能夠構成集合的是
A．中國古代四大發(fā)明B．周長為的三角形
C．方程的實數(shù)解D．地球上的小河流
【答案】D
【詳解】地球上的小河流不確定，因此不能夠構成集合，選D.
2．（2023·全國·高三專題練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【詳解】A.、都是點集，與是不同的點，則、是不同的集合，故錯誤；
B.，，根據(jù)集合的無序性，集合，表示同一集合，故正確；
C.，集合的元素表示點的集合，，表示直線的縱坐標，是數(shù)集，故不是同一集合，故錯誤；
D.集合M的元素是兩個數(shù)字2，3，，集合的元素是一個點，故錯誤；
故選：B.
高頻考點二：元素與集合的關系
典型例題
例題1．（多選）（2023秋·湖南長沙·高一長沙市明德中學?？计谀┮阎?，且，則實數(shù)的取值不可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【詳解】因為集合，且，則或，解得.
當時，集合中的元素不滿足互異性；
當時，，集合中的元素不滿足互異性；
當時，，合乎題意.
綜上所述，.
故選：ACD.
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是____________．
【答案】
【詳解】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)0時，原不等式可化為，
若，則解得或，
所以只需滿足，解得；
若，則解得或，
所以只需滿足，解得9

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