TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21399" 第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 PAGEREF _Tc21399 \h 2
\l "_Tc25777" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc25777 \h 2
\l "_Tc32208" 高頻考點(diǎn)一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 PAGEREF _Tc32208 \h 2
\l "_Tc2651" 高頻考點(diǎn)二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc2651 \h 9
\l "_Tc25972" 高頻考點(diǎn)三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍 PAGEREF _Tc25972 \h 16
\l "_Tc30893" 高頻考點(diǎn)四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式 PAGEREF _Tc30893 \h 24
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第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背
1、函數(shù)極值的第二判定定理：
若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，
（1）若則在點(diǎn)處取極大值；
（2）若則在點(diǎn)處取極小值
2、二次求導(dǎo)使用背景
（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，無(wú)法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；
（2）對(duì)函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.
（3）一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有或
3、解題步驟：
設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
典型例題
例題1．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)設(shè)．
①求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．
(2)若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
例題2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
例題3．（2023春·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求在上的極值；
(2)若，求的最小值．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.
2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知
(1)求的極值點(diǎn)；
(2)求證：.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若，對(duì)任意的恒成立，求m的最大值.
高頻考點(diǎn)二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)若恰有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，證明：
①；
②.
例題2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．
例題3．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)，其中．
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
2．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若對(duì)任意的恒成立，求a的取值范圍．
3．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
高頻考點(diǎn)三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍
典型例題
例題1．（2023春·河南·高三河南省淮陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，為正實(shí)數(shù)．
(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若對(duì)任意的，且，都有，求的取值范圍．
例題2．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若和有相同的最小值，求的值．
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)時(shí)，設(shè)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若曲線不存在斜率為－2的切線，求a的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.（只需直接寫出結(jié)論）
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若在單調(diào)，求的取值范圍.
(2)若的圖像恒在軸上方，求的取值范圍.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
高頻考點(diǎn)四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式
典型例題
例題1．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)證明：對(duì)任意的，恒成立.
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，曲線在處的切線方程為．
(1)求，的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在使，證明：．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，證明：．
2．（2023春·天津和平·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
3．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第八中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)的一個(gè)正根為m，當(dāng)，且時(shí)，證明:.
第10講 拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題 (精講）
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21399" 第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 PAGEREF _Tc21399 \h 2
\l "_Tc25777" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc25777 \h 2
\l "_Tc32208" 高頻考點(diǎn)一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 PAGEREF _Tc32208 \h 2
\l "_Tc2651" 高頻考點(diǎn)二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc2651 \h 9
\l "_Tc25972" 高頻考點(diǎn)三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍 PAGEREF _Tc25972 \h 16
\l "_Tc30893" 高頻考點(diǎn)四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式 PAGEREF _Tc30893 \h 24
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第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背
1、函數(shù)極值的第二判定定理：
若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，
（1）若則在點(diǎn)處取極大值；
（2）若則在點(diǎn)處取極小值
2、二次求導(dǎo)使用背景
（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，無(wú)法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；
（2）對(duì)函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.
（3）一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有或
3、解題步驟：
設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
典型例題
例題1．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)設(shè)．
①求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．
(2)若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)①；②有極大值.
(2)
【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，則，
所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
②令得，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由極值的定義知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，無(wú)極小值.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)解，
即在上有兩個(gè)解，
記，，則直線與函數(shù)，有兩個(gè)交點(diǎn)，
則，
記，則，
令得，令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令得，又，
所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，，
如圖，
由圖知，要使直線與函數(shù)，有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
所以函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為.
例題2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間
(2)
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
則，令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）存在極值點(diǎn)等價(jià)于存在變號(hào)零點(diǎn)，等價(jià)于存在變號(hào)實(shí)根，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以單調(diào)遞減，
令，所以，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即最小值，
所以，所以，
當(dāng)無(wú)限趨向于0時(shí)，趨向于正無(wú)窮大，
當(dāng)無(wú)限趨向于正無(wú)窮大時(shí)，趨向于0，所以，即.
故實(shí)數(shù)的取值范用為.
例題3．（2023春·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求在上的極值；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)為極小值，無(wú)極大值.
(2)
【詳解】（1），令，得，
在為負(fù)，單調(diào)遞減，
在為正，單調(diào)遞增，
故為極小值，無(wú)極大值.
（2）由題知 ,令，
令，則 ，
設(shè) 則 ，
，為正，在單調(diào)遞增，
，為負(fù)，在單調(diào)遞減，
故為極大值，
若，即，此時(shí)，則在單調(diào)遞減，
又，所以時(shí)，在單調(diào)遞增，
時(shí)，，在單調(diào)遞減，
故為極大值，所以，則當(dāng)時(shí)，符合條件；
，即 此時(shí)，
存在，在上；，則在單調(diào)遞增，
又，則在區(qū)間上
所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，則，不滿足條件.
綜上所述的最小值為.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值
(2)
【詳解】（1）定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
的極大值為，無(wú)極小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，則；
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，，
，使得，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；
由得：，，
，，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知
(1)求的極值點(diǎn)；
(2)求證：.
【答案】(1)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）由題意可知，,
所以的定義域?yàn)?
因?yàn)?，所以?br>令即，解得或.
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
由此表可知，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.
（2）由，得，
要證，只需證，即可
設(shè)，則，
設(shè)，則，
令即，解得.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值
.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以是方程的唯一實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值
,
所以，即，
即證.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若，對(duì)任意的恒成立，求m的最大值.
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極小值為，沒有極大值
(2)3
(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，令可得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴ 函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
函數(shù)在時(shí)取極小值，極小值為，函數(shù)沒有極大值
(2)
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
設(shè)，由已知可得，
又，
令，則，
∴ 在上為增函數(shù)，又，，
∴ 存在，使得，即
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴ ，
∴ ，
∴ m的最大值為3.
高頻考點(diǎn)二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)若恰有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，證明：
①；
②.
【答案】(1)；
(2)①證明見解析；②證明見解析.
【詳解】（1）由題意得令
，
①當(dāng)時(shí)，
在上遞增，
當(dāng)時(shí)，在上遞減，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，
只有一個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，令，即，
則和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，且，
所以時(shí)，，時(shí)，，
在和上遞增，在上遞減，且，
，
在上存在唯一零點(diǎn)，
，
在上存在唯一零點(diǎn)，
在和上遞減，在和上遞增，記，
是的三個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，
①要證，只需證，
，
.
②要證，只需證，
，
只需證，
令，
則，
令，則，
，
，
即.
例題2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增
(2)
【詳解】（1）依題意得．
①當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒成立．
（i）當(dāng)時(shí)，不等式即，滿足條件．
（ii）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，該式對(duì)任意恒成立．
設(shè)，則．
設(shè)，則．
因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，所以是在上的唯一零點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以．
（iii）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，
此時(shí)對(duì)于（ii）中的函數(shù)，可知當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，所以．
綜上所述，m的取值范圍是．
例題3．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵
當(dāng)時(shí)，
∴成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（2）
當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立
當(dāng)時(shí)，，所以
令，
令，
在上成立，
∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴
即在上成立，
在上單調(diào)遞減，∴
∴．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)，其中．
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，即時(shí)，若時(shí)，；
若時(shí)，.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（2）設(shè)，
題設(shè)等價(jià)于證明函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，
設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，
故此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，，
則當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)且時(shí)，
，，
則，函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上即證.
2．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若對(duì)任意的恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值；
(2)．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
所以，
設(shè)，則，
所以在單調(diào)遞增，又，
∴時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴在處有極小值，極小值為，無(wú)極大值；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
故，
當(dāng)時(shí)，且不恒等于零，在上單調(diào)遞增，
所以，即，在上單調(diào)遞增，
所以，即對(duì)任意的恒成立；
當(dāng)時(shí)，則，，
所以存在，
∴時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，，
所以時(shí)，單調(diào)遞減，，不滿足題意；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，，，
，即，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)或時(shí)，不等式顯然成立．
當(dāng)時(shí)，，所以．
令，，
令，
在上成立，
在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
，．
高頻考點(diǎn)三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍
典型例題
例題1．（2023春·河南·高三河南省淮陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，為正實(shí)數(shù)．
(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若對(duì)任意的，且，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）時(shí)，，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
而，所以，
所以，即的取值范圍為．
（2）因?yàn)?，所以?br>所以在區(qū)間上是減函數(shù)．在區(qū)間上恒成立，
①當(dāng)時(shí)，．
由在上恒成立．
設(shè)，所以，
所以在上為增函數(shù)，所以．
②當(dāng)時(shí)，．
由在上恒成立．
令，所以在上為增函數(shù)，
所以，
綜上：的取值范圍為．
例題2．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若和有相同的最小值，求的值．
【答案】(1)
(2)答案見解析；
(3)
【詳解】（1）解：因?yàn)?，?br>所以，
所以，，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程，即．
（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，，
所以，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)， 減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（3）解：由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以，
因?yàn)?，得?br>所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，，
因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?br>所以，即，
令，，
令，，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以，等價(jià)于
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)
（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
則，
令，解得，，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；
（2）（2）由題意，令，且，
則，且，
令，
，且，
①當(dāng)，即時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，
所以，則在上單調(diào)遞增，
所以，符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，，，
所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
故，不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)時(shí)，設(shè)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令
，
令
則
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴
得在內(nèi)單調(diào)遞增，由，
得當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，
∴，即
（2），
當(dāng)時(shí)，由，得，
∴，
由（1）可得；
當(dāng)時(shí)，
令，則
由得，
∴在內(nèi)單調(diào)遞增
由，
∴，使得，
則當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，
由得，
，
∴，使得，
綜上，當(dāng)時(shí)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若曲線不存在斜率為－2的切線，求a的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.（只需直接寫出結(jié)論）
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值，極小值
(2)a的取值范圍為；
(3)a的取值范圍為.
（1）由， 得.
當(dāng)時(shí)，
令，得
此時(shí)，隨的變化如下：
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和
的單調(diào)遞減區(qū)間為
函數(shù)在時(shí)，取得極大值，
在時(shí)，取得極小值.
（2）
因?yàn)椴淮嬖谛甭蕿榈那芯€， 所以
即方程無(wú)解，所以
解得，
所以a的取值范圍為；
（3）
不等式可化為，
設(shè)， ，
設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，，，又
所以，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，方程的判別式，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)其根為，且，則，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，在上不可能恒成立，
綜上可得a的取值范圍為.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若在單調(diào)，求的取值范圍.
(2)若的圖像恒在軸上方，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
(1)由題意得，.
在上單調(diào)，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令，則，當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，
∴由題意得，或，
解得或，
∴的取值范圍是.
(2)
的圖象恒在軸上方，也即當(dāng)時(shí)，恒成立.
也即在上恒成立.
令，，
令，則，由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，有極大值，也是最大值，所以，
所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），再由可得：，
列表如下：
由上表知為極大值，所以.
∴的取值范圍是.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)
【詳解】（1）由題意可知，的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線斜率為0，所以，即
，解得.
∴，，
令，即，解得；
令即，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意：，即，
恒成立.
令，,則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，
∴當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
所以，
要使在恒成立，只需要即可.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
高頻考點(diǎn)四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式
典型例題
例題1．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)證明：對(duì)任意的，恒成立.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>則，曲線在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為.
故所求切線方程為.
（2）證明：設(shè)，則，
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以存在唯一，使?
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
即在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，所以?duì)任意的，恒成立，即恒成立 .
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，曲線在處的切線方程為．
(1)求，的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題可知，即．
又，所以，
解得，即．
（2），，
要證，，
只需證，
令，
則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，．
例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在使，證明：．
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.
(2)見解析
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>，令，解得：.
令，解得：，令，解得：，
所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）若存在使，
，
兩式相減可得：，得，
兩式相加可得：，得
所以，則，
欲證，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即證，
即證，即
而，，因?yàn)?，令?br>即證，
設(shè)，
故在上單調(diào)遞增，所以，
故在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，證明：．
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題，時(shí)，，，
設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，
該切線過點(diǎn)，則，即，
所以或．又；；，．
所以，切線方程為或；
（2）設(shè)，則，
令，則，
可知，時(shí)，；時(shí)，，
故時(shí)均有，則即在上單調(diào)遞增，，
因?yàn)闀r(shí)，則，，故在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，均有．
2．（2023春·天津和平·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，無(wú)減區(qū)間
(2)證明詳見解析
【詳解】（1）的定義域是，
，
設(shè)，
，所以在區(qū)間遞減，
在區(qū)間遞增，
所以，
所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，無(wú)減區(qū)間.
（2）當(dāng)時(shí)，要證，
即證，即證.
設(shè)，，
令，則，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
所以，即，
所以單調(diào)遞增，而，所以，
即.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，．
3．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第八中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)的一個(gè)正根為m，當(dāng)，且時(shí)，證明:.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1），
∴函數(shù)在處的切線的斜率，
，解得；
（2）令，
則，在上單調(diào)遞增.
又，
即的一個(gè)大于1的零點(diǎn).
令，則.
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，，
，
在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)，且時(shí)，，
即，即，
∴當(dāng)，且時(shí)，．
0
0
極大值
極小值
0
0
↗
極大值
↘
極小值
↗
1
0
0

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