高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第十講第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)章節(jié)總結(jié)(高頻精講)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13790" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc13790 \h 3
\l "_Tc16839" 題型一：函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc16839 \h 3
\l "_Tc28842" 角度1：具體函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc28842 \h 3
\l "_Tc20952" 角度2：抽象函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc20952 \h 3
\l "_Tc29627" 角度3：已知定義域求參數(shù) PAGEREF _Tc29627 \h 3
\l "_Tc20737" 題型二：函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc20737 \h 4
\l "_Tc30417" 角度1：單調(diào)性法求值域 PAGEREF _Tc30417 \h 4
\l "_Tc31014" 角度2：分離常數(shù)法 PAGEREF _Tc31014 \h 4
\l "_Tc20679" 角度3：指數(shù)型函數(shù)（對數(shù)型函數(shù)）值域或最值 PAGEREF _Tc20679 \h 4
\l "_Tc16440" 角度4：分類討論法解決二次函數(shù)中的值域（最值問題） PAGEREF _Tc16440 \h 5
\l "_Tc6234" 角度5：利用基本不等式求值域（最值） PAGEREF _Tc6234 \h 6
\l "_Tc16451" 題型三：求函數(shù)的解析式 PAGEREF _Tc16451 \h 6
\l "_Tc3207" 題型四：分段函數(shù)問題 PAGEREF _Tc3207 \h 7
\l "_Tc7408" 角度1：分段函數(shù)求值 PAGEREF _Tc7408 \h 7
\l "_Tc2183" 角度2：分段函數(shù)的值域或最值 PAGEREF _Tc2183 \h 7
\l "_Tc14842" 角度3：分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù) PAGEREF _Tc14842 \h 8
\l "_Tc10476" 題型五：函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc10476 \h 9
\l "_Tc29287" 角度1：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) PAGEREF _Tc29287 \h 9
\l "_Tc12913" 角度2：根據(jù)單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc12913 \h 9
\l "_Tc16015" 角度3：比較大小 PAGEREF _Tc16015 \h 10
\l "_Tc4216" 角度4：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 PAGEREF _Tc4216 \h 10
\l "_Tc26407" 題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc26407 \h 11
\l "_Tc12364" 角度1：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù) PAGEREF _Tc12364 \h 11
\l "_Tc5620" 角度2：利用函數(shù)的奇偶性解抽象函數(shù)不等式 PAGEREF _Tc5620 \h 11
\l "_Tc26530" 角度3：構(gòu)造奇偶函數(shù)求值 PAGEREF _Tc26530 \h 12
\l "_Tc22743" 角度4：奇偶性與周期性綜合問題 PAGEREF _Tc22743 \h 12
\l "_Tc18412" 角度5：單調(diào)性與奇偶性綜合問題 PAGEREF _Tc18412 \h 13
\l "_Tc4671" 角度6：對稱性，奇偶性，周期性綜合問題 PAGEREF _Tc4671 \h 13
\l "_Tc3452" 角度7：利用周期性求值 PAGEREF _Tc3452 \h 14
\l "_Tc27222" 題型七：不等式中的恒成立問題 PAGEREF _Tc27222 \h 15
\l "_Tc4232" 題型八：不等式中的能成立問題 PAGEREF _Tc4232 \h 16
\l "_Tc11868" 題型九：函數(shù)的圖象 PAGEREF _Tc11868 \h 16
\l "_Tc3987" 角度1：利用函數(shù)解析式選擇圖象 PAGEREF _Tc3987 \h 16
\l "_Tc14347" 角度2：利用動點研究函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc14347 \h 18
\l "_Tc9663" 角度3：利用函數(shù)圖象解決不等式問題 PAGEREF _Tc9663 \h 21
\l "_Tc1279" 角度4：利用函數(shù)圖象解決方程的根與交點問題 PAGEREF _Tc1279 \h 21
\l "_Tc5398" 角度5：指對函數(shù)圖象相結(jié)合 PAGEREF _Tc5398 \h 22
\l "_Tc9846" 題型十：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù) PAGEREF _Tc9846 \h 24
\l "_Tc3032" 角度1：定義域問題 PAGEREF _Tc3032 \h 24
\l "_Tc13277" 角度2：值域問題 PAGEREF _Tc13277 \h 24
\l "_Tc1339" 角度3：過定點問題 PAGEREF _Tc1339 \h 25
\l "_Tc32523" 角度4：單調(diào)性問題 PAGEREF _Tc32523 \h 25
\l "_Tc10574" 角度5：指對冪綜合問題 PAGEREF _Tc10574 \h 26
\l "_Tc32540" 題型十一：函數(shù)中的零點問題 PAGEREF _Tc32540 \h 27
\l "_Tc27871" 角度1：零點個數(shù)問題 PAGEREF _Tc27871 \h 27
\l "_Tc20289" 角度2：零點所在區(qū)間問題 PAGEREF _Tc20289 \h 28
\l "_Tc31116" 角度3：零點中的參數(shù)問題 PAGEREF _Tc31116 \h 28
\l "_Tc18696" 角度4：零點的代數(shù)和（積）問題 PAGEREF _Tc18696 \h 29
\l "_Tc26477" 題型十二：函數(shù)模型的應(yīng)用 PAGEREF _Tc26477 \h 30
\l "_Tc15846" 第二部分：新定義（文化）問題 PAGEREF _Tc15846 \h 33
\l "_Tc23797" 第三部分：高考新題型 PAGEREF _Tc23797 \h 34
\l "_Tc12807" 角度1：開放性試題 PAGEREF _Tc12807 \h 34
\l "_Tc3840" 角度2：劣夠性試題 PAGEREF _Tc3840 \h 35
\l "_Tc19125" 第四部分：數(shù)學(xué)思想方法 PAGEREF _Tc19125 \h 36
\l "_Tc10791" 角度1：函數(shù)與方程思想 PAGEREF _Tc10791 \h 36
\l "_Tc29903" 角度2：分類討論思想 PAGEREF _Tc29903 \h 37
\l "_Tc14284" 角度3：數(shù)形結(jié)合思想 PAGEREF _Tc14284 \h 37
\l "_Tc11306" 角度4：轉(zhuǎn)化與化歸思想 PAGEREF _Tc11306 \h 38
\l "_Tc25729" 角度5：極限思想 PAGEREF _Tc25729 \h 39
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第一部分：典型例題講解
題型一：函數(shù)的定義域
角度1：具體函數(shù)的定義域
1．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省南京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)全集U＝R，若集合，，則（）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是_____________．
3．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┖瘮?shù)的定義域為______；
角度2：抽象函數(shù)的定義域
1．（2023秋·遼寧本溪·高一校考期末）若函數(shù)的定義域是[1，2023]，則函數(shù)的定義域是（）
A．[0，2022]B．
C．（1，2024]D．
2．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽鐵路實驗中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
角度3：已知定義域求參數(shù)
1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值可能是（）
A．0B．1C．2D．3
2．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是___．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．
4．（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的定義域為B，若，求實數(shù)a的取值范圍．
題型二：函數(shù)的值域
角度1：單調(diào)性法求值域
1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)且的圖象過點，若當(dāng)時，的值域中正整數(shù)的個數(shù)超過2023個，則的最小值為（）
A．9B．10C．11D．12
2．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)，若時，函數(shù)值均小于0，則實數(shù)的取值范圍為______.
3．（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)，，求的最小值．
角度2：分離常數(shù)法
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．
3．（2022秋·廣西桂林·高一?？计谥校┖瘮?shù)的值域為________.
角度3：指數(shù)型函數(shù)（對數(shù)型函數(shù)）值域或最值
1．（2022秋·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，的值域為（）
A．B．C．D．
2．（2022秋·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？茧A段練習(xí)）函數(shù)時，的值域為__________．
3．（2021秋·重慶璧山·高一重慶市璧山來鳳中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)，的值域.
4．（2022秋·遼寧遼陽·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的定義域;
(2)求的值域．
5．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值域為________﹔函數(shù)圖象的對稱中心為_________.
角度4：分類討論法解決二次函數(shù)中的值域（最值問題）
1．（2022秋·新疆克拉瑪依·高一克拉瑪依市高級中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時，解不等式；
(2)若時，求函數(shù)的最小值和最大值.
2．（2022秋·福建泉州·高一石獅市第一中學(xué)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)滿足，且
(1)求函數(shù)的解析式.
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值（用表示）
角度5：利用基本不等式求值域（最值）
1．（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）命題：，使得成立.若是假命題，則實數(shù)取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值是（）
A．23B．26C．22D．25
3．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的最小值為__________.
4．（2023秋·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）求函數(shù)的值域．
題型三：求函數(shù)的解析式
1．（2023秋·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且，則（）
A．B．C．D．
2．（2023春·河南開封·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則（）
A．B．1C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知，則的解析式為__________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對任意的實數(shù)x，y都有，求的解析式．
題型四：分段函數(shù)問題
角度1：分段函數(shù)求值
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·福建三明·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．2B．1C．0D．
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)，則______．
4．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知，則______.
角度2：分段函數(shù)的值域或最值
1．（2023·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則的最小值是（）
A．B．0C．1D．2
2．（2023秋·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)?？计谀┮阎O(shè)，則函數(shù)的最小值是（）
A．－2B．－1C．2D．3
3．（2023秋·上海松江·高一校考期末）設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的最大值，則實數(shù)的取值范圍為______.
4．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的表達(dá)式為，則函數(shù)的值域是______．
5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍是______.
6．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若，則的值域是_________；若的值域是，則參數(shù)的取值范圍是_________.
角度3：分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)
1．（2023秋·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，且滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
3．（2023·安徽·高二馬鞍山二中?？紝W(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（多選）（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）若,且（，且）在上單調(diào)遞增，則a的值可能是（）
A．B．C．3D．
5．（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是_________．
6．（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上嚴(yán)格增，則實數(shù)的取值范圍是________.
題型五：函數(shù)的單調(diào)性
角度1：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍為___________．
3．（2023·高一課時練習(xí)）若奇函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則的取值范圍是______．（結(jié)果用區(qū)間表示）
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，且在上單調(diào)遞增，則a的范圍是______，的最小值為______.
角度2：根據(jù)單調(diào)性解不等式
1．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在(－∞,0]上單調(diào)遞減，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式的解集為（）
A．B．C．D．
3．（2023·北京平谷·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
4．（2023春·安徽阜陽·高一安徽省潁上第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的減函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
5．（2023秋·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┮阎瘮?shù)是在定義域上的嚴(yán)格減函數(shù)，且為奇函數(shù).若，則不等式的解集是______.
6．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為______.
角度3：比較大小
1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
2．（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，則（）
A．B．
C．D．
3．（多選）（2023秋·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）已知,則（）
A．B．
C．D．
角度4：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________
3．（2023·高三課時練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．
4．（2023秋·山西大同·高一大同一中?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為______．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應(yīng)用
角度1：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
1．（2023·全國·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）若為奇函數(shù)，則實數(shù)______.
2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．
3．（2023春·北京·高一校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)___________
角度2：利用函數(shù)的奇偶性解抽象函數(shù)不等式
1．（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且對任意的，，不等式恒成立，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
2．（2021秋·河南南陽·高一校考階段練習(xí)）若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，記，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則不等式的解集為_____
4．（2023春·浙江·高三開學(xué)考試）已知定義在上可導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)x都有成立，且當(dāng)時，都有成立，若，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
5．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？奸_學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，則________，的最小值為________．
角度3：構(gòu)造奇偶函數(shù)求值
1．（2023秋·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）
A．B．C．D．
2．（2022秋·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？计谥校?，則__________.
3．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，其中，、、，且，則______．
4．（2023秋·山東濟寧·高一曲阜一中?？计谀┖瘮?shù)，（a，b為常實數(shù)），若，則______．
5．（2023秋·河北保定·高一?？计谀┮阎P(guān)于x的函數(shù)在上的最大值為M，最小值N，且，則實數(shù)t的值是__________．
角度4：奇偶性與周期性綜合問題
1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┒x在上的奇函數(shù)滿足．當(dāng)時，，則（）
A．B．4C．14D．0
2．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（）
A．B．C．D．
3．（多選）（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┒x在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．時，
C．D．
4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）設(shè)是定義域為R的偶函數(shù)，且.若，則的值是___________.
角度5：單調(diào)性與奇偶性綜合問題
1．（2022秋·四川·高一四川省平昌中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)對任意都有，若，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2023春·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，且，都有，則下列結(jié)論正確的為（）
A．可能是偶函數(shù)B．
C．D．
3．（2023春·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，是定義在R上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.若對于任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是___________.
4．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且對任意
5．（2022秋·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為___________.
角度6：對稱性，奇偶性，周期性綜合問題
1．（遼寧省撫順市2023屆普通高中應(yīng)屆畢業(yè)生高考模擬數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)同時滿足：①，②，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．函數(shù)為奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．D．函數(shù)的周期
2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則（）
A．21B．22C．D．
3．（2023春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列四個結(jié)論錯誤個數(shù)是（）
（1）
（2）為奇函數(shù)
（3）在上為減函數(shù)
（4）的一個周期為8
A．1B．2C．3D．4
4．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時，，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷中，其中正確的判斷是（）．
A．函數(shù)的最小正周期為4
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．不等式的解集為．
5．（2023秋·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足是上的偶函數(shù)，且，則__________.
6．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？奸_學(xué)考試）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，給出下列判斷：①；②在上是增函數(shù)；③的圖象關(guān)于直線對稱；④函數(shù)在處取得最小值，其中判斷正確的序號是______________．
角度7：利用周期性求值
1．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)是定義域為的奇函數(shù)，且，若，則（）
A．B．C．D．
2．（多選）（2023秋·浙江·高一期末）定義在R上的函數(shù)，滿足，且為偶函數(shù)，，則（）
A．B．
C．D．
3．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，對任意的恒成立，若，則__________
4．（2023秋·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若，則___________.
題型七：不等式中的恒成立問題
1．（多選）（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，當(dāng)時，都有，若不等式恒成立，則實數(shù)m的可能取值為（）
A．B．C．0D．1
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．
3．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獮榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且滿足：．若對任意的都有不等式成立，則實數(shù)的最大值為__________．
4．（2023秋·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍.
題型八：不等式中的能成立問題
1．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________________.
2．（2023春·遼寧大連·高一大連市一0三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，，有，則實數(shù)a的取值范圍是______.
3．（2023秋·廣東深圳·高二校考期末）已知函數(shù)，，若對于任意，存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
4．（2023秋·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知，，若對，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.
題型九：函數(shù)的圖象
角度1：利用函數(shù)解析式選擇圖象
1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）函數(shù)的大致圖象為（）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象是（）．
A．B．
C．D．
3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)，則函數(shù)的大致圖象是（）
A．B．
C．D．
5．（2021春·陜西延安·高二子長市中學(xué)校考期末）函數(shù)的部分圖像大致為（）
A．B．
C．D．
角度2：利用動點研究函數(shù)圖象
1．（2022秋·北京房山·高一統(tǒng)考期中）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點E由A沿線段向B移動，過點E作的垂線l，設(shè)，記位于直線l左側(cè)的圖形的面積為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）
A．B．
C．D．
2．（2021秋·湖北武漢·高一武漢市第四十九中學(xué)?？计谥校┲苯翘菪蜲ABC中，，，，直線l：截該梯形所得位于l左邊圖形面積為S，則函數(shù)的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
3．（2021秋·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學(xué)校考期中）一質(zhì)點從正方形的一個頂點出發(fā)，沿著正方形的邊順時針運動一周后回到點，假設(shè)質(zhì)點運動過程中的速度大小不變，則質(zhì)點到點的距離隨時間變化的大致圖象為（）
A．B．
C．D．
4．（2023春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖為正方體ABCD﹣A1B1C1D1，動點M從B1點出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到B1的運動過程中，點M與平面A1DC1的距離保持不變，運動的路程x與l＝MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系l＝f（x），則此函數(shù)圖象大致是（）
A．B．
C．D．
5．（多選）（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下列對應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h與時間t之間的關(guān)系，其中正確的（）
A．B．
C．D．
6．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為2的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，設(shè)頂點的軌跡方程是，則對函數(shù)的判斷正確的是
A．函數(shù)在，上有兩個零點
B．函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)在，上單調(diào)遞增
D．對任意的，都有
角度3：利用函數(shù)圖象解決不等式問題
1．（2021春·陜西榆林·高三陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在軸下方，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為R，，且在上遞增，則的解集為（）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·遼寧本溪·高一校考期末）若不等式（，且）在內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．
5．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中?？计谀┮阎希谊P(guān)于x的不等式至少有一個負(fù)數(shù)解}，則集合A中的元素之和等于___________
角度4：利用函數(shù)圖象解決方程的根與交點問題
1．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上恰有3對關(guān)于原點成中心對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
2．（2023春·浙江衢州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，有四個實數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2022秋·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谀┟}“對任意的，總存在唯一的，使得”成立的充要條件是______.
4．（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，則的取值范圍是______________
角度5：指對函數(shù)圖象相結(jié)合
1．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若正數(shù)x，y，z滿足，則（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·山東德州·高一統(tǒng)考期末）華羅庚是享譽世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）
B．
C．D．
3．（2022春·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，，則函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能為（）
A．B．
C．D．
4．（2022·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，且，，，則，，的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
5．（多選）（2022·高一單元測試）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與且a≠1)的大致圖象如圖所示，則下列數(shù)中可能是實數(shù)a的取值的有（）
A．B．C．D．
題型十：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)
角度1：定義域問題
1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)定義域為（）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
3．（2023春·北京順義·高一牛欄山一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為___．
4．（2023·高一課時練習(xí)）若要使有意義，則取值范圍是_______.
5．（2023·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為______．
6．（2023春·北京·高一?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的定義域為__________；值域為__________．
角度2：值域問題
1．（2023秋·山東德州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱取整函數(shù)，例如：，已知則函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．
5．（2023秋·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？计谀┖瘮?shù)的值域為_______________.
6．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)與互為反函數(shù)，記函數(shù).
(1)若，求x的取值范圍；
(2)若，求的最大值.
角度3：過定點問題
1．（2023春·河北衡水·高一?？奸_學(xué)考試）不論取何值，函數(shù)且且的圖象都必經(jīng)過同一個定點，則（）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023春·湖南株洲·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)（且)恒過點，點在冪函數(shù)的圖象上，則的值為（）
A．8B．9C．27D．64
3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A的坐標(biāo)滿足關(guān)于的方程，則的最小值為（）
A．9B．24C．4D．6
4．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且的圖象恒過定點，若點也在函數(shù)的圖象上，則__________.
5．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點______．
6．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知且，若函數(shù)與的圖象經(jīng)過同一個定點，則__________.
7．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù) 且的圖象經(jīng)過定點，若冪函數(shù) 的圖象也經(jīng)過該點，則 _______________________．
角度4：單調(diào)性問題
1．（2022秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，對任意，都有成立，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_______.
5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是___．
6．（2022秋·新疆阿克蘇·高一校考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
(1)求；
(2)當(dāng)滿足時，求實數(shù)的范圍.
角度5：指對冪綜合問題
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則滿足的整數(shù)的個數(shù)為（）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)，恒有，則的取值范圍是（）
3．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
5．（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的定義域和值域都是．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
題型十一：函數(shù)中的零點問題
角度1：零點個數(shù)問題
1．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的實數(shù)解的個數(shù)為（）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023春·安徽安慶·高一校考階段練習(xí)）已知，若函數(shù)有四個零點，則關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù)為（）
A．2個B．1個C．0個D．與的取值有關(guān)
4．（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學(xué)校考開學(xué)考試）若表示不大于的最大整數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）
A．0個B．1個C．2個D．無數(shù)個
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個數(shù)為（）
A．2B．3C．4D．5
6．（2023秋·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點個數(shù)為___________.
角度2：零點所在區(qū)間問題
1．（2023春·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的一個零點所在的一個區(qū)間是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）
A．B．C．D．
3．（2023秋·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）
A．B．C．D．
4．（2023秋·山東臨沂·高一校考期末），表示不超過的最大整數(shù)，例如，，.設(shè)為函數(shù)的零點，則（）
A．2B．3C．4D．5
5．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點為，且，則__________.
角度3：零點中的參數(shù)問題
1．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若的圖象上至少有兩對點關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.若有個零點，則實數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
5．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點為，且，則__________.
6．（2023秋·安徽淮北·高一淮北一中?？计谀┮阎瘮?shù)的兩個零點都在內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為________________．
角度4：零點的代數(shù)和（積）問題
1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的零點分別為，，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若關(guān)于x的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為（）
A．4B．C．D．8
3．（2023春·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有2個實數(shù)根，且，則的最小值為________．
4．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)若存在，滿足，且，則的取值范圍為__________.
5．（2023春·湖南長沙·高一長沙一中?？茧A段練習(xí)）對于實數(shù)、，定義，設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根、、，若，求的取值范圍.
題型十二：函數(shù)模型的應(yīng)用
1．（2023秋·上海金山·高一統(tǒng)考期末）某城市2023年1月1日的空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱AQI））與時間x（單位：小時）的關(guān)系滿足下圖連續(xù)曲線，并測得當(dāng)天AQI的最大值為103．當(dāng)時，曲線是二次函數(shù)圖像的部分；當(dāng)時，曲線是函數(shù)圖像的一部分．根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的值大于或等于100時，空氣就屬于污染狀態(tài)．
(1)求當(dāng)時，函數(shù)的表達(dá)式；
(2)該城市2023年1月1日這一天哪個時間段的空氣屬于污染狀態(tài)？并說明理由．
2．（2023春·安徽阜陽·高一安徽省潁上第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）宣城市旅游資源豐富，知名景區(qū)眾多，如宣州區(qū)的敬亭山風(fēng)景區(qū)?績溪縣的龍川景區(qū)?旌德縣的江村景區(qū)?寧國市的青龍灣景區(qū)?廣德市的太極洞景區(qū)?郎溪縣的觀天下景區(qū)?涇縣的查濟景區(qū)等等.近年來的新冠疫情對旅游業(yè)影響很大，但隨著防疫政策優(yōu)化，旅游業(yè)將迎來復(fù)蘇.某旅游開發(fā)公司計劃2023年在某地質(zhì)大峽谷開發(fā)新的游玩項目，全年需投入固定成本300萬元，若該項目在2023年有游客萬人，則需另投入成本萬元，且，該游玩項目的每張門票售價為100元.為吸引游客，該公司實行門票五折優(yōu)惠活動.當(dāng)?shù)卣疄楣膭钇髽I(yè)更好發(fā)展，每年給該游玩項目財政補貼萬元.
(1)求2023年該項目的利潤（萬元）關(guān)于人數(shù)（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤收入成本）；
(2)當(dāng)2023年的游客人數(shù)為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？
3．（2023春·全國·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司每個倉庫的收費標(biāo)準(zhǔn)如下表（表示儲存天數(shù)，（萬元）表示天收取的總費用）．
(1)給出兩個函數(shù)且，且，要從這兩個函數(shù)中選出一個來模擬表中之間的關(guān)系，問：選擇哪一個函數(shù)較好？說明理由．
(2)該公司旗下有個這樣的倉庫．每個倉庫儲存貨物時，每天需要元的運營成本，不存貨物時僅需元的成本．一批貨物需要存放天，設(shè)該批貨物存放在個倉庫內(nèi)，其余倉庫空閑．要使該公司這天的倉庫收益不少于元，則的最小值是多少？
注：收益收入成本．
4．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）黨的二十大大報告明確要求：我們要構(gòu)建高水平社會主義市場經(jīng)濟體制，堅持和完善社會主義基本經(jīng)濟制度，毫不動搖鞏固和發(fā)展公有制經(jīng)濟，毫不動搖鼓勵、支持、引導(dǎo)非公有制經(jīng)濟發(fā)展，充分發(fā)揮市場在資源配置中的決定性作用，更好發(fā)揮政府作用.這為我們深入推進(jìn)非公有制企業(yè)改革發(fā)展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企業(yè)抓住機遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖（1）；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）
(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？
5．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：
為了描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系，現(xiàn)有以下四種函數(shù)模型供選擇：
①，
②，
③，
④．
(1)選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型并說明理由，同時求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)在第（1）問的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為110，最小值為10，求實數(shù)m的最大值．
6．（2023秋·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）某公司近五年的年利潤（單位：千萬元）列表如下：
為了描述從第1年開始年利潤y隨年份x的變化關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：
①，②，③.（以上各式均有，）
(1)請你從這三個函數(shù)模型中去掉一個與表格數(shù)據(jù)不吻合的函數(shù)模型并簡要說明理由，再利用表格中第2年和第3年的數(shù)據(jù)對剩下的兩種模型進(jìn)行建模，求出這兩種模型下第五年的公司利潤，并說明哪個模型更好；
(2)利用（1）中較好的模型，預(yù)計該公司第幾年的年利潤會超過10億元？
（參考數(shù)據(jù)，）
第二部分：新定義（文化）問題
1．（2023秋·北京大興·高三?？茧A段練習(xí)）按照“碳達(dá)峰”?“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中n為Peukert常數(shù)，為了測算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時，放電時間；當(dāng)放電電流時，放電時間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．B．C．D．2
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)興號動車組列車，是中國標(biāo)準(zhǔn)動車組的中文命名，由中國鐵路總公司牽頭組織研制、具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)、達(dá)到世界先進(jìn)水平的動車組列車.2019年12月30日，智能復(fù)興號動車組在京張高鐵實現(xiàn)時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.我們用聲強（單位：表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：與聲強的函數(shù)關(guān)系式為，已知時，.若要將某列車的聲強級降低，則該列車的聲強應(yīng)變?yōu)樵晱姷模? ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，，已知，則函數(shù)的值域為______．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對實數(shù)a和b，定義運算“”：設(shè)函數(shù)．若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)c的取值范圍是___________．
5．（2022秋·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）中國茶文化博大精深，小明在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達(dá)到最佳口感的水溫不同.為了方便控制水溫，小明聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過時間（單位：分）后物體溫度將滿足：，其中為正的常數(shù).小明與同學(xué)一起通過多次測量求平均值的方法得到初始溫度為98℃的水在19℃室溫中溫度下降到相應(yīng)溫度所需時間如表所示：
(1)請依照牛頓冷卻模型寫出冷卻時間（單位：分）關(guān)于冷卻水溫（單位：℃）的函數(shù)關(guān)系，并選取一組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的值（精確到0.01）.
(2)“碧螺春”用75℃左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮，口感最佳.在（1）的條件下，水煮沸后在19℃室溫下為獲得最佳口感大約冷卻___________分鐘左右沖泡，請在下列選項中選擇一個最接近的時間填在橫線上，并說明理由.
A．5 B．7 C．10
（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
第三部分：高考新題型
角度1：開放性試題
1．（2023春·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）請寫出一個同時滿足下列兩個條件的冪函數(shù)：___________.
①是偶函數(shù)；②在上單調(diào)遞減.
2．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）請寫出一個同時滿足以下三個條件的函數(shù)：___________.
（1）是偶函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞增；（3）的最小值是2.
3．（2022秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）若為奇函數(shù)，則的表達(dá)式可以為______．
4．（2023春·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)______．
①；②在R上為增函數(shù)．
5．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀懗鲆粋€同時滿足下列兩個條件的函數(shù)_____________．
①對，有；
②當(dāng)時，恒成立．
角度2：劣夠性試題
1．（2023秋·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）① ；②為偶函數(shù)；③的圖象經(jīng)過的圖象所在的定點．從這三個條件中選一個補充在下面問題中，并解答下面的問題．
問題：已知函數(shù)，，且____．
(1)求的解析式；
(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
2．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)______．（①；②；請在給出的兩個函數(shù)中選擇其中的一個作為已知條件，將序號填寫在橫線上，解答下列問題．）
說明：只能選擇其中1個函數(shù)對三個問題分別作答，比如已選擇了第1個函數(shù)解答第（1）問，后面的問題若對第2個函數(shù)解答則視為無效，不計分．
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)判斷并證明函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
(3)解關(guān)于m的不等式．
3．（2023秋·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）已知_________，且函數(shù)．①函數(shù)在定義域為上為偶函數(shù)；②函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2．在①，②兩個條件中，選擇一個條件，將上面的題目補充完整，求出b的值，并解答本題．
(1)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
(2)設(shè)，對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)c的取值范圍．
第四部分：數(shù)學(xué)思想方法
角度1：函數(shù)與方程思想
1．（2023春·河北唐山·高三開灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
4．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
角度2：分類討論思想
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；
(2)若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.
2．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時，.
(1)求函數(shù)在上的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)已知，試討論的零點個數(shù)，并求對應(yīng)的m的取值范圍.
3．（2023春·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時，求的零點；
(2)當(dāng)為偶函數(shù)時，
①求的值；
②設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．
角度3：數(shù)形結(jié)合思想
1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（）
A．3B．4C．5D．6
2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則實數(shù)a的值可以是（）
A．0B．1C．D．2
（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知，若存在三個不同實數(shù)使得，則的取值范圍是______．
角度4：轉(zhuǎn)化與化歸思想
1．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若是奇函數(shù)，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍．
2．（2023春·寧夏銀川·高一賀蘭縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)，，且）的圖象經(jīng)過點，．
(1)試確定函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的單調(diào)增函數(shù)滿足：對任意都有成立
(1)求的值；
(2)求證：為奇函數(shù)；
(3)若對恒成立，求的取值范圍．
角度5：極限思想
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)圖象可能為（）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·天津濱海新·高三大港一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象大致為（）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·山西·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則其圖象大致是（）
A．B．
C．D．
4．（多選）（2023秋·湖南婁底·高三校聯(lián)考期末）函數(shù) 的圖象的大致形狀是（）
A．B．
C．D．
時間t
7
9
10
11
13
種植成本Q
19
11
10
11
19
年份
1
2
3
4
5
年利潤（千萬元）
1.08
1.50
2.25
3.52
4.96
從98℃下降到90℃所用時間
1分58秒
從98℃下降到85℃所用時間
3分24秒
從98℃下降到80℃所用時間
4分57秒
第10講第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)章節(jié)總結(jié) (精講）
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13790" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc13790 \h 3
\l "_Tc16839" 題型一：函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc16839 \h 3
\l "_Tc28842" 角度1：具體函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc28842 \h 3
\l "_Tc20952" 角度2：抽象函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc20952 \h 4
\l "_Tc29627" 角度3：已知定義域求參數(shù) PAGEREF _Tc29627 \h 5
\l "_Tc20737" 題型二：函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc20737 \h 6
\l "_Tc30417" 角度1：單調(diào)性法求值域 PAGEREF _Tc30417 \h 6
\l "_Tc31014" 角度2：分離常數(shù)法 PAGEREF _Tc31014 \h 8
\l "_Tc20679" 角度3：指數(shù)型函數(shù)（對數(shù)型函數(shù)）值域或最值 PAGEREF _Tc20679 \h 9
\l "_Tc16440" 角度4：分類討論法解決二次函數(shù)中的值域（最值問題） PAGEREF _Tc16440 \h 11
\l "_Tc6234" 角度5：利用基本不等式求值域（最值） PAGEREF _Tc6234 \h 12
\l "_Tc16451" 題型三：求函數(shù)的解析式 PAGEREF _Tc16451 \h 14
\l "_Tc3207" 題型四：分段函數(shù)問題 PAGEREF _Tc3207 \h 16
\l "_Tc7408" 角度1：分段函數(shù)求值 PAGEREF _Tc7408 \h 16
\l "_Tc2183" 角度2：分段函數(shù)的值域或最值 PAGEREF _Tc2183 \h 17
\l "_Tc14842" 角度3：分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù) PAGEREF _Tc14842 \h 20
\l "_Tc10476" 題型五：函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc10476 \h 22
\l "_Tc29287" 角度1：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) PAGEREF _Tc29287 \h 22
\l "_Tc12913" 角度2：根據(jù)單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc12913 \h 25
\l "_Tc16015" 角度3：比較大小 PAGEREF _Tc16015 \h 27
\l "_Tc4216" 角度4：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 PAGEREF _Tc4216 \h 28
\l "_Tc26407" 題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc26407 \h 30
\l "_Tc12364" 角度1：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù) PAGEREF _Tc12364 \h 30
\l "_Tc5620" 角度2：利用函數(shù)的奇偶性解抽象函數(shù)不等式 PAGEREF _Tc5620 \h 31
\l "_Tc26530" 角度3：構(gòu)造奇偶函數(shù)求值 PAGEREF _Tc26530 \h 33
\l "_Tc22743" 角度4：奇偶性與周期性綜合問題 PAGEREF _Tc22743 \h 35
\l "_Tc18412" 角度5：單調(diào)性與奇偶性綜合問題 PAGEREF _Tc18412 \h 37
\l "_Tc4671" 角度6：對稱性，奇偶性，周期性綜合問題 PAGEREF _Tc4671 \h 40
\l "_Tc3452" 角度7：利用周期性求值 PAGEREF _Tc3452 \h 44
\l "_Tc27222" 題型七：不等式中的恒成立問題 PAGEREF _Tc27222 \h 45
\l "_Tc4232" 題型八：不等式中的能成立問題 PAGEREF _Tc4232 \h 48
\l "_Tc11868" 題型九：函數(shù)的圖象 PAGEREF _Tc11868 \h 50
\l "_Tc3987" 角度1：利用函數(shù)解析式選擇圖象 PAGEREF _Tc3987 \h 50
\l "_Tc14347" 角度2：利用動點研究函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc14347 \h 53
\l "_Tc9663" 角度3：利用函數(shù)圖象解決不等式問題 PAGEREF _Tc9663 \h 58
\l "_Tc1279" 角度4：利用函數(shù)圖象解決方程的根與交點問題 PAGEREF _Tc1279 \h 61
\l "_Tc5398" 角度5：指對函數(shù)圖象相結(jié)合 PAGEREF _Tc5398 \h 64
\l "_Tc9846" 題型十：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù) PAGEREF _Tc9846 \h 67
\l "_Tc3032" 角度1：定義域問題 PAGEREF _Tc3032 \h 67
\l "_Tc13277" 角度2：值域問題 PAGEREF _Tc13277 \h 69
\l "_Tc1339" 角度3：過定點問題 PAGEREF _Tc1339 \h 71
\l "_Tc32523" 角度4：單調(diào)性問題 PAGEREF _Tc32523 \h 73
\l "_Tc10574" 角度5：指對冪綜合問題 PAGEREF _Tc10574 \h 76
\l "_Tc32540" 題型十一：函數(shù)中的零點問題 PAGEREF _Tc32540 \h 80
\l "_Tc27871" 角度1：零點個數(shù)問題 PAGEREF _Tc27871 \h 80
\l "_Tc20289" 角度2：零點所在區(qū)間問題 PAGEREF _Tc20289 \h 83
\l "_Tc31116" 角度3：零點中的參數(shù)問題 PAGEREF _Tc31116 \h 85
\l "_Tc18696" 角度4：零點的代數(shù)和（積）問題 PAGEREF _Tc18696 \h 88
\l "_Tc26477" 題型十二：函數(shù)模型的應(yīng)用 PAGEREF _Tc26477 \h 92
\l "_Tc15846" 第二部分：新定義（文化）問題 PAGEREF _Tc15846 \h 98
\l "_Tc23797" 第三部分：高考新題型 PAGEREF _Tc23797 \h 101
\l "_Tc12807" 角度1：開放性試題 PAGEREF _Tc12807 \h 101
\l "_Tc3840" 角度2：劣夠性試題 PAGEREF _Tc3840 \h 103
\l "_Tc19125" 第四部分：數(shù)學(xué)思想方法 PAGEREF _Tc19125 \h 106
\l "_Tc10791" 角度1：函數(shù)與方程思想 PAGEREF _Tc10791 \h 106
\l "_Tc29903" 角度2：分類討論思想 PAGEREF _Tc29903 \h 108
\l "_Tc14284" 角度3：數(shù)形結(jié)合思想 PAGEREF _Tc14284 \h 112
\l "_Tc11306" 角度4：轉(zhuǎn)化與化歸思想 PAGEREF _Tc11306 \h 114
\l "_Tc25729" 角度5：極限思想 PAGEREF _Tc25729 \h 117
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第一部分：典型例題講解
題型一：函數(shù)的定義域
角度1：具體函數(shù)的定義域
1．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省南京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)全集U＝R，若集合，，則（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由集合的意義，可得M為函數(shù)的值域，
令，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，易得，
進(jìn)而可得0≤≤2；
在中，有1≤y≤4；
即M＝{y|1≤y≤4}，則或y＞4}；
集合N為函數(shù)的定義域，則，
解可得，
即；
則；
故選：D．
2．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是_____________．
【答案】
【詳解】由題意可知：，
所以該函數(shù)的定義域為，
故答案為：
3．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┖瘮?shù)的定義域為______；
【答案】
【詳解】因為，所以，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
角度2：抽象函數(shù)的定義域
1．（2023秋·遼寧本溪·高一?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域是[1，2023]，則函數(shù)的定義域是（）
A．[0，2022]B．
C．（1，2024]D．
【答案】D
【詳解】因的定義域是[1，2023]，
則由可得：，
則定義域為：.
故選：D
2．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽鐵路實驗中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】要使有意義，
只需，即，
解得或，
則函數(shù)的定義域為.
故選：B.
角度3：已知定義域求參數(shù)
1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值可能是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】ABC
【詳解】因函數(shù)的定義域為，于是得，不等式成立，
當(dāng)時，恒成立，則，
當(dāng)時，必有，解得，
綜上得：，顯然，選項A，B，C都滿足，選項D不滿足.
故選：ABC
2．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是___．
【答案】
【詳解】解：∵函數(shù)的定義域是R，
∴+ax＞0對于任意實數(shù)x恒成立，
即ax＞對于任意實數(shù)x恒成立，
當(dāng)x＝0時，上式化為0＞﹣1，此式對任意實數(shù)a都成立；
當(dāng)x＞0時，則a＞＝，
∵x＞0，∴，則≥，
則≤，可得a＞；
當(dāng)x＜0時，則a＜，
∵x＜0，∴，則＞1，
則＞1，可得a≤1．
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】
【詳解】解：因為函數(shù)的定義域是.
所以不等式恒成立．
所以，當(dāng)時，不等式等價于，顯然恒成立；
當(dāng)時，則有，即，解得.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為:
4．（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的定義域為B，若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】．
【詳解】由，解得，所以．
由，得．因為函數(shù)的定義域為非空集合，所以，則．
根據(jù)題意，或，即實數(shù)a的取值范圍為．
題型二：函數(shù)的值域
角度1：單調(diào)性法求值域
1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)且的圖象過點，若當(dāng)時，的值域中正整數(shù)的個數(shù)超過2023個，則的最小值為（）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【詳解】依題意，；
易知在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時正整數(shù)的個數(shù)是1027，
當(dāng)時，，此時正整數(shù)的個數(shù)是2051，
故的最小值為11，
故選：C.
2．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中學(xué)校考期末）函數(shù)，若時，函數(shù)值均小于0，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【詳解】，
當(dāng) 時，，是減函數(shù)，；
當(dāng) 時，，不符合題意；
故答案為： .
3．（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)，，求的最小值．
【答案】
【詳解】令，則，于是,
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增，
因此，即．
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
因此，即．
當(dāng)時，,
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,
①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，
因此，即．
②當(dāng)，即時，根據(jù)的單調(diào)性得，
即，
綜上所述，.
角度2：分離常數(shù)法
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________
【答案】
【詳解】，
，，，
即的值域為.
故答案為：.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．
【答案】
【詳解】由，
又，則，則，所以，
故函數(shù)的值域為．
故答案為：．
3．（2022秋·廣西桂林·高一校考期中）函數(shù)的值域為________.
【答案】
【詳解】因為函數(shù)，
又因為，所以，則，
所以，則有，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為：.
角度3：指數(shù)型函數(shù)（對數(shù)型函數(shù)）值域或最值
1．（2022秋·山東德州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)，的值域為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：令，，則在上單調(diào)遞增，
又，，所以，
又在上單調(diào)遞增，
所以，即.
故選：A
2．（2022秋·海南海口·高一?？谝恢行？茧A段練習(xí)）函數(shù)時，的值域為__________．
【答案】
【詳解】，令，則，，因為在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，，所以的值域為，即的值域為.
故答案為：.
3．（2021秋·重慶璧山·高一重慶市璧山來鳳中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)，的值域.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）依題意（負(fù)根舍去），
，
在上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2），
.
4．（2022秋·遼寧遼陽·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的定義域;
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為,
所以,解得,
所以的定義域為．
（2）因為
,
由(1)知的定義域為,
所以,,，
因為是增函數(shù)，所以，
故的值域為．
5．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值域為________﹔函數(shù)圖象的對稱中心為_________.
【答案】
【詳解】因為，則，所以，，
所以，函數(shù)的值域為，
因為，則，
因此，函數(shù)圖象的對稱中心為.
故答案為：；.
角度4：分類討論法解決二次函數(shù)中的值域（最值問題）
1．（2022秋·新疆克拉瑪依·高一克拉瑪依市高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，
(1)當(dāng)時，解不等式；
(2)若時，求函數(shù)的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）當(dāng)時，即為，解得：，
故不等式解集為；
（2）因為的圖像開口向下且對稱軸為，
①當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，
故，；
②當(dāng)時，即時，根據(jù)函數(shù)圖像得：在上
；
③當(dāng)時，即時，根據(jù)函數(shù)圖像得：在上
；
④當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，
.
綜上，，
2．（2022秋·福建泉州·高一石獅市第一中學(xué)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)滿足，且
(1)求函數(shù)的解析式.
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值（用表示）
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，所以，，
即，
所以，解得，所以.
（2），開口向下，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
綜上所述：
角度5：利用基本不等式求值域（最值）
1．（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）命題：，使得成立.若是假命題，則實數(shù)取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為命題：，使得成立，
所以命題的否定為：，成立，
而是假命題，故命題的否定為真命題.
所以在上恒成立，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，即.
故選：A
2．（2023秋·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值是（）
A．23B．26C．22D．25
【答案】D
【詳解】由題意得，，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，
故的最小值是25，
故選：D
3．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的最小值為__________.
【答案】6
【詳解】因為，，
所以，
令，
則，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故，此時，，
故答案為：6
4．（2023秋·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）求函數(shù)的值域．
【答案】
【詳解】，
若，則，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
若，則，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
∴的值域為．
題型三：求函數(shù)的解析式
1．（2023秋·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】令，則，
因為是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，
所以t為常數(shù)，即，
所以，解得，
所以，
故.
故選：B
2．（2023春·河南開封·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則（）
A．B．1C．D．
【答案】A
【詳解】分別令，，則，解得.
故選：A
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由可得，
所以由解得，
故選：A
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知，則的解析式為__________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對任意的實數(shù)x，y都有，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）方法一（換元法）：令，則，．
所以，
所以函數(shù)的解析式為．
方法二（配湊法）：．
因為，所以函數(shù)的解析式為．
（2）將代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
題型四：分段函數(shù)問題
角度1：分段函數(shù)求值
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題可知，當(dāng)時，，
所以，
因為，
故選:C.
2．（2023秋·福建三明·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．2B．1C．0D．
【答案】C
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，則，∴，
∴，.
故選：C.
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)，則______．
【答案】
【詳解】因為，
故，
故答案為：
4．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知，則______.
【答案】
【詳解】，
．
故答案為：．
角度2：分段函數(shù)的值域或最值
1．（2023·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則的最小值是（）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上，當(dāng)時，函數(shù)有最小值為1.
故選：C
2．（2023秋·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)?？计谀┮阎?，設(shè)，則函數(shù)的最小值是（）
A．－2B．－1C．2D．3
【答案】A
【詳解】由，即，解得或；
由，即，解得.
由題意，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的最小值是．
故選：A．
3．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┰O(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的最大值，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【詳解】因為，
當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減且，
由是函數(shù)的最大值，
所以的最大值為，
當(dāng)時，
可得在時函數(shù)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
若，，則，不符題意；
若，，則，即，
綜上可得的范圍是．
故答案為：
4．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的表達(dá)式為，則函數(shù)的值域是______．
【答案】
【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)的定義域是.
故答案為：
5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)不存在最大值，故，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以此時；
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以此時，
若函數(shù)存在最大值，則，解得，又，
所以的取值范圍為
故答案為：
6．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若，則的值域是_________；若的值域是，則參數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】； .
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故的值域是；
若的值域是，
因為時，，
因為時，，故需滿足，
又因為需滿足，則，故參數(shù)的取值范圍是，即，
故答案為：;.
角度3：分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)
1．（2023秋·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意解得，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，且滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：是R上的減函數(shù)，
則，解得，
故實數(shù)a的取值范圍是.
故選：C.
3．（2023·安徽·高二馬鞍山二中?？紝W(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由于函數(shù)滿足對任意，都有成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A
4．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）若,且（，且）在上單調(diào)遞增，則a的值可能是（）
A．B．C．3D．
【答案】BC
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
則BC符合取值范圍.
故選：BC.
5．（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是_________．
【答案】
【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，
所以，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
6．（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上嚴(yán)格增，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【詳解】因為函數(shù)在上嚴(yán)格增，
所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
題型五：函數(shù)的單調(diào)性
角度1：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
得在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，解得.
結(jié)合A，B，C，D四個選項，知使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是.
故選：C.
2．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍為___________．
【答案】
【詳解】解：根據(jù)題意，二次函數(shù)的對稱軸為，
函數(shù)在上不單調(diào)，
，即，則實數(shù)k的取值范圍為.
故答案為：．
3．（2023·高一課時練習(xí)）若奇函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則的取值范圍是______．（結(jié)果用區(qū)間表示）
【答案】
【詳解】因為是上的奇函數(shù)，
所以，即，
所以；
又因為在上是減函數(shù)，
所以，解得；
所以.
故答案為：.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【詳解】因為在與上單調(diào)遞減，
而在上單調(diào)遞增，
所以，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，且在上單調(diào)遞增，則a的范圍是______，的最小值為______.
【答案】 2
【詳解】注意到是減函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞減，
而的遞減區(qū)間是，
∴，.
∵的最大值為2，
∴的最小值為，
即，，
令，，，
∴在處取得最小值2.
故答案為：，2
角度2：根據(jù)單調(diào)性解不等式
1．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在(－∞,0]上單調(diào)遞減，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，，
∴不等式可變?yōu)椋?br>偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，解得.
故選：B.
2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為為偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于y軸對稱，則的圖像關(guān)于直線對稱．
因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．
因為，所以，解得．
故選：A.
3．（2023·北京平谷·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：由題意可得函數(shù)的定義域為，
因為與在均為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，
因為，
所以的解集為.
故選：C.
4．（2023春·安徽阜陽·高一安徽省潁上第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的減函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】函數(shù)是定義域為的減函數(shù)，因，
故，解得，
故選：C
5．（2023秋·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┮阎瘮?shù)是在定義域上的嚴(yán)格減函數(shù)，且為奇函數(shù).若，則不等式的解集是______.
【答案】
【詳解】因為是在定義域上的奇函數(shù)，，
所以，
故，
因為是在定義域上的嚴(yán)格減函數(shù)，
所以，解得：，
故答案為：
6．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為______.
【答案】
【詳解】對于函數(shù)，則定義域為，
且，所以是偶函數(shù)，
當(dāng)時，又函數(shù)、、在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減.
又，所以不等式，即，
即，即，所以，解得，
故不等式的解集為.
故答案為：
角度3：比較大小
1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】，，，所以，
故選：B
2．（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：；
由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：；
由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知：，
故選：.
3．（多選）（2023秋·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）已知,則（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【詳解】解:因為在單調(diào)遞增,
所以,即,
因為在單調(diào)遞增,
所以,,
綜上:,故選項B錯誤,選項A、C正確;
因為,且,
即,所以,故選項D正確.
故選:ACD
角度4：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】在函數(shù)中，由得或，則的定義域為，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，
于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：B
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________
【答案】[3，）
【詳解】由題意，，而函數(shù)的對稱軸為：，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，函數(shù)的增區(qū)間為：，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.
故答案為：.
3．（2023·高三課時練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．
【答案】
【詳解】因為復(fù)合函數(shù)是由與復(fù)合而得，
而在上單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)減區(qū)間即為的單調(diào)增區(qū)間，
因為開口向下，對稱軸為，
所以的單調(diào)增區(qū)間.
則答案為：.
4．（2023秋·山西大同·高一大同一中?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【詳解】解：設(shè)，則，
因為在上單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且函數(shù)值恒大于0，
所以，解得,
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
【答案】
【詳解】在上單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，
則，即，
同時需滿足，即，
解得，
綜上可知
故答案為：
題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應(yīng)用
角度1：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
1．（2023·全國·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）若為奇函數(shù)，則實數(shù)______.
【答案】
【詳解】若為奇函數(shù)，則，
故，解得.
故答案為：1.
2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．
【答案】1
【詳解】∵為偶函數(shù)，定義域為，
∴對任意的實數(shù)都有，
即，
∴，
由題意得上式對任意的實數(shù)恒成立，
∴，解得,所以
故答案為：1
3．（2023春·北京·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)___________
【答案】4
【詳解】因為函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，
所以所以圖像關(guān)于對稱，即，
即恒成立，化簡為
當(dāng)時，，不可能恒成立，舍去；
當(dāng)時，恒成立，
，解得.
故答案為：4.
角度2：利用函數(shù)的奇偶性解抽象函數(shù)不等式
1．（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且對任意的，，不等式恒成立，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】由題知的圖象關(guān)于點中心對稱，所以關(guān)于中心對稱，因為定義域為，所以為奇函數(shù)，
記，當(dāng)時，，
即，所以在上單調(diào)遞減，
因為，所以在上為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，因為，，
是在上為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，單調(diào)遞減，，而，所以，當(dāng)，單調(diào)遞減，，而，所以，因為為奇函數(shù)，所以的解集為.
故選：C.
2．（2021秋·河南南陽·高一校考階段練習(xí)）若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因為定義域為R的奇函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且, ，
所以在上也是單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng) 時，，當(dāng)時，，
所以由可得或或 ,
解得或，
所以滿足的x的取值范圍是，
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，記，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則不等式的解集為_____
【答案】
【詳解】解：因為，且是定義在上的偶函數(shù)，
則，
∴函數(shù)為偶函數(shù)，
原不等式可化為，
即，
又因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解之得：或，
故答案為：
4．（2023春·浙江·高三開學(xué)考試）已知定義在上可導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)x都有成立，且當(dāng)時，都有成立，若，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】令，
則易得，
即為偶函數(shù)，
當(dāng)時，有，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，
由
得，
即，
由為偶函數(shù)得，
又在上單調(diào)遞增，所以，
故答案為：．
5．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？奸_學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，則________，的最小值為________．
【答案】
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，
即，
所以，
由的任意性可得，故，
所以，
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，
所以，即的最小值為.
故答案為：；.
角度3：構(gòu)造奇偶函數(shù)求值
1．（2023秋·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】，
可令，則，
為定義在上的奇函數(shù)，，
則，.
故選：D.
2．（2022秋·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考期中），若，則__________.
【答案】4
【詳解】令，則，為奇函數(shù)，
由，解得，所以.
所以.
故答案為：4.
3．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，其中，、、，且，則______．
【答案】
【詳解】設(shè)，則，
的定義域為，
，所以為奇函數(shù)，
所以，，所以，
所以，
故答案為: .
4．（2023秋·山東濟寧·高一曲阜一中校考期末）函數(shù)，（a，b為常實數(shù)），若，則______．
【答案】3
【詳解】令，則，，
因為，所以，
因為，
所以為奇函數(shù)，
所以，
所以，
故答案為：3
5．（2023秋·河北保定·高一?？计谀┮阎P(guān)于x的函數(shù)在上的最大值為M，最小值N，且，則實數(shù)t的值是__________．
【答案】
【詳解】解：
又
故令
則，定義域關(guān)于原點對稱
且
所以為奇函數(shù)
（奇函數(shù)的性質(zhì)）
故解得：
故答案為：
角度4：奇偶性與周期性綜合問題
1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┒x在上的奇函數(shù)滿足．當(dāng)時，，則（）
A．B．4C．14D．0
【答案】A
【詳解】因為，令，則，
所以，即，
因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，
所以，則，
故的周期是4，
因為當(dāng)時，，
所以.
故選：A.
2．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為是奇函數(shù)，所以①，且關(guān)于點對稱，
因為是偶函數(shù)，所以②，且關(guān)于對稱，
所以的周期為，
令，由①得，由②得
又，所以，，
令，由①得，
所以，，
所以，又，
所以.
故選：D
3．（多選）（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┒x在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．時，
C．D．
【答案】AC
【詳解】因為函數(shù)的，所以，則，故函數(shù)的周期為，所以，故A正確；
又當(dāng)時，，則當(dāng)時，，，故B不正確；
由周期可得，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，
所以，即，所以，故C正確；
當(dāng)時，，所以，又因為，所以，，
則，所以，故D不正確.
故選：AC.
4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）設(shè)是定義域為R的偶函數(shù)，且.若，則的值是___________.
【答案】##0.25
【詳解】因為是定義域為的偶函數(shù)，所以；
又，所以，
所以是周期為2的函數(shù)，則.
故答案為：.
角度5：單調(diào)性與奇偶性綜合問題
1．（2022秋·四川·高一四川省平昌中學(xué)校考階段練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)對任意都有，若，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由題設(shè)對任意都有，
所以在上遞減，又為R上的奇函數(shù)，
所以，
故在R上也為奇函數(shù)，則在上遞減，
又，則，故，
綜上，有.
故選：B
2．（多選）（2023春·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，且，都有，則下列結(jié)論正確的為（）
A．可能是偶函數(shù)B．
C．D．
【答案】ACD
【詳解】對于選項A，當(dāng)時，符合題意，所以A正確；
對于選項B，由是奇函數(shù)，則，
所以①，
是偶函數(shù)，同理易知：②，
由②得，聯(lián)立①式得③，
所以④，
由③④得，即，
所以，選項B錯；
對于選項C，由知，當(dāng)?shù)茫?br>由知，當(dāng)?shù)茫?br>所以，
所以，
由已知在上單調(diào)遞增，且，所以，
所以，所以C正確；
對于選項D，由及
得，
所以，
因為，即，所以選項D正確，
故選：ACD．
3．（2023春·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，是定義在R上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.若對于任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】解：因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
所以，
又，則，
兩式相加可得，
若對于任意，都有，
可變形為，
令，則函數(shù)在上遞增，
當(dāng)時，在上遞增，符合題意，
當(dāng)時，則函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為，
因為函數(shù)在上遞增，
所以或，解得或，
綜上所述，.
故答案為：.
4．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且對任意且，都有，若，則不等式的解集為________.
【答案】
【詳解】解：已知是定義在上的奇函數(shù)，則，且
又對任意且，都有，不妨設(shè)，則，所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，所以，
則函數(shù)的大致圖象如下圖：
根據(jù)圖象可得不等式的解集為：.
故答案為：.
5．（2022秋·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為___________.
【答案】
【詳解】∵是偶函數(shù)，
∴，即：
∴關(guān)于對稱.
∵當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞增，
又∵，
∴，即：，
∴，即：，解得：或.
故答案為：或.
角度6：對稱性，奇偶性，周期性綜合問題
1．（遼寧省撫順市2023屆普通高中應(yīng)屆畢業(yè)生高考模擬數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)同時滿足：①，②，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．函數(shù)為奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．D．函數(shù)的周期
【答案】C
【詳解】定義在R上的函數(shù)，由得：，即函數(shù)為奇函數(shù)，A正確；
令，則，
因此函數(shù)，即的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；
由得：，由得：，
于是，即，所以函數(shù)的周期，D正確；
由知，，顯然由給定條件的值不確定，又，
因此不確定，D錯誤.
故選：D
2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則（）
A．21B．22C．D．
【答案】C
【詳解】∵為偶函數(shù)且，則，
故關(guān)于點對稱，
又∵，則，
則是以周期為4 的周期函數(shù)，故關(guān)于點對稱，
∴，
則，
又∵，
則，
故.
故選：C.
3．（2023春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列四個結(jié)論錯誤個數(shù)是（）
（1）
（2）為奇函數(shù)
（3）在上為減函數(shù)
（4）的一個周期為8
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【詳解】由題設(shè)，，則關(guān)于對稱，
所以，即，
則，即，
由，則關(guān)于對稱，
所以，即，
綜上，，則，
故，即易知的周期為8，所以(4)正確；
，所以(1)正確；
由，而為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，所以(2)正確；
由時，遞增，則時，遞增，所以(3)錯誤．
故選：A．
4．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時，，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷中，其中正確的判斷是（）．
A．函數(shù)的最小正周期為4
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．不等式的解集為．
【答案】ABD
【詳解】由得，于是，
所以函數(shù)的最小正周期為4，A正確；
，B正確；
在上遞增，由是奇函數(shù)得在上遞增，即在上遞增，
又圖象關(guān)于直線對稱（∵），因此在上遞減，
而是周期為4的周期函數(shù)，因此在上遞增，C錯誤；
由選項C的討論，可得到不等式的解集為，D正確．
故選：ABD．
5．（2023秋·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足是上的偶函數(shù)，且，則__________.
【答案】##0.5
【詳解】由題意，，
在中，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
∴，，，
∴，
∴，則，
∴，即，
∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，，
∴，，，
∴.故答案為：.
6．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？奸_學(xué)考試）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，給出下列判斷：①；②在上是增函數(shù)；③的圖象關(guān)于直線對稱；④函數(shù)在處取得最小值，其中判斷正確的序號是______________．
【答案】①④
【詳解】由得，
又是偶函數(shù)，所以，所以，
則，，
所以是以4為周期的周期函數(shù)，
令得解得，
所以，①正確；
由可得的圖象關(guān)于點對稱，③錯誤；
又為偶函數(shù)，可知的圖象關(guān)于點對稱，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
由偶函數(shù)的對稱性得在上單調(diào)遞減，②錯誤；
因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，在處取得最小值，
又是以4為周期的周期函數(shù)，所以在處取得最小值，④正確；
故答案為：①④
角度7：利用周期性求值
1．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)是定義域為的奇函數(shù)，且，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，
所以由，
函數(shù)該函數(shù)的周期為，
，
故選：B
2．（多選）（2023秋·浙江·高一期末）定義在R上的函數(shù)，滿足，且為偶函數(shù)，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【詳解】A項：因為為偶函數(shù)，所以，故A正確；
B項：由，消去得，故B不正確；
C項：將代入①式得，即③，
由，消去得，故C正確；
D項：由，消去得，即，故的周期為4；
將代入①：；
將代入②：，
由關(guān)于中心對稱，且；
將代入：，
故有，故D錯誤．
故選：AC.
3．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，對任意的恒成立，若，則__________
【答案】##0.5
【詳解】已知，令，
則，
即.
因為，即，
所以，即函數(shù)的周期為6.
令，，又，則，
令，
，同理，，，，
.
故答案為：.
4．（2023秋·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若，則___________.
【答案】1
【詳解】由可得的函數(shù)周期為4，則，
由，則，解得.
故答案為：1.
題型七：不等式中的恒成立問題
1．（多選）（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，當(dāng)時，都有，若不等式恒成立，則實數(shù)m的可能取值為（）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【詳解】因為對任意的，當(dāng)時，都有，
所以在上單調(diào)遞增，
又不等式恒成立，即，解得，
所以符合題意的有A、B、C.
故選：ABC
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【詳解】解：原不等式可化為對恒成立．
（1）當(dāng)時，若不等式對恒成立，
只需，解得；
（2）當(dāng)時，若該二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
綜上：.
故答案為：
3．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獮榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且滿足：．若對任意的都有不等式成立，則實數(shù)的最大值為__________．
【答案】##
【詳解】為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，即
又，解得，
時，等價于，
化簡得，，
令，則，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，
則實數(shù)的最大值為
故答案為：
4．（2023秋·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）的定義域為，則對任意的,恒成立，
當(dāng)時，顯然成立，故符合，
當(dāng)時，即，
綜上：；
（2）令，由于，則，則問題轉(zhuǎn)化成：恒成立，即，兩邊平方整理得，進(jìn)一步得，
當(dāng)時，即，此時的解為，此時，不等式，故不符合，
當(dāng)時，即，此時不等式為，當(dāng)，不等式不成立，故不符合，
當(dāng)時，即,此時的解為，
故的解為或，故要對，恒成立，則滿足，解得，
綜上，.
題型八：不等式中的能成立問題
1．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________________.
【答案】
【詳解】因為函數(shù)，，
而函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以，
即函數(shù)的最小值為, 又，使得成立，則，
即，解得：或，
即實數(shù)的取值范圍是或，
故答案為：
2．（2023春·遼寧大連·高一大連市一0三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，，有，則實數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】，有等價于當(dāng)，時，.
∵時，則，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
則，
所以函數(shù)在上的最小值，
又∵的圖象開口向上且對稱軸為，
則在上的最小值，
∴，解得.
故答案為：.
3．（2023秋·廣東深圳·高二校考期末）已知函數(shù)，，若對于任意，存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
【答案】
【詳解】因為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，
因為對于任意，存在，使得，
又，
所以，解得：，
故答案為：.
4．（2023秋·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知，，若對，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【詳解】若對，總存在，使得成立，則，
當(dāng)時，令，則，
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，
故當(dāng)時，，即對任意的恒成立，
所以，對任意的恒成立，
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，故.
故答案為：.
題型九：函數(shù)的圖象
角度1：利用函數(shù)解析式選擇圖象
1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）函數(shù)的大致圖象為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】依題意可得，
又，則根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象即可判斷只有選項B符合．
故選：B．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象是（）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：易知函數(shù)的定義域為，
因為，
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除A；
易知當(dāng)時，，故排除C；
因為，，所以，所以排除D．
故選：B．
3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】對于函數(shù)，
∵，
故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，B、D錯誤；
又∵，且，
故，C錯誤；
故選：A.
4．（2022秋·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)，則函數(shù)的大致圖象是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】函數(shù)的定義域為，
因為，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除BD，
當(dāng)時，，，所以，
故排除A，而C滿足題意
故選：C.
5．（2021春·陜西延安·高二子長市中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的部分圖像大致為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】函數(shù)，定義域為R，
，函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD；
由，，則，排除B.
故選：A
角度2：利用動點研究函數(shù)圖象
1．（2022秋·北京房山·高一統(tǒng)考期中）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點E由A沿線段向B移動，過點E作的垂線l，設(shè)，記位于直線l左側(cè)的圖形的面積為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因為是邊長為2的等邊三角形，所以當(dāng)時，設(shè)直線與交點為，當(dāng)點在中點左側(cè)時，，，此時函數(shù)為下凸函數(shù)；當(dāng)點在中點右側(cè)時，，此時左側(cè)部分面積為：，此時函數(shù)為上凸函數(shù)，C項符合.
故選：C
2．（2021秋·湖北武漢·高一武漢市第四十九中學(xué)校考期中）直角梯形OABC中，，，，直線l：截該梯形所得位于l左邊圖形面積為S，則函數(shù)的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】由題意可知：當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
所以．
結(jié)合不同段上的函數(shù)的性質(zhì)，可知選項C符合．
故選：C．
3．（2021秋·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮毁|(zhì)點從正方形的一個頂點出發(fā)，沿著正方形的邊順時針運動一周后回到點，假設(shè)質(zhì)點運動過程中的速度大小不變，則質(zhì)點到點的距離隨時間變化的大致圖象為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
如圖，當(dāng)該質(zhì)點運動到AB段的G點時，，長度逐漸增大，變化圖象為一條上升的線段；
當(dāng)該質(zhì)點運動到BC段的E點時，，不變，逐漸增大，變化圖象為一段上升的曲線；
當(dāng)該質(zhì)點運動到CD段的F點時，，不變，逐漸減小，變化圖象為一段下降的曲線；
當(dāng)該質(zhì)點運動到AD段的H點時，，長度逐漸減小，變化圖象為一段下降的線段.
綜上可知，只有D選項滿足情況.
故選：D.
4．（2023春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖為正方體ABCD﹣A1B1C1D1，動點M從B1點出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到B1的運動過程中，點M與平面A1DC1的距離保持不變，運動的路程x與l＝MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系l＝f（x），則此函數(shù)圖象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】由于點M與平面A1DC1的距離保持不變，且從B1點出發(fā)，因此點M沿著運動.
設(shè)點P為B1C的中點，當(dāng)M從B1到P時，如圖所示
在平面A1B1CD內(nèi)，作點A1關(guān)于B1B的對稱點A′，
則MA1+MD＝MA′+MD，
由圖象可知，當(dāng)M從B1到P時，MA1+MD是減小的，MC1是由大變小的，
所以當(dāng)M從B1到P時，l＝MA1+MC1+MD是逐漸減小的，故排除B，D；
因為PC1是定值，MC1，函數(shù)是減函數(shù)，類似雙曲線形式，所以C正確；
故選：C
5．（多選）（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下列對應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h與時間t之間的關(guān)系，其中正確的（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【詳解】對于A，易知水面高度的增加是均勻的，所以A不正確；
對于B，h 隨t的增大而增大，且增大的速度越來越慢，所以B正確；
對于C，h 隨t的增大而增大，增大的速度先越來越慢，后越來越快，所以C正確；
對于D，h 隨t的增大而增大，增大的速度先越來越快，后越來越慢，所以D正確.
故選：BCD.
6．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為2的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，設(shè)頂點的軌跡方程是，則對函數(shù)的判斷正確的是
A．函數(shù)在，上有兩個零點
B．函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)在，上單調(diào)遞增
D．對任意的，都有
【答案】AB
【詳解】解：當(dāng)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓
當(dāng)時，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
當(dāng)時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，
當(dāng)時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，
作出函數(shù)的圖象如圖，
函數(shù)值域為，，則函數(shù)與直線的圖象在，上有2個交點，故正確；
函數(shù)為偶函數(shù)，故正確；
由圖可知，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，故錯誤；
由圖，當(dāng)時，，，此時，故錯誤
故選：．
角度3：利用函數(shù)圖象解決不等式問題
1．（2021春·陜西榆林·高三陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在軸下方，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為函數(shù)的圖象恒在軸下方，
所以對任意恒成立，
又時，可得對任意恒成立，
即恒成立，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，如圖所示：
由圖象知，只需，
解得，又，所以，
故選：A
2．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為R，，且在上遞增，則的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】解：函數(shù)，滿足，則關(guān)于直線對稱，
所以，即，
又在上遞增，所以在上遞減，
則可得函數(shù)的大致圖象，如下圖：
所以由不等式可得，或，解得或，
故不等式的解集為.
故選：D.
3．（2023秋·遼寧本溪·高一校考期末）若不等式（，且）在內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】若，此時，，而，故無解；
若，此時，，而，
令，，
畫出兩函數(shù)圖象，如下：
故要想在內(nèi)恒成立，
則要，解得：.
故選：B.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．
【答案】
【詳解】因為，所以等價于，
在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖像如圖：
兩函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)為，
由圖可知：當(dāng)或時，成立，
所以不等式的解集為：．
故答案為：．
5．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中?？计谀┮阎?，且關(guān)于x的不等式至少有一個負(fù)數(shù)解}，則集合A中的元素之和等于___________
【答案】
【詳解】作出函數(shù)和的大致圖象，
由圖象可知，當(dāng)?shù)淖筮吷渚€過點時，，
當(dāng)?shù)挠疫吷渚€與的圖象相切時，
由，即，可得，即，
∴滿足題意的取值范圍是，其中整數(shù)有，它們的和為，
即集合A中的元素之和等于．
故答案為：．
角度4：利用函數(shù)圖象解決方程的根與交點問題
1．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上恰有3對關(guān)于原點成中心對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】問題轉(zhuǎn)化為方程：有三個大于0的根，
即等價于與在上有三個交點，如圖所示，
顯然，當(dāng)時，不符合題意.
當(dāng)時，
只需滿足且方程：有兩根，
則有，
令，函數(shù)開口向上，對稱軸，要使函數(shù)兩零點均大于，則有，解得，滿足兩根均大于，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
2．（2023春·浙江衢州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，有四個實數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)，可得圖象如下：
因為有四個實數(shù)根，，，且，
由圖知時，有四個實數(shù)根，且，
又，，
則，即，
所以，所以，且，
由在上單增，，
可知,
則的取值范圍是為.
故選：A
3．（2022秋·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谀┟}“對任意的，總存在唯一的，使得”成立的充要條件是______.
【答案】
【詳解】由得：；
當(dāng)時，，則，解得：,∵，，滿足題意；
當(dāng)時，；若存在唯一的，使得成立，則與有且僅有一個交點，在平面直角坐標(biāo)系中作出在上的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時，與有且僅有一個交點，∴，解得：，則；
當(dāng)時，,結(jié)合圖象可得：，解得：，則；
綜上所述：原命題成立的充要條件為，
故答案為：-1

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