第一部分：知識點必背
1、不含參函數(shù)的隱零點問題
已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有：
①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.
2、含參函數(shù)的隱零點問題
已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).
3、函數(shù)零點的存在性
（1）函數(shù)零點存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得.
① 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個
② 若，那么在不一定有零點
③ 若在有零點，則不一定必須異號
(2)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一.
第二部分：高頻考點一遍過
典型例題
例題1．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例題2．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)若時，函數(shù)有2個極值點，求的取值范圍；
(2)若，，方程有幾個解？
例題3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)若，證明：存在唯一的極值點.
(2)若，求的取值范圍.
例題4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)設(shè)，求在 上的最大值；
(2)當(dāng)時，求證：．
例題5．（2023秋·山東青島·高二青島二中?？计谀┮阎瘮?shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)設(shè)，若，，都有，求實數(shù)的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（k為常數(shù)，且）．
(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)k的取值范圍．
2．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論在上的單調(diào)性．
3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若，求的極小值；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時，恒成立，求的最大整數(shù)值．
4．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點處的切線與直線垂直．
(1)求a的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對成立，求b的取值范圍．
5．（2023春·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，求的極小值．
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時，證明：有且只有個零點．
第11講 拓展四：導(dǎo)數(shù)中的隱零點問題 (精講）
第一部分：知識點必背
1、不含參函數(shù)的隱零點問題
已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有：
①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.
2、含參函數(shù)的隱零點問題
已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).
3、函數(shù)零點的存在性
（1）函數(shù)零點存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得.
① 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個
② 若，那么在不一定有零點
③ 若在有零點，則不一定必須異號
(2)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一.
第二部分：高頻考點一遍過
典型例題
例題1．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
(2).
【詳解】（1）因為函數(shù)，
所以，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，另，得，
當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
（2）若不等式恒成立，則有，
即，
化簡得，
設(shè)函數(shù)，，
，
令得，即，
所以存在，使得成立，
所以，①，
且，即，②，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
代入①②，可得，
要使得恒成立，則即可，
所以.
例題2．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)若時，函數(shù)有2個極值點，求的取值范圍；
(2)若，，方程有幾個解？
【答案】(1)
(2)兩個
【詳解】（1）時，，，
則方程有兩實根，即有兩實根．
設(shè)，，則時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增，
所以，且，時，，
所以當(dāng)有兩個實根時，；
（2）當(dāng)，時，設(shè)，
則，，
因為在上單調(diào)遞增，且，．
所以恰有一根，且，．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
且，．
所以有且僅有兩個實根，即方程有且僅有兩個實根．
例題3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)若，證明：存在唯一的極值點.
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
因為函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，
，，所以在上存在唯一一個零點，且當(dāng)時，，時，，
所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，存在唯一的極值點.
（2），可以轉(zhuǎn)化為，
，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，即或時，在上大于零，在上單調(diào)遞增，所以，解得，
所以或；
當(dāng)時，，時，，所以在上存在一個零點，，
所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
，
因為，所以，，，則，所以成立；
綜上可得，的取值范圍為.
例題4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)設(shè)，求在 上的最大值；
(2)當(dāng)時，求證：．
【答案】(1)0；
(2)證明見解析.
（1）
解：因為，則，其中，
令，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，
所以，對任意的恒成立，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，.
（2）
證明：因為，則，
令，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為，，，，
由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上必有一個零點，且.
所以.
所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，
，.
對稱軸為，所以當(dāng)時，，
所以，，
綜上所述，當(dāng)時，.
例題5．（2023秋·山東青島·高二青島二中?？计谀┮阎瘮?shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)設(shè)，若，，都有，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，
∵，
∴切點為，
∵，
∴切線斜率，
∴切線方程為
（2），．
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
∴，．
，，
令，，
∴在上單調(diào)遞增，且，，
∴，使得，即，
也即．
令，，，
顯然時，，單調(diào)遞增，
∴，即．
∵當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
∴．
∵，，都有，
∴，得，
故實數(shù)的取值范圍為．
練透核心考點
1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．
(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
所以，
所以，
所以在處的切線的斜率為，
所以在處的切線方程為，即.
（2）因為，，
所以，
因為函數(shù)在區(qū)間上存在極值，
所以，使得，兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，
所以，即，，
令，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為，開口向上，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即,
所以實數(shù)k的取值范圍為.
2．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論在上的單調(diào)性．
【答案】(1)
(2)在上是減函數(shù)．
【詳解】（1），
∴，又，
∴曲線在點處的切線方程是，
即；
（2）令，
則在上遞減，且，，
∴，使，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上遞增，在上遞減，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，顯然，等號不成立，故，
∴在上是減函數(shù)．
3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若，求的極小值；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時，恒成立，求的最大整數(shù)值．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【詳解】（1）當(dāng)時，，的定義域為，，
所以在區(qū)間，，遞減；在區(qū)間，，遞增．
所以當(dāng)時，取得極小值．
（2）的定義域為，．
令，，
當(dāng)時，恒成立，所以即在上遞增．
當(dāng)時，在區(qū)間，，即遞減；
在區(qū)間，，即遞增．
（3）當(dāng)時，，，
由（2）知，在上遞增，，，
所以存在使得，即．
在區(qū)間，，遞減；在區(qū)間，，遞增．
所以當(dāng)時，取得極小值也即是最小值為，
∵，∴，所以．
由恒成立，得，故的最大整數(shù)值為．
4．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點處的切線與直線垂直．
(1)求a的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對成立，求b的取值范圍．
【答案】(1)2
(2)答案見解析
(3)
【詳解】（1）的定義域為，
，
由于直線的斜率為，.
（2），，
①當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，令有，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
綜上所述：，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，
，的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.
（3）由恒成立，
等價于，
令（），
，
①若時，，所以在上單調(diào)遞增，
，即，滿足，
②若時，則，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨近于0時，趨近于，不成立，
故不滿足題意.
③若時，令，，，，
，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，
只需即可，
，，
令，，在上單調(diào)遞增，
，時，，
，，所以在上單調(diào)遞增，
，即，
綜上：.
5．（2023春·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，求的極小值．
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時，證明：有且只有個零點．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，
，
在區(qū)間遞減；
在區(qū)間遞增．
所以當(dāng)時，取得極小值．
（2）的定義域為，
．
令，
當(dāng)時，恒成立，所以即在上遞增．
當(dāng)時，在區(qū)間即遞減；
在區(qū)間即遞增．
（3）當(dāng)時，，
由（2）知，在上遞增，，
所以存在使得，即．
在區(qū)間，遞減；在區(qū)間遞增．
所以當(dāng)時，取得極小值也即最小值為，
由于，所以．
，
，
根據(jù)零點存在性定理可知在區(qū)間和，各有個零點，
所以有個零點．

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