目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19874" 第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 PAGEREF _Tc19874 \h 2
\l "_Tc25507" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc25507 \h 3
\l "_Tc1797" 高頻考點(diǎn)一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc1797 \h 3
\l "_Tc29921" 方法一：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc29921 \h 3
\l "_Tc19125" 方法二：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc19125 \h 4
\l "_Tc13492" 高頻考點(diǎn)二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc13492 \h 5
\l "_Tc5939" 方法一：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc5939 \h 5
\l "_Tc9585" 方法二：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc9585 \h 7
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第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背
1、分離變量法
在處理含參的函數(shù)不等式和方程問題時(shí)，有時(shí)可以將變量分離出來(lái)，如將方程，轉(zhuǎn)化為這樣就將把研究含參函數(shù)與軸的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為不含參的函數(shù)與動(dòng)直線的位置關(guān)系問題，這種處理方法就叫分離變量法。
（1）優(yōu)點(diǎn)：分離變量法可以將含參函數(shù)中的參數(shù)分離出去，避免直接討論，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；
（2）解題過程中可能遇到的問題：
①參數(shù)無(wú)法分離；
②參數(shù)分離后的函數(shù)過于復(fù)雜；
③討論位置關(guān)系時(shí)可能用到的函數(shù)極限，造成說理困難.
2、分類：
分離參數(shù)法有完全分離參數(shù)法（全分參）和部分分離參數(shù)法（半分參）兩種
注意事項(xiàng)：無(wú)論哪種分參方法，分參過程中需注意變量的正負(fù)對(duì)不等號(hào)的影響！
3、常見題型1：恒成立/存在問題求解參數(shù)范圍
核心知識(shí)點(diǎn)：將與0的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化成和的大小關(guān)系
①恒成立
②恒成立
③恒成立
④恒成立
4、常見題型2：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍
核心知識(shí)點(diǎn)：
將轉(zhuǎn)化成，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法繪制函數(shù)的大致圖象（注意繪制圖象時(shí)，可能需要用到極限思想，才能精確確定圖象的輪廓）.
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍
方法一：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023春·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)已知，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
例題3．（2023春·江蘇南京·高二校考開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題：，使得為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
3．（2023秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若存在，使函數(shù)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
方法二：部分分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在關(guān)于x的不等式(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023秋·浙江·高三期末）已知函數(shù) ，若恒成立，則的最小值是______________．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，且中只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
2．（2023春·天津和平·高二天津二十中?？茧A段練習(xí)）（1）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則a的取值范圍是________．
高頻考點(diǎn)二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍
方法一：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023春·北京通州·高二通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)的極大值是20，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.如圖所示.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求，，的值；
(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
例題2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，..
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，求和的值；
(2)若，且的導(dǎo)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)求在上的最值；
(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（且）.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；
(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．
(1)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．
3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（），.
(1)若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；
(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.
方法二：部分分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）討論關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)．
例題2．（2023秋·北京·高二清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線與直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；
(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.
(3)若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)根，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍.
第08講 拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題(精講）
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19874" 第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 PAGEREF _Tc19874 \h 2
\l "_Tc25507" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc25507 \h 3
\l "_Tc1797" 高頻考點(diǎn)一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc1797 \h 3
\l "_Tc29921" 方法一：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc29921 \h 3
\l "_Tc19125" 方法二：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc19125 \h 7
\l "_Tc13492" 高頻考點(diǎn)二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc13492 \h 12
\l "_Tc5939" 方法一：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc5939 \h 12
\l "_Tc9585" 方法二：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc9585 \h 19
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第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背
1、分離變量法
在處理含參的函數(shù)不等式和方程問題時(shí)，有時(shí)可以將變量分離出來(lái)，如將方程，轉(zhuǎn)化為這樣就將把研究含參函數(shù)與軸的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為不含參的函數(shù)與動(dòng)直線的位置關(guān)系問題，這種處理方法就叫分離變量法。
（1）優(yōu)點(diǎn)：分離變量法可以將含參函數(shù)中的參數(shù)分離出去，避免直接討論，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；
（2）解題過程中可能遇到的問題：
①參數(shù)無(wú)法分離；
②參數(shù)分離后的函數(shù)過于復(fù)雜；
③討論位置關(guān)系時(shí)可能用到的函數(shù)極限，造成說理困難.
2、分類：
分離參數(shù)法有完全分離參數(shù)法（全分參）和部分分離參數(shù)法（半分參）兩種
注意事項(xiàng)：無(wú)論哪種分參方法，分參過程中需注意變量的正負(fù)對(duì)不等號(hào)的影響！
3、常見題型1：恒成立/存在問題求解參數(shù)范圍
核心知識(shí)點(diǎn)：將與0的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化成和的大小關(guān)系
①恒成立
②恒成立
③恒成立
④恒成立
4、常見題型2：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍
核心知識(shí)點(diǎn)：
將轉(zhuǎn)化成，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法繪制函數(shù)的大致圖象（注意繪制圖象時(shí)，可能需要用到極限思想，才能精確確定圖象的輪廓）.
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍
方法一：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，所以在上單調(diào)遞增，
則等價(jià)于，即，
令，，，
因?yàn)椋?，，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以的最大值為；
故選：B
例題2．（2023春·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)已知，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）若時(shí)，，，
，故有，
所以在處的切線方程為，即.
（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
所以在上，，單調(diào)遞減，
在上，，單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以的取值范圍為.
例題3．（2023春·江蘇南京·高二校考開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）由題知，，
所以，
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?br>所以，
所以的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，無(wú)極值，
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，
極小值為，無(wú)極大值.
（2）因?yàn)閷?duì)于任意，都有成立，
所以，
即問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于恒成立，
即，對(duì)于恒成立，
令，
所以，
令，
所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)，
要使，對(duì)于恒成立，只要，
所以，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題：，使得為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】令，則，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
；
若命題為真命題，則，即，
若命題為假命題，則，即的取值范圍為.
故答案為：.
2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】(1)
(2).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，即.
（2）恒成立，即恒成立，
于是恒成立，即恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，于是恒成立，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
，
所以的最小值是.
3．（2023秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若存在，使函數(shù)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間是和.
(2).
【詳解】（1）
解：由及得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br> 由題意 解得，
故，此時(shí)，
由得或，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和.
（2）解：因?yàn)椋?br>由已知，若存在使函數(shù)成立，
則只需滿足當(dāng)時(shí)，即可．
又，
則，
若，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
∴，又∵，∴．
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，
又，又，滿足題意，
綜上所述，的取值范圍，即.
方法二：部分分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞增.
因?yàn)橛薪猓从薪猓?br>所以有解，由函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可得有解.
解法一：令，則.
①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
因此，，
解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法二:若，則有解. 令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，即.
若，則有解，易知恒小于零，
所以，即.若，則，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法三：若，如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，
當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，再結(jié)合切線過原點(diǎn)得，故，
由有解，得函數(shù)的部分圖象在直線的下方，
所以，數(shù)形結(jié)合可知.
若，易知函數(shù)的圖象必有一部分在直線的下方，符合題意.
若，由函數(shù)的單調(diào)性可知，不符合題意.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在關(guān)于x的不等式(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】，
設(shè)，原問題轉(zhuǎn)化為：不等式的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，函數(shù)恒過點(diǎn)，，
，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，兩個(gè)函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)如下圖所示：
要想不等式的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，只需滿足：
，
故選：D
例題3．（2023秋·浙江·高三期末）已知函數(shù) ，若恒成立，則的最小值是______________．
【答案】1
【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
作出函數(shù)的圖象如圖示，
，即在原點(diǎn)處的切線斜率為1，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即有時(shí)，恒成立，
故當(dāng)時(shí)，恒成立，則；
當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
設(shè)，所以在內(nèi)恒成立，
即在上單調(diào)遞減，所以，則，
綜上所述，k的最小值為1，
故答案為：1
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，且中只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：由題意設(shè)g（x）＝xex，y＝ax﹣a，
∵g′（x）＝（x+1）ex，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）遞減，在（﹣1，+∞）遞增，
∴g（x）min＝g（﹣1），
∵y＝ax﹣a恒過定點(diǎn)P（1，0），
∴結(jié)合函數(shù)圖象得，KPA≤a＜KPB，
又A（﹣2，），B（﹣1，），
∴KPA，KPB，即a，
故選C．
2．（2023春·天津和平·高二天津二十中?？茧A段練習(xí)）（1）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則a的取值范圍是________．
【答案】
【詳解】
（1）函數(shù)，其中，
設(shè)，
因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，使得，
所以存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
直線恒過點(diǎn)，斜率為，
故，且，解得
所以的取值范圍是
高頻考點(diǎn)二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍
方法一：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023春·北京通州·高二通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)的極大值是20，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.如圖所示.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求，，的值；
(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增是和.
(2)
(3)
【詳解】（1）根據(jù)圖象可知時(shí)，，即單調(diào)遞減；
和時(shí)，，即 單調(diào)遞增；
故答案為：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增是和.
（2）由已知可得：和是的兩個(gè)根，
由（1）可得的極大值在處取得，故
解得：
故答案為：
（3）由（2）知，的極小值為：
結(jié)合的單調(diào)性可作其草圖，如下所示
函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，所以.
故答案為：
例題2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，..
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，求和的值；
(2)若，且的導(dǎo)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程是，
所以即
解得
（2）由得，.顯然
因此.
令且，則，
解方程得，，
因此函數(shù)在和內(nèi)單增，在和內(nèi)單減，且極大值為，極小值為.的大致圖象如下：
由圖象可知,當(dāng)或時(shí)，直線與曲線分別有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).
故的取值范圍是.
例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)求在上的最值；
(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)最小值為，最大值為.
(2)
【詳解】（1）解：，
所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，，?br>所以，函數(shù)在上的最小值為，最大值為.
（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)沒有零點(diǎn)，
所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即方程沒有實(shí)數(shù)根，
令，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)在處取得最大值
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>所以，當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根，，即，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（且）.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為
(2)
（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)；
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
（2）
由題意知在有兩個(gè)不等實(shí)根，
，
令，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又，，，，，，
作出的圖象如圖所示：
由圖可知，解得且，
即a的取值范圍為.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；
(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，設(shè)，
由函數(shù)和在上單調(diào)遞增，
知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以
即在上恒成立；
（2）由，得，令，
則有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
令，得，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)比大，故趨向于0，
作出函數(shù)的大致圖象如下：
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
故a的取值范圍是．
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．
(1)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
所以當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．
所以有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)．
（2）當(dāng)時(shí)，方程，即，
則．
令，，則．
令，解得或（舍去）．
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，又趨近于0時(shí)趨近正無(wú)窮；趨近于正無(wú)窮時(shí)趨近正無(wú)窮，
所以，即，故m的取值范圍是．
3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（），.
(1)若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；
(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此該切線方程為：
，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，
所以，
因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過原點(diǎn)，
所以曲線的切點(diǎn)為，于是有，
即；
（2）由可得：，
當(dāng)時(shí)，顯然不成立，
當(dāng)時(shí)，由，
設(shè)函數(shù)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，
而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下圖所示：
方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，
故a的取值范圍為.
方法二：部分分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）討論關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)．
【答案】答案見解析
【詳解】解：關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)就是直線與曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
如圖，設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則．
∵，∴，∴，
∴，．
結(jié)合圖像，知當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解．
例題2．（2023秋·北京·高二清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線與直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)曲線與直線的公共點(diǎn)只有一個(gè)，證明見解析
(3)實(shí)數(shù)的取值范圍是
【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域是，所以，
則，，
切線方程是：，
故切線方程為：；
（2）解：曲線與直線的公共點(diǎn)只有一個(gè)，理由如下：
設(shè)，，則
令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減；
則，故，有且只有一個(gè)根，即有且只有一個(gè)根，
故曲線與直線的公共點(diǎn)只有一個(gè).
（3）解：若對(duì)于任意，不等式恒成立，則
又直線過定點(diǎn)，
則過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，
則切線方程為，將代入得：，
設(shè)，，則，得，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以，所以關(guān)于的方程無(wú)解，
則說明過點(diǎn)的切線不存在，則直線不與曲線相切，
又函數(shù)的定義域是，所以，得，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以，又時(shí)，，且，則可得的大致圖象如下：
根據(jù)上述結(jié)論結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與曲線總有交點(diǎn)，
從而要使對(duì)于任意，不等式恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；
(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，最小值是，無(wú)最大值
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
，，令，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
∴單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是
∴最小值是，無(wú)最大值．
（2）由題可知，，其中，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
令，即，，如圖
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
可知，，必有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，令，則，
時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，即，有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意
當(dāng)時(shí)，即，沒有零點(diǎn)，符合題意
當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋?，，有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)．
2．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.
(3)若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)根，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)遞減區(qū)間為，；遞增區(qū)間為；極小值，極大值；
(3)或.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，由直線點(diǎn)斜式方程得：，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，由（1）知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，
函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值.
（3）由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，恒有，
當(dāng)時(shí)，遞減，恒有，因此，，而函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)椋?br>因此函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)?，函?shù)的大致圖象如圖，
方程的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
觀察圖形知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
x
＋
0
－
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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