專題07 圖形旋轉(zhuǎn)之費馬點最值模型全攻略 如何找一點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？ 當B、P、Q、E四點共線時取得最小值 費馬點的定義：數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。 它是這樣確定的： 1. 如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點； 2. 如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。 費馬點的性質(zhì)：費馬點有如下主要性質(zhì)： 1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。 2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。 費馬點最小值快速求解： 費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換． 秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值 類型一、基本費馬點模型 例題1.如圖，是邊長為1的等邊內(nèi)的任意一點，求的取值范圍. 【變式訓(xùn)練1】已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求正方形的邊長． 【變式訓(xùn)練2】如圖，ABCD為矩形，AB＝，AD＝4，EF為ABCD內(nèi)兩點，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值． 【變式訓(xùn)練3】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______． 【變式訓(xùn)練4】如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為（　?。? A．+ B．+ C．4 D．3 類型二、加權(quán)費馬點模型 例：如圖，在中，，在內(nèi)部有一點P，連接、、．（加權(quán)費馬點）求： （1）的最小值；（2）的最小值 （3）的最小值；（4）的最小值 專題07 圖形旋轉(zhuǎn)之費馬點最值模型全攻略 如何找一點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最?。? 當B、P、Q、E四點共線時取得最小值 費馬點的定義：數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。 它是這樣確定的： 1. 如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點； 2. 如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。 費馬點的性質(zhì)：費馬點有如下主要性質(zhì)： 1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。 2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。 費馬點最小值快速求解： 費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換． 秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值 類型一、基本費馬點模型 例題1.如圖，是邊長為1的等邊內(nèi)的任意一點，求的取值范圍. 解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，易知為等邊三角形. 從而，（兩點之間線段最短），從而. 過作的平行線分別交于點，易知. 因為在和中， ①， ②。 又，所以③. ①+②+③可得， 即.綜上，的取值范圍為. 【變式訓(xùn)練1】已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求正方形的邊長． 【解析】 如圖2，連接AC，把△AEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GFC，連接EF、BG、AG， 可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，則EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG． ∵ 點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°所得）． ∴ 線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上． 設(shè)正方形的邊長為，那么BO=CO=，GC=, GO=．∴ BG=BO+GO =+． ∵ 點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為．∴ +=，解得=2． 【變式訓(xùn)練2】如圖，ABCD為矩形，AB＝，AD＝4，EF為ABCD內(nèi)兩點，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值． 【詳解】解：如圖所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°于，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°于，連接，，作交BA的延長線于點G，作交AB的延長線于點H， ∴，， ∴，，，， 又∵旋轉(zhuǎn)角等于60°，∴，， ∴和都是等邊三角形，∴，， ∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE， ∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值為的長度． ∵，，∴，， 又∵，， ∴，，∴， 又∵，∴四邊形是平行四邊形， 又∵，∴四邊形是矩形，∴， ∴，， ∴．∴． ∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值為． 【變式訓(xùn)練3】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______． 【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段． 分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG， 易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF，∴ME+MA+MD=ME+EG+GF 過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值． 【變式訓(xùn)練4】如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為（　　） A．+ B．+ C．4 D．3 【解答】解：如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF， 當E、F、P、C共線時，PA+PB+PC最?。?理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等邊三角形， ∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC， ∴當E、F、P、C共線時，PA+PB+PC最小， 作EM⊥DA交DA的延長線于M，ME的延長線交CB的延長線于N，則四邊形ABNM是矩形， 在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2， ∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1， ∴EC＝＝＝＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值為+．故選：B． 類型二、加權(quán)費馬點模型 例：如圖，在中，，在內(nèi)部有一點P，連接、、．（加權(quán)費馬點）求： （1）的最小值；（2）的最小值 （3）的最小值；（4）的最小值 【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到， ∴，，，∴為等邊三角形，∴， ∴， ∴A、P、、四點共線時，最小，最小值為 同理可證為等邊三角形，∴，，∴， ∴；∴的最小值為； （2）如圖3-4，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到， ∴，，，，， ∴，∴， ∴當A、P、、四點共線時，最小，最小值為 ∵∠ACB=30°，∴ ∴， 過點A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴ ∴，，∴， ∴的最小值為； （3）如圖3-6，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到， ∴，，，，， ∴， 過點C作于E，∴，，∴， ∴，∴， ∴當A、P、、四點共線時，最小，最小值為 ∵∠ACB=30°，∴ ∴， 過點A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°， ∴，∴， ∴ ∴， ∴的最小值為；

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