章末總結(jié)人教版初中數(shù)學九年級下冊目 錄1 章節(jié)簡介2 基礎(chǔ)鞏固3 熱考題型4 直擊中考 學習目標1.加深了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段，認識圖形的相似、位似等概念和性質(zhì);2.理解相似圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個圖形放大或縮小，在同一坐標系下感受位似變換后點的坐標的變化規(guī)律. 中學階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，全等是一種特殊的相似.本章將在前面對全等形研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等三角形研究的基本套路對相似圖形進行研究.本章研究的主要問題是相似圖形的定義、性質(zhì)和判定方法，研究的主要載體是三角形.此外，教科書在前面的章節(jié)中介紹了平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)三種圖形的全等變換，本章將介紹一種新的圖形變換-位似.相似多邊形概念：相似多邊形的特征：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.相似比概念：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.相似多邊形的表示：相似多邊形用符號“∽”表示，讀作“相似于”.【注意】在記兩個相似多邊形時，要把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.（相似多邊形相關(guān)概念）比例線段的概念：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我們就稱四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.（比例線段）?基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.簡稱：平行線分線段成比例.?（平行線分線段成比例定理）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例. A型X型（平行線分線段成比例定理）相似三角形的判定方法：1）定義法:對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.2）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.3）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.4）三邊成比例的兩個三角形相似.5）兩角分別相等的兩個三角形相似.6）斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.（相似三角形的判定）相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)高的比等于相似比對應(yīng)中線的比等于相似比對應(yīng)角平分線的比等于相似比相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比對應(yīng)周長的比等于相似比對應(yīng)面積的比等于相似比的平方 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例相似三角形的性質(zhì)：（相似三角形的性質(zhì)）（相似三角形應(yīng)用舉例）（1）根據(jù)題意畫出___________;（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的_____________________;（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出__________;（4）寫出___________.示意圖已知線段、已知角未知量答案利用三角形相似解決實際問題的一般步驟：（相似三角形應(yīng)用舉例）常見利用相似三角形解決實際問題的基本模型：通過已知物體高度測量被測物體高度（深度）測量河寬小孔成像求影長變化（相似三角形應(yīng)用舉例） 如果兩個圖形的對應(yīng)頂點的連線都經(jīng)過同一點，且這點與對應(yīng)頂點所連線段成比例，那么這兩個圖形叫做位似圖形.點O是位似中心.位似圖形的性質(zhì)：1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等． 2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比．（位似圖形的相似比也叫做位似比）3）對應(yīng)線段平行或者在一條直線上．（位似） 對于兩個多邊形，如果它們的對應(yīng)頂點的連線都經(jīng)過同一點，且這點與對應(yīng)頂點所連線段成比例，那么這兩個多邊形就是位似多邊形.位似多邊形的畫法： 1) 確定位似中心.2) 確定原圖形的關(guān)鍵點（每對對應(yīng)點都在位似中心的同側(cè)或在位似中心的異側(cè)）. 3) 確定位似比.4) 根據(jù)對應(yīng)點所在直線經(jīng)過位似中心且到位似中心的距離之比等于位似比，作出關(guān)鍵點的對應(yīng)點，再按照原圖的順序連接各點.（位似） 在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比（新圖與原圖的相似比）為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或-k，則圖象上的對應(yīng)點的坐標為（kx，ky）或（-kx，-ky）.（位似）1、下列圖形中不一定相似的是（ ）A．兩個矩形 B．兩個圓C．兩個正方形 D．兩個等邊三角形2、下圖是世界休閑博覽會吉祥物“晶晶”．右邊的“晶晶”可由左邊的“晶晶”經(jīng)下列哪個變換得到（ ）A．軸對稱 B．平移 C．旋轉(zhuǎn) D．相似一（判定相似圖形）1. 如圖所示的兩個四邊形相似，則α的度數(shù)是(　　)A．60° B．75° C．87° D．120°2. 一個多邊形的邊長為2，3，4，5，6，另一個和它相似的多邊形的最長邊為18，則這個多邊形的最短邊長為（ ）A．6 B．8 C．12 D．103. 一個四邊形的邊長分別是4，5，6，7，另一個與它形狀相同的四邊形最短邊長為8，則另一個四邊形的周長是________．44二（相似圖形的性質(zhì)）?三（比例線段）??四（平行線分線段成比例定理）?四（平行線分線段成比例定理）??四（平行線分線段成比例定理）??四（平行線分線段成比例定理）???四（平行線分線段成比例定理）??五（判定相似三角形）2．下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（　?。?五（判定相似三角形）?五（判定相似三角形）5．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，點D、E分別在線段AB、AC上，BD＝2，CE＝5，求證：△AED∽△ABC．?五（判定相似三角形）?五（判定相似三角形）8．如圖，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的動點，若∠DCE=90°． 求證：△ACD∽△BEC【詳解】證明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．五（判定相似三角形）?五（判定相似三角形）??六（相似三角形的性質(zhì)）2. 相似三角形對應(yīng)邊的比為1∶4,那么相似比為_________,對應(yīng)角平分線的比為______，對應(yīng)高的比為_________，對應(yīng)中線的比為______，對應(yīng)周長的比為__________，對應(yīng)面積的比為_________.1∶161∶41∶41∶41∶41∶4六（相似三角形的性質(zhì)）?2510?3∶59∶2512六（相似三角形的性質(zhì)）??六（相似三角形的性質(zhì)）7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．正方形EFCD的三個頂點D、E、F分別在邊AC、AB和BC上，當AD＝2，BF＝3時，正方形CDEF的面積是_______．?六（相似三角形的性質(zhì)）1．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作．其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺．立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺．同時立一根一尺五寸的小標桿，它的影長五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，問竹竿長為幾丈幾尺？?七（相似三角形的應(yīng)用）2.在同一時刻兩根木桿在太陽光下的影子如圖所示，其中木桿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木桿PQ的影子有一部分落在墻上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木桿PQ的長度．?七（相似三角形的應(yīng)用）3. 如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，求該古城墻的高度.?七（相似三角形的應(yīng)用）4. 周末，小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB．?七（相似三角形的應(yīng)用）??七（相似三角形的應(yīng)用）6 如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，高線AH長8 cm，底邊BC長10 cm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形DEFG的一邊EF在BC上，其余兩個頂點D，G分別在AB，AC上，則四邊形DEFG的最大面積為( )A．40 cm2 B．20 cm2C．25 cm2 D．10 cm2七（相似三角形的應(yīng)用）7 如圖，小明晚上由路燈A下的點B處走到點C處時，測得自身影子CD的長為1米，他繼續(xù)往前走3米到達E處（即CE＝3米），測得自己影子EF的長為2米，已知小明的身高為1.5米，那么路燈A的高度AB是（ ）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米?七（相似三角形的應(yīng)用）???八（位似）?八（位似）?八（位似）??八（位似）?八（位似）?八（位似）????????????????????????人教版初中數(shù)學九年級下冊

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版本： 人教版（2024）

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