第23講  相似與圓知識(shí)導(dǎo)航1.垂徑定理及其推論.2.圓周角定理及其推論.3.切線的判定及其性質(zhì).4.切線長(zhǎng)定理.5.三角形相似的判定及其性質(zhì). 【板塊一】  求線段比值方法技巧1.構(gòu)造A型或X型相似求比值.2.用等線段代換求比值.3.利用兩比值相乘求比值.題型一  直接計(jì)算法求比值【例1】如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)D是MB與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AD延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)，且＝.(1)求證：PD是⊙O的切線；(2)若AD＝12，AM＝MC，求的值.                                                    題型二  構(gòu)造A型或X型相似求比值.【例2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D.(1)求證：AO⊥BC；(2)若BC＝6，AB＝3，求的值.                                                 題型三  先等量代換后用三角形相似求比值【例3】如圖，AB為⊙O的直徑，半徑OD⊥AB，C為上－點(diǎn)，CD交AB于點(diǎn)F.若F為AO的中點(diǎn)，求的值.                                                     題型四  運(yùn)用乘積求比值(·＝)【例4】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，過點(diǎn)C作AB的垂線分別交AB，AE于點(diǎn)H，D.若＝，AE＝4BE，求的值.                                              針對(duì)練習(xí)11.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是Rt△ABC的外接圓，過點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BD⊥CE于點(diǎn)D，連接DO交BC于點(diǎn)M.(1)求證：BC平分∠DBA；(2)若＝，求的值.                                           2. 如圖，△ABC內(nèi)接于. AH⊥BC于點(diǎn)H，連接OC，過點(diǎn)A作的切線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求證：∠BAH=∠ACO；（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求的值.      3. 如圖，以Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓切AC于點(diǎn)D，與AB交于另一點(diǎn)E，BC交于點(diǎn)F，連接OD，BD.（1）求證：∠AOD=2∠CBD；（2）若，求的值.       4. 如圖，在△ABC中，AB=AC=BC，以AB為直徑作，交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接DE交線段OA于點(diǎn)F.（1）求證：DH為的切線；（2）若A為EH的中點(diǎn)，求的值.     【板塊二】求線段長(zhǎng)方法技巧1.用方程思想求線段長(zhǎng).2.用全等（或相似）找線段之間的關(guān)系.3.用特殊邊角關(guān)系找線段之間的關(guān)系. 題型一  用全等找線段關(guān)系，列方程求解【例1】如圖，∠ABD=90°，AB是的直徑，交AD于點(diǎn)C.CE∥AB交于點(diǎn)E，AE=2AC.AB=.求CD的長(zhǎng).   題型二  用相似找線段關(guān)系，列方程求解【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，以OC為半徑作與AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，OB交CD于點(diǎn)F.（1）求證：OB·DE=；（2）若，AB=10，求半徑.     題型三  利用特殊邊角關(guān)系找聯(lián)系【例3】如圖，點(diǎn)O，E分別為△ABC的外心和內(nèi)心，AB=AC，AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)F.（1）求證：BD=DE；（2）若∠BAC=30°，BD=，求OE的長(zhǎng).      針對(duì)練習(xí)21.如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C在上，CD是的切線，AD⊥CD，垂足為D，E是AB延長(zhǎng)線上點(diǎn).CE交于點(diǎn)F，連接OC，AC.（1）求證：AC平分∠DAO；（2）連接BF，若∠DAO=105°，∠E=30°，AC=4+，求BF的長(zhǎng).     2.如圖，△ABC內(nèi)接于，AB是的直徑，I是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接BE，BI，BE=EI，BI平分∠ABC，若OI⊥AE于點(diǎn)I，BA=，求CD的長(zhǎng).            如圖，A，B，C三點(diǎn)在上，直徑BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE//AB交弦BC于點(diǎn)E，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得EF=DE.（1）求證：DF是的切線；（2）連接AF交DE于點(diǎn)M，若AD=4，DE=5，求DM的長(zhǎng).    【板塊三】求線段之積方法技巧1.直接法：分別求出兩條線段長(zhǎng).2.整體法：利用三角形相似求兩條線段之積. 題型一   利用母子相似求同一直線上兩條線段之積【例1】如圖，在△ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，∠PAC=∠PBA，是△ABC的外接圓，AD是的直徑.（1）求證：PA是的切線；（2）過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，∠P=45°，CP=AP，若AG·AB=15，求CP的長(zhǎng)。 題型二   利用射影定理求同一直線上兩條線段之積【例2】在中，，AD⊥AB交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AO，AB=8.（1）求BC·BD的值；（2）若OA=5，求CD的長(zhǎng).     題型三   利用相似求不在同一條直線上兩條線段之積【例3】如圖，AB，CD都是的直徑，DB的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)C的切線交于點(diǎn)P，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.AD=2，求CE·CP的值.         針對(duì)練習(xí)31.如圖.CD為的直徑，AD，AB，BC分別與相切于點(diǎn)D，E，C（AD<BC），連接DE并延長(zhǎng)與直線BC相交于點(diǎn)P，連接OB.（1）求證：BC=BP；（2）若DE·OB=40，求AD·BC的值.    2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，且BD=6，過點(diǎn)D作DE ⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，以DE為直徑的交AE于點(diǎn)F.（1）求的半徑；（2）設(shè)CD交于點(diǎn)Q，求BQ·BE的值.      3.如圖，I為△ABC的內(nèi)心，AB=AC，BI的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠BDC的平分線交AC于點(diǎn)E.若EC=1，AE=4.求BI·ID的值.   【板塊四】經(jīng)典圖形研究方法技巧1．切割圖（也叫弦切圖）中相似問題（切割線定理）2．切割線加垂直的圖中，作高構(gòu)造矩形求解．3．雙切圖中隱含射影定理的結(jié)論（知二求五）． 題型一 切割圖【例1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，過點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，弦CE=AC，連接EB并延長(zhǎng)并CP于點(diǎn)H．（1）求證：BH⊥CP；（2）若AC=6，AB=，求PH的長(zhǎng)．     題型二 切割圖+垂直【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．若，求的值．    題型三 雙切圖【例3】如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB，PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PA=PB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．       題型四 多切線圖【例4】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F為切點(diǎn)，AB=AC．（1）求證：BD=DC；（2）若，O的半徑為1，求EF的長(zhǎng)．   題型五 切徑圖（切線+過切點(diǎn)的直徑）【例5】如圖，AB是⊙O的直徑，AT是O的直徑，BT交O于點(diǎn)C，D是O上一點(diǎn)，∠ATB=2∠CDO，AB=40，AT=30，求CD的長(zhǎng)．       針對(duì)練習(xí)41．如圖，已知AB，CD是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，⊙O的弦DE交AB于點(diǎn)F，且DF=EF．（1）求證：；（2）連接EB交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，若PC=，PB=4，求GH的長(zhǎng)．    2．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AB=10，AE=8，求DF的長(zhǎng)．     3．如圖，AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弦AC上一點(diǎn)，弦DE⊥AB分別交⊙O于點(diǎn)D，E，交AB于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，P是ED延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且PC=PF．（1）求證：PC是O的切線；（2）若，求證：CF=EF；（3）在（2）條件下，若OH=1，AH=2，直接寫出線段PC的長(zhǎng)．                  4．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB⊥BC，以AB為直徑的⊙O與CD相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AB交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC交OE于點(diǎn)G，設(shè)AB=4，BC=1（1）求△ADF的周長(zhǎng)；（2）直接寫出的值． 

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