第二十七章 相似（知識(shí)清單） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.加深了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段，認(rèn)識(shí)圖形的相似、位似等概念和性質(zhì)； 2.理解相似圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個(gè)圖形放大或縮小，在同一坐標(biāo)系下感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律. 重點(diǎn)： 1.利用相似三角形的知識(shí)解決實(shí)際的問(wèn)題； 2.位似的應(yīng)用及在平面直角坐標(biāo)系中作位似圖形. 難點(diǎn)： 把實(shí)際問(wèn)題抽象為相似三角形、位似形這一數(shù)學(xué)模型并求解. 二、學(xué)習(xí)過(guò)程 章節(jié)介紹 中學(xué)階段重點(diǎn)研究的兩個(gè)平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，全等是一種特殊的相似.本章將在前面對(duì)全等形研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等三角形研究的基本套路對(duì)相似圖形進(jìn)行研究.本章研究的主要問(wèn)題是相似圖形的定義、性質(zhì)和判定方法，研究的主要載體是三角形.此外，教科書(shū)在前面的章節(jié)中介紹了平移、軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)三種圖形的全等變換，本章將介紹一種新的圖形變換-位似. 知識(shí)梳理 1.相似圖形的概念：數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱(chēng)為相似形. 2.相似多邊形的概念：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形. 3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例. 4.相似比的概念：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比. 5.比例線段的概念：對(duì)于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的比（即它們長(zhǎng)度的比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我們就稱(chēng)四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段. 6.相似三角形的概念：在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k, 即三角分別相等、三邊成比例，我們就說(shuō)△ABC和△A′B′C′相似，k為相似比. 7.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.簡(jiǎn)稱(chēng)：平行線分線段成比例. 8.平行線分線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 9.相似三角形判定定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似. 10.相似三角形判定定理4：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似. 11.三角形相似判定定理5：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似. 12.直角三角形相似判定定理1：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似. 13.相似三角形的性質(zhì)： 14.利用三角形相似解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟： （1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖 （2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的已知線段、已知角 （3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出未知量 （4）寫(xiě)出答案 15.位似圖形的概念： 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，且這點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所連線段成比例，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形. 16.位似圖形的性質(zhì)： 1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等． 2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．（位似圖形的相似比也叫做位似比） 3）對(duì)應(yīng)線段平行或者在一條直線上． 17.把一個(gè)圖形按一定大小比例放大或縮小后，點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律： 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比（新圖與原圖的相似比）為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k，則圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（kx，ky）或（-kx，-ky）. 考點(diǎn)解讀 考查題型一 判斷相似圖形 1．下列圖形，一定相似的是（????） A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形 【答案】C 【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一分析，利用排除法求解． 【詳解】解：A.兩個(gè)直角三角形，不一定有銳角相等，故不一定相似； B.兩個(gè)等腰三角形頂角不一定相等，故不一定相似； C.兩個(gè)等邊三角形，角都是60°，故相似； D.任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似； 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵． 2．如圖是世界休閑博覽會(huì)吉祥物“晶晶”．右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”經(jīng)下列哪個(gè)變換得到的（???） A．平移變換 B．旋轉(zhuǎn)變換 C．軸對(duì)稱(chēng)變換 D．相似變換 【答案】D 【分析】根據(jù)相似變換的概念判斷即可． 【詳解】解：∵右邊的“晶晶”和左邊的“晶晶”只有形狀相同， ∴兩個(gè)圖形相似， ∴右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”通過(guò)相似變換得到的． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何變換的類(lèi)型，熟記各種變換的概念的解題的關(guān)鍵． 3．觀察下列圖形，這四組形狀各異的圖形中，是相似圖形的有（????） ???????? A．1組 B．2組 C．3組 D．4組 【答案】B 【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)圖形進(jìn)行一一分析，選出正確答案． 【詳解】解：第一組形狀不同，不符合相似形的定義； 第二組形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義； 第三組形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義； 第四組形狀不同，不符合相似形的定義， 是相似圖形的有2組． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查的是相似形的定義，結(jié)合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換． 考查題型二 由平行判定成比例線段 1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點(diǎn)E，GF∥AC，且交CD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。? A．ABAE=AGAD B．DFCF=DGAD C．FGAC=EGBD D．AEBE=CFDF 【答案】D 【分析】根據(jù)EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根據(jù)FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解． 【詳解】解：∵GE∥BD， ∴AEBE=AGDG，△AEG∽△ABD， ∴ABAE=ADAG， 故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； ∵GF∥AC， ∴DFCF=DGAG，△DGF∽△DAC， 故選項(xiàng)B錯(cuò)誤； ∵DFCF=DGAG ∴AGDG=CFDF ∴AEBE=CFDF 故選項(xiàng)D正確； ∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC， ∴FGAC=DGDA，EGBD=AGAD 故選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)及判定，利用平行線分線段成比例，找出比例式是解題的關(guān)鍵． 2．如圖，AC∥BD，AD與BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD，交線段AB于點(diǎn)F，則下列各式錯(cuò)誤的是（　?。? A．AFBF=AEED B．BFAF=BEEC C．AEAD+BEBC=1 D．AFBF=CEED 【答案】D 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理一一判斷即可． 【詳解】解：對(duì)A、B選項(xiàng)．∵AC∥BD，EF∥BD， ∴EF∥AC， ∴AFBF=AEED，BFAF=BEEC，故AB正確，不符合題意； C．∵AEAD=AFAB，BEBC=BFAB， ∴AEAD+BEBC=AFAB+BFAB=AF+BFAB=ABAB=1，故C正確，不符合題意； D．∵AFBF=CEEB，而DE≠EB， ∴AFBF≠CEED，故D錯(cuò)誤，不符合題意． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考常考題型． 3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（　?。??? A．BDAD=DFAC B．BFFC=AEEC C．BFFC=DFAC D．BFFC=CEAE 【答案】D 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可． 【詳解】解：A．由DF∥AC，得BDBA=DFAC，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．由DF∥AC，得BFFC=BDDA，又由DE∥BC，得BDDA=CEEA，則BFFC= CEEA，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確； C．由DF∥AC，得BFBC=DFAC，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 考查題型三 由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比例 1．如圖，直線l1//l2//l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，則DE的長(zhǎng)為（????） A．2 B．3 C．4 D．103 【答案】D 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長(zhǎng)度求解即可． 【詳解】解：∵直線l1∥l2∥l3， ∴ABBC=DEEF. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴56=DE4. ∴DE=103. 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵． 2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD=2，BD=3，則AEAC的值是（????） ?? A．25 B．12 C．35 D． 【答案】A 【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出AEAC=ADAB，即可求解． 【詳解】解：∵△ABC中，DE∥BC， ∴AEAC=ADAB， ∵AD=2，BD=3 ∴AEAC=ADAD+BD=22+3=25， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得對(duì)應(yīng)線段成比例”． 3．如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，AD=4DE，連接并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，則：FC的值是（????） A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3 【答案】A 【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，與BF交于點(diǎn)G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2 【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，與BF交于點(diǎn)G，如圖： ∵AD=4DE ∵AD是△ABC的中線 ∴BDDC=12 ∴AFDG=AEDE=3DEDE=3, 即AF=3DG ∴DGFC=BDBC=12，即FC=2DG ∴AF:FC=3DG:2DG=3:2 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟悉概念是解題關(guān)鍵． 4．如圖，在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接，若DE=13，AC=20，則的長(zhǎng)為（????） A．12 B．20 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根據(jù)題意可知DE為△ABC的中位線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥AC，勾股定理解Rt△BCE即可求解． 【詳解】∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)， ∴AD=BD， ∵DE∥BC， ∴ADBD=AEEC， ∴AE=EC， ∴DE=12BC， ∴BC=2DE=26,EC=12AC=10， ∵AB=BC,AE=EC， ∴BE⊥AC， 在Rt△BCE中，BE=BC2-EC2=24， 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中位線的判定與性質(zhì)，三線合一，勾股定理，求得E是AC中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 考查題型四 證明兩個(gè)三角形相似 1．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高． 求證：△ACD∽△ABC． 【答案】見(jiàn)解析 【分析】根據(jù)兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明即可． 【詳解】證明：如圖， ∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高 ∴ ∵∠A是公共角 ∴△ACD∽△ABC． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準(zhǔn)確運(yùn)用進(jìn)行推理證明． 2．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB． 【答案】見(jiàn)解析 【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠B＝∠C＝60°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根據(jù)∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可證∠1＝∠2即可． 【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定，掌握等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定是解題關(guān)鍵． 3．已知：如圖，點(diǎn)D在三角形ABC的AB上，DE交AC于點(diǎn)E，∠ADE=∠B，點(diǎn)F在AD上，且AD2=AF?AB．求證： (1)ADAB=AEAC； (2)△AEF∽△ACD． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)∠ADE=∠B，可得DE∥BC，從而得到ADDB=AEEC，即可求證； （2）根據(jù)AD2=AF?AB，可得ADAB=AFAD，從而得到AEAC=AFAD．即可求證． 【詳解】（1）證明：∵∠ADE=∠B， ∴DE∥BC， ∴ADDB=AEEC， ∴ADAB=AEAC． （2）證明：∵AD2=AF?AB， ∴ADAB=AFAD， ∵ADAB=AEAC， ∴AEAC=AFAD． 又∠A=∠A， ∴△AEF∽△ACD． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例，相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 4．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且AB?AC=BD?CE．求證：△ABD∽△ECA． 【答案】見(jiàn)解析 【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)推出∠ABD=∠ECA，再由AB?AC=BD?CE，得到ABEC=BDCA，即可推出△ABD∽△ECA． 【詳解】解；∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴180°-∠ABC=180°-∠ACB， ∴∠ABD=∠ECA， 又∵AB?AC=BD?CE， ∴ABEC=BDCA， ∴△ABD∽△ECA． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵． 5．如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，AB=8，BC=10． （1）求證：△AEF∽△DFC； （2）求線段EF的長(zhǎng)度． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF=5． 【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得CF=BC=10，根據(jù)勾股定理得到DF=CF2-CD2=6，求得AF=4，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論． 【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8， 根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFC=∠B=90°， ∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°， ∴∠AEF=∠DFC， ∴△AEF∽△DFC； （2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=BC=10，BE=EF， ∴DF=CF2-CD2=6， ∴AF=4， ∵AE=AB-BE=8-EF， ∴EF2=AE2+AF2， 即EF2=（8-EF）2+42， 解得：EF=5． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)來(lái)分析、判斷、解答． 考查題型五 補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似 1．如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．ADAC=CDBC D．AC2=AD?AB 【答案】C 【分析】根據(jù)公共角∠A，再分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可． 【詳解】∵∠A=∠A A、當(dāng)∠ACD=∠B時(shí)，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故選項(xiàng)A不合題意； B、當(dāng)∠ADC=∠ACB時(shí)，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故選項(xiàng)B不合題意； C、當(dāng)ADAC=CDBC時(shí)，∠A不是夾角，所以無(wú)法得出△ACD∽△ABC，故選項(xiàng)C符合題意； D、當(dāng)AC2=AD?AB時(shí)，即ACAB=ADAC，再由∠A=∠A，故選項(xiàng)D不合題意； 故選：C． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵． 2．如圖，要使△ACD∽△ABC，需要具備的條件是（????） A．ACAD=ABBC B．CDAD=BCAC C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 【答案】C 【分析】題目中隱含條件∠A＝∠A，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，得出添加的條件只能是ACAB=ADAC，根據(jù)比例性質(zhì)即可推出答案． 【詳解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A， ∴根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，得出添加的條件是：ACAB=ADAC， ∴AC2＝AD?AB ． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，注意：有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似． 3．如圖，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定△ABC∽△ADE的是（????） A．∠B=∠D B．∠C=∠AED C．AB?BC=AD?DE D．AB?AE=AD?AC 【答案】C 【分析】根據(jù)題意可得∠EAD=∠CAB，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷，即可求解． 【詳解】解：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠EAD=∠CAB， A．若添加∠B=∠D，可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意； B．若添加∠C=∠AED，可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意； C．若添加AB?BC=AD?DE，不能證明△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)符合題意； D．若添加AB?AE=AD?AC，可用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意； 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 考查題型六 相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 1．如圖所示，∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，過(guò)多少秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似？ 【答案】過(guò)2.4或3211秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似 【分析】由∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，利用勾股定理即可求得AB與AC的長(zhǎng)，然后設(shè)過(guò)t秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似，則可得BP=2tcm，，CQ=tcm，再分別從當(dāng)CPCB=CQCA時(shí)，△CPQ∽△CBA與當(dāng)CPCA=CQCB時(shí)，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案． 【詳解】解：，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5， ∴設(shè)AC=3xcm，， 則， 即4x=8， 解得：， ，AB=10cm， ， 設(shè)過(guò)t秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似， 則，，， 是公共角， ∴①當(dāng)CPCB=CQCA，即8-2t8=t6時(shí)，△CPQ∽△CBA， 解得：t=2.4， ②當(dāng)CPCA=CQCB，即8-2t6=t8時(shí)，△CPQ∽△CAB， 解得：t=3211， ∴過(guò)2.4或3211秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似． 【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CA-AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC-CA-AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t>0）． 發(fā)現(xiàn)： (1)AB=___________； (2)當(dāng)點(diǎn)P，Q相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在哪條邊上？并求出此時(shí)AP的長(zhǎng)． 探究： (3)當(dāng)t=1時(shí)，△PQC的面積為_(kāi)__________； (4)點(diǎn)P，Q分別在AC，BC上時(shí)，△PQC的面積能否是△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 拓展： (5)當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求出此時(shí)t的值． 【答案】(1)5 (2)相遇點(diǎn)在AB邊上，1 (3)1 (4)不能，見(jiàn)解析 (5)t=4413 【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可； （2）分類(lèi)討論點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)不同的時(shí)間，直接計(jì)算即可； （3）直接求出邊長(zhǎng)來(lái)求面積即可； （4）解方程時(shí)通過(guò)求根公式來(lái)說(shuō)明不能取到值； （5）先畫(huà)出圖形，然后利用平行線間的線段比列方程求值． 【詳解】（1）在中， AB=AC2+BC2=32+42=5 ∴AB=5；??????????????????????????????????? （2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B需要：4+5÷1=9s 點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)需要：3+4+5÷2=6s 當(dāng)點(diǎn)P,Q相遇時(shí)，有2t-t=4．解得t=4． ∴相遇點(diǎn)在AB邊上， 此時(shí)AP=4-3=1．????????????????????????????? （3）當(dāng)t=1時(shí)，PC=1,BQ=2，即 ∴SΔPQC=12PC?CQ=12×1×2=1????????????????????? 故答案為1； （4）不能 理由：若△PQC的面積是△ABC面積的一半， 即12t(4-2t)=12×12×3×4，化為t2-2t+3=0． ∵Δ=-22-4×1×3

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