基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識點 平行線的性質(zhì)
1.將一張長方形紙條ABCD按如圖所示的方式折疊,若∠FEC=64°,則∠1的度數(shù)為( )
A.52° B.62° C.64° D.42°

2.【新獨家原創(chuàng)】下面是投影屏上出示的搶答題,需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容,則下列回答錯誤的是( )
如圖,已知:AB∥CD,BC∥DE,若∠B=47°,求∠D的度數(shù).
解:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C,( ☆ )
∵ ◎ ,
∴∠D=∠C,( ※ )
∴∠B=∠D,( @ )
∵∠B=47°,
∴∠D=47°.
A.☆代表兩直線平行,內(nèi)錯角相等
B.◎代表BC∥DE
C.※代表內(nèi)錯角相等,兩直線平行
D.@代表等量代換
3.如圖,∠BCD=90°,AB∥DE,則∠α與∠β滿足( )
A.∠α+∠β=180°
B.∠β=3∠α
C.∠α+∠β=90°
D.∠β-∠α=90°
4.【應(yīng)用意識】(2022山西太原小店月考)圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架,其主要作用是動力傳輸.圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖,已知AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°,∠AGC=80°,則∠DEF的度數(shù)為()( )

A.110° B.120° C.130° D.140°
5.【教材變式·P177T2】填空:(將下面的推理過程及依據(jù)補充完整)
如圖,已知:CD平分∠ACB,AC∥DE,CD∥EF,那么EF平分∠DEB嗎?
解:∵CD平分∠ACB(已知),∴∠1=∠2( ),∵AC∥DE( ),∴∠1=∠ ,∴∠2=∠3(等量代換),∵CD∥EF(已知),∴∠4=∠3( ),∠2=∠5( ),∴∠4=∠5(等量代換).∴EF平分∠DEB.
6.如圖,點E、F分別在AB、CD上,AF⊥CE于點O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°,求證:AB∥CD.()
能力提升全練
7.(2022陜西中考,2,★☆☆)如圖,AB∥CD,BC∥EF.若∠1=58°,則∠2的大小為( )
A.120° B.122° C.132° D.148°

8.(2022廣東深圳中考,7,★☆☆)將一副三角板如圖所示放置,斜邊平行,則∠1的度數(shù)為()( )
A.5° B.10° C.15° D.20°
9.【鋸齒模型】(2022廣東深圳紅嶺中學(xué)期末,8,★★★)如圖,若AB∥CD,則α、β、γ滿足的關(guān)系式為( )
A.α+β+γ=360° B.α-β+γ=180°
C.α+β-γ=180° D.α+β+γ=180°
10.(2022廣東佛山禪城期末,22,★★☆)如圖,點B、C在線段AD的異側(cè),點E、F分別在線段AB、CD上,∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC.
(1)求證:AB∥CD;
(2)若∠AGE+∠AHF=180°,求證:∠B=∠C;
(3)在(2)的條件下,若∠BFC=4∠C,求∠D的度數(shù).
素養(yǎng)探究全練
11.【推理能力】如圖1,AB∥CD,∠PAB=124°,∠PCD=120°,求∠APC的大小.小明的解題思路:過點P作PM∥AB,通過平行線的性質(zhì)來求∠APC的度數(shù).
(1)按小明的解題思路,可求得∠APC的大小為 度;
(2)如圖2,已知直線m∥n,直線a,b分別與直線m,n相交于點B、D和點A、C.點P在線段BD上運動(不與B、D兩點重合),記∠PAB=α,∠PCD=β,問∠APC與α,β之間有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若把“線段BD”改為“直線BD”,請求出∠APC與α,β之間的數(shù)量關(guān)系.

答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.A ∵∠GEF=∠FEC=64°,
∴∠BEG=180°-64°×2=52°,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠BEG=52°.
故選A.
2.C ∵BC∥DE,∴∠D=∠C,依據(jù)的是兩直線平行,內(nèi)錯角相等.
3.C 如圖,作CH∥AB,
∴∠1=∠α,
∵AB∥DE,CH∥AB,
∴CH∥EF,
∴∠2=∠β,
∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,
∴∠α+∠β=90°,
故選C.
4.C 如圖,過點F作FM∥CD,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥FM,
∴∠DEF+∠EFM=180°,∠MFA+∠BAG=180°,
∴∠MFA=180°-∠BAG=180°-150°=30°.
∵CG∥EF,
∴∠EFA=∠AGC=80°.
∴∠EFM=∠EFA-∠MFA=80°-30°=50°.
∴∠DEF=180°-∠EFM=180°-50°=130°.
故選C.
5.角平分線的定義;已知;3;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同位角相等
6.證明 ∵AF⊥CE(已知),
∴∠AOE=90°(垂直的定義).
又∵∠1=∠B(已知),
∴CE∥BF(同位角相等,兩直線平行),
∴∠AFB=∠AOE(兩直線平行,同位角相等),
∴∠AFB=90°(等量代換).
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°(平角的定義),
∴∠AFC+∠2=90°.
又∵∠A+∠2=90°(已知),
∴∠A=∠AFC(同角的余角相等),
∴AB∥CD(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).
能力提升全練
7.B 設(shè)CD與EF交于點G,如圖.
∵AB∥CD,
∴∠C=∠1=58°,
∵BC∥FE,
∴∠C+∠CGE=180°,
∴∠CGE=180°-58°=122°,
∴∠2=∠CGE=122°,故選B.
8.C 如圖,∠ACB=45°,∠F=30°,
∵BC∥EF,
∴∠DCB=∠F=30°,
∴∠1=45°-30°=15°,
故選C.
9.C 如圖,過點E作EF∥AB.
易得AB∥CD∥EF,
∴∠BAE+∠FEA=180°,∠C=∠FEC=γ,
∵∠AEC=β,
∴∠FEA=β-γ,
∴α+(β-γ)=180°,
即α+β-γ=180°.
故選C.
10.解析 (1)證明:∵∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC,∠AGE=∠DGC,
∴∠AEG=∠C,
∴AB∥CD.
(2)證明:∵∠AGE=∠DGC,∠AGE+∠AHF=180°,
∴∠DGC+∠AHF=180°,
∴EC∥BF,
∴∠B=∠AEG,
由(1)得∠AEG=∠C,
∴∠B=∠C.
(3)由(2)得EC∥BF,
∴∠BFC+∠C=180°,
∵∠BFC=4∠C,
∴∠C=36°,
∴∠DGC=36°.
∵∠C+∠DGC+∠D=180°,
∴∠D=180°-2×36°=108°.
素養(yǎng)探究全練
11.解析 (1)過點P作PM∥AB,如圖,
∴∠APM+∠PAB=180°,
∴∠APM=180°-124°=56°,
∵AB∥CD,
∴PM∥CD,
∴∠CPM+∠PCD=180°,
∴∠CPM=180°-120°=60°,
∴∠APC=56°+60°=116°.
故答案為116.
(2)∠APC=α+β.理由如下:
過P作PE∥AB交AC于E,如圖,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠APE=α,∠CPE=β,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
(3)①當(dāng)P在線段BD的延長線上時,∠APC=α-β.理由如下:過P作PE∥AB,如圖,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠APE=α,∠CPE=β,
∵∠APC=∠APE-∠CPE,
∴∠APC=α-β;
②當(dāng)P在線段DB的延長線上時,∠APC=β-α.理由如下:
過P作PE∥AB,如圖,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠APE=α,∠CPE=β,
∵∠APC=∠CPE-∠APE,
∴∠APC=β-α.
綜上所述,當(dāng)P在線段BD的延長線上時,∠APC=α-β;當(dāng)P在線段DB的延長線上時,∠APC=β-α;當(dāng)P在線段BD上時,∠APC=α+β.

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4 平行線的性質(zhì)

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