一、選擇題
1．如圖，已知，，那么（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
2．如圖所示，下列推理錯(cuò)誤的是（ ）
A．∵∠1=∠3，∴ABCD
B．∵ABCD，∴∠BCD+∠ABC=180°
C．∵ABCD，∴∠2=∠4
D．∵∠DAM=∠CBM，∴ADBC
3．如圖，和相交于點(diǎn)，連接，，平分，，，則圖中與相等的角（不含）有( )
A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)
4．如圖，已知a∥c，添加下列條件后，能推出b∥c的是（ ）
A.∠5＋∠2＝180° B．∠3＝∠6
C．∠4＋∠6＝180°D．∠1＝∠2
5．如圖，已知直線AB∥CD，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與CD之間時(shí)，下列關(guān)系式成立的是（ ）
A．∠BED＝∠ABE＋∠CDEB．∠BED＝∠ABE－∠CDE
C．∠BED＝∠CDE－∠ABED．∠BED＝2∠CDE－∠ABE
6．小明、小亮、小剛、小穎一起研究一道數(shù)學(xué)題，如圖，BD⊥AC與點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過E作EF⊥AC與點(diǎn)F，點(diǎn)G在AB上，連DG，GE．
小明說：“如果還知道∠GDB＝∠FEC，則能得到∠AGD＝∠ABC．”
小亮說：“如果∠AGD＝∠ABC，可得到∠GDB＝∠FEC．”
則下列判斷正確的是（ ）
A．小明說法正確，小亮說法錯(cuò)誤B．小明說法正確，小亮說法正確
C．小明說法錯(cuò)誤，小亮說法正確D．小明說法錯(cuò)誤，小亮說法錯(cuò)誤
7．2022年北京冬奧會(huì)男子500米短道速滑冠軍高亭玉在一次速滑訓(xùn)練中，經(jīng)過兩次拐彎后的速滑方向與原來(lái)的方向相反，則兩次拐彎的角度可能是（ ）
A.第一次向左拐52°，第二次向右拐52°
B．第一次向左拐48°，第二次向左拐48°
C．第一次向左拐73°，第二次向右拐107°
D．第一次向左拐32°，第二次向左拐148°
8．①如圖1，ABCD，則；②如圖2，ABCD，則；③如圖3，ABCD，則；④如圖4，直線ABCDEF，點(diǎn)O在直線EF上，則．以上結(jié)論正確的是（ ）
A．①②③④B．③④C．①②④D．②④
9．如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點(diǎn)N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數(shù)為（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
10.如圖，已知直線c與直線a、b都相交．若ab，∠1=85°，則∠2=（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
二、填空題
1．如圖，若，則之間的關(guān)系為_____．
2．如圖，在五邊形中，，，，和的平分線交于點(diǎn)，則______°．
3．把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，、分別在、的位置上，與的交點(diǎn)為．
（1）若，則______°．
（2）若，則______°（用含的代數(shù)式表示）．
4．填寫理由或步驟．
如圖，已知ADBE，∠A＝∠E．試說明∠1＝∠2．
因?yàn)锳DBE（______）
所以∠A+______＝180°（______）
因?yàn)椤螦＝∠E（已知）
所以______+∠E＝180°（______）
所以DEAC（______）
所以∠1＝______．（______）
5．如圖，，的角平分線的反向延長(zhǎng)線和的角平分線交于點(diǎn)，，則的度數(shù)為_________．
6．學(xué)習(xí)平行線后，張明想出了過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）~（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點(diǎn)P與已知直線a平行的直線．由操作過程可知張明畫平行線的依據(jù)有__________．
①同位角相等，兩直線平行； ②兩直線平行，同位角相等；
③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； ④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
7．如圖，直線，若，則___________．
三、解答題
1．如圖，BD平分∠ABC，F(xiàn)在AB上，G在AC上，F(xiàn)C與BD相交于點(diǎn)H，∠1＝∠2，試說明∠3與∠4的關(guān)系，并說明理由．
2．如圖所示，已知∠CFE+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，
(1)若∠CFE＝80°，求∠ADC的度數(shù)．
(2)試判斷∠AED與∠ACB的大小關(guān)系，并說明理由．
3．已知：如圖1，在中，于D，交于E，于F．
(1)求證：
(2)如圖2，若平分
①若，則______________．
②求證：平分
4．如圖，，．
(1)求證：；
(2)若，試探索：，，的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（2）的條件下，若，，，求的度數(shù)．
5．如圖，，點(diǎn)為上方一點(diǎn)，在直線上．
(1)如圖，求證：；
(2)如圖，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，、的角平分線所在直線交于點(diǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系；
(3)如圖，為、之間一點(diǎn)，且在內(nèi)部，、，當(dāng)恒成立時(shí)，______．
6．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線ABCD，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C=∠BEC．
請(qǐng)把下面的證明過程補(bǔ)充完整：
證明：過點(diǎn)E作EFAB，
∵ABDC（已知），EFAB（輔助線的作法），
∴EFDC（__________________）．
∴∠C=∠CEF．（__________________）
∵EFAB，∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=_________（等量代換）
即∠B+∠C=∠BEC．
（2）拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：∠B+∠C=360°?∠BEC．
（3）解決問題
如圖③，ABDC，E、F、G是AB與CD之間的點(diǎn)，找出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
7.如圖，，，直線與，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，．求證：．
8.如圖，在四邊形中，，．
(1)求的度數(shù)；
(2)平分交于點(diǎn)，．求證：．
答案
一、選擇題
C．C．B．A．A．B．D．C．D．D．
二、填空題
1.b=180 -a+g 2.． 3. 50
4.已知；∠ABE；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；∠ABE；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；∠2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
5.． 6.①③④ 7.35°．
三、解答題
1.解：∠3+∠4＝180°（互補(bǔ)）
理由：因?yàn)锽D平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠2，
因?yàn)椤?=∠2，
所以∠1=∠ABD，
所以FBD，
所以∠3+∠FHD＝180°，
因?yàn)椤?=∠FHD，
所以∠3+∠4＝180°．
2.（1）
解：∵∠CFE+∠BDC＝180°，∠CFE＝80°，
∴∠BDC＝100°，
∴∠ADC＝180°-∠BDC=80°；
（2）
∠AED=∠ACB，理由如下：
如圖，分別標(biāo)記∠1，∠2，∠3，∠4，
∵∠1+∠4=180°（平角定義），∠1+∠2=180°（已知）．
∴∠2=∠4．
∴EFAB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
∴∠3=∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵∠3=∠B（已知），
∴∠B=∠ADE（等量代換）．
∴DEBC（同位角相等，兩直線平行）．
∴∠AED=∠ACB（兩直線平行，同位角相等）．
3.（1）
證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BDEF，
∴∠BDE＝∠DEF，
又∵DEAB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠DEF；
（2）
解：①∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝20°，
由（1）的結(jié)論可得，∠DEF＝∠ABD＝20°，
故答案為：20°；
②證明：∵BDEF，
∴∠CEF＝∠CBD＝20°，
∴∠CEF＝∠DEF，即EF平分∠DEC．
4.（1）
證明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴；
（2）
解：∠NBG∠ANB+∠1=180°；
理由如下：過B作交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴，
又∵CM∥DH，
∴，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG∠NBP=∠NBG∠ANB，
∴∠NBG∠ANB+∠1=180°；
（3）
解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
5.（1）
證明：過點(diǎn)P作PQAB，如圖，
∵ABCD，
∴ABCDPQ，
∴∠QPE=∠PEB，∠QPC=∠C，
∴∠QPE-∠QPC=∠PEB-∠C，
即∠CPE=∠PEB-∠C；
（2）
解：如圖：
設(shè)∠BEM=α，∠CFN=β，
∵EM平分∠BEP，F(xiàn)N平分∠CFP，
∴∠PEM=α，∠PFN=β，
由（1）中結(jié)論可得∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，
∴∠P=∠PEM+∠BEM-（180°-∠CFN-∠PFN）
=α+α-（180°-β-β）=2α+2β-180°，
∠Q=180°-∠CFN-∠BEM=180°-β-α，
∴2∠Q+∠P=360°-2β-2α+2α+2β-180°=180°，
即2∠Q+∠P=180°；
（3）
解：如圖：
與（1）同理可得，∠CPE=∠PEB-∠PCD，
∵∠EPN=n∠CPN，∠EPN+∠CPN=∠CPE，
∴∠CPE=（n+1）∠CPN，
∵∠DCN=n∠PCN，∠DCN+∠PCN=∠PCD，
∴∠PCD=（n+1）∠PCN，
∴（n+1）∠CPN=∠PEB-（n+1）∠PCN，
又∵∠PEB=180°-∠PEA，
∴（n+1）（∠CPN+∠PCN）=180°-∠PEA，
又∵∠CPN+∠PNC=180°-∠PCN，
∴（n+l）（180°-∠CNP）=180°-∠PEA，
又∵2∠CNP-∠PEA=180°，
∴（n+1）（180°-∠CNP）+2∠CNP=360°，
∴（n+1）（180°-∠CNP）-2（180°-∠CNP）=0，
∴（n-1）（180°-∠CNP）=0，
∴n-1=0或180°-∠CNP=0（不符合題意，舍去）
∴n-1=0，解得n=1，
故答案為：1．
6.解：（1）證明：過點(diǎn)E作EFAB，
∵ABDC（已知），EFAB（輔助線的作法），
∴EFDC（平行于同一條直線的兩直線平行）．
∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵EFAB，
∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）
即∠B+∠C=∠BEC．
故答案為：平行于同一條直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠BEF+∠CEF；
（2）如圖②，過點(diǎn)E作EFAB，
∵ABDC（已知），EFAB（輔助線的作法），
∴EFDC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°，
∴∠B+∠C=360°?∠BEC；
（3）．理由如下：
如圖③，過點(diǎn)F作FHAB，
∵ABDC（已知），F(xiàn)HAB（輔助線的作法），
∴FHDC（平行于同一直線的兩直線平行），
由（1）得∠1+∠EFH=∠2，∠HFG+∠5=∠4，
∴∠1+∠EFH+∠HFG+∠5=∠2+∠4，
∴．
7.證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
8.（1）
解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）
證明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．

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4 平行線的性質(zhì)

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