專題7.5 與三角形有關(guān)的角的四大類型解答 【北師大版】 考卷信息： 本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)與三角形有關(guān)的角的四大類型解答的理解！ 【類型1 與三角形有關(guān)的角的計(jì)算】 1．（2023春·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州十一中?？计谀┤鐖D，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度數(shù)． ?? 【答案】75° 【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB=80，再由角平分線的定義得到∠ACE=40，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CED=75°，根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理求出∠EDF=15°，進(jìn)而根據(jù)垂直的定義求出∠CDF的度數(shù)即可． 【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，， ∴∠ACB=180°?∠A?∠B=80°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=12∠ACB=40°， ∴∠CED=∠A+∠ACE=75°， ∵DF⊥CE，即∠DFE=90°， ∴∠EDF=180°?∠DEF?∠DFE=15°， ∵CD⊥AB，即∠ADC=90°， ∴∠CDF=∠ADC?∠EDF=75°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等等，熟知三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵． 2．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AE為BC邊上的高，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，連接AD． (1)當(dāng)AD為BC邊上的中線時(shí)，若AE=6，△ABC的面積為30，求CD的長(zhǎng)； (2)當(dāng)AD為∠BAC的角平分線時(shí)，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度數(shù)． 【答案】(1)CD=5 (2)∠DAE=15° 【分析】（1）由中線平分三角形面積可得△ADC的面積，再由面積公式即可求得CD的長(zhǎng)； （2）由三角形內(nèi)角和可求得∠BAC的度數(shù)，由角平分線的性質(zhì)可求得∠ADE，然后在Rt△ADE中即可求得結(jié)果． 【詳解】（1）解：∵AD為BC邊上的中線， ∴S△ADC=12S△ABC=12×30=15， ∵AE為邊BC上的高，AE=6， ∴12CD?AE=15， ∴CD=5． （2）解：∵∠BAC=180°?∠B?∠C=78°， ∵AD為∠BAC的角平分線， ∴∠BAD=12∠BAC=39°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°， ∵AE⊥BC， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE=90°?75°=15°． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線、角平分線、三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是基礎(chǔ)與關(guān)鍵． 3．（2023春·安徽淮北·八年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°． (1)求∠DBF+∠DCF的度數(shù)； (2)求∠A的度數(shù)． 【答案】(1)45° (2)90° 【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解； （2）先證明BD平分∠ABC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解． 【詳解】（1）解：∵∠BDC=135°， ∴∠DBF+∠DCF=180°?135°=45° ； （2）解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF， ∴BD平分∠ABC，即∠ABD =∠CBD． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD． ∴∠A=180°?∠ABC?∠ACB=180°?2(∠DBC+∠DCB)=180°?2×45°=90°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180°． 4．（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于點(diǎn)P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度數(shù)． ?? 【答案】45° 【分析】首先根據(jù)三角形的外角和求出∠CAD=40°，由此可得∠BAD=20°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)求出∠BPD的度數(shù)即可. 【詳解】解：∵∠C+∠CAD=∠ADB， ∴70°+∠CAD=110°． ∴∠CAD=40°． ∵∠BAD=13∠BAC， ∴∠CAB=60°，∠BAD=20°． 在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°， ∴70°+60°+∠ABC=180°， ∴∠ABC=50°． ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=12∠ABC=25°． ∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=25°+20°=45°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和、外角和和角平分線的定義，屬于基礎(chǔ)題，要熟練掌握. 5．（2023春·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BG⊥AE，垂足為點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G． ?? (1)求證：BG平分∠ABE． (2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度數(shù)． 【答案】(1)證明見(jiàn)詳解 (2)35° 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠E，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠DAE=∠BAE，從而得出∠E=∠BAE，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出BG平分∠ABE； （2）根據(jù)∠DAB=60°，AD∥BC，得出∠ABE=120°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBE=60°，從而得出∠DCE=105°，最后根據(jù)∠BGC=∠DCE?∠GBE即可得出答案． 【詳解】（1）證明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠E， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠E=∠BAE， ∴AB=BE， ∵BG⊥AE， ∴BG平分∠ABE； （2）∵∠DAB=60°，AD∥BC， ∴∠ABE=120°， ∵BG平分∠ABE， ∴∠GBE=60°， ∵∠DCE=105°， ∴∠BGC=∠DCE?∠GBE=105°?60°=35°． 【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角以及平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，將線段AC沿直線AB平移得到線段DE，連接AE． ?? (1)當(dāng)∠E=65°時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明AE∥BC． (2)如圖2，當(dāng)DE在AC上方時(shí)，且∠E=2∠BAE?29°時(shí)，求∠BAE與∠EAC的度數(shù)． (3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)AE垂直三角形ABC中的一邊時(shí)，求出所有滿足條件的∠E的度數(shù)． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)∠BAE=23°，∠EAC=17° (3)25°或50°或90° 【分析】（1）由平移的性質(zhì)可得AC∥DE，可得∠CAE=∠E=65°=∠C，可得結(jié)論； （2）由平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，由外角的性質(zhì)可得∠E+∠BAE=40°，即可求解； （3）分三種情況討論，由平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解． 【詳解】（1）證明：∵將線段AC沿直線AB平移得到線段DE， ∴AC∥DE， ∴∠CAE=∠E=65°， ∴∠C=∠CAE， ∴AE∥BC； （2）解：∵將線段AC沿直線AB平移得到線段DE， ∴DE∥AC， ∴∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC， ∴∠E+∠BAE=40°， ∵∠E=2∠BAE?29°， ∴∠BAE=23°，∠E=17°， ∴∠EAC=17°； （3）解：如圖2，當(dāng)DE⊥BC時(shí)， ??? ∵∠BAC=40°，∠C=65°， ∴∠ABC=75°， ∵AE⊥BC， ∴∠BAE=15°， ∵∠BDE=40°， ∴∠E=25°； 如圖3，當(dāng)AE⊥AC時(shí)， ??? ∵AC∥DE， ∴∠E=∠CAE=90°， 如圖4，當(dāng)AE⊥AB時(shí)， ∵AC∥DE，∠BAC=40° ∴∠E=90°?∠ADE=50° 綜上所述：∠E=25°或50°或90°． 【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵． 7．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）將三角形紙片ABC沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在A′處． 【感知】如果點(diǎn)A′落在邊AB上，這時(shí)圖①中的∠1變?yōu)?°，那么∠A′與∠2之間的關(guān)系是 ; 【探究】如果點(diǎn)A′落在四邊形BCDE的內(nèi)部(如圖①)，那么∠A′與∠1、∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由. 【拓展】如果點(diǎn)A′落在四邊形BCDE的外部(如圖②)，那么請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A′與∠1、∠2之間存在數(shù)量關(guān)系 .?????????????? ???? 【答案】感知：∠2=2∠A′探究：2∠A′=∠1+∠2 拓展：2∠A′=∠2?∠1 【分析】[感知]根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1=∠A+∠EA′D，根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠EA′D=∠A，即可求出答案； [探究]根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°?∠A′，兩式相加可得∠A′DA+∠A′EA=360°?∠A+∠A′，即∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，根據(jù)平角的定義得出∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，可得出∠A′+∠A=∠1+∠2，根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠A′=∠A，即可得出2∠A=∠1+∠2； [拓展]根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，推出∠2=∠A+∠A′+∠1，即可得出答案． 【詳解】解：[感知]：∠2=2∠A． 理由如下：當(dāng)點(diǎn)A'落在邊AB上時(shí)，由折疊可得：∠EA′D=∠A； ∵∠2=∠A+∠EA′D， ∴∠2=2∠A， 故答案為：∠2=2∠A； [探究]：2∠A=∠1+∠2． 理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°?∠A′， ∴∠A′DA+∠A′EA=360°?(∠A+∠A′)， ∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°， ∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折疊可得：∠A=∠A′， ∴2∠A′=∠1+∠2， 故答案為：2∠A′=∠1+∠2； [拓展]：如圖②， ?? ∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME， 由折疊可得：∠A=∠A′， ∴∠2=∠A+∠A′+∠1=2∠A+∠1， ∴2∠A=∠2?∠1， 2∠A′=∠2?∠1 故答案為：2∠A′=∠2?∠1． 【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，本題主要考查運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形運(yùn)用外角的性質(zhì)列等式求解． 8．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A在射線CE上，∠C=∠ADB． ?? (1)如圖1，若AD∥BC，求證：AC∥BD； (2)如圖2，若BD⊥BC，垂足為B，BD交CE于點(diǎn)G，請(qǐng)?zhí)骄俊螪AE與∠C的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的探究結(jié)論，并說(shuō)明理由； (3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交射線CE于點(diǎn)F，當(dāng)∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE時(shí)，求∠BAD的度數(shù)． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)∠DAE+2∠C=90°，理由見(jiàn)解析 (3)99° 【分析】（1）根據(jù)AD∥BC，可得∠DAE=∠C，再根據(jù)∠C=∠ADB，即可得到∠DAE=∠ADB，即可得證； （2）∠DAE+2∠C=90°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得到∠CGB=∠ADB+∠DAE，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，有∠CGB+∠C=90°，再根據(jù)∠C=∠ADB即可得到∠DAE與∠C的數(shù)量關(guān)系； （3）設(shè)∠DAE=α，則∠DFE=8α，∠AFD=180°?8α，根據(jù)DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°?8α，再根據(jù)∠DAE+2∠C=90°，即可得到α+2180°?8α=90°，求得α的值，即可運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理得到∠BAD的度數(shù)． 【詳解】（1）證明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠C， 又∵∠C=∠ADB， ∴∠DAE=∠ADB， ∴AC∥BD； （2）解：∠DAE+2∠C=90° 理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角， ∴∠CGB=∠ADB+∠DAE， ∵BD⊥BC， ∴∠CBD=90°， ∴在△BCG中，∠CGB+∠C=90°， ∴∠ADB+∠DAE+∠C=90°， 又∵∠C=∠ADB， ∴∠DAE+2∠C=90°； （3）設(shè)∠DAE=α，則∠DFE=8α， ∴∠AFD=180°?8α， ∵DF∥BC， ∴∠C=∠AFD=180°?8α， 又∵∠DAE+2∠C=90°， ∴2180°?8α+α=90°， ∴α=18° ∴∠C=180°?8×18°=36°， ∴∠ADB=∠C=36°， 又∵∠BAC=∠BAD， ∴∠ABC=180°?∠C?∠BAC=180°?∠ADB?∠BAD=∠ABD， ∵∠CBD=90°， ∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°， ∴在△ABD中，∠BAD=180°?45°?36°=99°， ∴∠BAD的度數(shù)為99°． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余．靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵． 9．（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，點(diǎn)F為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D． ?? (1)如圖1，如果點(diǎn)F在線段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，則∠EFD=______． (2)如果點(diǎn)F在△ABC的外部，分別作出∠CAE和∠EDF的角平分線，交于點(diǎn)K，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由： (3)如圖3，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，PE、PC分別平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，PH⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE，求∠EPH的度數(shù)． 【答案】(1)10° (2)畫(huà)圖見(jiàn)解析，∠AKD=3∠C?∠B4，理由見(jiàn)解析 (3)95° 【分析】（1）先求出∠BAC=100°，進(jìn)而得到∠BAE=50°，∠AEC=80°，根據(jù)FD⊥BC得到∠FDE=90°，即可求出∠EAD=90°?∠AED=10°； （2）根據(jù)題意先畫(huà)出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義得到∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°?14∠B?14∠C，再由三角形內(nèi)角和定理得到∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，則45°?14∠B?14∠C+∠C=45°+∠AKD，據(jù)此即可得到答案； （3）根據(jù)∠EAD=∠CAD=2α得到∠BAE=∠CAE=4α，得到∠BAD=6α，從而求出∠B=90°?6α，進(jìn)而求出∠CPE=2α，結(jié)合∠CPG=710∠B+∠CPE，得到∠CPG=63°?145α．根據(jù)PG⊥BC，得到45°+α+63°?145α=90°，求出α=10°．從而分別求出∠B=90°?6α=30°，∠PEM=35°，∠BEP=145°，再求出∠PHB=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可求出∠EPH=95°． 【詳解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°， ∴∠BAC=180°?∠B?∠C=100°， ∵AE是△ABC的角平分線， ∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=50°， ∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°， ∵DF⊥BC， ∴∠FDE=90°， ∴∠EFD=90°?∠AED=10°， 故答案為：10°； （2）解：∠AKD=3∠C?∠B4，理由如下： 在△ABC中，∠BAC=180°?∠B?∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=90°?12∠B?12∠C， ∵DF⊥BC， ∴∠FDE=90°， ∵∠CAE和∠EDF的角平分線交于點(diǎn)K， ∴∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°?14∠B?14∠C， ∵∠TAC+∠C+∠ATC=180°=∠TDK+∠AKD+∠DTK，∠DTK=∠ATC， ∴∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD， ∴45°?14∠B?14∠C+∠C=45°+∠AKD， ∴∠AKD=34∠C?14∠B=3∠C?∠B4； ?? （3）解：設(shè)∠EAD=∠CAD=2α， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠EAD+∠CAD=4α， ∴∠BAD=6α， ∵AD⊥BC ∴∠ADE=90°， ∴∠B=90°?∠BAD=90°?6α，∠AED=90°?2α， ∴∠ACM=∠B+∠BAC=90°+2α， ∵PE、PC分別平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM， ∴∠PEC=12∠AEC=45°?α，∠PCG=12∠ACM=45°+α， ∴∠EPC=∠PCG?∠PEC=2α， ∴∠CPG=710∠B+∠CPE=71090°?6α+2α=63°?14α5， ∵PG⊥BC， ∴∠PCG+∠CPG=90°， 即45°+α+63°?145α=90°， ∴α=10°． ∴∠B=90°?6α=30°，∠PEC=35°， ∴∠BEP=180°?∠PEM=145°， ∵PH⊥AB， ∴∠PHB=90°， ∴在四邊形BEPH中，∠EPH=360°?∠BEP?∠B?∠BHP=95°（四邊形內(nèi)角和可以看做是兩個(gè)三角形的內(nèi)角和）． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，三角形角平分線，綜合性較強(qiáng)，第（3）步難度較大．熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意進(jìn)行角的表示與代換是解題關(guān)鍵． 【類型2 與三角形有關(guān)的角的證明】 1．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AC上，求證：∠A=∠CED+∠D． ?? 【答案】證明見(jiàn)解析 【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠C=180°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CED+∠D+∠C=180°，進(jìn)而可證明出∠A=∠CED+∠D． 【詳解】∵AB∥CD ∴∠A+∠C=180° ∵在△CED中，∠CED+∠D+∠C=180° ∴∠A=∠CED+∠D． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 2．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，∠B=60°，點(diǎn)G在直線EF上且∠ABG=∠FGB． ?? (1)求證：∠C=∠CGE． (2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度數(shù)． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析； (2)70°． 【分析】（1）根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)即可證明； （2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠CMG=∠B=60°，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解． 【詳解】（1）證明：∵∠ABG=∠FGB， ∴AB∥EF， ∵AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴∠C=∠CGE； （2）解：如圖， ?? ∵∠C=∠CGB+20°， ∴∠CGB=∠C?20°， ∵AB∥CD，∠B=60°， ∴∠CMG=∠B=60°， ∵∠C+∠CMG+∠CGB=180°， ∴∠C+∠C?20°+60°=180°， ∴∠C=70°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 3．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)D在∠ABC內(nèi)，E為射線BC上一點(diǎn)，連接DE，CD． ?? (1)如圖1所示，連接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE． ①線段AB與CD有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； ②過(guò)點(diǎn)D作DM∥AE交直線BC于點(diǎn)M，求證：∠CDM=∠BAE； (2)如圖2所示，∠AED=∠A?∠D，若M為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，MA∥ED，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系． 【答案】(1)①AB∥CD，理由見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析 (2)∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180° 【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠AEF=∠BAE，由∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED得到∠CDE=∠FED，則FE∥CD，即可得到結(jié)論． ②由DM∥AE得到∠AED=∠MDE．∠CDE=∠FED，則∠MDC=∠AEF．由∠AEF=∠BAE即可得到∠CDM=∠BAE； （2）分點(diǎn)M在直線AB的右側(cè)和點(diǎn)M在直線AB的左側(cè)兩種情況，分別求出∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系為：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°． 【詳解】（1）解：①AB∥CD.理由： 過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖， ?? 則∠AEF=∠BAE， ∵∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED， ∴∠CDE=∠FED， ∴FE∥CD， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD． ②∵DM∥AE， ∴∠AED=∠MDE． ∵∠CDE=∠FED， ∴∠MDC=∠AEF． ∵∠AEF=∠BAE， ∴∠CDM=∠BAE． （2）當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的右側(cè)時(shí)，如下圖，∠MAB=∠CDE，理由： ?? 設(shè)AE與CD交于點(diǎn)F， ∵∠CFE=∠D+∠AED， ∴∠AED=∠CFE?∠D． ∵∠AED=∠BAE?∠D， ∴∠BAE=∠CFE． ∴AB∥CD． ∴∠ABC=∠DCE． ∵AM∥DE， ∴∠AMB=∠DEC． ∵∠MAB=180°?∠ABC?∠AMB，∠CDE=180°?∠DCE?∠DEC， ∴∠MAB=∠CDE， ②當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的左側(cè)時(shí)，如圖，∠MAB+∠CDE=180°，理由： ?? 由（2）①可知：∠BAN=∠CDE． ∵∠BAN+∠BAM=180°， ∴∠MAB+∠CDE=180°． 綜上，∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系為：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°． 【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理靈活進(jìn)行角的關(guān)系轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵． 4．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┥渚€OM、ON交于O點(diǎn)，OC平分∠MON，∠MON=60°， ?? (1)如圖1，PA、PB分別平分∠OAB、∠OBA時(shí)，直接寫(xiě)出∠APB=__________； (2)如圖2，PA、PB分別平分∠MAB、∠NBA時(shí)，求出∠APB的度數(shù)； (3)在（2）條件下，如圖2中，求證∠PAB+∠OPB=90°． 【答案】(1)120° (2)60° (3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由角平分線的定義得∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可； （2）由三角形內(nèi)角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由平角的定義得∠MAB+∠MBA=240°，由角平分線的定義得∠PAB+∠PBA=120°，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可； （3）由（2）可得∠PAB=∠MAP=30°+∠APO，∠OPB=60°?∠APO，代入∠PAB+∠OPB化簡(jiǎn)即可. 【詳解】（1）解：∵∠MON=60°， ∴∠OAB+∠OBA=120° ∵PA、PB分別平分∠OAB、∠OBA， ∴∠PAB=12∠OAB，∠PBA=12∠OBA， ∴∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60° ∴∠APB=180°?∠PAB+∠PBA=120°， 故答案為：120°； （2）解：∵∠MON=60°， ∴∠OAB+∠OBA=120°， ∴∠MAB+∠MBA=240°， ∵PA、PB分別平分∠MAB、∠NBA， ∴∠PAB=12∠MAB，∠PBA=12∠MBA， ∴∠PAB+∠PBA=12∠MAB+12∠MBA=120°， ∴∠APB=180°?∠PAB+∠PBA=60°； （3）證明：∵OC平分∠MON，∠MON=60°， ∴∠MOC=12∠MON=30°， ∵PA平分∠MAB， ∴∠PAB=∠MAP=∠MOP+∠APO=30°+∠APO， ∵∠APB=60° ∴∠OPB=60°?∠APO ∴∠PAB+∠OPB=30°+∠APO+60°?∠APO=90° 【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)等，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要注意整體思想的利用． 5．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)． 在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題：如圖1，銳角∠BAC內(nèi)部有一點(diǎn)D，在其兩邊AB和AC上各取任意一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF． 求證：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF． 任務(wù)： (1)小麗證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________； (2)下列說(shuō)法正確的是____________． A．小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理 B．小麗的證法還需要改變∠BAC的大小，再進(jìn)行證明，該定理的證明才完整 C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理 D．小紅的證法只要將點(diǎn)D在∠BAC的內(nèi)部任意移動(dòng)100次，重新測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理 (3)如圖，若點(diǎn)D在銳角∠BAC外部，ED與AC相交于點(diǎn)G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)?zhí)剿鳌螧ED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之間的關(guān)系． 【答案】(1)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 (2)A (3)不成立，∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF 【分析】（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可； （2）按照定理的證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過(guò)量角器測(cè)量，計(jì)算，證明，即可得答案； （3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠AGE=∠DFC+∠EDF，∠BED=∠BAC+∠AGE，整理可得答案 【詳解】（1）解：小麗證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； （2）根據(jù)定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過(guò)量角器測(cè)量，計(jì)算，證明，故A正確； （3）不成立， ∵∠AGE是△GDF的一個(gè)外角， ∴∠AGE=∠DFC+∠EDF， ∵∠BED為△AEG的一個(gè)外角， ∴∠BED=∠BAC+∠AGE， ∴∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF（或∠BED?∠DFC=∠BAC+∠EDF）． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 6．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°． ?? (1)如圖1，點(diǎn)M在線段CB上，在線段BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使得∠NAC=∠MAC．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM，交AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作NE∥BD，交AB于點(diǎn)E，交AM于點(diǎn)F．判斷∠ENB與∠NAC之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并加以證明； (2)如圖2，點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上，在線段BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使得∠NAC=∠MAC．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作NE∥BD，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交MA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． ①依題意補(bǔ)全圖形； ②若∠CAB=45°，求證：∠NEA=∠NAE． 【答案】(1)∠ENB=∠NAC，理由見(jiàn)解析 (2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析 【分析】（1）依據(jù)∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，進(jìn)而得出∠MAC=∠ENB，再根據(jù)∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC； （2）①過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作NE∥BD，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交MA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；②依據(jù)∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°?∠ENB，∠EAN=135°?∠NAC，即可得到∠NEA=∠NAE． 【詳解】（1）解：∠ENB=∠NAC， 理由：∵BD⊥AM， ∴∠ADB=90°， ∵NE∥BD， ∴∠NFD=∠ADB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°， ∴∠MAC=∠ENB， 又∵∠NAC=∠MAC， ∴∠ENB=∠NAC； （2）解：①補(bǔ)全圖形如圖： ?? ②同理可證∠ENB=∠NAC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°， ∴∠ABC=45°， ∴∠ABM=135°， ∴∠NEA=∠ABM?∠NEB=135°?∠ENB， ∵∠EAN=∠EAB?∠NAC?∠CAB=135°?∠NAC， ∴∠NEA=∠NAE． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和是180°進(jìn)行推算． 7．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谀咎骄拷Y(jié)論】 （1）如圖1，AB∥CD，E為形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)AE、CE得到∠AEC，則∠AEC、∠A、∠C的關(guān)系是______（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）： 【探究應(yīng)用】利用（1）中結(jié)論解決下面問(wèn)題： （2）如圖2，AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EG1和EG2為∠BEF內(nèi)滿足∠1=∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點(diǎn)G1和G2，求證：∠FG1E+∠G2=180°． （3）如圖3，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°

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