2.1.1 相反數(shù)和絕對值
知識點(diǎn)一
相反數(shù)
★1、相反數(shù)的定義： 像 2和﹣2，3和﹣3 這樣只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù).（代數(shù)意義）
一般地，a 和 -a 互為相反數(shù).
★2、相反數(shù)的性質(zhì)：
任何一個(gè)數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個(gè)，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；0的相反數(shù)是0；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù).
★3、求一個(gè)相反數(shù)的方法：
求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只需改變這個(gè)數(shù)的符號，即可得到這個(gè)數(shù)的相反數(shù).
求一個(gè)字母或一個(gè)式子相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)字母或這個(gè)式子的前面加上“﹣”號.
【注意】
（1）任何一個(gè)數(shù)都有唯一的相反數(shù)，
（2）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.
知識點(diǎn)二
多重符號的化簡
◆1、多重符號化簡的依據(jù)：相反數(shù)的定義是多重符號化簡的依據(jù)．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反數(shù)，所以﹣（﹣5）=5.
★2、多重符號的化簡
化簡多重符號時(shí)，只需數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)負(fù)號，若有偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù).簡稱“奇負(fù)偶正”.
知識點(diǎn)三
絕對值
★1、絕對值的定義：一個(gè)數(shù)的數(shù)量大小叫作這個(gè)數(shù)的絕對值，如3和-3的絕對值都等于3，0的絕對值等于0.如果a表示一個(gè)有理數(shù)，那么a的絕對值記作 | a |，讀作“a的絕對值”.
【注意】任何數(shù)都有絕對值，并且只有一個(gè)，數(shù) a 的絕對值 | a |為非負(fù)數(shù)，即 | a |≥0.
★2、絕對值的性質(zhì)：
（1）一個(gè)正數(shù)的絕對值是正數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是正數(shù)； 0 的絕對值是 0.
（2）字母 a 表示一個(gè)有理數(shù)，則
（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值相等；絕對值相等，符號相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).
（4）幾個(gè)非負(fù)式的和為 0，則這幾個(gè)式子都為 0.
知識點(diǎn)四
有理數(shù)的大小比較
★1、正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0， 正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；
★2、兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而?。?br>★3、利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的步驟:
①求:求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值;
②比:比較這兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對值的大小;
③判:根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”進(jìn)行判斷.
題型一 相反數(shù)的定義
1．（2024?甘孜州）﹣24的相反數(shù)為（ ）
A．24B．﹣24C．124D．?124
2．（2023?張家界三模）﹣2023的相反數(shù)是（ ）
A．?12023B．﹣2023C．12023D．2023
3．（2022?常州）2022的相反數(shù)是（ ）
A．2022B．﹣2022C．12022D．?12022
4．（2024?綏化）實(shí)數(shù)?12025的相反數(shù)是（ ）
A．2025B．﹣2025C．?12025D．12025
5．（2024?睢寧縣校級模擬）下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A．2和12B．﹣0.5和12C．﹣3和13D．12和﹣2
6．（2023秋?蚌埠期末）下列兩個(gè)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A．+3和﹣（﹣3）B．3和13
C．﹣2和?12D．+（﹣4）和﹣（﹣4）
7．（2024?河口區(qū)校級模擬）下列各數(shù)中，表示3的相反數(shù)的是（ ）
A．﹣（﹣3）B．|+3|C．|﹣3|D．+（﹣3）
8．（2023秋?科左中旗期中）下面說法：①π的相反數(shù)是﹣π；②符號相反的數(shù)互為相反數(shù)；③﹣（﹣3.8）的相反數(shù)是﹣3.8；④一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)可能相等；⑤正數(shù)與負(fù)數(shù)互為相反數(shù)．正確的有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
題型二 利用相反數(shù)的概念求值
1．（2024?鹽城二模）如果a與1互為相反數(shù)，那么a＝（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
2．（2024?東莞市校級二模）如果a與﹣3互為相反數(shù)，則a等于（ ）
A．13B．3C．?13D．﹣3
3．（2024?廣水市一模）如果a與﹣2024互為相反數(shù)，那么a的值是（ ）
A．﹣2024B．12024C．?12024D．2024
4．若a＝﹣a，則a＝ ．
5．（2024?嶗山區(qū)校級三模）已知﹣3的相反數(shù)是a，則a的值為（ ）
A．3B．?13C．13D．﹣3
6．（2024春?寶山區(qū)期末）如果a+5的相反數(shù)是﹣3，那么a＝ ．
7．已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反數(shù)，b比最小的正整數(shù)大4，c是相反數(shù)等于它本身的數(shù)，則3a+2b+c的值是 ．
8．（2023秋?惠民縣校級月考）已知+（?73）的相反數(shù)是x，﹣（+3）的相反數(shù)是y，z相反數(shù)是z，求x+y+z的相反數(shù)．
題型三 多重符號的化簡
1．（2024?湖南）計(jì)算：﹣（﹣2024）＝ ．
2．（2024春?南崗區(qū)校級月考）化簡?[?(?14)]= ．
3．下列表示﹣5的“相反數(shù)”的是（ ）
A．﹣（﹣5）B．﹣（+5）C．﹣[﹣（﹣5）]D．﹣[+（+5）]
4．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期中）化簡?(?(?(??(?1)?)))︸2022個(gè)負(fù)號的結(jié)果的相反數(shù)為（ ）
A．﹣1B．1C．±1D．2022
5．（2023秋?彭山區(qū)校級月考）填空：
（1）+（﹣2）＝ ；﹣（﹣2）＝ ．
（2）﹣[+（﹣2）]＝ ；﹣{+[﹣（﹣2）]}＝ ．
6．（2023秋?靜海區(qū)校級月考）化簡下列各數(shù)：
（1）﹣（﹣68）＝ ；
（2）﹣（+0.75）＝ ；
（3）?[?(?23)]= ．
7．（2023秋?德化縣校級月考）化簡下列各數(shù)：
①﹣（﹣8）＝ ；
②﹣（+0.75）＝ ；
③?[?(?35)]= ；
④﹣[+（﹣3.8）]＝ ．
8．化簡下列各數(shù)：①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）；
④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]．
化簡過程中，你有何發(fā)現(xiàn)？化簡結(jié)果的符號與原式中的“﹣”號的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？
題型四 求一個(gè)數(shù)的絕對值
1．（2023?宛城區(qū)校級四模）?72絕對值是（ ）
A．?72B．72C．?27D．27
2．（2024?西雙版納一模）﹣2024的絕對值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．?12024
3．（2024?臨川區(qū)一模）3的相反數(shù)的絕對值是（ ）
A．3B．13C．﹣3D．?13
4． 化簡：|－eq \f(3,5)|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
5．（2023春?龍鳳區(qū)期末）﹣|﹣6|的相反數(shù)是（ ）
A．﹣6B．16C．?16D．6
6．（2024?惠州二模）|?12024|的相反數(shù)是（ ）
A．?12024B．12024C．2024D．﹣2024
7．（2023?睢陽區(qū)模擬）一個(gè)數(shù)的絕對值等于916，則這個(gè)數(shù)是（ ）
A．916B．?916C．±916D．±34
8．（2023秋?寧津縣校級月考）寫出下列各數(shù)的絕對值．
（1）﹣1.5； （2）83； （3）﹣6； （4）?83； （5）3．
題型五 比較有理數(shù)的大小
1．（2024?溫州模擬）某一天，溫州、杭州、哈爾濱、北京四個(gè)城市的最低氣溫分別是5℃，0℃，﹣22℃，﹣10℃，其中最低氣溫是（ ）
A．5℃B．0℃C．﹣22℃D．﹣10℃
2．（2024?廣州）四個(gè)數(shù)﹣10，﹣1，0，10中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣10B．﹣1C．0D．10
3．（2024春?沙坪壩區(qū)期末）下列數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．0C．32D．1
4．（2024?南通二模）在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1四個(gè)數(shù)中，比﹣2大的數(shù)是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
5．（2024?南明區(qū)校級二模）在﹣3、2、0、﹣1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．2
6．（2023?姑蘇區(qū)三模）在10，﹣3，0，﹣12這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的是（ ）
A．10B．﹣3C．0D．﹣12
7．（2024春?楊浦區(qū)期末）比較大?。?76 ﹣|?65|．
8．比較下列各對數(shù)的大?。?br>（1）3和﹣7．
（2）﹣5.3和﹣（+5.4）．
（3）?45和?23．
（4）﹣（﹣7）和|﹣1|．
題型六 絕對值的非負(fù)性
1．（2023秋?江陰市期中）對于任意有理數(shù)a，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．|a|是正數(shù)B．﹣a是負(fù)數(shù)
C．﹣|a|是負(fù)數(shù)D．﹣|a|不是正數(shù)
2．（2023秋?薛城區(qū)校級月考）已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，則xy＝ ．
3．（2022秋?讓胡路區(qū)校級期中）如果|a﹣2|+|b|＝0，那么a，b的值為（ ）
A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝﹣1，b＝3C．a(chǎn)＝2，b＝0D．a(chǎn)＝0，b＝2
4．（2023秋?光澤縣期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，則﹣b+a﹣1的值是（ ）
A．﹣11B．10C．﹣2D．2
5．（2024春?南崗區(qū)校級期中）已知a為有理數(shù)，則|a﹣2|+4的最小值為 ．
6．如果x為有理數(shù)，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，這個(gè)最大值是（ ）
A．2016B．2017C．2019D．2021
7．（2023秋?花垣縣月考）若有理數(shù)a，b滿足|a﹣20|+|b+19|＝0，則|a|﹣|b|＝ ．
8．（2023秋?江寧區(qū)校級月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．
計(jì)算：（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．
題型七 利用絕對值解決實(shí)際問題
1．有四包真空包裝的火腿腸，每包以標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量450g為基準(zhǔn)，超過的克數(shù)記作正數(shù)，不足的克數(shù)記作負(fù)數(shù)．下面的數(shù)據(jù)是記錄結(jié)果，其中與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量最接近的是（ ）
A．+2B．﹣3C．+4D．﹣1
2．（2023秋?沈丘縣校級月考）太康肘子是河南特色傳統(tǒng)名菜之一，被稱為“中原第一肘”．若每包標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為1000g，實(shí)際質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比，超出部分記為正數(shù)，不足部分記為負(fù)數(shù)，下面4個(gè)包裝中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
A． B．C．D．
3．（2023秋?紅橋區(qū)期中）小明同學(xué)在一條南北走向的公路上晨練，跑步情況記錄如下：（向北為正，單位：m）：500，﹣400，﹣700，800，小明同學(xué)跑步的總路程為（ ）
A．800 mB．200 mC．2400 mD．﹣200 m
4．世乒賽中用球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下表是6個(gè)乒乓球質(zhì)量檢測的結(jié)果(單位：克，超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)重量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)).
(1)請找出三個(gè)誤差相對較小一些的乒乓球，并用絕對值的知識說明．
(2)若規(guī)定與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量誤差不超過0.1g的為優(yōu)等品，超過0.1g但不超過0.3g的為合格品，在這六個(gè)乒乓球中，優(yōu)等品、合格品和不合格品分別是哪幾個(gè)乒乓球？請說明理由．
5．已知零件的標(biāo)準(zhǔn)直徑是10mm，超過規(guī)定直徑長度的數(shù)量（毫米）記作正數(shù)，不足規(guī)定直徑長度的數(shù)量（毫米）記作負(fù)數(shù)，檢驗(yàn)員某次抽查了5件樣品，檢查的結(jié)果如下：
（1）試指出哪件樣品的大小最符合要求？
（2）如果規(guī)定誤差的絕對值在0.18mm之內(nèi)是正品．誤差的絕對值在0.18mm～0.22mm之間是次品，誤差的絕對值超過0.22mm的是廢品，那么上述五件樣品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是廢品？
6．（2023秋?太康縣期中）為體現(xiàn)社會(huì)對教師的尊重，教師節(jié)這天上午，出租車司機(jī)小王在東西方向的公路上免費(fèi)接送老師．如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，出租車的行程如下（單位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．
（1）若出租車每行駛100千米耗油10升，這天上午汽車共耗油多少升？
（2）如果每升汽油7元，則出租車司機(jī)今天上午的油費(fèi)是多少元？
解題技巧提煉
只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，一般地，a 和 -a 互為相反數(shù).
解題技巧提煉
求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只需改變這個(gè)數(shù)的符號，即可得到這個(gè)數(shù)的相反數(shù).
解題技巧提煉
多重符號的化簡：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號，結(jié)果為正．
解題技巧提煉
利用絕對值的性質(zhì)求一個(gè)數(shù)的絕對值，一個(gè)正數(shù)的絕對值是正數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是正數(shù)； 0 的絕對值是 0.
解題技巧提煉
有理數(shù)大小比較的法則：
①正數(shù)都大于0；
②負(fù)數(shù)都小于0；
③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；
④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而?。?br>解題技巧提煉
1、數(shù)a 的絕對值 | a |為非負(fù)數(shù)，即 | a |≥0.
2、幾個(gè)非負(fù)式的和為 0，則這幾個(gè)式子都為 0.
解題技巧提煉
本題中用絕對值的大小表示產(chǎn)品直徑與標(biāo)準(zhǔn)直徑的接近程度，由絕對值的幾何意義，可知一個(gè)數(shù)的絕對值越小，其在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)距離原點(diǎn)越近，在這個(gè)實(shí)際問題中，絕對值越小表示產(chǎn)品直徑的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)直徑的尺寸偏差越小.
一號球
二號球
三號球
四號球
五號球
六號球
－0.5
0.1
0.2
0
－0.08
－0.15
序號
1
2
3
4
5
直徑
長度/mm
+0.1
﹣0.15
﹣0.2
﹣0.05
+0.25

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