2.1.1 有理數(shù)
知識(shí)點(diǎn)一
具有相反意義的量
★1、具有相反意義的量包含兩層含義：（1）具有相反意義；（2）具有數(shù)量．
★2、用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量
為了更好的區(qū)分這些具有相反意義的量，通常我們把其中一種意義的量規(guī)定為正，用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示．
知識(shí)點(diǎn)二
用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量
★1、正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念： 像 1，2，3，1.8％ 這樣大于 0 的數(shù)叫做正數(shù).
像 -3，-1，-2，-2.7％ 這樣在正數(shù)前面加上符號(hào)“ - ”(負(fù)) 的數(shù)叫做負(fù)數(shù).
【注意】
正數(shù)前面的“＋”號(hào)可以省略不寫，負(fù)數(shù)前面的“﹣”號(hào)不能省略不寫.
★2、0 的意義：
（1）0 既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；
（2）0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界.
（3）0不僅表示“沒(méi)有”，還可以表示某種量的基準(zhǔn)，如0℃可以表示實(shí)際溫度為冰點(diǎn)時(shí)的計(jì)量結(jié)果.
知識(shí)點(diǎn)三
有理數(shù)的分類
★1、整數(shù)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零統(tǒng)稱為整數(shù)．
★2、分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)．
★3、有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).
有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù)，所以也是有理數(shù)；
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（如 π）不是分?jǐn)?shù)，就不是有理數(shù).
拓展：任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫成（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)．
★4、部分常用的數(shù)：
（1）正整數(shù)：例如： 1，2，3，… ；
負(fù)整數(shù)：例如：－1，－2，－3，…；
（2）正分?jǐn)?shù)：例如：23，212，3.14，…，
負(fù)分?jǐn)?shù)：例如：….
（3）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0； 非正數(shù)：負(fù)數(shù)和0；
（4）非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和0；非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和0；
【注意】
引入負(fù)數(shù)之后，小學(xué)學(xué)過(guò)的奇數(shù)和偶數(shù)的范圍相應(yīng)地?cái)U(kuò)大了，奇數(shù)和偶數(shù)也可以是負(fù)數(shù).
①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)0負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)；
②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)0負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)．
【注意】：
① 分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，結(jié)果也不同；
② 分類的結(jié)果應(yīng)無(wú)遺漏、無(wú)重復(fù)；
③ 0是整數(shù)，但0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).
題型一 正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念
1．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)四模）在﹣2，0，12，2這四個(gè)數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（ ）
A．﹣2B．0C．12D．2
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可求得答案．
【解答】解：﹣2是負(fù)數(shù)；12，2是正數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?港南區(qū)二模）下列各數(shù)是正數(shù)的是（ ）
A．17B．0C．﹣1D．﹣0.3
【分析】根據(jù)正數(shù)就是大于0的數(shù)，正數(shù)前面可以加上“+”來(lái)表示，也可以省略“+”；負(fù)數(shù)就是小于0的數(shù)，任何正數(shù)前面加上“﹣”是負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)．據(jù)此解答即可．
【解答】解：A．17是正數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
B．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．﹣1是負(fù)數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．﹣0.3是負(fù)數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握：正數(shù)就是大于0的數(shù)，正數(shù)前面可以加上“+”來(lái)表示，也可以省略“+”；負(fù)數(shù)就是小于0的數(shù)，任何正數(shù)前面加上“﹣”是負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)．
3．（2023?文昌二模）下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（ ）
A．+2B．﹣3C．1.5D．13
【分析】根據(jù)小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)即可判斷．
【解答】解：A．+2是正數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；
B．﹣3是負(fù)數(shù)，故選項(xiàng)符合題意；
C．1.5是正數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；
D．13是正數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023秋?博爾塔拉州期末）在﹣1，π，0，11，﹣8，3這五個(gè)數(shù)中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)正數(shù)的定義解答即可．
【解答】解：這五個(gè)數(shù)中，正數(shù)有3個(gè)，分別為π，11，3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握它們的定義是本題的關(guān)鍵．
5．（2023秋?寧德期末）用﹣a表示的數(shù)是（ ）
A．負(fù)數(shù)B．正數(shù)
C．負(fù)數(shù)或正數(shù)D．負(fù)數(shù)或正數(shù)或0
【分析】利用正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義來(lái)判斷．
【解答】解：﹣a表示的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義．
6．（2023秋?仁化縣期末）在0，﹣7，14，﹣0.3中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的特征進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：在0，﹣7，14，﹣0.3中，負(fù)數(shù)有﹣7，﹣0.3，共有2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的特征是正確判斷的前提．
7．已知下列各數(shù)：?23，﹣212，3.14，0，0.2，﹣216，6，12，其中正數(shù)有 ；負(fù)數(shù)有 ．
【分析】根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的特征可判定求解．
【解答】解：在?23，﹣212，3.14，0，0.2，﹣216，6，12中，正數(shù)3.14，0.2，6，12；負(fù)數(shù)有?23，﹣212，﹣216．
故答案為3.14，0.2，6，12；?23，﹣212，﹣216，
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
題型二 0的再認(rèn)識(shí)
1．（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期中）有下列關(guān)于“0”的說(shuō)法：①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒(méi)有”；③0可以表示特定的意義；④0是正數(shù)；⑤0是非負(fù)數(shù)；⑥某地海拔為0m表示沒(méi)有海拔．其中正確的有（ ）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【分析】根據(jù)0的意義逐一分析判斷即可．
【解答】解：①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，說(shuō)法正確；
②0只表示“什么也沒(méi)有”，說(shuō)法錯(cuò)誤，0可以表示特定意義，如0刻度等；
③0可以表示特定的意義，如0°C等，說(shuō)法正確；
④既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
⑤0是非負(fù)數(shù)，說(shuō)法正確；
⑥海拔0m有高度的，原來(lái)的說(shuō)法錯(cuò)誤．
所以正確的有①③⑤，共3個(gè)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟記零的意義是解題關(guān)鍵．
2．（2023?泗陽(yáng)縣一模）既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有0．
【解答】解：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的知識(shí)，注意熟練掌握：既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有0．
3．下列對(duì)“0”的說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒(méi)有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數(shù)；⑤0是自然數(shù)．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)0的意義，逐一判斷即可解答．
【解答】解：①因?yàn)檎龜?shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，所以0是正、負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，故①正確；
②0除了表示“什么也沒(méi)有”，還可以表示其他意義，如0℃等，故②錯(cuò)誤，
③可以表示特定的意義，如0℃，故④正確；
④0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故④錯(cuò)誤；
⑤0是自然數(shù)，故⑤正確；
綜上所述，正確的有①③⑤，共3個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握0的意義是解題的關(guān)鍵．
4．規(guī)定10噸記為0噸，11噸記為+1噸，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．8噸記為﹣8噸B．15噸記為+5噸
C．6噸記為﹣4噸D．+3噸表示重量為13噸
【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來(lái)表示具有意義相反的兩種量：選10噸為標(biāo)準(zhǔn)記為0，超過(guò)部分為正，不足的部分為負(fù)，直接得出結(jié)論即可．
【解答】解：A、10﹣8＝2（噸）
所以8噸記為﹣2噸，而不是﹣8噸，故A說(shuō)法錯(cuò)誤；
B、15﹣10＝5（噸）
所以15噸記為+5噸說(shuō)法正確；
C、10﹣6＝4（噸）
所以﹣4噸表示重量為6噸說(shuō)法正確；
D、13﹣10＝3（噸）
所以+3噸表示重量為13噸說(shuō)法正確；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題首先要知道以誰(shuí)為標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定超出標(biāo)準(zhǔn)的為正，低于標(biāo)準(zhǔn)的為負(fù)，由此用正負(fù)數(shù)解答問(wèn)題．
5．（2023秋?宜州區(qū)期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)
B．零上4攝氏度可以寫成+4°C，也可以寫成4°C
C．若盈利100元記作+100元，則﹣20元表示虧損20元
D．向正北走一定用正數(shù)表示，向正南走一定用負(fù)數(shù)表示
【分析】根據(jù)0的特征、正負(fù)數(shù)的意義和相反意義的量進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，正確，故不符合題意；
B．零上4攝氏度可以寫成+4°C，也可以寫成4°C，正確，故不符合題意；
C．若盈利100元記作+100元，則﹣20元表示虧損20元，正確，故不符合題意；
D．規(guī)定向正北走用正數(shù)表示，則向正南走才用負(fù)數(shù)表示，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了0的特征、正負(fù)數(shù)的意義和相反意義的量，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
題型三 判斷是否為相反意義的量
1．（2023秋?競(jìng)秀區(qū)校級(jí)月考）下列各組量中具有相反意義的量是（ ）
A．上升與下降B．向東走3m與向南走5m
C．長(zhǎng)大4歲與減少5kgD．零上2℃與零下6℃
【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
【解答】解：A、上升的反義詞是下降是正確的，但這句話沒(méi)有說(shuō)明是哪兩個(gè)量，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、向東走與向南走不是具有相反意義的量，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、長(zhǎng)大4歲與減少5kg不是具有相反意義的量，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、零上2℃與零下6℃是具有相反意義的量，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
2．下列是具有相反意義的量的是（ ）
A．向東走5米和向北走5米
B．身高增加2厘米和體重減少2千克
C．勝1局和虧本70元
D．收入50元和支出40元
【分析】相反意義的量主要記住兩個(gè)因素，第一，同一屬性，第二，意義相反．
【解答】解：A．“向東”與“向北”，沒(méi)有具體數(shù)量，不符合題意；
B．身高和體重不是相反的量，不符合題意；
C．勝1局和虧本70元不是相反的量，不符合題意；
D．收入50元和支出40元具有相反意義，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵：相反意義的量的兩個(gè)關(guān)鍵因素，它們必須是同一屬性，意義相反．
3．（2023秋?衡陽(yáng)期末）下列不具有相反意義的量的是（ ）
A．前進(jìn)5米和后退5米
B．節(jié)約10噸水和浪費(fèi)1噸水
C．超過(guò)5克和不足2克
D．身高增加2厘米和體重減少2千克
【分析】根據(jù)兩個(gè)量是否具有相反意義逐項(xiàng)判定即可．
【解答】解：A、前進(jìn)5米和后退5米是具有相反意義的量，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、節(jié)約10噸水和浪費(fèi)1噸水是具有相反意義的量，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、超過(guò)5克和不足2克是具有相反意義的量，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、身高增加2厘米和體重減少2千克不是具有相反意義的量，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相反意義的量，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．
4．（2023?杭州模擬）下列選項(xiàng)中具有相反意義的量是（ ）
A．氣溫上升5℃和零下5℃B．順時(shí)針4圈和逆時(shí)針3圈
C．盈利200元和支出300元D．走了100米和跑了100米
【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)是表示一對(duì)意義相反的量，可以辨別出只順時(shí)針4圈和逆時(shí)針3圈的意義符合．
【解答】解：A、氣溫上升5°C和零下5°C不具有相反意義的量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
B、順時(shí)針4圈和逆時(shí)針3圈是一對(duì)意義相反的量，故選項(xiàng)正確，符合題意；
C、盈利200元和支出300元不具有相反意義的量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意，
D、走了100米和跑了100米不具有相反意義的量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)正負(fù)數(shù)概念的理解，關(guān)鍵明確正負(fù)數(shù)是表示一對(duì)意義相反的量．
5．（2023秋?雨湖區(qū)校級(jí)月考）在下列選項(xiàng)中，具有相反意義的量是（ ）
A．向東走3千米與向北走3千米
B．收入100元與支出50元
C．氣溫上升3℃與上升7℃
D．5個(gè)老人與5個(gè)小孩
【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量，可得答案．
【解答】解：收入100元與支出50元具有相反意義的量，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義．解本題的根據(jù)是掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)是互為相反意義的量．
6．（2023秋?安次區(qū)期末）下列各組數(shù)中，不是互為相反意義的量的是（ ）
A．收入80元和支出20元
B．長(zhǎng)大兩歲和減少兩公斤
C．上升5米和下降2米
D．向東9米和向西3米
【分析】根據(jù)相反意義量的含義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．收入80元和支出20元，是互為相反意義的量，故A不符合題意；
B．長(zhǎng)大兩歲和減少兩公斤不是互為相反意義的量，故B符合題意；
C．上升5米和下降2米，是互為相反意義的量，故C不符合題意；
D．向東9米和向西3米，是互為相反意義的量，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了具有相反意義的量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握具有相反意義量的定義．
7．下面四個(gè)選項(xiàng)中，不具有相反意義的量的是（ ）
A．借貸5萬(wàn)元與還貸6萬(wàn)元
B．高出海平面8888米與低于海平面188米
C．虧損2萬(wàn)元與盈利8萬(wàn)元
D．增產(chǎn)10噸糧食與減產(chǎn)-10噸糧食
【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，可得答案．
【解答】解：A、借貸5萬(wàn)元與還貸6萬(wàn)元是具有相反意義的量，故A不符合題意；
B、高出海平面8888米與低于海平面188米，具有相反意義的量，故B不符合題意；
C、虧損2萬(wàn)元與盈利8萬(wàn)元，具有相反意義的量，故C不符合題意；
D、增產(chǎn)10噸糧食與減產(chǎn)-10噸糧食，
因?yàn)闇p產(chǎn)-10噸糧食相當(dāng)于增產(chǎn)10噸糧食，
所以不具有相反意義的量，
故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，確定相反意義的量是解題關(guān)鍵．
題型四 運(yùn)用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量
1．（2024?黑山縣一模）某地提倡“節(jié)約用水，保護(hù)環(huán)境”的口號(hào)，如果節(jié)約30cm3的水記為+30cm3，那么浪費(fèi)10cm3的水記為（ ）
A．+10cm3B．﹣10cm3C．+0cm3D．﹣20cm3
【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：節(jié)約30cm3的水記為+30cm3，那么浪費(fèi)10cm3的水記為﹣10cm3，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?西山區(qū)校級(jí)模擬）正負(fù)數(shù)可以表示一組具有相反意義的量，如果將小明在圖書(shū)館借書(shū)10本記作+10，那么還書(shū)5本可以記作（ ）
A．﹣10B．+10C．﹣5D．+5
【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：借書(shū)10本記作+10，那么還書(shū)5本可以記作﹣5，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．
3．（2024?開(kāi)原市一模）某校儀仗隊(duì)隊(duì)員的平均身高為175cm，如果高于平均身高2cm記作+2cm，那么低于平均身高2cm應(yīng)該記作（ ）
A．2cmB．﹣2cmC．175cmD．﹣175cm
【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：由題意，高于平均身高2cm記作+2cm，高于平均身高和低于平均身高具有相反意義，所以低于平均身高2cm記作﹣2cm．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?昆明模擬）徐志摩的《泰山日出》一文描寫了“泰山佛光”壯麗景象，3月份的泰山，山腳平均氣溫為零上9℃，記作+9℃，山頂平均氣溫為零下1℃，記作（ ）
A．﹣1℃B．+1℃C．﹣9℃D．+9℃
【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，
∴如果零上9℃記作+9℃，
那么零下1℃記作﹣1℃．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
5．（2023?吉林）月球表面的白天平均溫度零上126℃記作+126℃夜間平均溫度零下150℃應(yīng)記
作（ ）
A．+150℃B．﹣150℃C．+276℃D．﹣276℃
【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可得出答案．
【解答】解：零上126℃記作+126℃，
則零下150℃應(yīng)記作﹣150℃，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
6．（2023?寬城區(qū)校級(jí)模擬）在某次班級(jí)測(cè)驗(yàn)中，班級(jí)的平均分為90分，小明的成績(jī)?yōu)?7分，記做﹣3，若小亮的成績(jī)記做+2，則小亮的成績(jī)?yōu)椋? ）
A．2分B．88分C．92分D．90分
【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：∵班級(jí)的平均分為90分，小明的成績(jī)?yōu)?7分，記做﹣3，即90﹣3＝87（分），
∴小亮的成績(jī)記做+2，表示小亮的成績(jī)?yōu)?0+2＝92（分），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
7．（2023秋?蒼溪縣期末）中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)來(lái)表示相反意義的量的國(guó)家，如果盈利50元，記作“+50元”，那么虧損30元，記作 元．
【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：盈利50元，記作“+50元”，那么虧損30元，記作﹣30元，
故答案為：﹣30．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．
8．在下列橫線上填上適當(dāng)?shù)脑~，構(gòu)成相反意義的量．
（1）收入10元， 6元；
（2）高出海平面500m， 海平面100m；
（3）減少60kg， 80kg；
（4） 500元，節(jié)約700元；
（5）向東走5米， 走6米．
（6） 3m2，縮小4m2．
【分析】根據(jù)題意，要構(gòu)成相反意義，則關(guān)鍵詞為“反義”，據(jù)此分析，找出其余小題中與關(guān)鍵詞具有相反意義的詞，再填空即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，收入10元，支出6元；
（2）根據(jù)題意，高出海平面500m，低于海平面100m；
（3）根據(jù)題意，減少60kg，增加80kg；
（4）根據(jù)題意，浪費(fèi)500元，節(jié)約700元；
（5）根據(jù)題意，向東走5米，向西走6米；
（6）根據(jù)題意，擴(kuò)大3m2，縮小4m2．
故答案為：（1）支出；（2）低于；（3）增加；（4）浪費(fèi)；（5）向西；（6）擴(kuò)大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正負(fù)數(shù)的知識(shí)，掌握正負(fù)數(shù)的定義是關(guān)鍵．
9．寫出與下面各量具有相反意義的量，并用正負(fù)數(shù)表示．
（1）氣溫是零上8℃，零上為正；
（2）向南走200米，向南為負(fù)；
（3）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正；
（4）高于海平面8米，高于海平面為正．
【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是用來(lái)表示具有相反意義的量；依據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，結(jié)合相反數(shù)意義的量找出與零上相反的量是零下，同理解答其他小題．
【解答】解：本題答案不唯一，如：
（1）氣溫是零上8℃，+8℃；
（2）向南走200米，﹣200米；
（3）順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤5圈，+5圈；
（4）高于海平面8米，+8米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正確的掌握正負(fù)數(shù)的概念，解答本題的關(guān)鍵就是讀懂題意．
題型五 運(yùn)用正負(fù)數(shù)表示誤差范圍
1．（2023秋?巴楚縣期末）某種藥品說(shuō)明書(shū)上標(biāo)明保存溫度是（20±3）℃，則該藥品在（ ）范圍內(nèi)保存最合適．
A．17℃～23℃B．20℃～23℃C．17℃～20℃D．20℃～26℃
【分析】選20℃為標(biāo)準(zhǔn)記為0，超過(guò)部分為正，不足部分為負(fù)，直接計(jì)算即可．
【解答】解：20℃﹣3℃＝17℃，20℃+3℃＝23℃，
則該藥品在17℃～23℃范圍內(nèi)保存．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正負(fù)數(shù)問(wèn)題，選準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定超過(guò)部分為正，不足部分為負(fù)，由此用正負(fù)數(shù)解答問(wèn)題是關(guān)鍵．
2．（2023秋?渝北區(qū)期末）兩江新區(qū)正加快打造智能網(wǎng)聯(lián)新能源汽車產(chǎn)業(yè)集群，集聚了長(zhǎng)安、長(zhǎng)安福特、賽力斯、吉利、理想等10家整車企業(yè)，200余家核心零部件企業(yè)．小虎所在的生產(chǎn)車間需要加工標(biāo)準(zhǔn)尺寸為4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范圍內(nèi)的尺寸為合格，則下列尺寸的零部件不合格的是（ ）
A．4.4mmB．4.5mmC．4.6mmD．4.8mm
【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義求得合格尺寸的范圍，然后進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由題意可得合格尺寸的范圍為4.3mm～4.7mm，
則A，B，C不符合題意；D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，結(jié)合已知條件求得合格尺寸的范圍是解題的關(guān)鍵．
3．（2023秋?白云區(qū)期末）某藥品說(shuō)明書(shū)上標(biāo)明藥品保存的溫度是（20±2）℃，則該藥品保存的溫度范圍是（ ）
A．20～22℃B．18～20℃C．18～22℃D．20～24℃
【分析】此題比較簡(jiǎn)單，根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義便可解答．
【解答】解：溫度是20℃±2℃，表示最低溫度是20℃﹣2℃＝18℃，最高溫度是20℃+2℃＝22℃，即18℃～22℃之間是合適溫度．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．
4．一袋大米的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為“10±0.15千克”，則下列大米中質(zhì)量合格的是（ ）
A．9.80千克B．10.16千克C．9.90千克D．10.21千克
【分析】根據(jù)“10±0.15千克”，可算出合格范圍，再根據(jù)合格范圍，選出答案．
【解答】解：∵10﹣0.15＝9.85（千克），10+0.15＝10.15（千克），
∴合格范圍為：9.85～10.15千克，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，計(jì)算出合格范圍是解題關(guān)鍵．
5．（2023秋?萊西市期中）如圖是加工某零件的尺寸要求，現(xiàn)有下列直徑尺寸的產(chǎn)品（單位：mm），其中不合格的是（ ）

A．Φ45.04B．Φ44.96C．Φ44.98D．Φ45.02
【分析】依據(jù)正負(fù)數(shù)的意義求得零件直徑的合格范圍，然后找出不符要求的選項(xiàng)即可．
【解答】解：∵45+0.03＝45.03，45﹣0.04＝44.96，
∴零件的直徑的合格范圍是：44.96≤零件的直徑≤45.03，
∵45.04不在該范圍之內(nèi)，
∴不合格的是A，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義求得零件直徑的合格范圍是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋?康巴什期末）若一種零件的直徑尺寸為30?0.03+0.04mm，則該種零件的最小直徑為 mm．
【分析】根據(jù)零件的尺寸計(jì)算即可得到答案．
【解答】解：由題意可得，
∵零件的直徑尺寸為30?0.03+0.04mm，
∴該種零件的最小直徑為：30﹣0.03＝29.97（mm），
故答案為：29.97．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是掌握正負(fù)數(shù)的意義．
7．某超市出售的三種品牌的大米袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的字樣，從超市中任意拿出兩袋大米，它們的質(zhì)量最多相差（ ）
A．0.4kgB．0.5kgC．0.55kgD．0.6kg
【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，分別求出每種品牌的大米袋質(zhì)量最多相差多少，再比較即可．
【解答】解：根據(jù)題意可得：它們的質(zhì)量相差最多的是標(biāo)有（50±0.3）kg的；其質(zhì)量最多相差（50+0.3）﹣（50﹣0.3）＝0.6kg．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】利用正負(fù)數(shù)的意義，判別（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的意義是關(guān)鍵．
題型六 正數(shù)、負(fù)數(shù)的探究題
1．已知一列數(shù)：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，將這列數(shù)排成下列形式：
按照上述規(guī)律排列下去，第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)是（ ）
A．﹣46B．﹣36C．37D．45
【分析】觀察排列規(guī)律得到第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，則可計(jì)算出前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)45，而數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，于是可判斷第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為﹣46．
故選A．
【解答】解：第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，
所以前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+9＝45，
而數(shù)字的序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)字為正數(shù)，數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，
所以第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為﹣46．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，利用數(shù)字與序號(hào)數(shù)的關(guān)系解決這類問(wèn)題．
2．觀察下面依次排列的兩列數(shù)，請(qǐng)按其規(guī)律寫出后面的3個(gè)數(shù)，你能說(shuō)出每組第15個(gè)數(shù)、第101個(gè)數(shù)、第2018個(gè)數(shù)分別是什么嗎？
（1）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…；
（2）﹣1，12，﹣3，14，﹣5，16，﹣7，18， ， ， ，…．
【分析】第一組數(shù)中，序號(hào)是3的倍數(shù)的數(shù)是正數(shù)，其余數(shù)是負(fù)數(shù)，符號(hào)后面的數(shù)是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)；
第二組數(shù)中，偶數(shù)項(xiàng)是以項(xiàng)數(shù)為分母，1為分子的數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)是在項(xiàng)數(shù)前加﹣．
【解答】解：（1）后面的3個(gè)數(shù)依次為+9，﹣10，﹣11．
觀察發(fā)現(xiàn)，若n能被3整除，則第n個(gè)數(shù)為+n，若n不能被3整除，則第n個(gè)數(shù)為﹣n（n為正整數(shù)），
所以第15個(gè)數(shù)為15，第101個(gè)數(shù)為﹣101，第2018個(gè)數(shù)為﹣2018．
故答案為：+9，﹣10，﹣11；
（2）后面的3個(gè)數(shù)依次為﹣9，110，﹣11．
觀察發(fā)現(xiàn)，若n能被2整除，則第n個(gè)數(shù)為1n，若n不能被2整除，則第n個(gè)數(shù)為﹣n（n為正整數(shù)），
所以第15個(gè)數(shù)為﹣15，第101個(gè)數(shù)為﹣101，第2018個(gè)數(shù)為12018．
故答案為：﹣9，110，﹣11．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律型題的掌握情況，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．
3．觀察下面依次排列的一列數(shù)，請(qǐng)接著寫出后面的3個(gè)數(shù)．
（1）﹣1，12，﹣3，14，﹣5，16，﹣7，18， ， ， ，…；
（2）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…
【分析】（1）通過(guò)觀察得出規(guī)律：第奇數(shù)個(gè)位置上的數(shù)為序號(hào)的相反數(shù)，第偶數(shù)個(gè)位置上的數(shù)為序號(hào)數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答便可；
（2）各個(gè)位置的數(shù)的絕對(duì)值為序號(hào)數(shù)，若序號(hào)是3的倍數(shù)，則該位置上的數(shù)為正，其余位置上的數(shù)都為負(fù)，據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：第奇數(shù)個(gè)位置上的數(shù)為序號(hào)的相反數(shù)，第偶數(shù)個(gè)位置上的數(shù)為序號(hào)數(shù)的倒數(shù)，
∴后面三個(gè)數(shù)依次為﹣9，110，﹣11，
故答案為﹣9；110；﹣11；
（2）根據(jù)題意可知：各個(gè)位置的數(shù)的絕對(duì)值為序號(hào)數(shù)，若序號(hào)是3的倍數(shù)，則該位置上的數(shù)為正，其余位置上的數(shù)都為負(fù)，
∴后面三個(gè)數(shù)依次為+9，﹣10，﹣11．
故答案為：+9；﹣10；﹣11．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律型題的掌握情況，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．
4．觀察下面依次排列的一列數(shù)，請(qǐng)接著寫出后面的3個(gè)數(shù)，你能說(shuō)出這三列數(shù)第100個(gè)數(shù)，第2016個(gè)數(shù)是什么嗎？它們的排列規(guī)律是什么？
（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2， ， ， …
（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6， ， ， …
（3）?12，14，?16，18，?110， ， ， …
【分析】（1）第一個(gè)數(shù)是正2，第二個(gè)數(shù)時(shí)﹣2，依此類推，第奇數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)2，第偶數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)﹣2；
（2）第一個(gè)數(shù)是﹣1，第二個(gè)數(shù)是2，以此類推，第n（奇數(shù)）是﹣n，第n（偶數(shù)）為n；
（3）所有數(shù)的分子都是1，所有數(shù)的分母是2，4，6，8，10，…連續(xù)的偶數(shù)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，第偶數(shù)個(gè)數(shù)是正數(shù)．
【解答】解：（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，
第100個(gè)數(shù)為﹣2，第2016個(gè)數(shù)為﹣2，
規(guī)律為第n個(gè)數(shù)為（﹣1）n+1×2 （n≥1，且n為整數(shù)），
故答案為：2，﹣2，2；
（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，
第100個(gè)數(shù)為：100，第2016個(gè)數(shù)為2016，
規(guī)律為第n個(gè)數(shù)為（﹣1）n?n （n≥1，且n為整數(shù)）；
故答案為：﹣7，8，﹣9；
（3）?12，14，?16，18，?110，112，?114，116，
第100個(gè)數(shù)為1200，第2016個(gè)數(shù)為14032，
規(guī)律為：（﹣1）n?12n （n≥1，且n為整數(shù)），
故答案為：112，?114，116．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律型題的掌握情況，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．
5．（2023?市南區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知一列數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…將這列數(shù)排成下列形式：
第1行 1
第2行 2 3
第3行 4 5 6
第4行 7 8 9 10
第5行 11 12 13 14 15
…
按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)是 ，第20行從右邊數(shù)第5個(gè)數(shù)是 ．
【分析】觀察數(shù)據(jù)的排列特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：第i（i為正整數(shù)）行有i個(gè)數(shù)據(jù)，據(jù)此可得出第n行的最后一個(gè)數(shù)為n(n+1)2，便可解決問(wèn)題．
【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，
第i（i為正整數(shù)）行共有i個(gè)數(shù)，
所以前n行數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為：1+2+3+……+n=n+(n+1)2．
即表示第n行最后一個(gè)數(shù)為n(n+1)2．
所以n＝9時(shí)，n(n+1)2=45．
即有第9行，最后一個(gè)數(shù)為45．
所以第10行第1個(gè)數(shù)為46，那么低10行第5個(gè)數(shù)為50．
n＝20時(shí)，n(n+1)2=210．
即表示第20行最后一個(gè)數(shù)為210，
所以第20行從右邊數(shù)第5個(gè)數(shù)是206．
故答案為：50，206．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第n行的最后一個(gè)數(shù)是n(n+1)2是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，將一串?dāng)?shù)按下列規(guī)律排列，回答下列問(wèn)題：
（1）在A處的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？
（2）負(fù)數(shù)排在A，B，C，D中的什么位置？
（3）第2020個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？排在對(duì)應(yīng)于A，B，C，D中的什么位置？
【分析】（1）根據(jù)A是向上箭頭的上方對(duì)應(yīng)的數(shù)解答；
（2）根據(jù)箭頭的方向與所對(duì)應(yīng)的數(shù)的正、負(fù)情況解答；
（3）根據(jù)4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2020除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的位置即可．
【解答】解：（1）A是向上箭頭的上方對(duì)應(yīng)的數(shù)，與4的符號(hào)相同，在A處的數(shù)是正數(shù)；
（2）觀察不難發(fā)現(xiàn)，向下箭頭的上邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，下方是正數(shù)，向上箭頭的下方是負(fù)數(shù)，上方是正數(shù)，
所以，B和D的位置是負(fù)數(shù)；
（3）∵2020÷4＝505，
∴第2020個(gè)數(shù)排在A的位置，是正數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，仔細(xì)觀察圖形，從箭頭方向向下和向上兩種情況對(duì)應(yīng)的數(shù)的正負(fù)情況考慮求解是解題的關(guān)鍵．
題型七 與正負(fù)數(shù)有關(guān)的圖表信息題
1．體育課上全班女生進(jìn)行百米測(cè)驗(yàn)達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?8秒，下面是第一小組8名女生的成績(jī)記錄，其中“+”表示成績(jī)大于18秒，“﹣”表示成績(jī)小于18秒，“0”表示剛好達(dá)標(biāo)，這個(gè)小組女生的達(dá)標(biāo)率是（ ）
A．25%B．37.5%C．50%D．75%
【分析】成績(jī)記錄中“+”表示成績(jī)大于18秒，“﹣”表示成績(jī)小于18秒，由于達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?8秒，記錄中的數(shù)不大于0則表示成績(jī)達(dá)標(biāo)．故應(yīng)該有6人達(dá)標(biāo)，從而求出達(dá)標(biāo)率．
【解答】解：∵“正”和“負(fù)”相對(duì)，從表格中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這8人中有6人是達(dá)標(biāo)的，
∴這個(gè)小組女生的達(dá)標(biāo)率是68=75%．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．注意這里是不大于0即為達(dá)標(biāo)．
2．下表是某水庫(kù)一周內(nèi)水位高低的變化情況（用正數(shù)記水位比前一日上升數(shù)，用負(fù)數(shù)記下降數(shù)）．那么本周星期幾水位最低（ ）
A．星期二B．星期四C．星期六D．星期五
【分析】用正數(shù)記水位比前一日上升數(shù)，用負(fù)數(shù)記下降數(shù)．由圖表可知從周二開(kāi)始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
【解答】解：由于用正數(shù)記水位比前一日上升數(shù)，用負(fù)數(shù)記下降數(shù)，由圖表可知，周一水位比上周末上升0.12米，從周二開(kāi)始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，所以學(xué)生在學(xué)這一部分內(nèi)容時(shí)一定要聯(lián)系實(shí)際，不能死學(xué)．
3．如圖，標(biāo)號(hào)為①②③④的時(shí)鐘準(zhǔn)確顯示了同一時(shí)刻的倫敦、悉尼、紐約和北京時(shí)間，根據(jù)如表給出倫敦、悉尼、紐約與北京的時(shí)差，表示倫敦、悉尼、紐約和北京時(shí)間的時(shí)鐘標(biāo)號(hào)分別是 ．
【分析】根據(jù)倫敦、悉尼、紐約與北京的時(shí)差，結(jié)合鐘表確定出對(duì)應(yīng)的城市即可．
【解答】解：由表格可得，悉尼與北京時(shí)差為+2，所以北京時(shí)間是4時(shí)或16時(shí)，悉尼時(shí)間為6時(shí)或18時(shí)，此時(shí)倫敦時(shí)間為8時(shí)或20時(shí)，紐約為3時(shí)或15時(shí)．
故答案為：①④②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)；能夠結(jié)合時(shí)鐘與時(shí)差確定北京時(shí)間是解題的關(guān)鍵．
4．（2023秋?衢江區(qū)期末）為迎接校運(yùn)會(huì)，需要在七年級(jí)男生中選拔彩旗隊(duì)，要求彩旗隊(duì)隊(duì)員的標(biāo)準(zhǔn)身高為170cm，身高在“170±2cm”為合格身高．某體育老師在兩個(gè)班中挑選了與標(biāo)準(zhǔn)身高接近的12名男生，如表是這12名男生的身高情況：
（1）這12名男生中有多少人身高合格？
（2）身高合格男生的平均身高比標(biāo)準(zhǔn)身高高（或低）多少cm？
【分析】（1）根據(jù)身高在“170±2cm”為合格身高，即可計(jì)算；
（2）計(jì)算出合格男生的平均身高，與標(biāo)準(zhǔn)身高比較即可求解．
【解答】解：（1）由表知，與標(biāo)準(zhǔn)身高的差為﹣3或3的不合格，而這樣身高的人數(shù)分別為3人與1人，
∴這12名男生中身高合格的有：12﹣3﹣1＝8（人）；
答：這12名男生中有8人身高合格；
（2）身高合格男生的平均身高為：170+2×(?2)+3×0+1×1+2×28=170.125(cm)，
而170.125﹣170＝0.125（cm），
答：身高合格男生的平均身高比標(biāo)準(zhǔn)身高高0.125cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，掌握有理數(shù)四則運(yùn)算的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
5．國(guó)慶期間，觀看電影《長(zhǎng)津湖》成為了人們的假期活動(dòng)首選節(jié)目．某區(qū)9月30日售票量為1.2萬(wàn)張，該區(qū)10月1日到10月7日售票量的變化如表（正號(hào)表示售票量比前一天多，負(fù)號(hào)表示售票量比前一天少）：
（1）10月2日的售票量為多少萬(wàn)張？
（2）若平均每張票價(jià)為50元，則10月1日到10月7日該區(qū)銷售《長(zhǎng)津湖》共多少萬(wàn)元？
【分析】（1）根據(jù)題意列得算式，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)表格得出1日到7日每天的人數(shù)，相加后再乘以50即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）10月2日的售票量為：1.2+0.6+0.1＝1.9（萬(wàn)張）；
答：10月2日的售票量為1.9萬(wàn)張；
（2）10月1日的售票量為：1.2+0.6＝1.8（萬(wàn)張）；
10月2日的售票量為：1.8+0.1＝1.9（萬(wàn)張）；
10月3日的售票量為：1.9﹣0.3＝1.6（萬(wàn)張）；
10月4日的售票量為：1.6﹣0.2＝1.4（萬(wàn)張）；
10月5日的售票量為：1.4+0.4＝1.8（萬(wàn)張）；
10月6日的售票量為：1.8﹣0.2＝1.6（萬(wàn)張）；
10月7日的售票量為：1.6+0.1＝1.7（萬(wàn)張）；
10月1日到7日的售票量為：1.8+1.9+1.6+1.4+1.8+1.6+1.7＝11.8（萬(wàn)張），
50×11.8＝590（萬(wàn)元），
故該區(qū)銷售《長(zhǎng)津湖》共590萬(wàn)元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量是解答本題的關(guān)鍵．
題型八 有理數(shù)概念的辨析
1．（2023秋?梁山縣期末）在3.14，227，0，π3，0.1010010001中有理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念進(jìn)行求解即可．
【解答】解：在3.14，227，0，π3，0.1010010001中有理數(shù)的有3.14，227，0，0.1010010001，共4個(gè)；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)：有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；掌握有理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?大新縣校級(jí)模擬）下列各數(shù)中，是負(fù)整數(shù)的數(shù)是（ ）
A．2B．2.5C．﹣2D．﹣2.5
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)的定義即可判定選擇項(xiàng)．
【解答】解：A、2是正整數(shù)，故選項(xiàng)不合題意；
B、2.5為正分?jǐn)?shù)，故選項(xiàng)不合題意；
C、﹣2為負(fù)整數(shù)，故選項(xiàng)正確；
D、﹣2.5為負(fù)分?jǐn)?shù)，故選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)概念及其分類方法，然后就可以熟練進(jìn)行判斷，難度適中．
3．（2023秋?長(zhǎng)沙期末）在﹣3.5，227，0.3070809，0，π3中，有理數(shù)有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：在﹣3.5，227，0.3070809，0，π3中，
有理數(shù)有﹣3.5，227，0.3070809，0，共4個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的定義，理解有理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春?閔行區(qū)期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，?35，314%．這八個(gè)有理數(shù)中非負(fù)數(shù)有（ ）
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類得到在所給數(shù)中非負(fù)數(shù)為513，0，7.6，2，314%．
【解答】解：在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，?35，314%．這八個(gè)數(shù)中，
非負(fù)數(shù)為513，0，7.6，2，314%，有5個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．
5．（2023秋?博羅縣期末）有理數(shù)0，6，﹣5，?227，9中整數(shù)有 ；負(fù)數(shù)有 ．
【分析】根據(jù)整數(shù)和負(fù)數(shù)的定義即可求得答案．
【解答】解：整數(shù)有0，6，﹣5，9；
負(fù)數(shù)有﹣5，?227；
故答案為：0，6，﹣5，9；﹣5，?227．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整數(shù)和負(fù)數(shù)的識(shí)別，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋?射洪市期末）在+8，0，?37，+45，2023，﹣5，0.26，11.3中，非負(fù)整數(shù)有 個(gè)．
【分析】非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和0，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：+8，0，2023是非負(fù)整數(shù)，共3個(gè)，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的分類及定義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
7．（2023秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期中）在﹣3.6，﹣10%，227，π，0，2這六個(gè)數(shù)中，非負(fù)有理數(shù)有 個(gè)．
【分析】利用非有理數(shù)即正有理數(shù)和0，一一判斷即可．
【解答】解：非負(fù)有理數(shù)有：227、0、2共計(jì)3個(gè)．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)有理數(shù)的定義，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．
8．（2023秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）在﹣8，2020，327，0.1，﹣5，+13，14，﹣6.9中，分?jǐn)?shù)有 個(gè)．
【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由題意可得，
分?jǐn)?shù)有：327，0.1，14，﹣6.9．
共計(jì)4個(gè)．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)的識(shí)別，掌握分?jǐn)?shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
題型九 有理數(shù)的分類
1．（2024?民勤縣三模）下列四個(gè)有理數(shù)中，既是分?jǐn)?shù)又是正數(shù)的是（ ）
A．3B．﹣312C．0D．2.4
【分析】根據(jù)大于零的分?jǐn)?shù)是正分?jǐn)?shù)，可得答案．
【解答】解：A、是整數(shù)，故A錯(cuò)誤；
B、是負(fù)分?jǐn)?shù)，故B錯(cuò)誤；
C、既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D、是正分?jǐn)?shù)，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，大于零的分?jǐn)?shù)是正分?jǐn)?shù)，注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是整數(shù)．
2．（2023秋?隆回縣期末）在?13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5這些數(shù)中，正有理數(shù)有m個(gè)，非負(fù)整數(shù)有n個(gè)，分?jǐn)?shù)有k個(gè)，則m﹣n+k的值為（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】先求出m，n，k的值，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵227，0.12，14是正有理數(shù)，共3個(gè)；
0，14是非負(fù)整數(shù)，共2個(gè)；
?13，227，0.12，﹣1.5是分?jǐn)?shù)，共4個(gè)，
∴m＝3，n＝2，k＝4，
∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)，熟知有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．
3．（2023秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）把下列各數(shù)填到相應(yīng)的集合中．
1，13，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，613，0.3，5%，﹣26，1.010010001…．
正數(shù)集合：{ …}；
負(fù)數(shù)集合：{ …}；
整數(shù)集合：{ …}；；
分?jǐn)?shù)集合：{ …}；．
【分析】利用正數(shù)，負(fù)數(shù)，整數(shù)以及分?jǐn)?shù)定義判斷即可．
【解答】解：正數(shù)集合：{1，13，0.5，+7，613，0.3，5%，1.010010001…}；
負(fù)數(shù)集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26}；
整數(shù)集合：{1，+7，0，﹣9，﹣26}；
分?jǐn)?shù)集合：{13，0.5，﹣6.4，613，0.3，5%}．
故答案為：1，13，0.5，+7，613，0.3，5%，1.010010001…；
﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26；
1，+7，0，﹣9，﹣26；
13，0.5，﹣6.4，613，0.3，5%．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023秋?涼州區(qū)期末）把下面?zhèn)€各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)
﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，?45，﹣15%，213．
負(fù)數(shù)集合：{ …}，
非負(fù)數(shù)集合：{ …}，
整數(shù)集合：{ …}，
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{ …}．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類直接得答案．
【解答】解：下列數(shù)中：﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，?45，﹣15%，213．
∵213=7，
∴負(fù)數(shù)有：﹣13.5，﹣10，?45，﹣15%；
非負(fù)數(shù)有：5，0，3.14，+27，213；
整數(shù)有：5，0，﹣10，+27，213；
負(fù)分?jǐn)?shù)有：﹣13.5，?45，﹣15%．
故答案為：﹣13.5，﹣10，?45，﹣15%；5，0，3.14，+27，213；5，0，﹣10，+27，213；﹣13.5，?45，﹣15%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)、整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的概念．題目比較簡(jiǎn)單，注意細(xì)心．
5．（2023秋?天橋區(qū)校級(jí)月考）把下列各數(shù)的序號(hào)填入相應(yīng)的集合中：①﹣5.3，②+31，③?34，④0，⑤﹣7，⑥1213，⑦2005，⑧﹣1.69．
負(fù)數(shù)集合： ；
整數(shù)集合： ；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合： ；
非負(fù)整數(shù)集合： ．
【分析】直接利用負(fù)數(shù)、整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和非負(fù)整數(shù)的定義分別分析得出答案．
【解答】解：①﹣5.3，②+31，③?34，④0，⑤﹣7，⑥1213，⑦2005，⑧﹣1.69．
負(fù)數(shù)集合：（①③⑤⑧）；
整數(shù)集合：（②④⑤⑦）；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（①③⑧）；
非負(fù)整數(shù)集合：（②④⑦）．
故答案為：①③⑤⑧；②④⑤⑦；①③⑧；②④⑦．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．
6．將下面一組數(shù)填入相應(yīng)集合的圈內(nèi)：
﹣0.5，﹣7，+2.8，﹣30，﹣4，100.2，0，8，78
【分析】按照有理數(shù)的分類即可求出答案，注意（1）重合的是負(fù)整數(shù)，（2）重合的是正分?jǐn)?shù)．
【解答】解：（1）﹣0.5，（﹣7，﹣30，﹣4）0，8
（2）﹣0.5 （+2.8，100.2，78，） 8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題型．
7．（2023秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）把下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的大括號(hào)里：
①0；②3.1415926；③200；④﹣2020；⑤﹣6.1?43?；⑥+108；⑦?227；⑧111．
整數(shù)：{ ?}；
正數(shù)：{ ?}；
正分?jǐn)?shù)：{ ?}；
負(fù)有理數(shù)：{ ?}．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，即可求解．
【解答】解：整數(shù)：{①③④⑥……}；
正數(shù)：{②③⑥⑧……}
正分?jǐn)?shù)：{②⑧……}
負(fù)有理數(shù)：{④⑤⑦……}
故答案為：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋?平陰縣期末）請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里．
1，0.0708，﹣700，﹣3.88，0，3.14，?723，0.2?3?．
正有理數(shù)集合：{ …}，
負(fù)整數(shù)集合：{ …}，
正分?jǐn)?shù)集合：{ …}，
非負(fù)整數(shù)集合：{ …}．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類填寫即可．
【解答】解：正有理數(shù)集合：{1，0.0708，3.14，0.2?3?，…}，
負(fù)整數(shù)集合：{﹣700，…}，
正分?jǐn)?shù)集合：{0.0708，3.14，0.2?3?，…}，
非負(fù)整數(shù)集合：{1，0，…}．
故答案為：1，0.0708，3.14，0.2?3?；﹣700；0.0708，3.14，0.2?3?；1，0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的知識(shí)，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．
解題技巧提煉
在以前學(xué)過(guò)的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．
解題技巧提煉
0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，0不僅表示“沒(méi)有”，還可以表示某種量的基準(zhǔn)．
解題技巧提煉
具有相反意義的量必須滿足兩個(gè)條件，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．
解題技巧提煉
用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．通常我們把其中一種意義的量規(guī)定為正，用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示．
解題技巧提煉
用正負(fù)數(shù)表示誤差范圍，首先根據(jù)a±b的實(shí)際意義，確定了最大值和最小值的結(jié)果，從而求出物體允許的誤差范圍；再將數(shù)據(jù)與這個(gè)誤差范圍比較，若在這個(gè)范圍內(nèi)，則為合格，反之為不合格.
解題技巧提煉
1、探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
2、探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法，通常要從符號(hào)和數(shù)（不考慮符號(hào)）兩個(gè)方面進(jìn)行觀察，若是分?jǐn)?shù)還要分別觀察分子、分母，特別要注意觀察符號(hào)的變化規(guī)律，才能得到這種數(shù)的一般特征．
解題技巧提煉
解決圖表信息題的關(guān)鍵是根據(jù)圖表得出正確信息，再結(jié)合題意計(jì)算，解決此類題要注意用正負(fù)數(shù)正確表示變化量．
﹣2
+0.3
0
0
﹣1.2
﹣1
+0.5
﹣0.4
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位變化/米
0.12
﹣0.02
﹣0.13
﹣0.20
﹣0.08
﹣0.02
0.32
城市
倫敦
悉尼
紐約
時(shí)差
﹣8
+2
﹣13
與標(biāo)準(zhǔn)身高的差（cm）
﹣3
﹣2
0
1
2
3
人數(shù)（人）
3
2
3
1
2
1
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
售票量的變化（單位：萬(wàn)張）
+0.6
+0.1
﹣0.3
﹣0.2
+0.4
﹣0.2
+0.1
解題技巧提煉
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù)，所以也是有理數(shù)；
解題技巧提煉
有理數(shù)有兩種分類方法，一是按定義來(lái)分，分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；一是按性質(zhì)符號(hào)來(lái)分，分為正有理數(shù)、0和負(fù)無(wú)理數(shù).
注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．

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