1.會(huì)判定一條直線是否是圓的切線并會(huì)過圓上一點(diǎn)作圓的切線.2.理解并掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.
【提問一】判定直線和圓的位置關(guān)系的方法有幾種？【提問二】直線和圓有哪些位置關(guān)系？如何判斷直線與圓相切？
判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有兩種：1）根據(jù)定義，由直線與圓之間公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷；2) 根據(jù)數(shù)量關(guān)系，由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來判斷.
直線與圓的位置關(guān)系有三種：相切、相交、相離.
判定直線與圓相切的方法有兩種：1）根據(jù)定義，當(dāng)直線與圓之間只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切；2) 根據(jù)數(shù)量關(guān)系，當(dāng)圓心到直線的距離d與半徑r相等時(shí)，直線與圓相切.
【問題一】已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)A作圓O的切線？【問題二】填空(1)直線l與⊙O有______個(gè)交點(diǎn)(2)圓心O到直線l的距離d與r的關(guān)系是______(3)直線l和⊙O半徑r的位置關(guān)系是______(4)由此你發(fā)現(xiàn)了什么？
1）直線l經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A.2) 直線l垂直于半徑OA.則直線l與⊙O相切.
這樣我們就得到了從位置上來判斷直線是圓的切線的方法-切線的判定定理.
∵OA⊥l于點(diǎn)A,OA是半徑∴直線l是⊙O的切線．
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
【提問】要使直線l是⊙O的切線需要滿足哪些條件？
①經(jīng)過半徑的外端；②垂直于這條半徑．
兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線.
判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：
1.定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線;
2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；
3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
例1 判斷下列各直線是不是圓的切線？若不是，請(qǐng)說明原因？
(1)不是，因?yàn)闆]有垂直.
(2)(3）不是，因?yàn)闆]有經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)A.
1. 判斷下列命題是否正確⑴ 經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線. （ ）⑵ 垂直于半徑的直線是圓的切線. （ ）⑶ 過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線. （ ）⑷ 和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線. （ ）
證明： 過點(diǎn)O作OE⊥AC，垂足為E,連接OD,OA.∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D,∴ _______________.又∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn),∴______________________（ ）∴__________（ ）即OE是⊙O的半徑,∴AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端E，OE⊥AC,∴AC是⊙O的切線( )．
AO是∠BAC的平分線
2. 如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D. 求證：AC是⊙O的切線.
3. 已知:直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA＝CB． 求證:直線AB是⊙O的切線．
證明：連接OC,∵OA=OB，CA＝CB,∴OC⊥AB.∵直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C,∴OC是半徑∴直線AB是⊙O的切線.
【利用切線判定定理解題思路一】已知公共點(diǎn)，連半徑，證垂直.
4.已知:OA=OB=5，AB=8，⊙O的直徑為6． 求證:直線AB是⊙O的切線．
證明：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C,∵OA=OB=5，AB=8, ∴AC=BC=4.在Rt△AOC中,根據(jù)勾股定理可得：OC=3∵⊙O的直徑為6 ∴OC是⊙O的半徑∴直線AB是⊙O的切線.
【利用切線判定定理解題思路二】未知公共點(diǎn)，作垂線，證半徑.
5. 如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．若∠COB＝2∠PCB，求證：PC是⊙O的切線．
證明：連接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．
6.1）如圖1，AB為直徑，要使EF為☉O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩 種情況）：① _________ ；② _____________ .2）如圖2，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是☉O的切線.
證明：連接AO并延長(zhǎng)交☉O于D,連接CD,則AD為☉O的直徑.∴ ∠D+∠DAC=90 °,∵ ∠D與∠B都是弧AC所對(duì)的圓周角,∴ ∠D=∠B,又∵ ∠CAE=∠B, ∴ ∠D=∠CAE,∴ ∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切線.
【問題一】如圖，如果直線l是⊙O 的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，那么OA與l垂直嗎？
證明： (1)假設(shè)OA與直線l不垂直;過點(diǎn)O作OP⊥直線l于點(diǎn)P(2)因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離垂線段最短，所以O(shè)P?OA,即圓心O到直線l的距離小于⊙O的半徑，因此l與⊙O相交，這與已知條件“直線l是⊙O的切線”相矛盾；(3)所以假設(shè)不成立,OA⊥直線l．
【問題二】你發(fā)現(xiàn)了什么？
∵直線l是⊙O的切線，點(diǎn)A的切點(diǎn)∴OA⊥直線l
圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．
例2 如圖, ⊙O切PB于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則⊙O的半徑多少？
解：連接OB，則∠OBP=90°.
設(shè)⊙O的半徑為r,則OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，由勾股定理得
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
有切線時(shí)常用輔助線添加方法： 見切線，連切點(diǎn)，得垂直.
1.如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接OA，OB，若∠B=35°，則∠AOB的度數(shù)為（　　）A．65° B．55°C．45° D．35°2. 如圖，AB是⊙O的弦，AO的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)B的⊙O的切線交于點(diǎn)C，如果∠ABO＝20°，則∠C的度數(shù)是（ ）A．70° B．50°C．45° D．20°
3．如圖，PA、PB是⊙O切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上,且∠ACB＝55°，則∠APB等于(???)A．55° B．70°C．110° D．125°
【詳解】解：連接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．故選B．
4．如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P，已知∠OAB=22°，則∠OCB=__________．
【詳解】連接OB，∵BC是⊙O的切線，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，故答案為44°
1.切線的判定方法有幾種？分別是什么？2.切線的判定定理與性質(zhì)定理是什么？它們有怎樣的聯(lián)系？3.簡(jiǎn)述在應(yīng)用切線的判定定理和性質(zhì)定理時(shí)，常見輔助線的添加方法？
P101：習(xí)題24.2 第4題，第5題，第12題

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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