1 了解三角形內(nèi)切圓、內(nèi)心的概念，會(huì)作三角形內(nèi)切圓；掌握切線長定理，并會(huì)用其解決有關(guān)問題．2 經(jīng)歷探索切線長定理的過程，體會(huì)應(yīng)用內(nèi)切圓相關(guān)知識(shí)解決問題，滲透轉(zhuǎn)化思想和方程思想．
【問題一】在同一個(gè)平面內(nèi)，有一點(diǎn)P和⊙O，則點(diǎn)P和⊙O有幾種位置關(guān)系？
【問題二】過點(diǎn)P能否作⊙O的切線？如果能，說明作法？如果不能，說明理由？
過點(diǎn)P的直線都與圓相交，所以不存在過P點(diǎn)的直線與⊙O相切.
作法：①連接OP；②過P點(diǎn)作已知線段OP的垂線l，直線l即為⊙O的切線.
作法：連接OP①作線段OP的中點(diǎn)M；②作以M為圓心，OM長為半徑的⊙M ,與⊙O交于A,B兩點(diǎn)；③作直線PA,PB，則直線PA,PB即為⊙O的兩條切線.
【問題三】你發(fā)現(xiàn)了什么？
過圓外一點(diǎn)可以作圓的______條切線；過圓上一點(diǎn)可以作圓的______條切線；過圓內(nèi)一點(diǎn)可以作圓的______條切線 .
經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長,叫做這點(diǎn)到圓的切線長．
1）切線是直線，無法度量.
2）切線長是圓外一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的距離， 可以度量．
【提問】簡述切線與切線長的區(qū)別？
【問題四】 若PA，PB為⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，通過幾何畫板演示，你發(fā)現(xiàn)了什么？
PA = PB，∠APO=∠BPO
和同桌一起交流，你能用學(xué)過的知識(shí)證明這兩個(gè)結(jié)論嗎？
【問題五】已知：線段PA，PB切?O于點(diǎn)A，B，連接OP，AO，BO 證明：1）PA=PB 2）∠APO =∠BPO
證明：∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA⊥OA,PB⊥OB即：∠OAP=∠OBP=90°又∵ AO=BO，OP=OP∴ Rt△APO≌Rt△BPO（HL）∴PA=PB，∠APO=∠BPO
從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
幾何語言:∵PA，PB切?O于點(diǎn)A，B∴PA=PB，∠APO=∠BPO
例1 如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，連結(jié)OP1）圖中有哪些相等關(guān)系？2）若連結(jié)AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等嗎？3）OP和AB有怎樣的位置關(guān)系？4）連結(jié)OA、OB，則圖中和∠OAC相等的角有哪些？5）圖中和∠ABP相等的角有哪些？
PA=PB，AO=BO
∠APO，∠BPO，∠OBA
∠BAP，∠AOP，∠BOP
1 如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，若∠A=70°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）A．130° B．120° C．110° D．100°2 如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)．直線EF切⊙O于C點(diǎn)，分別交PA、PB于E、F，且PA＝10．則△PEF的周長為（　?。〢．10B．15C．20D．25
【詳解】解：∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，⊙O的切線EF分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，切點(diǎn)C在弧AB上，∴AE＝CE，F(xiàn)B＝CF，PA＝PB＝4，∴△PEF的周長＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．故選：C．
4．如圖，PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA，PB于點(diǎn)C，D．若⊙O的半徑為2，∠P＝60°，則△PCD的周長等于 _____．
【提問一】一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，使截出的圓與三角形各邊都相切？1）按要求截出圓的圓心應(yīng)滿足什么條件嗎？2）如何畫出這個(gè)圓呢？
圓心到三角形三條邊的距離都等于半徑.
作法：1)作∠B和∠C的平分線BM和CN交于點(diǎn)O，2)過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，3)以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓.則⊙O為所求的圓.
三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心（即三角形三條角平分線的交點(diǎn)）.
三角形三邊中垂線的交點(diǎn)
三角形三條角平分線的交點(diǎn)
1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．
1)到三邊的距離相等；2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．
【思考】直角三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊有什么關(guān)系？已知Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)E、F、D,∠B=90°,若⊙O的半徑為r求證：⊙O的半徑r與AB,BC,AC的關(guān)系？
分別連接AO,BO,CO,DO,OE,OF,顯然DO⊥AB, OE⊥BC, OF⊥AC設(shè)AB=a，BC=b，AC=c
【提問二】你發(fā)現(xiàn)了什么？
例2 如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的長.
解：設(shè)AF=x，則AE=x，∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由 BD+CD=BC，可得(9-x) + (13-x)=14 解得，x=4則AE=4,BD=5,CE=9
1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，則△ABC內(nèi)切圓半徑為__________．2.如圖，I為△ABC的內(nèi)切圓，AB=9，BC=8，AC=10，點(diǎn)D．E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且DE為I的切線，則△ADE的周長為_______.
【詳解】設(shè)DE、BD、BC、CE與I的切點(diǎn)分別為F、 G、H、M，由切線長定理知：BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG；則AG+AM=AB+AC?BC=11；所以△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE =AG+AM=11.
3.如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度數(shù)．
1．（2022·山東淄博中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（????）A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2019·云南中考真題）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是(????)A．4 B．6.25C．7.5 D．9
1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？2.簡述圓的切線和切線長的區(qū)別？3.什么是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心？
P101：習(xí)題24.2 第6題，第14題

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24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系

版本： 人教版

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