?第08課 一元二次方程章末復(fù)習(xí)



課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）梳理本章的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，回顧與復(fù)習(xí)本章知識.
（2）能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ焖?、?zhǔn)確地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并能利用它們解決有關(guān)問題.
（3）列一元二次方程解決實(shí)際問題.
（4）進(jìn)一步加深對方程思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想（即降次）的理解與運(yùn)用.


知識點(diǎn)01 一元二次方程相關(guān)概念
a
一元二次方程的概念
①含有1個(gè)未知數(shù)
②最高次為2次
③整式方程
b
一元二次方程一般形式

c
一元二次方程如何驗(yàn)根
將x的值代入方程
d
一元二次方程的解法
①直接開方法
②配方法
③公式法
④因式分解法
e
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根x1,x2，求根公式
①
②
f
根與系數(shù)的關(guān)系是：
①
②
g
判別一個(gè)一元二次方程是否有實(shí)根
當(dāng)時(shí)，
方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時(shí)，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時(shí)，
方程沒有實(shí)數(shù)根.
h
列一元二次方程可以解決許多實(shí)際問題，解題的一般步
審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答
知識點(diǎn)02 一元二次方程的相關(guān)應(yīng)用
【1】握手（送禮）問題
解題技巧：有2種類型
①握手問題，設(shè)有x個(gè)人，兩人之間握一次手，則一共的握次數(shù)為；
①送禮問題，設(shè)有x個(gè)人，任意兩人之間互相送一個(gè)禮物，則一共的送禮次數(shù)為；
【2】傳染問題
解題技巧：有2種類型
（1）個(gè)體傳播一輪后，依舊傳染。設(shè)a為傳播前基礎(chǔ)人數(shù)，b為傳播后的人數(shù)，n為傳播的輪次，p為傳播過程中，平均一人傳染的人數(shù)。
傳播輪次
傳播前人數(shù)
傳染人數(shù)
傳播后總?cè)藬?shù)
1
a
ap
a+ap=a（1+p）
2
a（1+p）
a（1+p）p
a（1+p）+a（1+p）p=a（1+p）2
3
a（1+p）2
a（1+p）2p
a（1+p）2+a（1+p）2x=a（1+p）3
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：傳播人數(shù)：b=a（1+p）n，與增長率問題公式一致。
【3】平均增長率問題
解題技巧：設(shè)a為增長（下降）基礎(chǔ)數(shù)量，b為增長（下降）后的數(shù)量，n為增長（下降）的次數(shù)，p為增長（下降）率。
增長（下降）次數(shù)
增長（下降）前數(shù)量
增長（下降）量
增長（下降）后數(shù)量
1
a
ap
a±ap=a（1±p）
2
a（1±p）
a（1±p）p
a（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）2
3
a（1±p）2
a（1±p）2p
a（1+p）2±a（1±p）2x= a（1±p）3
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①增長時(shí)：b=a（1+p）n；
②減少時(shí)：b=a（1?p）n
注：①本章考察一元二次方程，通常增長（下降）次數(shù)n為2；
②通常設(shè)增長（下降）率為x；
③例求解得x=0.1，則表示增長（下降）10%。
【4】圖形問題
類型
圖形
面積表示
1、內(nèi)挖類型

如圖所示的矩形ABCD長為a,寬為b,空白部分寬均為x,則陰影的面積可表示為 .
2、外擴(kuò)類型

如圖所示的陰影部分矩形的長為a,寬為b,空白部分寬均為x,則矩形ABCD的面積可表示為 .
3、開路問題

如圖所示矩形的長為a,寬為b,在矩形中挖四條等寬的小路，路寬均為x,則剩余部分（綠色陰影）面積可表示為 .
4、圍欄問題

①如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個(gè)菜園ABCD，籬笆總長為a，設(shè)垂直于墻面的邊CD長為x，則矩形BC邊的長為 ，矩形ABCD的面積為 ；

②如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個(gè)菜園ABCD，中間還有一道籬笆EF，籬笆總長為a，設(shè)垂直于墻面的邊CD長為x，則矩形BC邊的長為 ，矩形ABCD的面積為 ；

③如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個(gè)菜園ABCD，并開一個(gè)寬度為b的門，籬笆總長為a，設(shè)垂直于墻面的邊CD長為x，則矩形BC邊的長為 ，矩形ABCD的面積為 ；


考法01 一元二次方程相關(guān)概念與解法
1．用配方法解下列方程，其中應(yīng)在方程左右兩邊同時(shí)加上4的是（???????）
A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5
【答案】C
【解析】
解：A、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是-2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)不符合題意；
B、將該方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2-2x=，此方程的一次項(xiàng)系數(shù)是-2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)不符合題意；
C、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是4，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方4；故本選項(xiàng)符合題意；
D、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
2．若是方程的一個(gè)根，則a的值為（???????）
A．-1 B．0 C．11 D．2
【答案】B
【解析】
解：將代入方程中，可得

即
故選：B．
3．已知方程有一個(gè)根是（），則下列代數(shù)式的值恒為1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：設(shè)該方程的另外一個(gè)解為，
，
，
將代入可得：，
，
故選：.
4．已知x為實(shí)數(shù)，且滿足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，則x2+3x的值為（　?。?br /> A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能確定
【答案】C
【解析】
設(shè)x2﹣3x＝y(tǒng)，則原方程可化為y2+2y-3＝0

解得：y1＝﹣3，y2＝1
當(dāng)x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0時(shí)

方程無解
則x2+3x的值為1
故選C
5．方程化成一般形式為_____________，二次項(xiàng)系數(shù)是_____________，一次項(xiàng)系數(shù)是_____________，常數(shù)項(xiàng)是_____________．
【答案】???? ???? 1???? ????
【解析】
解：
方程整理得：即為
∴二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為-5，常數(shù)項(xiàng)為-4，
故答案為： ①；② 1；③ -5；④-4.
6．解方程：
(1)x2﹣4x﹣5＝0；
(2)3x2﹣1＝2x+2
【答案】(1)x1＝5，x2＝﹣1(2)
【解析】
(1)解：x2﹣4x﹣5＝0
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
(2)解：3x2﹣2x﹣3＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，
Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，
∴，
∴．
7．解方程
(1)x2﹣4x＝0；
(2)4x2﹣25＝0；
(3)2x(x﹣3)+x＝3．
【答案】(1)x1＝0，x2＝4；(2)x1＝﹣2.5，x2＝2.5；(3)x1＝3，x2＝
【解析】
(1)解：x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0；
x＝0或x﹣4＝0；
所以x1＝0，x2＝4；
(2)解：4x2﹣25＝0
（2x+5）（2x﹣5）＝0，
2x+5＝0或2x﹣5＝0，
所以x1＝-2.5，x2＝2.5；
(3)解：2x(x﹣3)+x＝3
將方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0；
（x﹣3）（2x+1）＝0；
x﹣3＝0或2x+1＝0；
所以x1＝3，x2．
8．解下列方程：
（1）；??????????（2）；??????????（3）；
（4）；??????????（5）；??????????（6）；
（7）；??????????（8）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），
【解析】
解：（1）196x2－1 ＝ 0，
移項(xiàng)，得196x2＝ 1，
直接開平方，得14x＝，
x＝，
∴原方程的解為，．
（2），
原方程化為，
，
∴或，
∴，．
（3），
∵，，，
∴>0，
∴，
，．
（4），
原方程化為，
∵，，，
∴>0，
∴ ，
∴，．
（5），原方程化為，
因式分解，得，
∴或，
∴，．
（6），
原方程化為，
∴或，
∴，．
（7）原方程化為，
∵，，，
∴>0，
∴，
∴，．
（8），
原方程化為，
∴或，
∴，．
9．求下列方程兩個(gè)根的和與積：
（1）；??????????（2）；
（3）；??????????（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），
【解析】
解：（1）設(shè)方程的兩根為，，則， ．
（2）設(shè)方程的兩根為，，則，．
（3）原方程化為，設(shè)方程的兩根為，，則，．???
（4）原方程化為，設(shè)方程的兩根為，，則，．
10．解下列方程：
（1）；??????????（2）；??????????（3）；
（4）；??????????（5）；??????????（6）．
【答案】（1）x1＝0，x2＝－1；（2）x1＝0，x2＝2；（3）x1＝x2＝1；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝1，x2＝3
【解析】
解：（1）x（x＋1）＝0，
x＝0或x＋1＝0，
∴x1＝0，x2＝?1；
（2），
，
x＝0或＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（3），
，
，
∴x1＝x2＝1；
（4）（2x＋11）（2x?11）＝0，
2x＋11＝0或2x?11＝0，
∴x1＝，x2＝；
（5）（2x＋1）（3x?2）＝0，
2x＋1＝0或3x?2＝0，
∴x1＝，x2＝；
（6）（x?4＋5?2x）（x?4?5＋2x）＝0，
（1?x）（3x?9）＝0，
1?x＝0或3x?9＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
11．填空：
（1）+______=（x+________）2；
（2）+______=（x-________）2；
（3）+______=（x+________）2；
（4）+______=（x-________）2．
【答案】???? 25???? 5???? 36???? 6???? ???? ???? ????
【解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案為25；5；36；6；；；；．
12．如果m是方程x2＋2x－3＝0的實(shí)根，那么代數(shù)式m3－7m的值是 _____．
【答案】
【解析】
x2＋2x－3＝0


m是方程x2＋2x－3＝0的實(shí)根

或
故答案為：．
13．若關(guān)于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_____________ ．
【答案】k＜9，且
【解析】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴， ，
∴k＜9且．
故答案為：k＜9，且
考法02 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
14．一個(gè)等腰三角形的腰和底邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是________．
【答案】14
【解析】
解：，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
當(dāng)腰長為2時(shí)，三角形的三邊為2，2，6，不符合三角形的三角關(guān)系，舍去；
當(dāng)腰長為6時(shí)，三角形的三邊關(guān)系為6，6，2，符合三角形的三角關(guān)系，
則周長為：6+6+2=14，
故答案為：14．
15．將一些相同的“〇”按如圖所示擺放，觀察每個(gè)圖形中的“〇”的個(gè)數(shù)，若第n個(gè)圖形中“〇”的個(gè)數(shù)是78，則n的值是_____．

【答案】12
【解析】
解：第1個(gè)圖象有1個(gè)小圓，
第2個(gè)圖象有1+2＝3個(gè)小圓，
第3個(gè)圖象有1+2+3＝6個(gè)小圓，
第4個(gè)圖象有1+2+3+4＝10個(gè)小圓，
第n個(gè)圖象有1+2+3+…+n＝個(gè)小圓，
∵第n個(gè)圖形中“〇”的個(gè)數(shù)是78，
∴＝78，
解得n＝12，或n＝﹣13（不符合題意，舍去）
故答案為12．
16．有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．
【答案】24
【解析】
解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x+2），
根據(jù)題意得：3x（x+2）=10x+（x+2），
整理得：3x2-5x-2=0，
解得：x1=2，x2=（不合題意，舍去），
∴x+2=4，
∴這個(gè)兩位數(shù)為24．
17．一個(gè)矩形的長和寬相差，面積是．求這個(gè)矩形的長和寬．
【答案】這個(gè)矩形的長為4 cm，寬為l cm
【解析】
解：設(shè)矩形的寬為cm，則長為（） cm
由矩形面積公式可知，
整理得，
解得，．
因?yàn)榫匦蔚倪呴L不能是負(fù)數(shù)，所以不符合題意，舍去，
所以．
所以．
答：這個(gè)矩形的長為4 cm，寬為1cm ．
18．向陽村2010年的人均收入為12000元，2012年的人均收入為14520元，求人均收入的年平均增長率．
【答案】10%．
【解析】
解：設(shè)這兩年的平均增長率為x，
由題意得：，
解得：（不合題意舍去），．
答：這兩年的平均增長率為10%．
19．如圖，利用一面墻（墻的長度不限），用長的籬笆，怎樣圍成一個(gè)面積為的矩形場地？

【答案】用20m長的籬笆圍成一個(gè)長為10 m，寬為5 m的矩形（其中一邊長10m，另兩邊長5 m）
【解析】
解：設(shè)與墻垂直的籬笆長為m，則與墻平行的籬笆長為m，
根據(jù)題意，得，
整理得，，
解得，
．
答：用20m長的籬笆圍成一個(gè)長為10 m，寬為5 m的矩形（其中一邊長10m，另兩邊長5 m）．
20．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），計(jì)劃安排15場比賽，應(yīng)邀請多少個(gè)球隊(duì)參加比賽？
【答案】6
【解析】
設(shè)應(yīng)邀請x支球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得 解得 (舍去)，答：邀請6支球隊(duì)參加比賽.
21．一個(gè)長方體的長與寬的比為5∶2，高為，表面積為，畫出這個(gè)長方體的展開圖．
【答案】見解析
【解析】
解：設(shè)這個(gè)長方體的長為cm，則寬為cm，得，
整理，得，
解得，．
因?yàn)殚L方體的棱長不能為負(fù)數(shù)，所以不符合題意，舍去，所以，
所以這個(gè)長方體的長為（cm），寬為（cm）．
這個(gè)長方體的展開圖如圖所示（單位：cm）．

22．一個(gè)直角梯形的下底比上底長，高比上底短，面積是．畫出這個(gè)梯形．
【答案】見解析
【解析】
解；設(shè)梯形的上底長為cm，則下底長為（）cm．高為（）cm，
根據(jù)題意，得，
整理，得，
解得，．
因?yàn)樘菪蔚倪呴L不能為負(fù)數(shù)，所以不符合題意，舍去，
所以，，．
畫出這個(gè)直角梯形如圖所示．

23．如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長，寬，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？

【答案】1.8，1.4
【解析】
解：封面的長寬之比是，中央的矩形的長寬之比也應(yīng)是9∶7，設(shè)中央的矩形的長和寬分別是和，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是


．
設(shè)上、下邊襯的寬均為，左、右邊襯的寬均為，則中央的矩形的長為，寬為．由題意得：
．
整理，得．
解方程，得．
∴上、下邊襯的寬均為，左、右邊襯的寬均為．
24．一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和是，面積是．求兩條直角邊的長．
【答案】這兩條直角邊為，．
【解析】
解：設(shè)其中一條直角邊長為xcm，則另一直角邊長為（14﹣x）cm，得：
x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8．
當(dāng)x1=6時(shí)，14﹣x=8；
當(dāng)x2=8時(shí)，14﹣x=6；
答：兩條直角邊的長分別為，．
25．兩個(gè)相鄰偶數(shù)的積是168．求這兩個(gè)偶數(shù)．
【答案】－14，－12或12，14．
【解析】
解：設(shè)兩個(gè)相鄰偶數(shù)中較小的一個(gè)是x，則另一個(gè)是x＋2．根據(jù)題意，得：
x(x＋2)＝168，
∴x2＋2x－168＝0，
∴ x1＝－14，x2＝12．
當(dāng)x＝－14時(shí)，x+2＝－12；
當(dāng)x＝12時(shí)，x+2＝14．
答：這兩個(gè)偶數(shù)分別是－14，－12或12，14．
26．某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個(gè)支干長出多少小分支？
【答案】9．
【解析】
解：設(shè)每個(gè)支干長出x小分支，根據(jù)題意可得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10（不合題意舍去），
答：每個(gè)支干長出9小分支．
27．一個(gè)菱形兩條對角線長的和是，面積是．求菱形的周長．
【答案】菱形的周長是cm．
【解析】
解：設(shè)菱形的一條對角線長為xcm，則另一條對角線長為(10－x)cm，由菱形的性質(zhì)可知：
(10－x)＝12，整理，得x2－10x＋24＝0，
解得x1＝4，x2＝6．
當(dāng)x＝4時(shí)，10－x＝6；當(dāng)x＝6時(shí)，10－x＝4，
所以這個(gè)菱形的兩條對角線長分別為6cm和4cm．
由菱形的性質(zhì)和勾股定理得菱形的邊長為＝(cm)，所以菱形的周長為cm．
答：菱形的周長是cm．
28．參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽．共要比賽90場．共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？
【答案】共有10個(gè)隊(duì)參加比賽．
【解析】
設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，
根據(jù)題意得：2×x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
故共有10個(gè)隊(duì)參加比賽．
29．青山村種的水稻2010年平均每公頃產(chǎn)，2012年平均每公頃產(chǎn)．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．
【答案】水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為．
【解析】
解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則有：
7200(1＋x)2＝8450．
解得x＝或x＝（舍）．
答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為．
30．要為一幅長，寬的照片配一個(gè)鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框邊的寬度應(yīng)是多少厘米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？
【答案】鏡框邊的寬度約是1.5cm．
【解析】
解：設(shè)鏡框邊的寬度應(yīng)是xcm，根據(jù)題意，得：
(29＋2x)(22＋2x)－22×29＝×29×22，
整理，得8x2＋204x－319＝0，
解得x＝，
所以，，
因x＝

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