一、一元二次方程的基本概念
1.定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c為常數(shù)，a≠0)
3.項(xiàng)數(shù)和系數(shù)：
ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c為常數(shù)，a≠0)
一次項(xiàng)： ax2
一次項(xiàng)系數(shù)：a
二次項(xiàng)： bx
二次項(xiàng)系數(shù)：b
常數(shù)項(xiàng)：c
4.注意事項(xiàng)：
(1)含有一個(gè)未知數(shù)； (2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2；
(3)二次項(xiàng)系數(shù)不為0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法
三、一元二次方程在生活中的應(yīng)用
列方程解應(yīng)用題的一般步驟：
（1）審題：通過(guò)審題弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）設(shè)元：就是設(shè)未知數(shù),分直接設(shè)與間接設(shè),應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要恰當(dāng)選取設(shè)元法．
（3）列方程：就是建立已知量與未知量之間的等量關(guān)系．列方程這一環(huán)節(jié)最重要，決定著能否順利解決實(shí)際問(wèn)題．
（4）解方程：正確求出方程的解并注意檢驗(yàn)其合理性．
（5）作答：即寫(xiě)出答語(yǔ)，遵循問(wèn)什么答什么的原則寫(xiě)清答語(yǔ)．
【考點(diǎn)類型總結(jié)】
考點(diǎn)一：一元二次方程的定義
考點(diǎn)二：一元二次方程的根的應(yīng)用
考點(diǎn)三：一元二次方程的解法
考點(diǎn)四 ：一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用
考點(diǎn)五 ：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
考點(diǎn)六 ：一元二次方程的應(yīng)用
1.市場(chǎng)銷售問(wèn)題
2.平均變化率問(wèn)題
3.其他問(wèn)題
【例題解析】
【例題1】若關(guān)于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【答案】A
【解析】本題考查了一元二次方程的定義，即方程中必須保證有二次項(xiàng)（二次項(xiàng)系數(shù)不為0），因此它的系數(shù)m-1≠0,即m≠1,故選A。
【例題2】若關(guān)于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一個(gè)根為0,則m= .
【答案】-1
【解析】根據(jù)一元二次方程根的定義可知將x=0代入原方程一定會(huì)使方程左右兩邊相等，故只要把x=0代入就可以得到以m為未知數(shù)的方程m2-1=0，解得m=±1的值.這里應(yīng)填-1.這種題的解題方法我們稱之為“有根必代”.
注意：求出m值有兩個(gè)1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，應(yīng)引起注意.
【例題3】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3m=4x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A. B. m0,解得
,故選A.
【例題4】已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根為m，n，則m2－mn＋n2＝ ．
【答案】25
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.
故填25.
【例題5】某機(jī)械公司經(jīng)銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)銷售價(jià)為24元，平均每天能售出32件，而當(dāng)銷售價(jià)每上漲2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的銷售價(jià)為x元，則每天的銷售量為多少？
（2）如果物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種零件的銷售價(jià)不得高于每件28元，該公司想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)當(dāng)為多少元？
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】本題為銷售中的利潤(rùn)問(wèn)題，其基本本數(shù)量關(guān)系用表析分如下：設(shè)公司每天的銷售價(jià)為x元.
其等量關(guān)系是：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量.
（1）32-(x-24) ×2=80-2x;
（2）由題意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
由題意x≤28, ∴x=25,即售價(jià)應(yīng)當(dāng)為25元.
一元二次方程單元總結(jié)與達(dá)標(biāo)過(guò)關(guān)檢測(cè)
本套試卷滿分100分，答題時(shí)間60分鐘
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1.下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【解析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．
一元二次方程只有④，共1個(gè)，
2.將一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【答案】C
【解析】首先把﹣4x移到等號(hào)左邊，把右邊化為0，然后再確定答案．
∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
則3x2﹣4x+2＝0
則一次項(xiàng)是﹣4x，常數(shù)項(xiàng)是2.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
3.若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣a3+2a+2020的值為（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
【答案】C
【解析】先把a(bǔ)代入對(duì)已知進(jìn)行變形，再利用整體代入法求解．
∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
4.將一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【答案】C
【解析】首先把﹣4x移到等號(hào)左邊，把右邊化為0，然后再確定答案．
∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
則3x2﹣4x+2＝0
則一次項(xiàng)是﹣4x，常數(shù)項(xiàng)是2.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
5．一元二次方程x2＝2x的根為（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
【答案】C
【分析】移項(xiàng)后利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
則x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
6．將一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b為常數(shù)）的形式，則a，b的值分別是（ ）
A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69
【答案】A
【解析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
則x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
7．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1
【答案】D
【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
【答案】C
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＝0，即可得出關(guān)于k的方程，解之即可得出k值．
【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
9．已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的兩個(gè)根，則k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【答案】B
【分析】當(dāng)m＝4或n＝4時(shí)，即x＝4，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)m＝n時(shí)，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到結(jié)論．
【解析】∵m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，
∴當(dāng)m＝4或n＝4時(shí)，即x＝4，
∴方程為42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
當(dāng)m＝n時(shí)，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
綜上所述，k的值等于6或7.
10．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根，則x12+x22的值為（ ）
A．5B．10C．11D．13
【答案】D
【解析】根據(jù)題意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
二、填空題（每空4分，共20分）
11．方程（x+1）2＝9的根是 ．
【答案】x1＝2，x2＝﹣4．
【解析】（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
12．如果關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是 ．
【答案】4
【解析】依題意，
∵方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
13．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，第三邊長(zhǎng)是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為 ．
【答案】13
【解析】∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，第三邊長(zhǎng)是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三邊長(zhǎng)是6，
∴該三角形的周長(zhǎng)為：2+5+6＝13．
14．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一個(gè)根為x＝1，則這個(gè)一元二次方程的另一個(gè)根為 ．
【答案】-2
【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，
∴x1?x22．
∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一個(gè)根為x＝1，
∴另一個(gè)根為﹣2÷1＝﹣2．
15.已知實(shí)數(shù)x滿足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，則代數(shù)式x2﹣x+2020的值為 ．
【答案】2023．
【解析】令x2﹣x＝t，代入原方程后根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．
令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x）2，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023
三、解答題（40分）
16.（8分）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接開(kāi)平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】（1）方程變形后，利用平方根的定義開(kāi)方即可求出解；
（2）方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方即可求出解；
（3）方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，當(dāng)根的判別式大于等于0時(shí)，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左邊提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．
解：（1）方程變形得：（x﹣1）2＝9，
開(kāi)方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程變形得：x2x，
配方得：x2x（x）2，
開(kāi)方得：x±，
則x1，x2；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
這里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x，
則x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
17.（10分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1?x2＝ ， ， ；
（2）求x1﹣x2的值．
【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2和x1?x2的值，利用通分得，利用因式分解得到x1x2（x1+x2），然后利用整體代入的方法計(jì)算；
（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【答案】解：（1）x1+x2＝4，x1?x2＝2，
2；
x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案為4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±±±2．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2．
18．（12分）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元，8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率．
【答案】見(jiàn)解析。
【分析】（1）根據(jù)該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額＝前六天的總營(yíng)業(yè)額+第七天的營(yíng)業(yè)額，即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該商店去年7月份及9月份的營(yíng)業(yè)額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解析】（1）450+450×12%＝504（萬(wàn)元）．
答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額為504萬(wàn)元．
（2）設(shè)該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，
依題意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為20%．
19.（10）如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計(jì)劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，試求該矩形荒地的長(zhǎng)．
【分析】設(shè)B地塊的邊長(zhǎng)為xm，根據(jù)“C地塊的面積比B地塊的面積少40m2”列出方程求解即可．
【答案】解：設(shè)B地塊的邊長(zhǎng)為xm，
根據(jù)題意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符題意，舍去），
∴10+16＝26m，
答：矩形荒地的長(zhǎng)為26m．
【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到題目中的等量關(guān)系，難度不大．

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