一、單選題
1．如圖，OC是的平分線，OD是的平分線，那么下列各式中正確的是（ ）．
A．B．
C．D．
2．己知：；②；③；④，其中能夠得到射線OM是的平分線的有（ ）．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
3．如圖，，OC平分且，則的度數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
4．如圖，∠AOB是直角，∠AOC＝28°36′24″，OD平分∠BOC，則∠COD的度數(shù)為( )
A．36°32′38″B．30°81′88″C．30°41′48″D．31°12′18″
5．已知，過(guò)點(diǎn)作射線、，使、是的平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．B．或C．或D．
6．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，?AOC?30?，OE⊥AB，OF是?AOD的角平分線．若射線OE，OF分C別以18?/s，3?/s的速度同時(shí)繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE，OF重合時(shí)，至少需要的時(shí)間是（ ）
A．8sB．11sC．sD．13s
7．如圖，直線，相交于點(diǎn)，，，平分，給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②為的平分線；③若時(shí)，；④．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
8．如圖，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，則∠EOF的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為端點(diǎn)在直線上方作射線和射線，若射線平分，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
10．下列四個(gè)說(shuō)法：①射線AB和射線BA是同一條射線；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③和38.15°相等；④畫直線AB=3cm；⑤已知三條射線OA，OB，OC，若，則射線OC是∠AOB的平分線．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
11．已知：∠AOB＝25°，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，OM平分∠COA，，且使關(guān)于有無(wú)數(shù)多個(gè)解，則∠BOM＝__________．
12．如圖，平分，，與的差為80°，則__________．
13．（1）已知點(diǎn)A、B、C三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，若線段，，則線段_______．
（2）己知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，M、N分別為線段AB、BC的中點(diǎn)，且，，則MN的長(zhǎng)為_________．
（3）己知，，則_________．
（4）已知，，OD、OE分別平分、，則_________．
14．已知，如圖，A、O、B在同一直線上，OF平分，，．
（1）射線OD是_______的角平分線；（2）的補(bǔ)角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的補(bǔ)角是_______；（6）_______是的補(bǔ)角．
15．如圖，，OD、OE分別平分和，，則_______．
16．如圖，若OC、OD三等分，則______________，_______，_______．
17．如圖，DC平分，EC平分，已知，，則________．
18．已知，線段AB垂直于線段CD，垂足為O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，則∠EOF＝____°．
19．已知，射線在同一平面內(nèi)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線分別是和的角平分線．則的度數(shù)為______________．
20．如圖，直線AB⊥OC于點(diǎn)O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現(xiàn)將三角形EOF以每秒6°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三角形E′OF′，同時(shí)直線PQ也以每秒9°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至P′Q′，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒（0≤m≤20），當(dāng)直線P′Q′平分∠E′OF′時(shí)，則∠COP′＝___．
三、解答題
21．如圖1，在內(nèi)部作射線，，在左側(cè)，且．
（1）圖1中，若平分平分，則______；
（2）如圖2，平分，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）設(shè)，過(guò)點(diǎn)O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應(yīng)的圖形并求的度數(shù)（用含m的式子表示）．
22．已知∠AOD＝40°，射線OC從OD出發(fā)，繞點(diǎn)O以20°/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（t≤7）．射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD．
（1）如圖①，如果t＝4秒，求∠EOA的度數(shù)；
（2）如圖①，若射線OC旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，求∠EOF的度數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）射線OC從OD出發(fā)時(shí)，射線OB也同時(shí)從OA出發(fā)，繞點(diǎn)O以10°/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC、OB在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，請(qǐng)你借助圖②和備用圖進(jìn)行分析后，直接寫出的值．
23．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①當(dāng)α=0°時(shí)，如圖1，則∠POQ= ；
②當(dāng)α=80°時(shí)，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；
③當(dāng)α=130°時(shí)，如圖3，請(qǐng)先補(bǔ)全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ= ，（請(qǐng)用含m、n的代數(shù)式表示）．
24．已知：是內(nèi)的射線．
（1）如圖1，若平分平分．當(dāng)射線繞點(diǎn)O在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，_______度．
（2）也是內(nèi)的射線，如圖2，若平分平分，當(dāng)繞點(diǎn)O在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的大小．
（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)在內(nèi)繞O點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒，如圖3，且，求t的值．
25．定義：過(guò)角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作一條射線，得到三個(gè)角，若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的兩倍，則稱這條射線為這個(gè)角的“二倍角線”．
（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝ ．
（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問(wèn)的值是否為定值？若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點(diǎn)O以10°/秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值 ．
專題03 數(shù)形思想之角平分線問(wèn)題重點(diǎn)專練（解析版）
錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________
一、單選題
1．如圖，OC是的平分線，OD是的平分線，那么下列各式中正確的是（ ）．
A．B．
C．D．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】D
【思路指引】
根據(jù)角平分線定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線，得出角與角的關(guān)系．再根據(jù)選項(xiàng)選取正確答案．
【詳解詳析】
是的平分線，是的平分線，
，
，
即
故選：D．
【名師指路】
本題考查了角平分的定義，解題關(guān)鍵是由角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解．
2．己知：；②；③；④，其中能夠得到射線OM是的平分線的有（ ）．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【標(biāo)準(zhǔn)答案】B
【思路指引】
根據(jù)角平分線的定義逐個(gè)判斷即可．
【詳解詳析】
解：①若OM在∠AOB的內(nèi)部，，則OM是的平分線，若OM在∠AOB的外部，則OM不是的平分線，故①錯(cuò)誤；
②若OM在∠AOB的內(nèi)部，，則OM是的平分線，若OM在∠AOB的外部，則OM不是的平分線，故②錯(cuò)誤；
③∵，
∴OM在∠AOB的內(nèi)部，
又∵，
∴OM是的平分線，故③正確；
④∵，
∴OM在∠AOB的內(nèi)部，
但無(wú)法證明，
∴OM不一定是的平分線，故④錯(cuò)誤，
故選：B．
【名師指路】
本題考查了角的角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．
3．如圖，，OC平分且，則的度數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】B
【思路指引】
根據(jù)OC平分且可得，再結(jié)合即可求得答案．
【詳解詳析】
解：∵OC平分且，
∴，
又∵，
∴，
故選：B．
【名師指路】
本題考查了角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．
4．如圖，∠AOB是直角，∠AOC＝28°36′24″，OD平分∠BOC，則∠COD的度數(shù)為( )
A．36°32′38″B．30°81′88″C．30°41′48″D．31°12′18″
【標(biāo)準(zhǔn)答案】C
【思路指引】
由直角的定義可得∠AOB=90°，結(jié)合度分秒的換算可求解∠BOC的度數(shù)，利用角平分線的定義可求解∠COD的度數(shù)．
【詳解詳析】
解：∵∠AOB是直角，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=28°36'24''，
∴∠BOC=90°-28°36'24''=61°23'36''，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=∠BOC=30°41'48''，
故選：C．
【名師指路】
本題主要考查角平分線的定義，度分秒的換算，求解∠BOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5．已知，過(guò)點(diǎn)作射線、，使、是的平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．B．或C．或D．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】B
【思路指引】
考慮線段OC在角的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，每一種情況都用角的定義和角平分的定義求解，經(jīng)計(jì)算結(jié)果為20°或40°．
【詳解詳析】
解：當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，
如圖所示：

∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，
∴∠BOC＝100°﹣20°＝80°，
又∵OM是∠BOC的平分線，
∴∠BOM＝＝40°；
當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，
如圖所示：

∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，
∴∠BOC＝100°+20°＝120°，
又∵OM是∠BOC的平分線，
∴∠BOM＝＝60°；
綜合所述∠BOM的度數(shù)有兩個(gè)，為60°或40°；
故選：B．
【名師指路】
本題綜合了角平分線定義和角的和差知識(shí)，重點(diǎn)掌握角的計(jì)算，難點(diǎn)是分類計(jì)算角的大?。?br>6．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，?AOC?30?，OE⊥AB，OF是?AOD的角平分線．若射線OE，OF分C別以18?/s，3?/s的速度同時(shí)繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE，OF重合時(shí)，至少需要的時(shí)間是（ ）
A．8sB．11sC．sD．13s
【標(biāo)準(zhǔn)答案】D
【思路指引】
設(shè)首次重合需要的時(shí)間為t秒，則OE比OF要多旋轉(zhuǎn)120゜+75゜，由此可得方程，解方程即可．
【詳解詳析】
∵∠BOD=∠AOC=30゜，OE⊥AB
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜，∠AOD=180゜ - ∠AOC=150゜
∵OF平分∠AOD
∴
∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜
設(shè)OE、OF首次重合需要的時(shí)間為t秒，則由題意得：18t?3t=120+75
解得：t=13
即射線OE，OF重合時(shí)，至少需要的時(shí)間是13秒
故選：D
【名師指路】
本題考查了角平分線的性質(zhì)，補(bǔ)角的含義，垂直的定義，角的和差運(yùn)算，運(yùn)用了方程思想來(lái)解決，本題的實(shí)質(zhì)是行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題．
7．如圖，直線，相交于點(diǎn)，，，平分，給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②為的平分線；③若時(shí)，；④．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【標(biāo)準(zhǔn)答案】B
【思路指引】
由鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，余角的性質(zhì)進(jìn)行依次判斷即可．
【詳解詳析】
解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴當(dāng)∠AOF=50°時(shí)，∠DOE=50°；
故①正確；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正確；
∵，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴
故③正確；
若為的平分線，則∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而無(wú)法確定，
∴無(wú)法說(shuō)明②的正確性；
故選：B．
【名師指路】
本題考查了鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
8．如圖，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，則∠EOF的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【標(biāo)準(zhǔn)答案】C
【思路指引】
通過(guò)∠EOF的兩倍和180°-∠EOF相等建立等式，再解出∠EOF即可．
【詳解詳析】
OE平分∠BOC，OF平分∠AOC

又

解得∠EOF=60°
故選C
【名師指路】
本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，容斥原理，掌握這些是本題關(guān)鍵．
9．如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為端點(diǎn)在直線上方作射線和射線，若射線平分，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】B
【思路指引】
先由平角的定義求得∠COB，在根據(jù)角平分線的定義求∠AOB即可.
【詳解詳析】
∵∠DOB+∠COB=180°，
∴∠COB= 180° -∠DOB =180° -110°= 70°，
因?yàn)樯渚€平分，
∴∠AOB= COB=35°，
故選：B
【名師指路】
此題考查了平角的定義和角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵.
10．下列四個(gè)說(shuō)法：①射線AB和射線BA是同一條射線；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③和38.15°相等；④畫直線AB=3cm；⑤已知三條射線OA，OB，OC，若，則射線OC是∠AOB的平分線．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【標(biāo)準(zhǔn)答案】A
【思路指引】
根據(jù)射線的性質(zhì)；數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義；角平分線的定義，線段的性質(zhì)解答即可．
【詳解詳析】
解：①射線AB和射線BA表示不是同一條射線，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；
②兩點(diǎn)之間，線段最短，故此說(shuō)法正確；
③38°15'≠38.15°，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；
④直線不能度量，所以“畫直線AB=3cm”說(shuō)法是錯(cuò)誤的；
⑤已知三條射線OA，OB，OC，若，則OC不一定在∠AOB的內(nèi)部，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的是②，
故選：A．
【名師指路】
本題考查了射線的性質(zhì)；數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義；角平分線的定義，線段的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解直線的性質(zhì)；數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義等．
二、填空題
11．已知：∠AOB＝25°，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，OM平分∠COA，，且使關(guān)于有無(wú)數(shù)多個(gè)解，則∠BOM＝__________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】20°或50°
【思路指引】
根據(jù)關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，可求出m、n的值，再分兩種情況分別畫出圖形進(jìn)行解答即可．
【詳解詳析】
解：∵關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，
即關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，
∴2m＝4+n，2m＝3n，
解得，m＝3，，
∴，
（1）當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖1，
∵，∠AOB＝25°，
∴∠BOC＝×25°＝15°，∠AOC＝×25°＝10°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝5°，
∴∠BOM＝∠BOC+∠COM＝15°+5°＝20°；
（2）當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，如圖2，
∵，∠AOB＝25°，
∴∠BOC＝3∠AOB＝7×25°＝75°，∠AOC＝2∠AOB＝2×25°＝50°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝25°，
∴∠BOM＝∠BOA+∠AOM＝25°+25°＝50°，
綜上所述，∠BOM＝20°或∠BOM＝50°，
【名師指路】
本題考查一元一次方程的解，角平分線的定義，確定m、n的值，再根據(jù)題意分兩種情況分別畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，平分，，與的差為80°，則__________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】120°
【思路指引】
觀察圖形可知，結(jié)合已知相等角可得到，有角平分線的性質(zhì)可得到和的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合與的差為80°，求出，進(jìn)而求出的值．
【詳解詳析】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵與的差為80°，即，
∴，
∴．
故答案為：120°
【名師指路】
本題考查了角度計(jì)算和角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系，然后根據(jù)與的差為80°列出方程是解題的關(guān)鍵．
13．（1）已知點(diǎn)A、B、C三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，若線段，，則線段_______．
（2）己知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，M、N分別為線段AB、BC的中點(diǎn)，且，，則MN的長(zhǎng)為_________．
（3）己知，，則_________．
（4）已知，，OD、OE分別平分、，則_________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】 13或3 或 130或30 65或15
【思路指引】
（1）本題沒(méi)有給出圖形，在畫圖時(shí)，應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，再根據(jù)正確畫出的圖形解題．
（2）分情況討論，當(dāng)C在線段AB上和線段AB的延長(zhǎng)線上，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MB，NB，根據(jù)線段的和差，可得答案．
（3）本題是角的計(jì)算的多解問(wèn)題，求解時(shí)要注意分情況討論，可以根據(jù)OA在∠BOC的位置關(guān)系分為OA在∠BOC的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況求解．
（4）需要分類討論：射線OC在∠AOB的內(nèi)部和射線OC在∠AOB的外部?jī)煞N情況．再結(jié)合角平分線的定義，由∠DOE、∠BOD與∠EOB的和差關(guān)系可求得∠DOE的度數(shù)．
【詳解詳析】
解：（1）本題有兩種情形：
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖，
AC＝AB?BC，
又∵AB＝8，BC＝5，
∴AC＝8?5＝3；
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，
AC＝AB＋BC，
又∵AB＝8，BC＝5，
∴AC＝8＋5＝13，
故填：3或13．
（2）本題有兩種情形：
當(dāng)C在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1：
∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴BM＝AB＝4，BN＝BC＝；
∴MN＝BM＋BN＝．
當(dāng)C在AB上時(shí)，如圖2：
同理可知BM＝4，BN＝，
∴MN＝BM－BN＝；
故填：或．
（3）本題有兩種情形：
當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，
∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB?∠BOC＝30°；
當(dāng)OC在∠AOB外部，
∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝130°；
故填：30或130．
（4）∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，
且OD，OE分別為∠AOB，∠BOC的角平分線，
∴∠BOD＝∠AOB＝40°，∠EOB＝∠BOC＝25°，
當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時(shí)，如圖1，
∴∠DOE＝∠DOB?∠EOB＝40°?25°＝15°．
②當(dāng)OC在∠AOB外時(shí)，如圖2，
∠DOE＝∠DOB＋∠EOB＝40°＋25°＝65°．
綜上所述，∠DOE的度數(shù)為65°或15°．
故填：65或15．
【名師指路】
本題考查分類討論的思想，在未畫圖類問(wèn)題中，正確畫圖很重要，分類討論體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．
14．已知，如圖，A、O、B在同一直線上，OF平分，，．
（1）射線OD是_______的角平分線；（2）的補(bǔ)角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的補(bǔ)角是_______；（6）_______是的補(bǔ)角．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】 和 和
【思路指引】
由角平分線的定義，補(bǔ)角、余角的定義，分別進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
【詳解詳析】
解：根據(jù)題意，
（1）∵
∴射線OD是的角平分線；
（2）∵，
∴的補(bǔ)角是；
（3）∵OF平分，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴的余角是和；
（4）∵，，
∴，
∴是的余角；
（5）∵，
∴，
∴的補(bǔ)角是和；
（6）∵，，
∴，
∴是的補(bǔ)角．
故答案為：；；和；；和；．
【名師指路】
本題考查了角平分線的定義，補(bǔ)角、余角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何圖形中角的運(yùn)算．
15．如圖，，OD、OE分別平分和，，則_______．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】40
【思路指引】
根據(jù)OD平分，可得，再結(jié)合可得，最后再根據(jù)OE平分即可求得答案．
【詳解詳析】
解：∵OD平分，，
∴，
又∵，
∴，
又∵OE平分，
∴，
故答案為：40．
【名師指路】
本題考查了角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．
16．如圖，若OC、OD三等分，則______________，_______，_______．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】 3 AOD
【思路指引】
根據(jù)OC、OD三等分可得，由此即可求得答案．
【詳解詳析】
解：∵OC、OD三等分，
∴，
∴3，，
∴，
∴，
故答案為：3；；；AOD．
【名師指路】
本題考查了角的三等分線及角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．
17．如圖，DC平分，EC平分，已知，，則________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】
【思路指引】
連接DE，根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)及內(nèi)角和定理可求出∠DCE與∠A、∠ADC、∠AEC之間的關(guān)系，同理可求出∠DCE與∠A、∠ADB、∠AEB之間的關(guān)系，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可；
【詳解詳析】
連接DE，如圖1
在△BDE中，∠1＋∠2＝180°?∠DBE＝70°，
在△ADE中，∠ADE＋∠AED＝180°?∠DAE＝130°，
∴∠ADB＋∠AEB＝（∠ADE＋∠AED）?（∠1＋∠2）＝60°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠3＋∠4＝30°，
在△DEC中，∠DCE＝180°?（∠1＋∠2）?（∠3＋∠4）
＝180°?70°?30°＝80°.
故答案為：.
【名師指路】
本題考查三角形角平分線的性質(zhì)及內(nèi)角和定理，掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
18．已知，線段AB垂直于線段CD，垂足為O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，則∠EOF＝____°．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】107或163##163或107
【思路指引】
分兩種情況：①射線OF在∠BOC內(nèi)部；②射線OF在∠BOD內(nèi)部．
【詳解詳析】
解：∵AB⊥CD，垂足為O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE=∠AOC=45°．
分兩種情況：
①如圖1，射線OF在∠BOC內(nèi)部時(shí)，
∵∠AOE=45°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°；
②如圖2，射線OF在∠BOD內(nèi)部時(shí)，
∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°．
故答案為107或163．
【名師指路】
本題考查了垂直的定義，角平分線定義以及角的計(jì)算，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
19．已知，射線在同一平面內(nèi)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線分別是和的角平分線．則的度數(shù)為______________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】50°或130°##130°或50°
【思路指引】
分射線OC在∠AOB的內(nèi)部和射線OC在∠AOB的外部，分別畫出圖形，結(jié)合根據(jù)角平分線定義求解．
【詳解詳析】
解：若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，
∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOC+∠BOC=50°；
若射線OC在∠AOB的外部，
①射線OE，OF只有1個(gè)在∠AOB外面，如圖，
∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=50°；
②射線OE，OF都在∠AOB外面，如圖，
∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=130°；
綜上：∠EOF的度數(shù)為50°或130°，
故答案為：50°或130°．
【名師指路】
本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．
20．如圖，直線AB⊥OC于點(diǎn)O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現(xiàn)將三角形EOF以每秒6°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三角形E′OF′，同時(shí)直線PQ也以每秒9°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至P′Q′，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒（0≤m≤20），當(dāng)直線P′Q′平分∠E′OF′時(shí)，則∠COP′＝___．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】或
【思路指引】
由題意，分兩種情況討論，當(dāng)平分時(shí)，當(dāng)平分時(shí)作出圖形，分別畫出對(duì)應(yīng)圖，對(duì)比開始時(shí)刻的角度，通過(guò)角度的加減計(jì)算即可．
【詳解詳析】
平分，
，
以每秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以每秒的速度點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
①如圖1中，當(dāng)平分時(shí)，
解得
，
②如圖2，當(dāng)平分時(shí)，
解得
故答案為：或
【名師指路】
本題考查了角度的計(jì)算，角平分線的定義，垂直的定義，通過(guò)旋轉(zhuǎn)的速度和時(shí)間可得旋轉(zhuǎn)的角度，對(duì)比旋轉(zhuǎn)之前的圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
21．如圖1，在內(nèi)部作射線，，在左側(cè)，且．
（1）圖1中，若平分平分，則______；
（2）如圖2，平分，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）設(shè)，過(guò)點(diǎn)O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應(yīng)的圖形并求的度數(shù)（用含m的式子表示）．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）120；（2），見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析，或
【思路指引】
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進(jìn)行角之間的加減即可證明出結(jié)論；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行角度之間的加減運(yùn)算，分類討論得出結(jié)論即可．
【詳解詳析】
解：（1）∵，，
∴，
∴ ，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
故答案為：120；
（2）．
證明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如圖1，當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵為的平分線，
∴．
∴；
如圖2，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵為的平分線，．
綜上所述，的度數(shù)為或．
【名師指路】
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與角度之間的加減運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形分析出各角之間的數(shù)量關(guān)系．
22．已知∠AOD＝40°，射線OC從OD出發(fā)，繞點(diǎn)O以20°/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（t≤7）．射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD．
（1）如圖①，如果t＝4秒，求∠EOA的度數(shù)；
（2）如圖①，若射線OC旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，求∠EOF的度數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）射線OC從OD出發(fā)時(shí)，射線OB也同時(shí)從OA出發(fā)，繞點(diǎn)O以10°/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC、OB在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，請(qǐng)你借助圖②和備用圖進(jìn)行分析后，直接寫出的值．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）60°；（2）；（3）或
【思路指引】
（1）根據(jù)角分線的定義、旋轉(zhuǎn)的過(guò)程即可求解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程和角分線的定義進(jìn)行角的計(jì)算即可；
（3）分兩種情況討論：OB落在不同位置時(shí)進(jìn)行角的計(jì)算即可．
【詳解詳析】
解：（1）如圖①，根據(jù)題意，得
∠DOC＝4×20°＝80°
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，
∵射線OE平分∠AOC，
∴，
答：∠EOA的度數(shù)為60°．
（2）根據(jù)題意，得
∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°
∵射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD，
∴，
∠AOF＝20°，
∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，
答：∠EOF的度數(shù)為．
（3）∵射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD，
根據(jù)題意，得
∴，
①如圖②：當(dāng)OB落在OF和OD之間時(shí)，∠BOD＝40﹣10t，
40﹣10t＝10，
解得t＝3．
②如圖3：
當(dāng)OB落在OD和OE之間時(shí)，∠BOD＝10t﹣40，
10t﹣40＝10
解得t＝5．
當(dāng)t＝3時(shí)，的值為，
當(dāng)t＝5時(shí)，的值為．
答：的值為或．
【名師指路】
此題考查了幾何圖形中角的和差倍分運(yùn)算，角平分線的定義以及一元一次方程的應(yīng)用，掌握角平分線的定義以及和差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①當(dāng)α=0°時(shí)，如圖1，則∠POQ= ；
②當(dāng)α=80°時(shí)，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；
③當(dāng)α=130°時(shí)，如圖3，請(qǐng)先補(bǔ)全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ= ，（請(qǐng)用含m、n的代數(shù)式表示）．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°
【思路指引】
（1）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論．
【詳解詳析】
解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，
∴∠POQ=50°，
故答案為：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，
∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：補(bǔ)全圖形如圖3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，
∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）當(dāng)∠AOB=m°，∠COD=n°時(shí)，如圖2，
∴∠AOC= m°+ °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=(m°+ °)，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °)
=m°+n°，
當(dāng)∠AOB=m°，∠COD=n°時(shí)，如圖3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-m°-°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °)
=180°-m°-n°，
綜上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，則∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．
故答案為：m°+n°或180°-m°-n°．
【名師指路】
本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
24．已知：是內(nèi)的射線．
（1）如圖1，若平分平分．當(dāng)射線繞點(diǎn)O在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，_______度．
（2）也是內(nèi)的射線，如圖2，若平分平分，當(dāng)繞點(diǎn)O在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的大?。?br>（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)在內(nèi)繞O點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒，如圖3，且，求t的值．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）79；（2）70.5°；（3）47秒
【思路指引】
（1）依據(jù)OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD；
（2）依據(jù)OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根據(jù)∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）依據(jù)∠AOM=（11°+t+17°），∠DON=（158°-11°-t），∠AOM：∠DON=3：4，即可得到方程，進(jìn)而得出t的值．
【詳解詳析】
解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON
=（∠AOB+∠BOD）
=∠AOD
=79°，
故答案為：79；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
即∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=（∠AOB+∠BOC+∠BOD）-∠BOC
=（∠AOD+∠BOC）-∠BOC
=×(159°-17°)
=70.5°；
（3）∵∠AOM=（11°+t+17°），∠DON=（158°-11°-t），
又∵∠AOM：∠DON=3：4，
∴4（11°+t+17°）=3（158°-11°-t），
得t=47．
答：t為47秒．
【名師指路】
本題考查的是角平分線的定義，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線，有一定難度．
25．定義：過(guò)角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作一條射線，得到三個(gè)角，若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的兩倍，則稱這條射線為這個(gè)角的“二倍角線”．
（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝ ．
（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問(wèn)的值是否為定值？若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點(diǎn)O以10°/秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值 ．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）60°或80°或40°．；（2）的值是定值，定值為2；（3）12秒或秒．
【思路指引】
（1）根據(jù)“二倍角線”的概念分三種情況討論，分別求解即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到，然后由∠DOB＝2∠BOC進(jìn)一步得到，設(shè)，根據(jù)題意分別表示出和，即可求出的值；
（3）首先根據(jù)∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出，根據(jù)題意分四種情況討論，分別列出方程求解即可．
【詳解詳析】
解：（1）當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
∵，
∵，解得：；
當(dāng)時(shí)，
∵，
∵，解得：；
故答案為：60°或80°或40°．
（2）∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，
∴，
又∵∠DOB＝2∠BOC，，
∴，
∴設(shè)，
∴
∴的值是定值2；
（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，
又∵，，
∴，
∴，
∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，
∴，，
∴，
將∠COD繞點(diǎn)O以10°/秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤14），
∴當(dāng)時(shí)，在內(nèi)部，
∵，
，
，
∴當(dāng)時(shí)，，解得：，舍去，
當(dāng)時(shí)，，解得：，舍去，
當(dāng)時(shí)，，解得：，舍去
當(dāng)時(shí)，此時(shí)在內(nèi)部，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，即，解得：，應(yīng)舍去，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，應(yīng)舍去，
當(dāng)時(shí)，即，解得：應(yīng)舍去，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)在內(nèi)部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，即，解得：，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，應(yīng)舍去，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，
當(dāng) 時(shí)，此時(shí)在內(nèi)部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，即，解得：，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，應(yīng)舍去，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，應(yīng)舍去，
綜上所述，t的值為12秒或秒．
【名師指路】
此題考查了新定義角度問(wèn)題，角平分線有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中角度之間的等量關(guān)系，分情況討論列出方程求解．

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