一、填空題
1．如圖，甲、乙兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)、同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)按順時(shí)針方向環(huán)形運(yùn)動(dòng)，乙點(diǎn)按逆時(shí)針方向環(huán)形運(yùn)動(dòng)．若甲的速度是乙的速度的倍．則它們第次相遇在邊_________上．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，直線l與直線相交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)PQ >6時(shí)，m的取值范圍是____________．
3．?dāng)?shù)軸上，兩點(diǎn)的距離為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處、按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)，，，…，（，是整數(shù)）處，那么線段的長(zhǎng)度為______．
4．線段，點(diǎn)從點(diǎn)開始向點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始向點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值為________．
5．如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB，AC和BC，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．
（1）線段的中點(diǎn)__這條線段的“巧點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）；
（2）如圖2，已知AB＝15cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t＝__s時(shí)，Q為A，P的“巧點(diǎn)”．
6．如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．
7．如圖所示：已知，，現(xiàn)有點(diǎn)和點(diǎn)分別從，兩點(diǎn)出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)速度為，點(diǎn)速度為，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)后掉頭向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在向的運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，速度變?yōu)?，，兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，全部停止運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過____后的距離為．
二、解答題
8．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)，且，動(dòng)點(diǎn)P?Q分別從A?B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若點(diǎn)A表示的數(shù)為，則點(diǎn)B表示的數(shù)為________，線段中點(diǎn)表示的數(shù)為___________；
（2）在（1）的條件下，若，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，請(qǐng)?zhí)骄烤€段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
9．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，求PM－PN的值
（3）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度？
10．如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)將線段分為兩部分，．
（1）求線段的長(zhǎng)．
（2）點(diǎn)在線段上，若點(diǎn)距離點(diǎn)的長(zhǎng)度為，求線段的長(zhǎng)．
11．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣4，點(diǎn)A表示的數(shù)為10．
（1）求A、B兩點(diǎn)間的距離；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向負(fù)方向作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，
①寫出點(diǎn)P、Q所表示的數(shù)；（用含t的代數(shù)式表示）
②若數(shù)軸上的點(diǎn)M到點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離相等，求的值．
12．如圖，M是線段AB上一點(diǎn)，且AB=10cm，C、D兩點(diǎn)分別從M，B同時(shí)出發(fā)以1cm/s，3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）．
（1）當(dāng)點(diǎn)C， D運(yùn)動(dòng)了2s，求這時(shí)AC+MD的值．
（2） 若點(diǎn)C， D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD=3AC，求AM的長(zhǎng)．
13．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，點(diǎn)M、N分別是AC、CB的中點(diǎn)．
（1）求線段MN的長(zhǎng)度．
（2）若C為線段AB上任意一點(diǎn)且滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你用一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（3）若C為線段AB的延長(zhǎng)線上，且滿足AC﹣CB＝bcm，M、N分別為AC、CB的中點(diǎn)，你能猜想出MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫出圖形并寫出你的結(jié)論．
14．如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．
（1）求線段MN的長(zhǎng)度．
（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長(zhǎng)度．
（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出時(shí)間t．
15．如圖，線段AB＝15厘米，P是AB上任一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從A、P同時(shí)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒，D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2厘米/秒，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）若BP＝10厘米．
①運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，CP＝ 厘米，DB＝ 厘米，CD＝ 厘米；
②當(dāng)C在線段AP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明BD＝2CD；
（2）如果運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，CD＝2厘米，試探索PB的值．
16．在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，若滿足點(diǎn)C到另兩個(gè)點(diǎn)A、B的距離之比是2，則稱點(diǎn)C是其余兩點(diǎn)的亮點(diǎn)（或暗點(diǎn)），具體地，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，若，則稱點(diǎn)C是[A，B]的亮點(diǎn)：若點(diǎn)C在線段AB延長(zhǎng)線上，，則稱點(diǎn)C是的暗點(diǎn)，例如，如圖1，在數(shù)軸上分別表示數(shù)，-1，2，1，0，則的點(diǎn)C是的亮點(diǎn)，又是的暗點(diǎn)；點(diǎn)D是的亮點(diǎn)，又是的暗點(diǎn)．

（1）如圖2，M、N為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)為－2，點(diǎn)N表示的數(shù)為4，則的亮點(diǎn)表示的數(shù)是 ，的暗點(diǎn)表示的數(shù)是 ；
（2）如圖3，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為點(diǎn)所表示的數(shù)為－20，點(diǎn)B表示的數(shù)為40，一只電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①求當(dāng)t為何值時(shí)，P是的暗點(diǎn)；
②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、A和B三個(gè)點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的亮點(diǎn)．
17．（理解新知）
如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，
（1）線段的中點(diǎn) 這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）
（2）（初步應(yīng)用）
如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則 ；
（3）（解決問題）
如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 t，請(qǐng)求出 為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．
18．【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．
（1）若AC=2，求AB的長(zhǎng)；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），試求出線段BD的長(zhǎng)，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；
【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)性的滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)C的位置，求點(diǎn)C所表示的數(shù)；若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；
（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D所表示的數(shù)（答案保留π）．
19．如圖，線段AB＝20厘米，點(diǎn)C以每秒鐘2厘米的速度從點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．點(diǎn)M為線段AC中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≠0）秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，t＝ 秒；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，MN的長(zhǎng)度是否與t的取值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有t的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)；若無關(guān)，請(qǐng)利用代數(shù)式的相關(guān)知識(shí)說明理由．
（3）在點(diǎn)C開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P以每秒鐘4厘米的速度從點(diǎn)B出發(fā)，在點(diǎn)B和點(diǎn)M之間做往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)．
②在運(yùn)動(dòng)時(shí)間t從第4秒開始到停止運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出當(dāng)PM＝3PC時(shí)的t值．
20．如圖，三點(diǎn)A、B、P在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是﹣4，12（AB兩點(diǎn)間的距離用AB表示）
（1）C在AB之間且AC＝BC，C對(duì)應(yīng)的數(shù)為 ；
（2）C在數(shù)軸上，且AC+BC＝20，求C對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（3）P從A點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度在數(shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，Q從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒在數(shù)軸上向左運(yùn)動(dòng)．
求：①P、Q相遇時(shí)求P對(duì)應(yīng)的數(shù)；
②P、Q運(yùn)動(dòng)的同時(shí)M以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到P時(shí)，點(diǎn)M立即以同樣的速度（3個(gè)單位/秒）向右運(yùn)動(dòng)，并不停地往返于點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間，求當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的總路程是多少？（直接寫出結(jié)果）
專題02 專題探究之與線有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題難點(diǎn)專練（解析版）
錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________
一、填空題
1．如圖，甲、乙兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)、同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)按順時(shí)針方向環(huán)形運(yùn)動(dòng)，乙點(diǎn)按逆時(shí)針方向環(huán)形運(yùn)動(dòng)．若甲的速度是乙的速度的倍．則它們第次相遇在邊_________上．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】AB
【思路指引】
因?yàn)榧椎乃俣仁且业乃俣鹊?倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周長(zhǎng)的；從第2次相遇起，每次甲走了正方形周長(zhǎng)的，4次一個(gè)循環(huán)，從而不難求得它們第2019次相遇位置.
【詳解詳析】
每次相遇的位置依次是：DC、AD、BA、BC，依此循環(huán).
故它們第2019次相遇位置與第三次相同，在AB邊上.
【名師指路】
本題難度中等，主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律的總結(jié)能力，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，直線l與直線相交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)PQ >6時(shí)，m的取值范圍是____________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】
【思路指引】
根據(jù)題意分別設(shè)，，令進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解詳析】
設(shè)，
∵PQ >6
∴
∴
∴，
故答案為：．
【名師指路】
本題主要考查了一次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題，掌握通過設(shè)點(diǎn)的方式用絕對(duì)值表示兩點(diǎn)之間距離的方法是解決本題的關(guān)鍵．
3．?dāng)?shù)軸上，兩點(diǎn)的距離為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處、按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)，，，…，（，是整數(shù)）處，那么線段的長(zhǎng)度為______．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】
【思路指引】
根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為×9，第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）2×9，則跳動(dòng)n次后，即跳到了離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）n×9，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得線段AnA的長(zhǎng)度．
【詳解詳析】
解：由題可知：，
此第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處時(shí)，，
同理，第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到處，，
同理，跳動(dòng)次后，，
故線段的長(zhǎng)度為：，
故答案為．
【名師指路】
本題考查了兩點(diǎn)間的距離，是一道找規(guī)律的題目，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．本題注意根據(jù)題意表示出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律．
4．線段，點(diǎn)從點(diǎn)開始向點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始向點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值為________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】或6
【思路指引】
根據(jù)時(shí)間與速度可以分別表示出AP、BQ，結(jié)合分別從相遇前和相遇后，利用線段的和差關(guān)系計(jì)算出的值．
【詳解詳析】
解：此題可分為兩種情況進(jìn)行討論：
①如圖1，
點(diǎn)P、Q相遇前，由題意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，
當(dāng)時(shí)，t＝2(15－t－2t)，
解得t＝；
②如圖2，
點(diǎn)P、Q相遇后，由題意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，
當(dāng)時(shí)，t＝2(t＋2t－15)，
解得t＝6．
綜上所述：的值為或6．
故答案為：或6．
【名師指路】
此題考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，正確理解題意，利用線段的和差關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
5．如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB，AC和BC，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．
（1）線段的中點(diǎn)__這條線段的“巧點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）；
（2）如圖2，已知AB＝15cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t＝__s時(shí)，Q為A，P的“巧點(diǎn)”．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】 是 7.5或
【思路指引】
（1）根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義即可求解；
（2）設(shè)A點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)，作數(shù)軸，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，分①Q(mào)為AP中點(diǎn)；②AQ＝2PQ；③PQ＝2AQ；進(jìn)行討論求解即可．
【詳解詳析】
解：（1）若線段中點(diǎn)為C點(diǎn)，AB＝2AC，所以中點(diǎn)是這條線段“巧點(diǎn)”
（2）設(shè)A點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)，作數(shù)軸，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；t最大＝7.5，
A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，
①Q(mào)為AP中點(diǎn)，，∴t＝7.5；
②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，
∵AQ＝2PQ，
∴15﹣t＝2（3t﹣15），
∴；
③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），
∴t＝97.5（舍去）．
綜上所述：t＝7.5或．
故答案為：（1）是；（2）7.5或．
【名師指路】
本題主要考查兩點(diǎn)間的距離及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】1或
【思路指引】
設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，由OD=4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)M在直線AB的不同的位置分4種情況進(jìn)行解答，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關(guān)系，再計(jì)算的值即可．
【詳解詳析】
設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m
則OC=t，BD=4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），
即：b=-4a，
①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，如圖2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，如圖3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此時(shí)m＜0，a＜0，
∴此種情況不符合題意舍去；
④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合題意舍去，
綜上所述，的值為1或．
【名師指路】
考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關(guān)重要的作用．
7．如圖所示：已知，，現(xiàn)有點(diǎn)和點(diǎn)分別從，兩點(diǎn)出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)速度為，點(diǎn)速度為，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)后掉頭向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在向的運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，速度變?yōu)?，，兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，全部停止運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過____后的距離為．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】0.9或1.1或或．
【思路指引】
設(shè)經(jīng)過t秒后PQ距離為0.5cm，然后分情況分別進(jìn)行考慮：①當(dāng)P、Q在AB上且P在Q左側(cè)時(shí)；②當(dāng)P、Q在AB上且P在Q右側(cè)時(shí)；③當(dāng)Q從A返回還未到B時(shí)；④當(dāng)Q從A返回運(yùn)動(dòng)并超過B點(diǎn)時(shí)；⑤當(dāng)Q超過P時(shí)．
【詳解詳析】
解：設(shè)經(jīng)過t秒后PQ距離為0.5cm，
①當(dāng)P、Q在AB上且P在Q左側(cè)時(shí)，如圖1所示：
由題意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，
②當(dāng)P、Q在AB上且P在Q右側(cè)時(shí)，如圖2所示：
由題意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，
③Q到達(dá)A所用時(shí)間為5÷3=s，
當(dāng)Q從A返回還未到B時(shí)，如圖3所示：
由題意得：，解得：t=4.5s，但此時(shí)AQ= cm>5cm，不符合題意；
④當(dāng)Q從A返回運(yùn)動(dòng)并超過B點(diǎn)時(shí)，如圖4所示：
此時(shí)Q從B-A-B用時(shí)為：s，
由題意得：，
解得：s；
⑤當(dāng)Q超過P時(shí)，如圖5所示：
由題意得：，
解得：s，
綜上所述，當(dāng)P、Q相距0.5cm時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為0.9s或1.1s或或，
故答案為：0.9或1.1或或．
【名師指路】
本題考查兩點(diǎn)間的距離，解一元一次方程，涉及列代數(shù)式，分類討論的思想，解題的關(guān)鍵是分哪幾種情況討論．
二、解答題
8．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)，且，動(dòng)點(diǎn)P?Q分別從A?B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若點(diǎn)A表示的數(shù)為，則點(diǎn)B表示的數(shù)為________，線段中點(diǎn)表示的數(shù)為___________；
（2）在（1）的條件下，若，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，請(qǐng)?zhí)骄烤€段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，見解析
【思路指引】
（1）由點(diǎn)A表示的數(shù)為，AO＝2OB可知，可求出OB，AB長(zhǎng)，從而得出結(jié)論；
（2）分兩種情況：點(diǎn)P在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)時(shí)，OP表示的代數(shù)式不同，OQ＝6+t，分別代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；
（3））設(shè)線段的長(zhǎng)為b，則 ，分兩種情況去絕對(duì)值，求出t的值，即可解決問題．
【詳解詳析】
（1）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為，AO＝2OB，
∴AO＝12，OB＝6，
∴AB＝18，
∴線段中點(diǎn)表示的數(shù)為3．
故答案是：6；﹣3；
（2）當(dāng)P?Q相遇時(shí)，（秒），
∴．當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，
∵，
∴，，符合；
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O右側(cè)時(shí)，，
∵，，
，符合．
綜上所述，若，t的值為或13.
（3）設(shè)線段的長(zhǎng)為b，則．
∵點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，
∴．．
若，則，
∴，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴；
若，則，
∴，
∴，
解得．
∴．
∵．
∴．
綜上所述，線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為或．
【名師指路】
本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、數(shù)軸上點(diǎn)的表示、一元一次方程的應(yīng)用，比較復(fù)雜，要認(rèn)真理清題意，并注意數(shù)軸上的點(diǎn)，原點(diǎn)左邊表示負(fù)數(shù)，右邊表示正數(shù)，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)的距離等于任意兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對(duì)值．
9．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，求PM－PN的值
（3）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度？
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5
【思路指引】
（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的和等于0，則=0，=0，進(jìn)而即可求解；
（2）分別用含t的代數(shù)式表示PM=4t，PN=4t-8，進(jìn)而即可求解；
（3）分別表示出P、Q所在點(diǎn)表示的數(shù)，再列出方程，即可求解．
【詳解詳析】
解：（1）∵，≥0，≥0，
∴=0，=0，即：a=10，b=-6，
∴A表示的數(shù)是10，點(diǎn)B表示的數(shù)是-6，
∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以毎秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)是：10-8t，
故答案是：10，-6，10-8t；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=8t，PB=8t-16，
∵M(jìn)、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，
∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，
∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，P所在點(diǎn)表示的數(shù)為：10-8t，Q所在點(diǎn)表示的數(shù)為：-6-4t，
∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．
【名師指路】
本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，用代數(shù)式表示出兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)將線段分為兩部分，．
（1）求線段的長(zhǎng)．
（2）點(diǎn)在線段上，若點(diǎn)距離點(diǎn)的長(zhǎng)度為，求線段的長(zhǎng)．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）或
【思路指引】
(1)先計(jì)算出AB的長(zhǎng)，再計(jì)算PB，則OP=OB-BP；
(2) 運(yùn)用分類的思想計(jì)算即可．
【詳解詳析】
解：（1）∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）若在左側(cè)，，
，
若在右側(cè)，，
，
∴的長(zhǎng)為或．
【名師指路】
本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的計(jì)算，運(yùn)用分類思想求解是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣4，點(diǎn)A表示的數(shù)為10．
（1）求A、B兩點(diǎn)間的距離；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向負(fù)方向作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，
①寫出點(diǎn)P、Q所表示的數(shù)；（用含t的代數(shù)式表示）
②若數(shù)軸上的點(diǎn)M到點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離相等，求的值．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）14；（2）①點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為；②的值為
【思路指引】
（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可進(jìn)行求解；
（2）①由題意易得，然后問題可求解；②當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合時(shí)，則有，由題意可分當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊時(shí)，然后把線段AM和線段OQ表示出來，進(jìn)而問題可求解．
【詳解詳析】
解：（1）由題意得：A、B兩點(diǎn)間的距離為10-（-4）=14；
（2）①由題意得：，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為；
②當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合時(shí)，則有，
解得：，
由①可知：，
∵數(shù)軸上的點(diǎn)M到點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離相等，
∴點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，
則可分：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，則，（），
∴，
∴，，
∴；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊時(shí)，則，（），
∴，
∴，，
∴，
∴綜上所述：的值為．
【名師指路】
本題主要考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和差及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和差及一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，M是線段AB上一點(diǎn)，且AB=10cm，C、D兩點(diǎn)分別從M，B同時(shí)出發(fā)以1cm/s，3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）．
（1）當(dāng)點(diǎn)C， D運(yùn)動(dòng)了2s，求這時(shí)AC+MD的值．
（2） 若點(diǎn)C， D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD=3AC，求AM的長(zhǎng)．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）2 cm；（2）2.5cm．
【思路指引】
（1）計(jì)算出CM及BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出答案；
（2）根據(jù)題意可知BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，依此即可求出AM的長(zhǎng)．
【詳解詳析】
解：（1）當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM＝2 cm，BD＝6 cm，
∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm，
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2 cm；
（2）∵C，D兩點(diǎn)的速度分別為1cm/s，3 cm/s，
∴BD＝3CM．
又∵M(jìn)D＝3AC，
∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，
∴AMAB＝2.5cm．
【名師指路】
本題考查關(guān)于線段的計(jì)算等知識(shí)，有一定難度，關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，理清題意后再解答．
13．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，點(diǎn)M、N分別是AC、CB的中點(diǎn)．
（1）求線段MN的長(zhǎng)度．
（2）若C為線段AB上任意一點(diǎn)且滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你用一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（3）若C為線段AB的延長(zhǎng)線上，且滿足AC﹣CB＝bcm，M、N分別為AC、CB的中點(diǎn)，你能猜想出MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫出圖形并寫出你的結(jié)論．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）7cm；（2）cm,C在線段AB上時(shí)，MN長(zhǎng)度為AB的一半；（3）cm 圖見詳解．
【思路指引】
（1）由M、N分別是AC、BC中點(diǎn)，即可算出MC與CN的長(zhǎng)度，MN＝MC+CN即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）的解法即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，、N分別是AC、BC中點(diǎn)，則可得出MC與NC的長(zhǎng)度，由MN＝MC﹣NC即可得出答案．
【詳解詳析】
解：（1）∵M(jìn)、N分別是AC、BC中點(diǎn)，
∴，，
∵M(jìn)N＝MC+CN7cm；
（2）cm．
∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴，
又∵M(jìn)N＝MC+CN，
∴cm．
C在線段AB上時(shí)，MN長(zhǎng)度為AB的一半；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖，
∵M(jìn)、N分別是AC、BC中點(diǎn)，
∴，，
MN＝MC﹣NCcm．
【名師指路】
本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，熟練掌握兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
14．如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．
（1）求線段MN的長(zhǎng)度．
（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長(zhǎng)度．
（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出時(shí)間t．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求時(shí)間t為4或或．
【思路指引】
（1）（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；
（3）當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，可分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)；③當(dāng)＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)；④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得方程，進(jìn)而求解．
【詳解詳析】
解：（1）∵線段AC=10厘米，BC=6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴MC=AC=a，CN=BC=b，
∴MN=MC+CN=a+b；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，即0＜t≤5時(shí)，
C是線段PQ的中點(diǎn)，得10-2t=6-t，解得t=4；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，即5＜t≤時(shí)，
P為線段CQ的中點(diǎn)，2t-10=16-3t，解得t=；
③當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上，即＜t≤6時(shí)，
Q為線段PC的中點(diǎn)，6-t=3t-16，解得t=；
④當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，即6＜t≤8時(shí)，
C為線段PQ的中點(diǎn)，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
綜上所述：所求時(shí)間t為4或或．
【名師指路】
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的定義得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．
15．如圖，線段AB＝15厘米，P是AB上任一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從A、P同時(shí)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒，D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2厘米/秒，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）若BP＝10厘米．
①運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，CP＝ 厘米，DB＝ 厘米，CD＝ 厘米；
②當(dāng)C在線段AP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明BD＝2CD；
（2）如果運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，CD＝2厘米，試探索PB的值．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）①2，8，4；②見解析；（2）10厘米或14厘米
【思路指引】
（1）①先求出PB、CP與DB的長(zhǎng)度，然后利用CD=CP+PB-DB即可求出答案；
②用t表示出AC、DP、BD、CD的長(zhǎng)度即可求證BD=2CD；
（2）當(dāng)t=3時(shí)，求出DB的長(zhǎng)度，由于沒有說明D點(diǎn)在C點(diǎn)的左邊還是右邊，故需要分情況討論．
【詳解詳析】
解：（1）①CP=15-10-3=2（厘米），DB=10-2=8（厘米），CD=5+2-3=4（厘米）．
故答案為：2，8，4；
②由題意可得：AC=3t，DP=2t，AB=15，BP=10，
∴BD=10-2t，CB=15-3t，
∴CD=CB-DB=15-3t-(10-2t)=5-t，
∴BD=2CD；
（2）設(shè)PB=x，則AP=15-x，
由題意可得：AC=9，PD=6，
∴DB=PB-PD=x-6，
①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊時(shí)，
∵CD=AB-AC-DB=15-9-(x-6)，CD=2，
∴15-9-(x-6)=2，
解得x=10；
②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的右邊時(shí)，
∵CD=AC-AP-DP=9-(15-x)-6，CD=2，
∴9-(15-x)-6=2，
解得x=14．
綜上所述，PB的值是10厘米或14厘米．
【名師指路】
本題考查一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，涉及列代數(shù)式，分類討論的思想，屬于中等題型．
16．在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，若滿足點(diǎn)C到另兩個(gè)點(diǎn)A、B的距離之比是2，則稱點(diǎn)C是其余兩點(diǎn)的亮點(diǎn)（或暗點(diǎn)），具體地，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，若，則稱點(diǎn)C是[A，B]的亮點(diǎn)：若點(diǎn)C在線段AB延長(zhǎng)線上，，則稱點(diǎn)C是的暗點(diǎn)，例如，如圖1，在數(shù)軸上分別表示數(shù)，-1，2，1，0，則的點(diǎn)C是的亮點(diǎn)，又是的暗點(diǎn)；點(diǎn)D是的亮點(diǎn)，又是的暗點(diǎn)．

（1）如圖2，M、N為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)為－2，點(diǎn)N表示的數(shù)為4，則的亮點(diǎn)表示的數(shù)是 ，的暗點(diǎn)表示的數(shù)是 ；
（2）如圖3，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為點(diǎn)所表示的數(shù)為－20，點(diǎn)B表示的數(shù)為40，一只電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①求當(dāng)t為何值時(shí)，P是的暗點(diǎn)；
②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、A和B三個(gè)點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的亮點(diǎn)．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）2，；（2）①；②當(dāng)點(diǎn)P為亮點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P為亮點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)A為亮點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)A為亮點(diǎn)時(shí)，
【思路指引】
（1）結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)軸、線段、有理數(shù)加減法和除法、絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；
（2）①根據(jù)題意，列一元一次方程并求解，即可得到答案；
②結(jié)合題意，分點(diǎn)P為亮點(diǎn)、點(diǎn)P為亮點(diǎn)、點(diǎn)A為亮點(diǎn)、點(diǎn)A為亮點(diǎn)四種情況，通過列方程并求解，即可得到答案．
【詳解詳析】
（1）根據(jù)題意，的亮點(diǎn)表示的數(shù)在線段上，即：亮點(diǎn)表示的數(shù)
∵
∴的亮點(diǎn)表示的數(shù)是：2；
根據(jù)題意，的暗點(diǎn)表示的數(shù)在線段延長(zhǎng)線上，即：暗點(diǎn)表示的數(shù)，或暗點(diǎn)表示的數(shù)
∵
∴的暗點(diǎn)表示的數(shù)是：；
故答案為：2，；
（2）①根據(jù)題意，點(diǎn)P是的暗點(diǎn)，即點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上
∴，
∵
∴
∴；
②當(dāng)點(diǎn)P為亮點(diǎn)時(shí)，即P在線段上
∴，
∴
∴
當(dāng)點(diǎn)P為亮點(diǎn)時(shí)，即P在線段上
∴
∴；
當(dāng)點(diǎn)A為亮點(diǎn)時(shí)，即A在線段上
∴，
∴
∴
當(dāng)點(diǎn)A為亮點(diǎn)時(shí)，即A在線段上
∴，即
∴，
∴
∴
∴當(dāng)點(diǎn)P為亮點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P為亮點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)A為亮點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)A為亮點(diǎn)時(shí)，．
【名師指路】
本題考查了有理數(shù)、一元一次方程、線段的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸、絕對(duì)值、有理數(shù)運(yùn)算、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．
17．（理解新知）
如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，
（1）線段的中點(diǎn) 這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）
（2）（初步應(yīng)用）
如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則 ；
（3）（解決問題）
如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 t，請(qǐng)求出 為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．
【思路指引】
（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)平分線段長(zhǎng)的性質(zhì)，以及題目中所給的“奇妙點(diǎn)”的定義，進(jìn)行判斷即可．
（2）由“奇妙點(diǎn)”定義，此題分為三種情況，情況1：，即N為CD的中點(diǎn)；情況2：，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)；情況3：，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，根據(jù)以上三種情況，分別求出CN的長(zhǎng)度．
（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點(diǎn)”，故此題分兩大類情況，情況1：當(dāng)P、Q未相遇之前，P是 “奇妙點(diǎn)”時(shí)，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長(zhǎng)度關(guān)系列方程，分別求出對(duì)應(yīng)時(shí)間；情況2：當(dāng)P、Q相遇之后，Q是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長(zhǎng)度關(guān)系列方程，求出每種情況對(duì)應(yīng)的時(shí)間．
【詳解詳析】
（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)可知：被中點(diǎn)平分的兩條線段長(zhǎng)度是線段總長(zhǎng)的一半，
根據(jù)“奇妙點(diǎn)”定義可知：線段的中點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．
故答案是：是；
（2）是線段CD的“奇妙點(diǎn)”
根據(jù)定義，此題共分為三種情況．
當(dāng)，即N為CD的中點(diǎn)時(shí)，有CN=12cm．
當(dāng)，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=8cm．
當(dāng)，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=16cm．
故答案為：8或12或16．
（3）解：由題意可知，A點(diǎn)不可能是“奇妙點(diǎn)”，故P或Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．

t秒后，，．
當(dāng)P點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．
由“奇妙點(diǎn)”定義可分三種情況．
當(dāng)時(shí)，有 解得
當(dāng)時(shí)，有 解得
當(dāng)時(shí)，有 解得
當(dāng)Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，有 解得
當(dāng)時(shí)，有 解得
當(dāng)時(shí)，有 解得
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；
當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．
【名師指路】
本題屬于新定義題，主要是考察了線段中點(diǎn)、線段長(zhǎng)度、列方程等知識(shí)點(diǎn)，本題討論情況較多，從側(cè)面考察了數(shù)學(xué)中比較重要的分類討論思想，根據(jù)題意，能夠正確地進(jìn)行分類討論，把每一種情況列舉完全，是解決該題的關(guān)鍵．
18．【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．
（1）若AC=2，求AB的長(zhǎng)；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），試求出線段BD的長(zhǎng)，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；
【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)性的滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)C的位置，求點(diǎn)C所表示的數(shù)；若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；
（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D所表示的數(shù)（答案保留π）．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）AB的長(zhǎng)為（）；（2）BD長(zhǎng)為2，；（3）C表示的數(shù)為（），的長(zhǎng)為（）；（4）點(diǎn)D表示的數(shù)是1或或或．
【思路指引】
（1）利用BC=πAC求出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)．
（2）設(shè)AC的長(zhǎng)為x，BD的長(zhǎng)為y，利用圓周率點(diǎn)的定義，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，進(jìn)而得到x=y，故此時(shí)有．
（3）利用旋轉(zhuǎn)一周即為圓的周長(zhǎng)，得到C點(diǎn)表示的數(shù)，假設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)最近，設(shè)，利用圓周率點(diǎn)及題（2）的結(jié)論，求出，最后求出MN的長(zhǎng)度即可．.
（4）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)條件分四類情況：，，，，進(jìn)行分類討論，設(shè)出對(duì)應(yīng)的方程進(jìn)行求解m的值．
【詳解詳析】
（1）,，
，
．
（2）點(diǎn)D、C都是線段AB的圓周率點(diǎn)且不重合，
，．
設(shè)， ，則有，，
，
，
，
．
（3）由題意可知：C點(diǎn)表示的數(shù)是
均為線段OC的圓周率點(diǎn)，
不妨設(shè)M點(diǎn)里O點(diǎn)近，且，，
，解得，
，，，
由（2）可知：
．
（4）解：設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可知，共分為四種情況．
①若，則有，解得．
②若，則有，解得．
③若，則有，解得．
④若，則有，解得．
綜上所述，點(diǎn)D表示的數(shù)是1或或或．
【名師指路】
本題是新定義題型，主要考察了列方程和分類討論的思想，讀懂題目中的新定義，并且正確找到分類討論的所有情況，是解決本題的關(guān)鍵．
19．如圖，線段AB＝20厘米，點(diǎn)C以每秒鐘2厘米的速度從點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．點(diǎn)M為線段AC中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≠0）秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，t＝ 秒；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，MN的長(zhǎng)度是否與t的取值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有t的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)；若無關(guān)，請(qǐng)利用代數(shù)式的相關(guān)知識(shí)說明理由．
（3）在點(diǎn)C開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P以每秒鐘4厘米的速度從點(diǎn)B出發(fā)，在點(diǎn)B和點(diǎn)M之間做往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)．
②在運(yùn)動(dòng)時(shí)間t從第4秒開始到停止運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出當(dāng)PM＝3PC時(shí)的t值．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）10；（2）與t的取值無關(guān)，理由見解析；（3）①6厘米；②秒或8秒
【思路指引】
（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了20厘米，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，即可求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）MN的長(zhǎng)度與t的取值無關(guān)，根據(jù)中點(diǎn)的意義及線段的和差關(guān)系即可求得MN的長(zhǎng)；
（3）①考慮首次重合時(shí)，由AM+BP=20，建立方程即可求得t的值，從而可求得CN的長(zhǎng)；再考慮有無再次重合的可能，當(dāng)點(diǎn)P首次回到起點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C離點(diǎn)B的距離，即可判斷能否再次重合；
②分兩種情況：點(diǎn)P位于點(diǎn)C的左側(cè)和點(diǎn)P位于點(diǎn)C的右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，則有，由此關(guān)系式建立方程即可，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，則有，由此關(guān)系式建立方程即可．
【詳解詳析】
（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了20厘米，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為20÷2=10（秒）
故答案為：10
（2）MN的長(zhǎng)度與t的取值無關(guān)；理由如下：
∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)
∴，
∵AC+BC=20
∴
即MN的長(zhǎng)度與t的取值無關(guān)
（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M首次重合時(shí)，如圖
則AM+BP=20
由題意：AC=2t厘米，則AM=t厘米，BP=4t厘米
∴t+4t=20
解得：t=4
此時(shí)AC=2×4=8(厘米)，BC=20?8=12(厘米)
∴
點(diǎn)P與點(diǎn)M沒有第二次重合的可能
點(diǎn)P與點(diǎn)M首次重合時(shí)，BP=16厘米，點(diǎn)P要再運(yùn)動(dòng)16÷4=4秒才能回到B點(diǎn)，也就是說點(diǎn)P回到起點(diǎn)共花費(fèi)8秒，此時(shí)點(diǎn)M從起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了8厘米，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了16厘米，點(diǎn)C距離終點(diǎn)B只有4厘米，只要2秒即可到達(dá)終點(diǎn)，而點(diǎn)P從點(diǎn)B這時(shí)只能運(yùn)動(dòng)8厘米，點(diǎn)M只能運(yùn)動(dòng)2厘米；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了8秒時(shí)，M點(diǎn)與B點(diǎn)相距20?8=12（厘米），但8+2

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