知識點(diǎn)1：十字相乘法
要點(diǎn)一、十字相乘法
利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則.
要點(diǎn)詮釋：(1)在對分解因式時，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，
則、同號(若，則、異號)，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定、的符號；
(2)若中的為整數(shù)時，要先將分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.
要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個因數(shù)之積，即
，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個因式與之積，即.
要點(diǎn)詮釋：(1)分解思路為“看兩端，湊中間”
(2)二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號
里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.
知識點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法
1、提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。
2、符號語言：
3、提公因式的步驟：
(1)確定公因式 (2)提出公因式并確定另一個因式(依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式)
4、注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底
知識點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
若關(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.
【題型歸納目錄】
題型一：十字相乘法
題型二：提取公因式法與分組分解法
題型三：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的因式分解
【典例例題】
題型一：十字相乘法
例1．(2023·安徽滁州·八年級校考階段練習(xí))由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
(1)嘗試：分解因式：__________________；
(2)應(yīng)用：請用上述方法解方程：．
【解析】(1)，
故答案為：2，5；
(2)原方程可化為，
∴或，
解得：，．
例2．(2023·浙江·七年級專題練習(xí))閱讀材料：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，我們很容易計算：
；．
而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：
；．
通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．如將式子分解因式．這個式子的二次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，可以用下圖十字相乘的形式表示為：
先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．
利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【解析】(1)∵，，
∴；
故答案為：；
(2)∵，，
∴；
故答案為：；
(3)∵，，
∴；
故答案為：；
(4)∵，，
∴；
故答案為：．
例3．(2023·江蘇·七年級期中)閱讀理解完成任務(wù)：教材第121頁閱讀與思考中有一種因式分解的方法叫十字相乘法，書中描述分解因式的過程如下：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)(如分解圖)，這樣，我們就可以得到：
某同學(xué)看完教材沒完全懂，問老師后就懂了，老師講解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次項(xiàng)系數(shù)6，可分解為或或或，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)－3，可分解為或，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，這樣就會出現(xiàn)16種情況(如下分解圖)，求代數(shù)和等于一次項(xiàng)系數(shù)7，符合分解的分解圖有2種情況(就是方框框起的兩種情況)．所以得到：或．
十字相乘法公式：(其中，a，b，c，d為常數(shù))
閱讀以上材料，完成以下任務(wù)：請用十字相乘法分解下列多項(xiàng)式，要求寫出一種符合分解的分解圖．
(1)
(2)
【解析】(1)分解圖如下：
∴；
(2)分解圖如下：
∴．
變式1．(2023·全國·八年級期末)仔細(xì)閱讀下面例愿，并解答問思：已知二次三項(xiàng)式有一個因式是，求另一個因式以及m的值．參考答案
設(shè)另一個因式為，得，則，解得：．另一個因式為．
(1)若二次三項(xiàng)式可分解為，則 ；
(2)若二次三項(xiàng)式可分解為，則 ；
(3)已知二次三項(xiàng)式有一個因式是，求另一個因式以及k的值．
【解析】(1)由題意得：，
所以，
所以，
解得，
故答案為：4．
(2)由題意得：，
所以，
所以，
故答案為：1．
(3)設(shè)另一個因式為，
則，
所以，
所以，，
解得，，
所以另一個因式是，的值為．
變式2．(2023·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期中)閱讀理解題：
由多項(xiàng)式乘法： ，將該式從右到左使用，即可得到因式 分解的公式：．
示例：分解因式：
分解因式：多項(xiàng)式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為 1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．
(1)嘗試：分解因式：
(2)應(yīng)用：請用上述方法將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
【解析】(1)
，
故答案為：2，4或4，2；
(2)
．
變式3．(2023·八年級課時練習(xí))閱讀下列材料：將一個形如的二次三項(xiàng)式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．
例如：(1)；(2)．
根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】(1)；
(2)；
(3)．
題型二：提取公因式法與分組分解法
例4．(2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模)分解因式______．
【答案】
【解析】原式，
故答案為：．
例5．(2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模)若，，則__________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
故答案為：．
例6．(2023·安徽黃山·?？家荒?分解因式：_______．
【答案】
【解析】
．
故答案為：．
變式4．(2023·廣東廣州·廣州市南武中學(xué)校考二模)分解因式：______．
【答案】
【解析】．
故答案為：．
變式5．(2023·安徽蚌埠·校考一模)分解因式：_________．
【答案】
【解析】
．
故答案為：．
變式6．(2023·四川內(nèi)江·校考一模)分解因式： _____________．
【答案】
【解析】
，
故答案為：．
變式7．(2023·全國·九年級專題練習(xí))當(dāng)時，代數(shù)式__________
【答案】
【解析】∵，，
∴
．
故答案為：0．
變式8．(2023·全國·九年級專題練習(xí))分解因式：= ___________
【答案】
【解析】
故答案為：．
變式9．(2023·山東聊城·統(tǒng)考一模)分解因式：_____
【答案】
【解析】
，
故答案為：.
題型三：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的因式分解
例7．(2023·全國·九年級專題練習(xí))分解因式：
(1)；
(2)．
【解析】(1)
；
(2)
．
例8．(2023·河北張家口·?？寄M預(yù)測)問題情景：將下列完全平方式進(jìn)行因式分解，將結(jié)果直接寫在橫線上．
；；__________；
探究發(fā)現(xiàn)：觀察以上多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)：；；；
歸納猜想：若多項(xiàng)式是完全平方式，則a，b，c之間存在的數(shù)量關(guān)系為；
驗(yàn)證結(jié)論：嘉琪驗(yàn)證歸納猜想中的結(jié)論的過程如下，請補(bǔ)全嘉琪的驗(yàn)證過程；
____________________
∵是完全平方式，
∴__________，即．
解決問題：
①若多項(xiàng)式是一個完全平方式，求n的值；
②若多項(xiàng)式加上一個含字母y的單項(xiàng)式就能變形為一個完全平方式，請直接寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式．
【解析】問題情境：，
故答案為：．
驗(yàn)證結(jié)論：
∵是完全平方式，
∴，即．
故答案為：；(或)；(或)；
解決問題：①∵多項(xiàng)式是一個完全平方式，
∴，
解得：；
②當(dāng)添加的含字母y的單項(xiàng)式為中間項(xiàng)時，
∵，
∴此時需要添加的單項(xiàng)式為或；
當(dāng)添加的含字母y的單項(xiàng)式為平方項(xiàng)時，
∵，
∴此時需要添加的單項(xiàng)式為；
綜上分析可知，需要添加的含y的單項(xiàng)式為，或．
例9．(2023·浙江溫州·七年級?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于x的多項(xiàng)式因式分解后有一個因式是．
(1)求m的值；
(2)將該多項(xiàng)式因式分解．
【解析】(1)∵x的多項(xiàng)式分解因式后有一個因式是，
當(dāng)時多項(xiàng)式的值為0，
即，
∴，
∴；
(2)∵，
∴．
變式10．(2023·江蘇·七年級專題練習(xí))分解因式
(1)．
(2)
(3)
【解析】(1)∵，
∴原式．
(2)∵，
∴原式．
(3)∵
∴原式．
變式11．(2023·江蘇無錫·七年級宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?分解因式：
(1)；
(2)．
【解析】(1)原式；
(2)原式．
變式12．(2023·全國·八年級專題練習(xí))因式分(1)
(2)
(3)
【解析】(1)
；
(2)
；
(3)
．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．(2023·陜西西安·八年級交大附中分校?？计谥?多項(xiàng)式可因式分解成，其中a、b均為整數(shù)，則ab的值為( )
A．B．C．6D．5
【答案】B
【解析】∵
∴，即．
故選：B．
2．(2023·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考開學(xué)考試)下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A、等式從左邊到右邊屬于整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、等式的右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、等式從左邊到右邊把一個多項(xiàng)式化成整式積的形式，符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)符合題意；
D、等式的右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
3．(2023·江蘇無錫·七年級無錫市江南中學(xué)?？计谥?下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A．，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．，從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
C．，因式分解錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．，等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
4．(2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測)下列因式分解正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、不能進(jìn)行因式分解，不符合題意；
B、，因式分解正確，符合題意；
C、，因式分解錯誤，不符合題意；
D、，因式分解錯誤，不符合題意；
故選：B．
5．(2023·廣東深圳·?？级?下列說法正確的是( )
A．五邊形的外角和是
B．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
C．因式分解是正確的
D．關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】D
【解析】五邊形的外角和是，A錯誤，故不符合要求；
對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，B錯誤，故不符合要求；
，C錯誤，故不符合要求；
由，可得，則關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，D正確，故符合要求；
故選：D．
6．(2023·河北滄州·模擬預(yù)測)若，則的值為( )
A．10B．6C．5D．3
【答案】D
【解析】∵，
∴，即
∴，解得：．
故選D．
7．(2023·安徽安慶·校聯(lián)考一模)下列各式中能用完全平方公式因式分解的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、不符合完全平方公式的特點(diǎn)， 故不符合題意；
B、不符合完全平方公式的特點(diǎn)， 故不符合題意；
C、，用平方差公式分解，故不符合題意；
D、，用完全平方公式分解，故符合題意；
故答案為：D．
8．(2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考三模)已知三個實(shí)數(shù)，，，滿足，，則下列結(jié)論正確的是( )
A．，B．，C．D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，即或，故A、B結(jié)論錯誤，不符合題意；
∵，
∴，故C結(jié)論錯誤，不符合題意，D結(jié)論正確，符合題意；
故選D．
9．(2023·山東棗莊·?？家荒?已知、、為三邊，且關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則這個三角形是( )
A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．不等三角形
【答案】C
【解析】∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
即
∴
∴或
∴這個三角形是等腰三角形，
故選：C．
10．(2023·浙江·九年級專題練習(xí))如果能被整除，則的值是( )
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解析】∵
∴能被整除，
即是方程的根，
∴，解得，
∴，
∴，
故選A．
二、填空題
11．(2023·江西吉安·統(tǒng)考一模)已知方程的兩個解分別為，則的值為_______．
【答案】
【解析】∵方程的兩個解分別為，
∴，，
．
故答案為：．
12．(2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測)若多項(xiàng)式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式，則a的值為_______________
【答案】
【解析】∵多項(xiàng)式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式，∵．
∴．
∴．
故答案為-7．
13．(2023·安徽蚌埠·?？寄M預(yù)測)分解因式： ______．
【答案】
【解析】
．
14．(2023·江蘇·模擬預(yù)測)因式分__________.
【答案】
【解析】，
，
．
故答案是．
15．(2023·黑龍江綏化·校考二模)分解因式____________________．
【答案】
【解析】
，
故答案為：．
三、解答題
16．(2023·河北石家莊·石家莊市第四十中學(xué)?？级?數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見互逆運(yùn)算，例如加法和減法互為逆運(yùn)算，乘法和除法互為逆運(yùn)算，分解因式和整式乘法也是互逆運(yùn)算．請回答下列問題：
(1)是因式分解的_________(在括號內(nèi)寫序號)；
(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊中，有這樣一條信息：分別對應(yīng)下列六個字：四、愛、學(xué)、中、我、十．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是哪四個字？
【解析】(1)②③
(2)提取公因式，利用平方差公式得：，
所以對應(yīng)的四個字可能是“我愛四十”．
17．(2023·河北邯鄲·?？既?如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如，，．因此，、、這三個數(shù)都是神秘數(shù)．
(1)驗(yàn)證和這兩個數(shù)是否為神秘數(shù)；
(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為和(其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是的倍數(shù)嗎? 請說明理由．
【解析】(1)∵
∴和這兩個數(shù)都是神秘數(shù)；
(2)是，理由如下
∵這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)為
∵取非負(fù)整數(shù)
∴由和造的神秘數(shù)是的倍數(shù)
18．(2023·河北唐山·統(tǒng)考二模)填空：；；_______；
發(fā)現(xiàn)：兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除；
論證：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個正偶數(shù)中較小的為(n為正整數(shù))，請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論；
應(yīng)用：請將36表示成兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差．
【解析】；
論證：
，
∵n為正整數(shù)，
∴兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除，
應(yīng)用：．
19．(2023·湖南衡陽·九年級統(tǒng)考期中)先化簡，再求值：已知，．求代數(shù)式的值．
【解析】∵，
∴
∴
20．(2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測)在一次數(shù)學(xué)課上，張老師對大家說：“你任意想一個非零有理數(shù)，然后按下列步驟操作，去運(yùn)算出最后結(jié)果．”
操作步驟如下：
第一步：計算這個數(shù)與1的和的平方，減去這個數(shù)與1的差的平方；
第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；
第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個數(shù)．
(1)若嘟嘟同學(xué)心里想的是數(shù)，請你計算出最后結(jié)果；
(2)老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等．”雯雯想驗(yàn)證這個結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是，請你幫雯雯完成這個驗(yàn)證過程．
【解析】(1)
(2)由題意得
，
∴最后的結(jié)果為100，結(jié)論得證．
21．(2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模)嘉淇上小學(xué)時得知“一個數(shù)的各個數(shù)字之和能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除”，她后來做了如下分析：
(1)通過計算驗(yàn)證能否被3整除；
(2)用嘉淇的方法證明能被3整除；
(3)設(shè)是一個四位數(shù)．，，，分別為對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，請論證“若能被3整除，則這個數(shù)可以被3整除”．
【解析】(1)
∴258能被3整除；
(2)
∵為整數(shù)，6為整數(shù)，
∴能被3整除，能被3整除，
∴能被3整除．
(3)證明：
，
∵能被3整除，
∴若“”能被3整除，則能被3整除；
22．(2023·山西長治·統(tǒng)考一模)(1)計算：；
(2)下面是小穎對多項(xiàng)式因式分解的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
分解因式：．
原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
任務(wù)一：以上變形過程中，第一步依據(jù)的公式用字母，表示為 ；
任務(wù)二：以上分解過程第 步出現(xiàn)錯誤，具體錯誤為 ，分解因式的正確結(jié)果為 ．
【解析】(1)
；
(2)原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
任務(wù)一：以上變形過程中，第一步依據(jù)的公式用字母，表示為：；
任務(wù)二：以上分解過程第四步出現(xiàn)錯誤，具體錯誤為：進(jìn)行乘法運(yùn)算，分解因式的正確結(jié)果為：．
故答案為：，四，進(jìn)行乘法運(yùn)算，．
23．(2023·安徽合肥·合肥市第四十八中學(xué)?？家荒?仔細(xì)觀察下列各式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
請你根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第4個等式：___________；
(2)寫出第(為正整數(shù))個等式，并證明等式成立．
【解析】(1)第4個等式：，
故答案為：．
(2)第(為正整數(shù))個等式，
證明：左邊
∴左邊右邊
嘉淇的分析：
∵為整數(shù)，5為整數(shù)，
∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．

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