高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第三課時(shí)三角恒等變換(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【回歸教材】
1.兩角和與差的正余弦與正切
①； ②； ③
2.二倍角公式
①； ②； ③；
3.輔助角公式
（其中）．
3.公式變形
（1）兩角和與差正切公式變形
；
．
（2）降冪公式與升冪公式
；
．（3）其他常用變式
．（4）拆分角問題
①；；②；③；
④；⑤．
（5）半角公式
【典例講練】
題型一基本公式的應(yīng)用
【例1-1】求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；
【例1-2】求下列各式的值：
(1)； (2) (3)
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】利用二倍角公式求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【練習(xí)1-2】___________.
題型二輔助角公式的應(yīng)用
【例2-1】化簡
(1) (2)
【例2-2】求值=______
【例2-3】設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則__________.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】把化成的形式___________.
【練習(xí)2-2】的最大值是________.
【練習(xí)2-3】若函數(shù)取最小值時(shí)，則___________.
題型三升（降）冪公式的應(yīng)用
【例3-1】化簡的結(jié)果是（）
A．B．
C．D．
【例3-2】函數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】化簡：（）
A．B．C．D．
【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，則的最小正周期為（）
A．B．C．D．
題型四求值問題
【例4-1】化簡，求值
（1）（2）（3）
【例4-2】已知，則______．
【例4-3】設(shè)，且，，則（）
A．B．C．D．或
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】(1)已知，且是第三象限角，求的值；
(2)已知，求及的值.
【完成課時(shí)作業(yè)（二十六）】
【課時(shí)作業(yè)（二十六）】
A組礎(chǔ)題鞏固
1．若，則（）
A．B．C．7D．
2．已知?jiǎng)t（）
A．B．C．D．
3．設(shè)，且，則（）
A．B．C．D．
4．已知，則（）
A．B．C．D．
5．已知，，，則（）
A．B．C．D．
6．設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
7．（）
A．B．C．D．
8．【多選題】下列等式成立的是（）
A．B．
C．D．
9．的值等于____________．
10．tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
11．已知，且，求的值為_____．
12．要使有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________．
13．求解下列問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值.
B組挑戰(zhàn)自我
1．若，，則（）
A．B．C．D．
2．若，，則（）
A．B．C．D．
3．若，則___________.
4．已知，，則______．
5．（1）已知，其中是第三象限角，化簡
（2）已知，均為銳角，且，，求的值．
第 3 課時(shí) 三角恒等變換
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.兩角和與差的正余弦與正切
①； ②； ③
2.二倍角公式
①； ②； ③；
3.輔助角公式
（其中）．
3.公式變形
（1）兩角和與差正切公式變形
；
．
（2）降冪公式與升冪公式
；
．（3）其他常用變式
．（4）拆分角問題
①；；②；③；
④；⑤．
（5）半角公式
【典例講練】
題型一基本公式的應(yīng)用
【例1-1】求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）；
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】
(1) =,然后利用正弦的和角公式求解.
(2) 然后利用正弦的和角公式求解.
(3) 然后利用正切的差角公式求解.
【詳解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
【點(diǎn)睛】
本題考查利用兩角和的正弦三角函數(shù)公式與兩角和差的正切的三角函數(shù)公式求解特殊角的三角函數(shù),屬于基礎(chǔ)題.
【例1-2】求下列各式的值：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
由條件利用兩角和差的三角公式、誘導(dǎo)公式，即可求出各題．
(1)
解：；
(2)
解：；
(3)
解：；
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】利用二倍角公式求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式直接求得；
（2）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（3）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（4）利用二倍角的正切公式直接求得.
(1)
.
(2)
.
(3)
(4)
【練習(xí)1-2】___________.
【答案】
【解析】
【分析】
將原式化切為弦，通分，然后利用兩角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【詳解】
.
故答案為：.
題型二輔助角公式的應(yīng)用
【例2-1】化簡
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
三角換元之后，逆用和差角公式即可化簡
(1)
(2)
【例2-2】求值=______
【答案】.
【解析】
【分析】
利用輔助角公式，即可求解.
【詳解】
解：
．
故答案為：.
【例2-3】設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)最值情況可得解.
【詳解】
由輔助角公式可知，，，，
當(dāng)，時(shí)取最大值，
即，
，
故答案為.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】把化成的形式___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用輔助角公式可得，再由誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化為的形式即可.
【詳解】
，
.
故答案為：.
【練習(xí)2-2】的最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用輔助角公式將進(jìn)行化簡，即可求解.
【詳解】
解：，其中為銳角，且，
故當(dāng)時(shí)，.
故答案為：.
【練習(xí)2-3】若函數(shù)取最小值時(shí)，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)的恒等變換，再利用誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】
，其中
時(shí)取最小值，，
故答案為：.
題型三升（降）冪公式的應(yīng)用
【例3-1】化簡的結(jié)果是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化簡可得結(jié)果.
【詳解】
原式
.
故選：D.
【例3-2】函數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角的降冪公式化簡函數(shù)解析式，利用余弦型函數(shù)的有界性可求得結(jié)果.
【詳解】
，.
故選：C.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】化簡：（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由倍角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】
故選：A
【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，則的最小正周期為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方關(guān)系、降冪及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最小正周期.
【詳解】
由題設(shè)，，
所以最小正周期為.
故選：B
題型四求值問題
【例4-1】化簡，求值
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）2；（3）；【解析】
【詳解】
（1）原式
（2）原式
（3）原式
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：給角求值型問題，指的是給出了角的大小，化簡求三角式的值.解答這種問題，一般是“三看三變”,“三看”指的是看角、看名、看式,“三變”指的是變角、變名、變式.
【例4-2】已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦公式求解作答.
【詳解】
因，所以
故答案為：
【例4-3】設(shè)，且，，則（）
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)兩角和與差的余弦公式，結(jié)合角度的范圍求解即可
【詳解】
因?yàn)椋?，所以?易知，，，則，故.
故選：A
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】(1)已知，且是第三象限角，求的值；
(2)已知，求及的值.
【答案】(1)；(2)7，.
【解析】
【詳解】
(1)∵，且是第三象限角，∴.
∴.
(2)∵，
∴.
.
∵
∴.
∴.
【完成課時(shí)作業(yè)（二十六）】
【課時(shí)作業(yè)（二十六）】
A組礎(chǔ)題鞏固
1．若，則（）
A．B．C．7D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角恒等式求出以及的值，再根據(jù)兩角和的正切公式即可得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
故選：B.
2．已知?jiǎng)t（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡計(jì)算.
【詳解】
解：.
故選：A
3．設(shè)，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)二倍角的正切公式與兩角和的正切公式求解，再分析角度范圍得到即可
【詳解】
因?yàn)椋?，且，所以，則
故選：A．
4．已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式求，再由結(jié)合誘導(dǎo)公式求目標(biāo)函數(shù)的值.
【詳解】
由，又，
所以.
故選：C．
5．已知，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由平方關(guān)系求得，，再由兩角差的余弦公式求解即可.
【詳解】
由可得，則，，
則.
故選：D.
6．設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題設(shè)，根據(jù)輔助角公式與二倍角的余弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；
【詳解】
由題設(shè)，，
根據(jù)二倍角公式，得，又，
因?yàn)?，所以，?br>故選：A
7．（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡可得結(jié)果.
【詳解】
.
故選：A.
8．【多選題】下列等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用三角恒等變換公式化簡計(jì)算可得；
【詳解】
解：對于A：
，故A正確；
對于B：
，故B錯(cuò)誤；
對于C：，
所以，
所以，故C正確；
對于D：
，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
9．的值等于____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用誘導(dǎo)公式、降次公式進(jìn)行化簡求值.
【詳解】
.
故答案為：
10．tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
【答案】－1
【解析】
【分析】
逆用兩角差的正切公式化簡求值．
【詳解】
∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
故答案為：．
11．已知，且，求的值為_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
注意到，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.
【詳解】
，則，注意到
，于是
，不妨記
，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：
，而，于是
.
故答案為：.
12．要使有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍，列出不等式求解作答.
【詳解】
因，因此，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故答案為：
13．求解下列問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通過已知條件求得，從而求得正確答案.
（2）結(jié)合誘導(dǎo)公式、降次公式、二倍角公式求得正確答案.
(1)
依題意，
，解得，
所以.
(2)
.
B組挑戰(zhàn)自我
1．若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式結(jié)合已知條件化簡求得的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，代值計(jì)算可得的值.
【詳解】
因?yàn)椋?br>，則，則，且有，則，即，
所以，，即，
即，所以，，故，
因此，.
故選：D.
2．若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用結(jié)合角的范圍將目標(biāo)式子化簡，然后結(jié)合正弦、余弦的齊次式，將之化為正切的式子，然后將條件代入即可得出答案.
【詳解】
因?yàn)?，，所以，?br>所以
．
故選: C．
3．若，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由誘導(dǎo)公式結(jié)合和差角公式求解即可.
【詳解】
故答案為：
4．已知，，則______．
【答案】
【解析】
【分析
】
由誘導(dǎo)公式、輔助角公式、倍角公式得出，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合得出.
【詳解】
由題知，則，即，即，即，則或，．因?yàn)?，所以，所以，解得?br>5．（1）已知，其中是第三象限角，化簡
（2）已知，均為銳角，且，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用平方關(guān)系和是第三象限角化簡可得；
（2）利用平方關(guān)系和和差公式求，然后結(jié)合范圍可得.
【詳解】
（1）是第三象限角，
，，，
∴
（2）因?yàn)榫鶠殇J角，，
所以，，
所以
由，均為銳角，則，所以

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多