【回歸教材】
1．分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．
2．分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．
3．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別
【典例講練】
題型一 兩個計數(shù)原理
【例1-1】為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設立了11個接種點，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設立了19個接種點．某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（ ）
A．11種B．19種C．30種D．209種
【例1-2】已知集合，，從集合S，P中各取一個元素作為點的坐標，在直角坐標系中表示不同點的個數(shù)為_________.
【例1-3】如圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）
A．24B．18C．12D．35
歸納總結：
【練習1-1】某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（ ）
A．4種B．6種C．8種D．12種
【練習1-2】從集合中分別取2個不同的數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到多少個不同的對數(shù)值？
【練習1-3】如圖為某地街道路線簡圖，甲從街道的A處出發(fā)，先到達B處與乙會和，再一起去到C處，可以選擇的最短路徑條數(shù)為___________．
題型二 數(shù)字問題
【例2-1】現(xiàn)有0，1，2，3，4，5六個數(shù)字.
(1)用所給數(shù)字能夠組成多少個四位數(shù)？
(2)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)？
(3)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字且比3142大的數(shù)？（最后結果均用數(shù)字作答）
歸納總結：
【練習2-1】由數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù).
(1)一共可以組成多少個五位偶數(shù)？ (2)在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有幾個？
【練習2-2】杭二中數(shù)學興趣小組用“1，2，3，4，5，6”來構成四位數(shù)．
(1)共有多少個無重復數(shù)字的四位數(shù)； (2)在這些無重復數(shù)字的四位數(shù)中有多少個是3的倍數(shù)．
題型三 冠軍問題
【例3-1】在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種
A．B．C．D．
【例3-2】現(xiàn)有3位游客來黃山旅游，分別從4個景點中任選一處游覽，不同選法的種數(shù)是（ ）
A．B．C．24D．12
歸納總結：
【練習3-1】某班有5名同學報名參加三個智力競賽項目．
(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限，有多少種不同的報名方法？
(2)每項只報1人，且每人至多參加一項，有多少種不同的報名方法？
題型四 染色問題
【例4-1】在如圖所示的5個區(qū)域內種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（ ）
A．1440B．720C．1920D．960
【例4-2】給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）
A．24B．72C．96D．144
歸納總結：
【練習4-1】學習涂色能鍛煉手眼協(xié)調能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內，則共有______種不同的涂色方法.
【練習4-2】用6種不同的顏色對正四棱錐的8條棱染色，每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有_________種．
題型五 幾何問題
【例5-1】平面內有10個點，其中任意3個點不共線.
（1）以其中任意2個點為端點的線段有多少條？
（2）以其中任意2個點為端點的有向線段有多少條？
（3）以其中任意3個點為頂點的三角形有多少個？
【例5-2】平面內有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線，以這些點為頂點，可得多少個不同的三角形?
歸納總結：
【練習5-1】【多選題】下列說法正確的是（ ）
A．空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作56個平面
B．平面內有10條直線，它們最多有90個交點
C．以正方體的頂點為頂點的三棱錐有70個
D．平面內有兩組平行線，一組有5條，另一組有4條，這兩組平行線相交，可以構成60個平行四邊形
【完成課時作業(yè)（六十五）】
【課時作業(yè)（六十五）】
A組 礎題鞏固
1．2022年北京冬奧會某滑雪項目有四個不同的運動員服務點，現(xiàn)需將5名志愿者分配到這四個運動員服務點處，每處至少需要1名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）種．
A．B．C．240D．480
2．一個電路中含有（1）（2）兩個零件，零件（1）含有A，B兩個元件，零件（2）含有C，D，E三個元件，每個零件中有一個元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正常工作的線路條數(shù)為（ ）
A．9B．8C．6D．5
3．7月3日，甲、乙兩人從邢臺各自乘坐火車到石家莊，當天從刑臺到石家莊有11個車次，其中有5個車次的發(fā)車時間為凌晨1點到凌晨5點，有6個車次的發(fā)車時間為早上7點到晚上6點.已知甲選擇凌晨6點以后出發(fā)的車次，乙選擇凌晨1點到晚上6點出發(fā)的車次，則兩人車次的不同選擇共有（ ）
A．11種B．36種C．66種D．121種
4．從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字（允許重復），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．7B．9C．10D．13
5．3名同學報名參加足球隊、籃球隊，每名同學限報其中的一個運動隊，則不同的報名方法的種數(shù)是（ ）
A．8B．6C．5D．9
6．漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構成．現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（ ）
A．180B．192C．300D．420
7．【多選題】現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的結論正確的是（ ）
A．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法
B．若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有2個空盒的放法共有18種
C．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有1個空盒的放法共有72種
D．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子一個小球，且小球的編號和盒子的編號全不相同的方法共有9種
8．某學校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．（用數(shù)字作答）
9．如圖，某地有南北街道5條、東西街道6條．一郵遞員從該地東北角的郵局A出發(fā)，送信到西南角的B地，且途經C地，要求所走路程最短，共有 種不同的走法？
10．某社區(qū)服務站將5名抗疫志愿者分到3個不同的社區(qū)參加疫情防控工作，要求每個社區(qū)至少1人，則不同的分配方案有__________種.
11．用0、1、2、3、4五個數(shù)字．
(1)可組成多少個五位數(shù)？
(2)可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？
(3)可組成多少個無重復數(shù)字且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？
(4)可組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)？
(5)組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，將這些數(shù)字由小到大排列，42130是第幾個數(shù)？
(6)已知橢圓方程，其中，則滿足焦距不小于的不同橢圓方程有多少個？
B組 挑戰(zhàn)自我
1．過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線連線中構成異面直線的對數(shù)為（ ）
A．18B．30C．36D．54
2．四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學的格斯里提出來的，其內容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學興趣小組在研究給四棱錐的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（ ）
A．36種B．72種C．48種D．24種
3．從正十五邊形的頂點中選出3個構成鈍角三角形，則不同的選法有（ ）.
A．105種B．225種C．315種D．420種
4．數(shù)字2022具有這樣的性質：它是6的倍數(shù)并且各位數(shù)字之和為6，稱這種正整數(shù)為“吉祥數(shù)”.在所有的三位正整數(shù)中，“吉祥數(shù)”的個數(shù)為___________.原理
分類加法計數(shù)原理
分步乘法計數(shù)原理
聯(lián)系
兩個計數(shù)原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言
區(qū)別一
每類辦法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事
每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事
區(qū)別二
各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的
各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏
第 3 課時 計數(shù)原理
編寫：廖云波
【回歸教材】
1．分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．
2．分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．
3．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別
【典例講練】
題型一 兩個計數(shù)原理
【例1-1】為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設立了11個接種點，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設立了19個接種點．某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（ ）
A．11種B．19種C．30種D．209種
【答案】C
【分析】根據題意，該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點,由加法原理計算可得答案.
【詳解】該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點，所以共有種不同接種點的選法．
故選：C．
【例1-2】已知集合，，從集合S，P中各取一個元素作為點的坐標，在直角坐標系中表示不同點的個數(shù)為_________.
【答案】29
【分析】由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，S集合中選出一個數(shù)字共有3種選法，P集合中選出一個數(shù)字共有5種結果，取出的兩個數(shù)字可以作為橫標和縱標，因此要乘以2，去掉重復的數(shù)字，得到結果．
【詳解】解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，
首先從S集合中選出一個數(shù)字共有3種選法，
再從P集合中選出一個數(shù)字共有5種結果，
取出的兩個數(shù)字可以作為橫標，也可以作為縱標，
∴ 共有，
其中重復了一次．去掉重復的數(shù)字有種結果，
故答案為：29
【例1-3】如圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）
A．24B．18C．12D．35
【答案】B
【分析】利用組合數(shù)以及分步乘法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】從到，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，
從到最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，
其中2段方向相同，另2段方向相同，
每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，
選出2段走北向的，故共有種走法.
同理從到，最短的走法，有種走法.
∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為種走法.
所以B選項是正確的.
故選：B
歸納總結：
【練習1-1】某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（ ）
A．4種B．6種C．8種D．12種
【答案】B
【分析】應用分步乘法求小明選擇方案的方法數(shù).
【詳解】根據題意，分2步進行分析：
①小明必選化學，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；
②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．
由分步乘法計數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種）．
故選：B
【練習1-2】從集合中分別取2個不同的數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到多少個不同的對數(shù)值？
【答案】
【分析】分所取得兩個數(shù)中是否含有1分為兩類，再利用排列的計算公式、對數(shù)的運算法則和性質即可得出.
【詳解】①當取得兩個數(shù)中有一個是1時，則1只能作真數(shù)，此時或3或4或5或6或7或8或9.
②所取的兩個數(shù)不含有1時，即從2，3, 4，5，6，7，8, 9中任取兩個，分別作為底數(shù)與真數(shù)可有個對數(shù)，
但是其中，
綜上可知:共可以得到個不同的對數(shù)值.
【練習1-3】如圖為某地街道路線簡圖，甲從街道的A處出發(fā)，先到達B處與乙會和，再一起去到C處，可以選擇的最短路徑條數(shù)為___________．
【答案】18
【分析】分兩步，第一步從到，第二步從到，由分步乘法原理計算．
【詳解】分2步，第一步從到，第二步從到，方法數(shù)為．
故答案為：18．
題型二 數(shù)字問題
【例2-1】現(xiàn)有0，1，2，3，4，5六個數(shù)字.
(1)用所給數(shù)字能夠組成多少個四位數(shù)？
(2)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)？
(3)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字且比3142大的數(shù)？（最后結果均用數(shù)字作答）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分步計數(shù)原理，第一步先排首位（因為零不能在首位），再排其它三個位置，注意數(shù)字可以重復，
（2）利用分步計數(shù)原理，第一步先排首位（因為零不能在首位），再排其它四個位置，注意數(shù)字不可以重復，
（3）利用分類計數(shù)原理，比3142大的數(shù)包含四位數(shù)、五位數(shù)和六位數(shù)，然后再分類求出即可．
(1)
解：首先排最高位，只能從1、2、3、4、5這5個數(shù)中選一個，再排其他三個位置，每個數(shù)位上都有6種選法，
故能夠組成四位數(shù)的個數(shù)為
即能組成四位數(shù)有1080個；
(2)
解：能組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為；
故沒有重復數(shù)字的五位數(shù)有600個；
(3)
比3142大的數(shù)包含四位數(shù)、五位數(shù)和六位數(shù)，其中：
六位數(shù)有：；
五位數(shù)有：；
四位數(shù)有千位是4或5的，千位是3的，而千位是4或5的有；
千位是3的分為百位是2、4、5的與百位是1的，
百位是2、4、5的有，
百位是1的分為十位是4和5兩種情況，十位是5的有3種，十位是4的有1種，
所以共有．
故比3142大的數(shù)有1360個．
歸納總結：
【練習2-1】由數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù).
(1)一共可以組成多少個五位偶數(shù)？
(2)在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有幾個？
【答案】(1)48
(2)65
【分析】（1）先考慮個數(shù)，再考慮其他四個數(shù)位，分步計數(shù)原理進行求解；（2）分萬位數(shù)是3,4,5三種情況進行求解，最后相加即可.
(1)
先考慮個位數(shù)，從2或4中選擇1個，有種，再考慮其余4個數(shù)位，即余下的4個數(shù)字進行全排列，有種，所以一共有=48個五位偶數(shù)；
(2)
若萬位數(shù)是3，千位是4或5，共有個符合要求；
若萬位數(shù)是3，千位是2，則百位須是4或5，共有個符合要求；
若萬位數(shù)是4或5，則有個符合要求，32154符合要求；
綜上：在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有12+4+48+1=65個.
【練習2-2】杭二中數(shù)學興趣小組用“1，2，3，4，5，6”來構成四位數(shù)．
(1)共有多少個無重復數(shù)字的四位數(shù)；
(2)在這些無重復數(shù)字的四位數(shù)中有多少個是3的倍數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用排列的公式計算求解即可.
（2）由題意得，取4個數(shù)時是3的倍數(shù)，列舉出兩個數(shù)字和是3的倍數(shù)，然后，去掉兩個數(shù)字和也是3的倍數(shù)的組合，再進行排列，然后計算求解即可.
(1)
用“1，2，3，4，5，6”這六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，也就是從6個數(shù)字中取出4個數(shù)字的所有排列的個數(shù)，故有；
(2)
因為6個數(shù)字的和是21，是3的倍數(shù)，所以取4個數(shù)時也要是3的倍數(shù)，
就是去掉的兩個數(shù)字和也是3的倍數(shù)即可．
可以去掉的組合：，，，，，所求有種．
題型三 冠軍問題
【例3-1】在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分步乘法原理求解.
【詳解】由題意四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種．故A，B，D錯誤.
故選：C．
【例3-2】現(xiàn)有3位游客來黃山旅游，分別從4個景點中任選一處游覽，不同選法的種數(shù)是（ ）
A．B．C．24D．12
【答案】B
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理計算可得.
【詳解】解：每位游客有4種選擇，由分步乘法計數(shù)原理知不同選法的種數(shù)是.
故選：B
歸納總結：
【練習3-1】某班有5名同學報名參加三個智力競賽項目．
(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限，有多少種不同的報名方法？
(2)每項只報1人，且每人至多參加一項，有多少種不同的報名方法？
【答案】(1)
(2)60
【分析】（1）直接利用分步乘法計數(shù)原理求解；
（2）由項目選人，利用分步乘法計數(shù)原理求解.
(1)
每人都可以從這三個競賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有；
(2)
每項限報1人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有5種選法，第二個項目有4種選法，第三個項目有3種選法，根據分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有種.
題型四 染色問題
【例4-1】在如圖所示的5個區(qū)域內種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（ ）
A．1440B．720C．1920D．960
【答案】C
【分析】按照地圖涂色問題的方法，先分步再分類去種植花卉即可求得不同的種植方法種數(shù).
【詳解】如圖，設5個區(qū)域分別是A，B，C，D，E.
第一步，選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；
第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；
第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；
第四步；若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；
若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則有3種方法可以選擇；
則區(qū)域E可選擇的花卉有種，
故不同的種植方法種數(shù)是.
故選：C
【例4-2】給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）
A．24B．72C．96D．144
【答案】C
【分析】可按分步原理求解本題，第一步涂有四種方法，第二步涂有三種方法，第三步涂有二種涂法，第四步涂時分兩類，若與同色與不同色，即可得出涂法總數(shù)選出正確答案．
【詳解】由題意，第一步涂有四種方法，第二步涂有三種方法，第三步涂有二種涂法，第四步涂，若與同，則一種涂法，第五步可分兩種情況，若與同色，最后一步涂有2種涂法，若第四步涂，與不同，則涂第四種顏色，此時，各有一種涂法
綜上，總的涂法種數(shù)是．
故選：C．
歸納總結：
【練習4-1】學習涂色能鍛煉手眼協(xié)調能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內，則共有______種不同的涂色方法.
【答案】66
【分析】運用分類計數(shù)原理、分步計算原理，結合組合定義進行求解即可.
【詳解】當選擇兩種顏色時，因為欖綠與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內，所以共有種選法，因此不同的涂色方法有種，
當選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則有種方法選法，
因此不同的涂色方法有種，
當選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中，則有種方法選法，
因此不同的涂色方法有種，
當選擇四種顏色時，不同的涂色方法有種，
所以共有種不不同的涂色方法，
故答案為：66
【練習4-2】用6種不同的顏色對正四棱錐的8條棱染色，每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有_________種．
【答案】38880
【分析】第一步對四條側棱涂色，第二步對底面四邊形的四邊涂色（需分類討論：按選取的新顏色種類分類）．然后由分步乘法原理計算．
【詳解】按題意可先對四條側棱涂色，有種方法，再對底面四邊形的四條邊涂色，
如果選取了1種新顏色，這1種顏色只涂一邊，方法數(shù)為，這1種顏色涂對邊，方法數(shù)為，
如果選取的2種新顏色，涂2條鄰邊，方法數(shù)為，
涂兩條對邊，方法數(shù)為，涂3條邊，方法數(shù)為，涂4條邊，方法數(shù)為2，
如果沒有選取新顏色，只有2種方法，
所以底面4條邊的涂色方法數(shù)為，
所以所求涂色方法數(shù)為．
故答案為：.
題型五 幾何問題
【例5-1】平面內有10個點，其中任意3個點不共線.
（1）以其中任意2個點為端點的線段有多少條？
（2）以其中任意2個點為端點的有向線段有多少條？
（3）以其中任意3個點為頂點的三角形有多少個？
【答案】（1）45；（2）90；（3）120．
【分析】（1）是組合問題，即求；
（2）是排列問題，即求；
（3）是組合問題，求組合數(shù)即可．
【詳解】（1）求線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的組合數(shù)，
共有，即以10個點中的任意2個點為端點的線段共有45條；
（2）所求有向線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的排列數(shù)，共有(條)，即以10個點中的任意2個點為端點的有向線段共有90條.
（3）所求三角形的個數(shù)，即為從10個元素中任選3個元素的組合數(shù)，共有(個)．
【例5-2】平面內有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線，以這些點為頂點，可得多少個不同的三角形?
【答案】216個
【分析】利用間接法求得不同的三角形的數(shù)量.
【詳解】依題意，不同的三角形個數(shù)為個.
歸納總結：
【練習5-1】【多選題】下列說法正確的是（ ）
A．空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作56個平面
B．平面內有10條直線，它們最多有90個交點
C．以正方體的頂點為頂點的三棱錐有70個
D．平面內有兩組平行線，一組有5條，另一組有4條，這兩組平行線相交，可以構成60個平行四邊形
【答案】AD
【分析】本題考查分類計數(shù)原理，考查排列組合的實際應用，只要對每一個選項進行判斷即可
【詳解】對于A，一個平面對應著從8個點中取出3個點的一個組合，故可以作個不同的平面，故A正確；對于B，每一條線都可以與另外的9條線相交，最多就有9個交點，但都重復了一次，所以最多共有個交點，故B不正確；對于C，首先從8個頂點中選4個，共有 種結果，在這些結果中，有四點共面的情況，6個表面有6個四點共面，6個對角面有6個四點共面，所以滿足條件的結果有 個，故C不正確；對于D，先從第一組5條平行線中任選2條作為平行四邊形的一組對邊，有 種取法，再從另一組4條平行線中任選2條作為平行四邊形的另一組對邊，有 種取法，所以可以構成 個平行四邊形，故D正確
故選：AD
【完成課時作業(yè)（六十五）】
【課時作業(yè)（六十五）】
A組 礎題鞏固
1．2022年北京冬奧會某滑雪項目有四個不同的運動員服務點，現(xiàn)需將5名志愿者分配到這四個運動員服務點處，每處至少需要1名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）種．
A．B．C．240D．480
【答案】C
【分析】人分成滿足題意的組只有，即只有一個服務點有人，其余都是人，先選人作為一組，然后全排列即可.
【詳解】依題意得，
人分成滿足題意的組只有，即只有一個服務點有人，其余都是人，
不同的安排方法共有種.
故選：C.
2．一個電路中含有（1）（2）兩個零件，零件（1）含有A，B兩個元件，零件（2）含有C，D，E三個元件，每個零件中有一個元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正常工作的線路條數(shù)為（ ）
A．9B．8C．6D．5
【答案】C
【分析】根據分步乘法計數(shù)原理即可求得
【詳解】由分步乘法計數(shù)原理易得，該電路能正常工作的線路條數(shù)為條．
故選：C．
3．7月3日，甲、乙兩人從邢臺各自乘坐火車到石家莊，當天從刑臺到石家莊有11個車次，其中有5個車次的發(fā)車時間為凌晨1點到凌晨5點，有6個車次的發(fā)車時間為早上7點到晚上6點.已知甲選擇凌晨6點以后出發(fā)的車次，乙選擇凌晨1點到晚上6點出發(fā)的車次，則兩人車次的不同選擇共有（ ）
A．11種B．36種C．66種D．121種
【答案】C
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理計算可得.
【詳解】解：依題意可得甲有6種選擇，乙有11種選擇，
由分步乘法計數(shù)原理可得兩人車次的不同選擇共有種.
故選：C
4．從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字（允許重復），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．7B．9C．10D．13
【答案】C
【分析】根據各位數(shù)字之和等于6的所有可能情況，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三種情況分別討論求和即可
【詳解】其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：
①由1，1，4三個數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411共3個；
②由1，2，3三個數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321共6個；
③由2，2，2三個數(shù)字可以組成1個三位數(shù)，即222．
共有個，
故選：C．
5．3名同學報名參加足球隊、籃球隊，每名同學限報其中的一個運動隊，則不同的報名方法的種數(shù)是（ ）
A．8B．6C．5D．9
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理直接列式計算作答.
【詳解】依題意，每名同學報名方法數(shù)是2，所以3名同學不同的報名方法的種數(shù)是.
故選：A
6．漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構成．現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（ ）
A．180B．192C．300D．420
【答案】D
【分析】將五個區(qū)域表示為①②③④⑤，先考慮區(qū)域①②③，再分情況考慮區(qū)域④⑤，由分步乘法計數(shù)原理求解即可.
【詳解】
如圖，將五個區(qū)域表示為①②③④⑤，對于區(qū)域①②③，三個區(qū)域兩兩相鄰，有種；對于區(qū)域④⑤，若①與⑤顏色相同，則④有3種情況，
若①與⑤顏色不同，則⑤有2種情況，④有2種情況，此時區(qū)域④⑤的情況有種情況；則一共有種情況
故選：D．
7．【多選題】現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的結論正確的是（ ）
A．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法
B．若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有2個空盒的放法共有18種
C．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有1個空盒的放法共有72種
D．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子一個小球，且小球的編號和盒子的編號全不相同的方法共有9種
【答案】BD
【分析】對于A：利用分步計數(shù)原理計算可得答案；
對于B：利用分別分步原理，先選出兩個空盒，再放球，即可求解；
對于C：分2步進行分析：①將4個小球分為3組，②在4個盒子中任選3個，放入三組小球，由分步計數(shù)原理計算即可判斷.
對于D：直接列舉所有情況，即可判斷.
【詳解】對于A：根據題意，4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，每個小球有4種放法，則4個小球有種不同的放法，A錯誤；
對于B：因為恰有兩個空盒,則先選出兩個空盒；再放球有兩種放法：一個盒子放3個,另盒子放1個有種方法,或者兩個盒子都放兩個有1種放法,所以一共有 (種)放法,故B正確;
對于C：
根據題意，分2步進行分析：
①將4個小球分為3組，有種分組方法，
②在4個盒子中任選3個，放入三組小球，有種情況，
則有種不同的放法，故C錯誤.
對于D：若編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3,4的盒子,沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同,若(2,1,4,3)代表編號為1,2,3,4的盒子放入的小球編號分別為2,1,4,3,
列出所有符合要求的情況:
(2,1,4,3),(4,1,2,3)，（3,1,4,2),(2,4,1,3),(3,4,1,2),(4,3,1,2)，（2,3,4,1),(3,4,2,1),(4,3,2,1),共9(種)放法.故D正確.
故選：BD
8．某學校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．（用數(shù)字作答）
【答案】180
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即得.
【詳解】先在1中種植，有5種不同的種植方法，再在2中種植，有4種不同的種植方法，
再在3中種植，有3種不同的種植方法，最后在4中種植，有3種不同的種植方法，
所以不同的種植方案共有（種）．
故答案為：180．
9．如圖，某地有南北街道5條、東西街道6條．一郵遞員從該地東北角的郵局A出發(fā)，送信到西南角的B地，且途經C地，要求所走路程最短，共有 種不同的走法？
【答案】60
【分析】由題可知從A到C，最短路程有種不同的走法，從C到B，最短路程有種不同的走法，再利用分步計數(shù)原理即得.
【詳解】由題意可知，從A經C到B的最短路程，只能向西、向南運動；
從A到C，最短路程需要向南走3次，向西走2次，即從5次中任取2次向西，剩下3次向南，有種不同的走法，
從C到B，最短路程需要向南走2次，向西走2次，即從4次中任取2次向西，剩下2次向南，有種不同的走法，
故從A經C到B的最短路程，共有種不同的走法.
10．某社區(qū)服務站將5名抗疫志愿者分到3個不同的社區(qū)參加疫情防控工作，要求每個社區(qū)至少1人，則不同的分配方案有__________種.
【答案】150
【分析】根據分類計數(shù)原理，先分別算出兩種情況分配方案的數(shù)量再相加即可.
【詳解】若3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3，1，1，此時不同的分配方案有種；
若3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為2，2，1，此時不同的分配方案有種.
根據分類計數(shù)原理，不同的分配方案共有種.
故答案為：150
11．用0、1、2、3、4五個數(shù)字．
(1)可組成多少個五位數(shù)？
(2)可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？
(3)可組成多少個無重復數(shù)字且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？
(4)可組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)？
(5)組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，將這些數(shù)字由小到大排列，42130是第幾個數(shù)？
(6)已知橢圓方程，其中，則滿足焦距不小于的不同橢圓方程有多少個？
【答案】(1)2500
(2)96
(3)20
(4)36
(5)88
(6)
【分析】（1）首位上不能為0，用分步乘法計數(shù)原理即可求解；
（2）先排特殊位置“萬位”有4種填法，再排其余四個位置；
（3）構成3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，分別由和，以及組成三位數(shù)即可；
（4）考慮特殊位置個位和萬位，先填個位，然后從剩余3個非0數(shù)中選一個填入萬位，最后排其他位置；
（5）本小問的本質就是不大于42130的數(shù)有多少，按分類加法計數(shù)原理，討論各位數(shù)字排列即可．
(1)
各個數(shù)位上數(shù)字允許重復，首位上不能為0，故采用分步乘法計數(shù)原理，
有個．
(2)
考慮特殊位置“萬位”，從1、2、3、4中任選一個填入萬位，共有4種填法，
其余四個位置，4個數(shù)字全排列，故共有個．
(3)
構成3的倍數(shù)的三位數(shù)，其各個位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，
則由和，以及組成三位數(shù)，
由和組成的三位數(shù)有個，
由以及組成三位數(shù)有個，故共有個；
(4)
考慮特殊位置個位和萬位，先填個位，從1、3中選一個填入個位有種填法，
然后從剩余3個非0數(shù)中選一個填入萬位，有種填法，包含0在內還有3個數(shù)
在中間三個位置上全排列，排列數(shù)為，故共有個．
(5)
本小問的本質就是不大于42130的數(shù)有多少．
按分類加法計數(shù)原理，當萬位數(shù)字為1、2、3時均滿足，共有三個數(shù)，
當萬位數(shù)字為4，千位數(shù)為0、1時均滿足，共有個數(shù)，
當萬位數(shù)字為4，千位數(shù)字為2，而百位數(shù)字為0和1時均滿足，共有個，
所以42130是第個數(shù)．
(6)
由橢圓方程，其中，知，
當時，由，得整理得，
所以或，
若時，則，此時滿足條件的橢圓有個，
若時，則，此時滿足條件的橢圓有個，
所以滿足條件的橢圓有個
同理，當，滿足條件的橢圓也有個，
綜上，焦距不小于的不同橢圓方程有個.
B組 挑戰(zhàn)自我
1．過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線連線中構成異面直線的對數(shù)為（ ）
A．18B．30C．36D．54
【答案】C
【解析】根據題意，分棱柱側棱與底面邊、棱柱側棱與側面對角線、底面邊與側面對角線、底面邊與底面邊、側面對角線與側面對角線五類依次計數(shù)即可得答案.
【詳解】解：如圖，分以下幾類：
棱柱側棱與底面邊之間所構成的異面直線有：對；
棱柱側棱與側面對角線之間所構成的異面直線有：對；
底面邊與側面對角線之間所構成的異面直線有：對；
底面邊與底面邊之間所構成的異面直線有：對；
側面對角線與側面對角線之間所構成的異面直線有：對；
所以共有對.
故選：C.
【點睛】本題考查棱柱的結構特征，異面直線的判斷，分類加法計數(shù)原理，解題的關鍵在于根據題意合理分類，做到不重不漏，進而解決，是難題.
2．四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學的格斯里提出來的，其內容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學興趣小組在研究給四棱錐的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（ ）
A．36種B．72種C．48種D．24種
【答案】B
【分析】利用分步乘法原理和分類加法原理分析求解
【詳解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4種選擇，側面PAB的涂色有3種選擇，側面PBC的涂色有2種選擇．
①若側面PCD與側面PAB所涂顏色相同，則側面PAD的涂色有2種選擇；
②若側面PCD與側面PAB所涂顏色不同，則側面PCD的涂色有1種選擇，側面PAD的涂色有1種選擇．
綜上，不同的涂法種數(shù)為．
故選：B．
3．從正十五邊形的頂點中選出3個構成鈍角三角形，則不同的選法有（ ）.
A．105種B．225種C．315種D．420種
【答案】C
【分析】首先選取一個點作為鈍角頂點，并該點與圓心連線將其余14個頂點分成左右各7個：在左側選取一個點作為第二頂點，依次選取右側7個點作為第三頂點判斷三角形形狀，依此步驟即可得當前鈍角頂點下的鈍角三角形個數(shù)，最后乘以15即可得結果.
【詳解】如圖所示，以A為鈍角頂點，在直徑的左邊取點，右邊依次取，得到6個鈍角三角形，當取時，△為銳角三角形；
同理，直徑的左邊取點，右邊依次取，得到5個鈍角三角形，當取，時，△、△為銳角三角形；
……
在直徑的左邊取點時，得到一個鈍角△，
在直徑的左邊取點時，沒有鈍角三角形.
故以A為鈍角頂點的三角形共有（個）.
以其余14個點為鈍角頂點的三角形也各有21個，
所以總共有（個）鈍角三角形.
故選：C
4．數(shù)字2022具有這樣的性質：它是6的倍數(shù)并且各位數(shù)字之和為6，稱這種正整數(shù)為“吉祥數(shù)”.在所有的三位正整數(shù)中，“吉祥數(shù)”的個數(shù)為___________.
【答案】12
【分析】討論百位數(shù)為6、5、4、3、2、1分別列舉出符合要求的“吉祥數(shù)”，即可得結果.
【詳解】當百位為6，符合要求的“吉祥數(shù)”有600；
當百位為5，符合要求的“吉祥數(shù)”有510；
當百位為4，符合要求的“吉祥數(shù)”有420、402；
當百位為3，符合要求的“吉祥數(shù)”有330、312；
當百位為2，符合要求的“吉祥數(shù)”有240、204、222；
當百位為1，符合要求的“吉祥數(shù)”有150、114、132；
綜上，共有12個“吉祥數(shù)”.
故答案為：12
原理
分類加法計數(shù)原理
分步乘法計數(shù)原理
聯(lián)系
兩個計數(shù)原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言
區(qū)別一
每類辦法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事
每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事
區(qū)別二
各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的
各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏

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