【回歸教材】
1.函數(shù)的極值
一般地，對(duì)于函數(shù)y=f (x)，
若在點(diǎn)x=a處有f ′(a)=0，且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)，
右側(cè)，則稱x=a為f (x)的 ，叫做函數(shù)f (x)的 .
若在點(diǎn)x=b處有=0，且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)，
右側(cè)，則稱x=b為f (x)的 ，叫做函數(shù)f (x)的 ．
（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱 ，極小值與極大值通稱 .
2.函數(shù)的最值
函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最小值，
對(duì)于最值，我們有如下結(jié)論：
一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內(nèi)的 ；
（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，
其中最大的一個(gè)是 ，最小的一個(gè)是 .
3.函數(shù)的最值與極值的關(guān)系
（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；
（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，
極大（?。┲悼赡苡卸鄠€(gè)（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€(gè)（或者沒有）；
（3）函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；
（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
【典例講練】
題型一 求函數(shù)的極值
【例1-1】已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，取得極小值1B．當(dāng)時(shí)，取得極大值1
C．當(dāng)時(shí)，取得極大值33D．當(dāng)時(shí)，取得極大值
【例1-2】已知函數(shù)，求函數(shù)的極大值與極小值．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】函數(shù)的極值點(diǎn)是_________.
【練習(xí)1-2】已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值.
題型二 利用極值求參數(shù)
【例2-1】已知函數(shù)．若函數(shù)在處取得極小值－4，求實(shí)數(shù)a，b的值；
【例2-2】已知函數(shù)既有極大值，又有極小值，則的取值范圍是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【例2-3】若函數(shù)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知函數(shù)的極小值為，則a的值為______．
【練習(xí)2-2】若函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【練習(xí)2-3】已知函數(shù).若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，求a的值．
題型三 求函數(shù)的最值
【例3-1】【多選題】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．時(shí)，取得極大值B．時(shí)，取得最小值
C．D．
【例3-2】設(shè)函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【例3-3】已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)．求函數(shù)f（x）的最大值．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】【多選題】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)
B．為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．是函數(shù)的最大值
【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極小值.
(1)求函數(shù)的解析式： (2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.
【練習(xí)3-3】已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； (2)求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值和最小值.
題型四 利用最值求參數(shù)值
【例4-1】已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln x，其中a為常數(shù)．若f(x)在區(qū)間上的最大值為－3，求a的值．
【例4-2】若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【練習(xí)4-2】已知函數(shù)若的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值.
題型五 最優(yōu)化問(wèn)題
【例5-1】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品需向總公司繳納5元的管理費(fèi)，根據(jù)多年的管理經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元時(shí)，產(chǎn)品一年的銷售量為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）萬(wàn)件.已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品的一年銷售量為500萬(wàn)件，經(jīng)物價(jià)部門核定每件產(chǎn)品的售價(jià)最低不低于35元，最高不超過(guò)41元.
(1)求的值；
(2)求分公司經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值.
【例5-2】如圖所示，是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得，，，四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)．
(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；
(2)當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積最大？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)5-1】欲設(shè)計(jì)如圖所示的平面圖形，它由上、下兩部分組成，其中上部分是弓形（圓心為，半徑為，，），下部分是矩形，且．
（1）求該平面圖形的面積；
（2）試確定的值，使得該平面圖形的面積最大，并求出最大面積．
【完成課時(shí)作業(yè)（十八）】
【課時(shí)作業(yè)（十八）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的圖象如圖所示，關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．函數(shù)在，上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在，上單調(diào)遞減
C．函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn) D．函數(shù)有最小值，但是無(wú)最大值
2．使函數(shù)在上取得最大值的為（ ）
A．0B．C．D．
3．若函數(shù)在處有極小值，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．9B．3C．3或9D．以上都不對(duì)
4．不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
6．【多選題】已知函數(shù)，則（ ）
A．在上單調(diào)遞增 B．是的極大值點(diǎn)
C．有三個(gè)零點(diǎn) D．在上最大值是
7．【多選題】已知函數(shù)，則下列有關(guān)的敘述正確的是（ ）
A．在處的切線方程為B．在上是單調(diào)遞減函數(shù)
C．是極大值點(diǎn)D．在上的最小值為0
8．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
9．若一圓錐的母線長(zhǎng)為2，則此圓錐體積的最大值為______．
10．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
11．已知函數(shù)在處取得極小值．
(1)求c的值； (2)求在區(qū)間上的最值．
12．已知函數(shù)．
(1)若在上不單調(diào)，求a的取值范圍； (2)若的最小值為，求a．
B組 能力提升
1．若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．－2B．－1C．2D．
2．已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)； (2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
第 3 課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（二）極值與最值
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.函數(shù)的極值
一般地，對(duì)于函數(shù)y=f (x)，
若在點(diǎn)x=a處有f ′(a)=0，且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)，
右側(cè)，則稱x=a為f (x)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)f (x)的極小值.
若在點(diǎn)x=b處有=0，且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)，
右側(cè)，則稱x=b為f (x)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)f (x)的極大值．
（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱極值.
2.函數(shù)的最值
函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最小值，
對(duì)于最值，我們有如下結(jié)論：
一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內(nèi)的極值；
（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，
其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
3.函數(shù)的最值與極值的關(guān)系
（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；
（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，
極大（小）值可能有多個(gè)（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€(gè)（或者沒有）；
（3）函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；
（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
【典例講練】
題型一 求函數(shù)的極值
【例1-1】已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，取得極小值1B．當(dāng)時(shí)，取得極大值1
C．當(dāng)時(shí)，取得極大值33D．當(dāng)時(shí)，取得極大值
【答案】B
【解析】
【分析】
求導(dǎo)可得解析式，令，可得極值點(diǎn)，利用表格法，可得的單調(diào)區(qū)間，代入數(shù)據(jù)，可得的極值，分析即可得答案.
【詳解】
由題意得，
令，解得或，
當(dāng)x變化時(shí)，、變化如下
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值1，故B正確、C、D錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，取得極小值，故A錯(cuò)誤，
故選：B
【例1-2】已知函數(shù)，求函數(shù)的極大值與極小值．
【答案】，
【解析】
【分析】
先求的值，發(fā)現(xiàn)需要討論的正負(fù)，分別判定在的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，求出極值．
【詳解】
解：，
令，則或，
當(dāng)，隨著x的變化，與的變化情況如下：
所以，；
當(dāng)時(shí)，隨的變化，與的變化如下表：
所以，，
綜上所述，，.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】函數(shù)的極值點(diǎn)是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的“變號(hào)零點(diǎn)”，先求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，在檢查導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)附近的符號(hào).
【詳解】
，定義域?yàn)?，令，解得?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，
故是極小值點(diǎn).
故答案為：
【練習(xí)1-2】已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值.
【答案】當(dāng)時(shí)，在上單減，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，有極小值，無(wú)極大值；
【解析】
【分析】
求導(dǎo)，分和求導(dǎo)確定單調(diào)性后，求出極值即可；
易得，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上單減，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，則在單減，在單增，有極小值，無(wú)極大值；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單減，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，有極小值，無(wú)極大值.
題型二 利用極值求參數(shù)
【例2-1】已知函數(shù)．若函數(shù)在處取得極小值－4，求實(shí)數(shù)a，b的值；
【答案】
【解析】
【分析】
，則
即解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，
【例2-2】已知函數(shù)既有極大值，又有極小值，則的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題設(shè)知有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合判別式的符號(hào)求m的范圍即可.
【詳解】
由，又有極大值、極小值，
所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則，
整理得，可得或.
故選：B
【例2-3】若函數(shù)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得，分、和三種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極大值點(diǎn)的定義進(jìn)行判定，即可求解.
【詳解】
由題意得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
令，可得；令，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
此時(shí)函數(shù)在取得極大值，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得恒成立，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
令，可得，令，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，不滿足題意，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知函數(shù)的極小值為，則a的值為______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求出極小值，列方程即可求出a.
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)镽，.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值為，
解得：.
故答案為：-3.
【練習(xí)2-2】若函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求導(dǎo)，根據(jù)題意可得有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，從而可得出答案.
【詳解】
解：，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，
則有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，
所以且，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B．
【練習(xí)2-3】已知函數(shù).若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，求a的值．
【答案】.
【解析】
【分析】
由題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有且僅有一個(gè)解，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，即可求a值，注意驗(yàn)證對(duì)應(yīng)零點(diǎn)是否變號(hào)．
由題設(shè)在有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以在上有且僅有一個(gè)解，令，則，而，故時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以在、上遞增，在上遞減，故極大值，極小值，，要使在上與有一個(gè)交點(diǎn)，則或或.經(jīng)驗(yàn)證，或時(shí)對(duì)應(yīng)零點(diǎn)不變號(hào)，而時(shí)對(duì)應(yīng)零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)，所以.
題型三 求函數(shù)的最值
【例3-1】【多選題】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．時(shí)，取得極大值B．時(shí)，取得最小值
C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像得出函數(shù)的單調(diào)性，再由極值和最值的含義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，在上單增，則，C正確；在上單減，則，D正確；
由于，顯然不是最小值，B錯(cuò)誤；又在上單增，上單減，則時(shí)，取得極大值，A正確.
故選：ACD.
【例3-2】設(shè)函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【答案】(1)；
(2)1.
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.
（2）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出最小值作答.
(1)
函數(shù)，求導(dǎo)得：，則有，而，
于是得，即，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
(2)
函數(shù)，求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，.
【例3-3】已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)．求函數(shù)f（x）的最大值．
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】
由的根分類討論，然后列表表示的正負(fù)，極值點(diǎn)，同時(shí)注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值，從而得最大值．
由（1）知，
令，，
當(dāng)即0

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