【回歸教材】
1.排列與組合的概念
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用 表示．
(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用 表示．
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
【典例講練】
題型一 排列應(yīng)用題
【例1-1】（1）若，則________； （2）不等式的解集為_(kāi)_______．
【例1-2】有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)全體站成一排，女生互不相鄰；
(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；
(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；
(5)男生順序已定，女生順序不定；
(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；
(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；
(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】若，則n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【練習(xí)1-2】某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過(guò)道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(2)如果工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
【練習(xí)1-3】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，私家車(chē)成為居民的標(biāo)配．某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化，在小區(qū)建設(shè)過(guò)程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車(chē)位．現(xiàn)有3位私家車(chē)車(chē)主要使用這一備用車(chē)位．現(xiàn)規(guī)定3位私家車(chē)隨機(jī)停車(chē)，任意兩輛車(chē)都不相鄰，則共有不同停車(chē)種數(shù)為（ ）
A．144B．24C．72D．60
題型二 組合應(yīng)用題
【例2-1】解不等式：.
【例2-2】某學(xué)校為增進(jìn)學(xué)生體質(zhì)，擬舉辦長(zhǎng)跑比賽，該學(xué)校高一年級(jí)共有5個(gè)班級(jí)，現(xiàn)將7個(gè)參賽名額分配給這5個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)參賽名額，則不同的分配方法為（ ）
A．21種B．18種C．15種D．10種
【例2-3】男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名,其中男女隊(duì)長(zhǎng)各人,選派人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.
（1）任選人
（2）男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名
（3）至少有名女運(yùn)動(dòng)員
（4）隊(duì)長(zhǎng)至少有一人參加
（5）既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】在10件產(chǎn)品中，有8件正品，2件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件.
(1)共有多少種不同抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？
題型三 分組、分配問(wèn)題
【例3-1】按下列要求分配6本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.
【例3-2】第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京舉辦，據(jù)此，北京成為世界上第一座雙奧之城，該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．現(xiàn)將5名志愿者分到3個(gè)不同的場(chǎng)所進(jìn)行志愿服務(wù)，要求每個(gè)場(chǎng)所至少1人，則不同的分配方案有（ ）
A．150種B．90種C．300種D．360種
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】現(xiàn)有張獎(jiǎng)券，其中有一、二、三等獎(jiǎng)各張，其余張無(wú)獎(jiǎng)，現(xiàn)將這張獎(jiǎng)券隨機(jī)分發(fā)給名同學(xué)，每人張，則恰有兩人獲獎(jiǎng)的情況數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【練習(xí)3-2】名同學(xué)簡(jiǎn)記為、、、、、到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者
(1)一天上午有個(gè)相同的口罩全部發(fā)給這名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個(gè)口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？
(2)每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排名，乙場(chǎng)館安排名，丙場(chǎng)館安排名，則不同的安排方法種數(shù)？
【練習(xí)3-3】某班有一個(gè)5男4女組成的社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，準(zhǔn)備在暑假進(jìn)行三項(xiàng)不同的社會(huì)實(shí)踐，將9人平均分成每組既有男生又有女生的三個(gè)組去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐.
題型四 排列組合綜合題
【例4-1】現(xiàn)選派3名男醫(yī)生3名女醫(yī)生組成兩個(gè)組，去支援兩個(gè)社區(qū)的防疫工作，每組至少2人，女醫(yī)生不能全在同一組，且每組不能全為女醫(yī)生，則不同的安排方法有______種（用數(shù)字填寫(xiě)答案）．
【例4-2】有5本不同的教科書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本．若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上，則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是（ ）
A．12B．48C．72D．96
【例4-3】北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進(jìn)行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛(ài)；北京冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)，表達(dá)了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛(ài)．某校為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個(gè)吉祥物組裝安放至操場(chǎng)，每個(gè)吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個(gè)吉祥物，則不同的方案共有（ ）種．
A．B．C．D．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂(lè)、魔術(shù)、朗誦6個(gè)節(jié)目中選取5個(gè)進(jìn)行演出．要求舞蹈和小品必須同時(shí)參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（ ）
A．240種B．480種C．540種D．720種
【練習(xí)4-2】英文單詞"sentence”由8個(gè)字母構(gòu)成，將這8個(gè)字母組合排列，且兩個(gè)n不相鄰一共可以得到英文單詞的個(gè)數(shù)為（ ）（可以認(rèn)為每個(gè)組合都是一個(gè)有意義的單詞）
A．2520B．3360C．25200D．4530
【練習(xí)4-3】《長(zhǎng)津湖》和《我和我的父輩》都是2021年國(guó)慶檔的熱門(mén)電影．某電影院的某放映廳在國(guó)慶節(jié)的白天可以放映6場(chǎng)，晚上可以放映4場(chǎng)電影．這兩部影片只各放映一次，且兩部電影不能連續(xù)放映（白天最后一場(chǎng)和晚上第一場(chǎng)視為不連續(xù)），也不能都在白天放映，則放映這兩部電影不同的安排方式共有（ ）
A．30種B．54種C．60種D．64種
【完成課時(shí)作業(yè)（六十六）】
【課時(shí)作業(yè)（六十六）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
2．學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少個(gè)名額，則有（ ）種分配方案.
A．B．C．D．
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
4．為了配合社區(qū)核酸檢測(cè)，某醫(yī)院共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與社區(qū)志愿服務(wù).已知6名志愿者將會(huì)被分為2組派往2個(gè)不同的社區(qū)，且女志愿者不單獨(dú)成組.若每組不超過(guò)4人，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A．32B．48C．40D．56
5．某學(xué)校為了迎接市春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，從由5名男生和4名女生組成的田徑訓(xùn)練隊(duì)中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的選法種數(shù)為（ ）
A．85B．86C．9D．90
6．中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列. 中國(guó)的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國(guó).它通過(guò)訪問(wèn)月球，發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計(jì)劃.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施 個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（ ）
A． 種B． 種C． 種D． 種
7．將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，其中一個(gè)路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18種B．24種C．36種D．72種
8．年07月01日是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，習(xí)近平總書(shū)記代表黨和人民莊嚴(yán)宣告，經(jīng)過(guò)全黨全國(guó)各族人民持續(xù)奮斗，我們實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)，在中華大地上全面建成了小康社會(huì)，歷史性地解決了絕對(duì)貧困問(wèn)題.某數(shù)學(xué)興趣小組把三個(gè)0?兩個(gè)2?兩個(gè)1與一個(gè)7組成一個(gè)八位數(shù)（如20001217），若其中三個(gè)0均不相鄰，則這個(gè)八位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．200B．240C．300D．600
9．霍慶市海軍青少年航空學(xué)校招生，某服務(wù)站點(diǎn)需要連續(xù)五天有志愿者參加志愿服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者計(jì)劃依次安排到該服務(wù)站點(diǎn)參加服務(wù)，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（ ）
A．48種B．60種C．76種D．96種
10．若，則________．
11．某公司有9個(gè)連在一起的停車(chē)位，現(xiàn)有5輛不同型號(hào)的轎車(chē)需停放，若停放后恰有3個(gè)空車(chē)位連在一起，則不同的停放方法有____種.
12．北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進(jìn)行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛(ài)；北京冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)，表達(dá)了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛(ài)．某校為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個(gè)吉祥物組裝安放至操場(chǎng)，每個(gè)吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個(gè)吉祥物，則不同的方案共有________種．
13．某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任．現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中選4人參加培訓(xùn)．
(1)若至多有1名主任參加，則有多少種派法？
(2)若呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加，則有多少種派法？
(3)若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，則有多少種派法？
B組 挑戰(zhàn)自我
1．2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國(guó)家政策，選派了6名工作人員到A 、B、C三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）種．
A．540B．480C．360D．240
2．疫情之下，口罩成為家家戶戶囤貨清單中必不可少的一項(xiàng)，某新聞?dòng)浾邽檎{(diào)查不同口罩的防護(hù)能力，分別在淘寶、京東、拼多多等購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)了7種口罩，安排4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，且每人至少統(tǒng)計(jì)1種口罩的相關(guān)數(shù)據(jù)（不重復(fù)統(tǒng)計(jì)），則不同的安排方法有（ ）
A．6000種B．7200種C．7800種D．8400種
3．設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
4．某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng)，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜（無(wú)論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為_(kāi)___________.（用數(shù)字作答）名稱
定義
排列
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
按照 排成一列
組合
合成一組
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝ ＝eq \f(n！,?n－m?！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)
性質(zhì)
(3)0?。? ；Aeq \\al(n,n)＝ ！
(4)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝
第 4 課時(shí) 排列與組合
編寫(xiě)：廖云波
【回歸教材】
1.排列與組合的概念
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Aeq \\al(m,n)表示．
(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用Ceq \\al(m,n)表示．
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
【典例講練】
題型一 排列應(yīng)用題
【例1-1】（1）若，則________；
（2）不等式的解集為_(kāi)_______．
【答案】 3
【分析】（1）利用排列數(shù)的計(jì)算公式化簡(jiǎn)計(jì)算，再結(jié)合的取值范圍即可得出答案.
（2）利用排列數(shù)的計(jì)算公式化簡(jiǎn)計(jì)算，再結(jié)合的取值范圍即可得出答案.
【詳解】（1）原方程可化為，
化簡(jiǎn)得，解得或或或．
由，得，且，所以．
（2）原不等式可化為，其中，，
整理得，即，所以或．
因?yàn)?，，所以，，所以原不等式的解集為?br>故答案為：3，.
【例1-2】有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)全體站成一排，女生互不相鄰；
(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；
(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；
(5)男生順序已定，女生順序不定；
(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；
(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；
(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．
【答案】(1)2520
(2)144
(3)3600
(4)3720
(5)840
(6)720
(7)960
(8)240
【分析】（1）根據(jù)排列即可求解，
（2）根據(jù)不相鄰問(wèn)題運(yùn)用插空法即可求解，
（3）根據(jù)特殊元素或者特殊位置優(yōu)先安排即可求解,
（4）根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可分兩類(lèi)情況分別求解：一類(lèi)甲在最后最右端，另一類(lèi)甲在出來(lái)左右兩端之外的中間5個(gè)位置中選一個(gè)，
（5）根據(jù)定序問(wèn)題利用除法即可求解，
（6）先安排好甲，剩余人員全排列即可，
（7）甲乙相鄰問(wèn)題，然后甲乙整體與丙屬于不相鄰問(wèn)題，分別利用捆綁法和插空法即可分步求解，
（8）根據(jù)圓桌問(wèn)題，利用定序問(wèn)題的除法公式即可求解.
（1）從7人中選5人排列，排法有（種）．
（2）先排男生，有種排法，再在男生之間及兩端的4個(gè)空位中排女生，有種排法．故排法共有（種）．
（3）方法一（特殊元素優(yōu)先法） 先排甲，有5種排法，其余6人有種排法，故排法共有（種）．方法二（特殊位置優(yōu)先法） 左右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有種排法，其他位置有種排法，故排法共有（種）．
（4）方法一 分兩類(lèi)：第一類(lèi)，甲在最右邊，有種排法；第二類(lèi)，甲不在最右邊，甲可從除去兩端后剩下的5個(gè)位置中任選一個(gè)，有5種排法，而乙可從除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個(gè)位置中任選一個(gè)，有5種排法，其余人全排列，有種排法．故排法共有（種）．方法二 7名學(xué)生全排列，有種排法，其中甲在最左邊時(shí)，有種排法，乙在最右邊時(shí)，有種排法，甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種排法，故排法共有（種）．
（5）7名學(xué)生站成一排，有種排法，其中3名男生的排法有種，由于男生順序已定，女生順序不定，故排法共有（種）．
（6）把甲放在中間排的中間位置，則問(wèn)題可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（種）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個(gè)空隙中，有種排法．故排法共有（種）．
（8）將甲、乙看成一個(gè)整體，相當(dāng)于6名同學(xué)坐圓桌吃飯，有種排法，甲、乙兩人可交換位置，故排法共有（種）．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】若，則n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算求解即可.
【詳解】由得，，
又，
所以，解得，
所以正整數(shù)n為8．
故選：B.
【練習(xí)1-2】某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過(guò)道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(2)如果工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
【答案】(1)96
(2)48
(3)72
【分析】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，再將剩余的4道工序全排列即可；
（2）先排A，B這2道工序，再將它們看做一個(gè)整體，與剩余的工序全排列；
（3）先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個(gè)空位，再將這2道工序插空.
(1)
先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
(2)
先排A，B這2道工序，有種不同的排法，再將它們看做一個(gè)整體，與剩余的工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
(3)
先排其余的3道工序，有種不同的排法，出現(xiàn)4個(gè)空位，再將C，D這2道工序插空，有種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有種加工順序.
【練習(xí)1-3】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，私家車(chē)成為居民的標(biāo)配．某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化，在小區(qū)建設(shè)過(guò)程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車(chē)位．現(xiàn)有3位私家車(chē)車(chē)主要使用這一備用車(chē)位．現(xiàn)規(guī)定3位私家車(chē)隨機(jī)停車(chē)，任意兩輛車(chē)都不相鄰，則共有不同停車(chē)種數(shù)為（ ）
A．144B．24C．72D．60
【答案】D
【分析】由題可知7個(gè)車(chē)位停三輛車(chē)，則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位，故可先擺4個(gè)空位留下5個(gè)空隙供3輛車(chē)選擇即可.
【詳解】由題可知7個(gè)車(chē)位停三輛車(chē)，則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位，故可先擺好4個(gè)空車(chē)位，4個(gè)空車(chē)位之間共有5個(gè)空隙可供3輛車(chē)選擇停車(chē)．
因此，任何兩輛車(chē)都不相鄰的停車(chē)種數(shù)共有.
故選：D．
題型二 組合應(yīng)用題
【例2-1】解不等式：.
【答案】
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式可得解集.
【詳解】解：由題意，得，.
原不等式可化簡(jiǎn)為
，
即，解得.
又，，所以.
【例2-2】某學(xué)校為增進(jìn)學(xué)生體質(zhì)，擬舉辦長(zhǎng)跑比賽，該學(xué)校高一年級(jí)共有5個(gè)班級(jí)，現(xiàn)將7個(gè)參賽名額分配給這5個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)參賽名額，則不同的分配方法為（ ）
A．21種B．18種C．15種D．10種
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用隔板法直接求解作答.
【詳解】7個(gè)參賽名額分配給5個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)參賽名額，名額無(wú)區(qū)別，
可將7個(gè)參賽名額視為7個(gè)球，排成一列形成6個(gè)空隙，插入4塊隔板分成5份，每一份至少一個(gè)球，即至少一個(gè)名額，
所以不同分配方法為.
故選：C
【例2-3】男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名,其中男女隊(duì)長(zhǎng)各人,選派人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.
（1）任選人
（2）男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名
（3）至少有名女運(yùn)動(dòng)員
（4）隊(duì)長(zhǎng)至少有一人參加
（5）既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員
【答案】（1）252（2）120（3）246（4）196（5）191
【分析】（1）男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名,共名,任選5人的選法為:,即可求得任選5人的選法;
（2）本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題,首先選名男運(yùn)動(dòng)員,有種選法.再選名女運(yùn)動(dòng)員,有種選法.利用乘法原理,即可求得答案;
（3）至少名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況:女男,女男,女男,女男.分別寫(xiě)出這幾種結(jié)果,利用分類(lèi)加法原理,即可求得答案;
（4）只有男隊(duì)長(zhǎng)為種選法,只有女隊(duì)長(zhǎng)為種選法,男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選為種選法,把所有的結(jié)果數(shù)相加,即可求得答案;
（5）當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng),其他人選法任意,共有種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),必選男隊(duì)長(zhǎng),共有 種選法.其中選男隊(duì)長(zhǎng),不含女運(yùn)動(dòng)員種選法,即可求得答案.
【詳解】（1） 男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名,共名
任選人的選法為:
任選人,共有種選法.
（2） 選派男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名.
首先選名男運(yùn)動(dòng)員,有種選法,再選名女運(yùn)動(dòng)員,有種選法
根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理
選派男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名,共有種選法.
（3） 至少名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況:女男,女男,女男,女男.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得有:.
至少有名女運(yùn)動(dòng)員有種選法.
（4） 只有男隊(duì)長(zhǎng)的選法為選法,只有女隊(duì)長(zhǎng)的選法為選法
又 男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選的選法為選法.
共有種選法.
隊(duì)長(zhǎng)至少有一人參加有:種選法.
（5） 當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng),其他人選法任意,共有種選法,
不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),必選男隊(duì)長(zhǎng),共有種選法,
選男隊(duì)長(zhǎng)且不含女運(yùn)動(dòng)員有種選法.
不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有種選法.
既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員共有:種選法.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】在10件產(chǎn)品中，有8件正品，2件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件.
(1)共有多少種不同抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？
【答案】(1)120
(2)56
(3)64
【分析】（1）根據(jù)組合定義可得答案；
（2）根據(jù)組合定義可得答案；
（3）根據(jù)組合定義和間接法可得答案.
(1)
從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件有種.
(2)
抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有種.
(3)
抽出的3件中至少有1件次品的抽法有種.
題型三 分組、分配問(wèn)題
【例3-1】按下列要求分配6本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無(wú)序不均勻分組問(wèn)題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問(wèn)題．直接求出即可．
（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問(wèn)題，求出組合總數(shù)除以即可．
（4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問(wèn)題．直接求出即可，
（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本．這是部分平均分組問(wèn)題，求出組合總數(shù)除以即可，
(1)
解：依題意，先選1本有種選法；
再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有種選法；
最后余下3本全選有種方法，故共有種．
(2)
解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有種．
(3)
解：先分三步，則應(yīng)是種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．
不妨記6本書(shū)為、、、、、，
若第一步取了，第二步取了，第三步取了，記該種分法為，，，
則種分法中還有，，、，，、，，、，，、，，，共種情況，
而這種情況僅是、、的順序不同，因此只能作為一種分法，
故分配方式有種．
(4)
解：在（3）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有種．
(5)
解：無(wú)序均勻分組問(wèn)題，種，
【例3-2】第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京舉辦，據(jù)此，北京成為世界上第一座雙奧之城，該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．現(xiàn)將5名志愿者分到3個(gè)不同的場(chǎng)所進(jìn)行志愿服務(wù)，要求每個(gè)場(chǎng)所至少1人，則不同的分配方案有（ ）
A．150種B．90種C．300種D．360種
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，5名志愿者去3個(gè)地方，有兩種可能，根據(jù)部分分組的原理求解.
【詳解】依題意，5名志愿者去3個(gè)場(chǎng)所，每個(gè)場(chǎng)所至少1人，有以下兩種可能，3個(gè)場(chǎng)所可能分別有或名志愿者，根據(jù)部分均分的分組公式，分組的可能有：種，在把這些分組分到三個(gè)不同的場(chǎng)所，有種.
故選：A.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】現(xiàn)有張獎(jiǎng)券，其中有一、二、三等獎(jiǎng)各張，其余張無(wú)獎(jiǎng)，現(xiàn)將這張獎(jiǎng)券隨機(jī)分發(fā)給名同學(xué)，每人張，則恰有兩人獲獎(jiǎng)的情況數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】只需考慮將一、二、三等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券分配給其中的兩人，結(jié)合分組分配的原理可得結(jié)果.
【詳解】只需考慮將一、二、三等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券分配給其中的兩人，
則兩人中有一人分了兩張獎(jiǎng)券，故恰有兩人獲獎(jiǎng)的情況數(shù)是.
故選：B.
【練習(xí)3-2】名同學(xué)簡(jiǎn)記為、、、、、到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者
(1)一天上午有個(gè)相同的口罩全部發(fā)給這名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個(gè)口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？
(2)每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排名，乙場(chǎng)館安排名，丙場(chǎng)館安排名，則不同的安排方法種數(shù)？
【答案】(1)126種；
(2)60種；
【分析】（1）先讓每位同學(xué)拿一個(gè)口罩，余下10個(gè)用隔板法求解作答.
（2）利用分步計(jì)數(shù)乘法原理從6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館列式計(jì)算作答.
(1)
個(gè)相同的口罩，每位同學(xué)先拿一個(gè)，剩下的個(gè)口罩排成一排有個(gè)間隙，插入塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個(gè)人即可，
所以不同的發(fā)放方法種.
(2)
求不同的安排方法分三步：人中選一人去甲場(chǎng)館，剩下的人中選人去乙場(chǎng)館，最后剩下人去丙場(chǎng)館，
所以不同的安排方法有 種.
【練習(xí)3-3】某班有一個(gè)5男4女組成的社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，準(zhǔn)備在暑假進(jìn)行三項(xiàng)不同的社會(huì)實(shí)踐，將9人平均分成每組既有男生又有女生的三個(gè)組去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐.
【答案】.
【分析】將4個(gè)女生按分組，再取男生到分成的三組，確保各組都為3人，然后將三組分配到三個(gè)項(xiàng)目中去，列式計(jì)算作答.
把4個(gè)女生按分組，有種分法，再?gòu)?個(gè)男生中任取1個(gè)到兩個(gè)女生的一組，
從余下4個(gè)男生中任取2人到1個(gè)女生的一組，最后2個(gè)男生到最后的1個(gè)女生組，分法種數(shù)為，
將分得的三個(gè)小組分配到三個(gè)項(xiàng)目中去有方法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：，
所以不同的調(diào)查方式有.
題型四 排列組合綜合題
【例4-1】現(xiàn)選派3名男醫(yī)生3名女醫(yī)生組成兩個(gè)組，去支援兩個(gè)社區(qū)的防疫工作，每組至少2人，女醫(yī)生不能全在同一組，且每組不能全為女醫(yī)生，則不同的安排方法有______種（用數(shù)字填寫(xiě)答案）．
【答案】36
【分析】分類(lèi)根據(jù)加法原理和分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】設(shè)兩個(gè)社區(qū)為A，，
若A社區(qū)派遣2名醫(yī)生，則共有種不同的派遣方法，
若A社區(qū)派遣3名醫(yī)生，則共有種不同的派遣方法，
若A社區(qū)派遣4名醫(yī)生，等同社派遣2名醫(yī)生，則共有種不同的派遣方法，
綜合①②③得：則不同的派遣方法有，
故選：C．
【例4-2】有5本不同的教科書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本．若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上，則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是（ ）
A．12B．48C．72D．96
【答案】B
【分析】此題分為物理在第一或第五個(gè)位置、物理在第二或第四個(gè)位置和物理在第三個(gè)位置，分別求出它們的總數(shù)即可求出答案.
【詳解】物理在第一或第五個(gè)位置，共有：種；
物理在第二或第四個(gè)位置，共有：種；
物理在第三個(gè)位置，共有：種；
所以同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是：.
故選：B.
【例4-3】北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進(jìn)行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛(ài)；北京冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)，表達(dá)了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛(ài)．某校為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個(gè)吉祥物組裝安放至操場(chǎng)，每個(gè)吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個(gè)吉祥物，則不同的方案共有（ ）種．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分類(lèi)成兩種情況：四人一組和兩人一組以及三人一組和三人一組，然后根據(jù)計(jì)數(shù)原理求解即可.
【詳解】由題意可以分為兩種情況：
第一種：四人一組和兩人一組，共有；
第二種：三人一組和三人一組，共有；
所以不同的方案一共有：.
故選：B.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂(lè)、魔術(shù)、朗誦6個(gè)節(jié)目中選取5個(gè)進(jìn)行演出．要求舞蹈和小品必須同時(shí)參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（ ）
A．240種B．480種C．540種D．720種
【答案】A
【分析】先從4個(gè)節(jié)目中選3個(gè)，再按照定序排列即可求解.
【詳解】先從相聲、音樂(lè)、魔術(shù)、朗誦4個(gè)節(jié)目中選3個(gè)，有種，再把5個(gè)節(jié)目排列且滿足舞蹈在前、小品在后，
有，總共有種.
故選：A.
【練習(xí)4-2】英文單詞"sentence”由8個(gè)字母構(gòu)成，將這8個(gè)字母組合排列，且兩個(gè)n不相鄰一共可以得到英文單詞的個(gè)數(shù)為（ ）（可以認(rèn)為每個(gè)組合都是一個(gè)有意義的單詞）
A．2520B．3360C．25200D．4530
【答案】A
【分析】排列定序問(wèn)題與不相鄰問(wèn)題綜合，先去掉排列其他個(gè)字母，再插入字母．
【詳解】英文單詞“sentence”中字母e有3個(gè)，字母n有2個(gè)，字母s、t、c各有一個(gè)，優(yōu)先考慮無(wú)限制的字母，注意重復(fù)字母需除去順序，共有種，再插入個(gè)字母，共有種，所以一共有種，
故選：A．
【練習(xí)4-3】《長(zhǎng)津湖》和《我和我的父輩》都是2021年國(guó)慶檔的熱門(mén)電影．某電影院的某放映廳在國(guó)慶節(jié)的白天可以放映6場(chǎng)，晚上可以放映4場(chǎng)電影．這兩部影片只各放映一次，且兩部電影不能連續(xù)放映（白天最后一場(chǎng)和晚上第一場(chǎng)視為不連續(xù)），也不能都在白天放映，則放映這兩部電影不同的安排方式共有（ ）
A．30種B．54種C．60種D．64種
【答案】B
【分析】分兩種情況考慮，均在晚上播放，或者白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，求得結(jié)果.
【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有種，若白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，則有種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有48+6=54種.
故選：B
【完成課時(shí)作業(yè)（六十六）】
【課時(shí)作業(yè)（六十六）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【分析】首先選3名男生和2名女生，再全排列，共有種不同安排方法.
【詳解】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，
再分別擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的課代表，共有種情況.
所以共有種不同安排方法.
故選：C
2．學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少個(gè)名額，則有（ ）種分配方案.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】問(wèn)題等價(jià)于將個(gè)完全相同的小球，放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少個(gè)球，結(jié)合隔板法可得結(jié)果.
【詳解】問(wèn)題等價(jià)于將個(gè)完全相同的小球，放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少個(gè)球，
由隔板法可知，不同的分配方案種數(shù)為.
故選：C.
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
【答案】B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解
【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，
故選：B
4．為了配合社區(qū)核酸檢測(cè)，某醫(yī)院共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與社區(qū)志愿服務(wù).已知6名志愿者將會(huì)被分為2組派往2個(gè)不同的社區(qū)，且女志愿者不單獨(dú)成組.若每組不超過(guò)4人，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A．32B．48C．40D．56
【答案】B
【分析】分為（3，3）兩組、（2，4）兩組兩種情況討論，分別計(jì)算每一組分配方法求和可得答案.
【詳解】分兩種情況討論：
分為3，3的兩組時(shí)，2名女志愿者不單獨(dú)成組，有種分組方法，再對(duì)應(yīng)到兩個(gè)社區(qū)參加志愿工作，有種情況，此時(shí)共有種分配方法；
分為2，4的兩組時(shí)，有種分組方法，其中有1種兩名女志愿者單獨(dú)成組的情況，則有14種符合條件的分組方法，再對(duì)應(yīng)到兩個(gè)社區(qū)參加志愿工作，有種情況，此時(shí)共有種分配方法，
故共有種分配方法.
故選：B.
5．某學(xué)校為了迎接市春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，從由5名男生和4名女生組成的田徑訓(xùn)練隊(duì)中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的選法種數(shù)為（ ）
A．85B．86C．9D．90
【答案】B
【分析】由加法原理分類(lèi)計(jì)算：第一類(lèi)，男生甲入選，女生乙不入選；第二類(lèi)，男生甲不入選，女生乙入選；第三類(lèi)，男生甲、女生乙均入選，由此計(jì)算可得，其中第一類(lèi)和第二類(lèi)里計(jì)算時(shí)還需要再按男女生人數(shù)分類(lèi)．
【詳解】由題意，可分三類(lèi)考慮：
第一類(lèi)，男生甲入選，女生乙不入選，選法種數(shù)為；
第二類(lèi)，男生甲不入選，女生乙入選，選法種數(shù)為；
第三類(lèi)，男生甲、女生乙均入選，選法種數(shù)為．
所以男生甲與女生乙至少有1人入選的選法種數(shù)為．
故選：B．
6．中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列. 中國(guó)的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國(guó).它通過(guò)訪問(wèn)月球，發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計(jì)劃.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施 個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（ ）
A． 種B． 種C． 種D． 種
【答案】C
【分析】在排列時(shí)，相鄰元素用捆綁法，特殊元素特殊安排，利用分步計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】首先將程序B和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個(gè)程序進(jìn)行全排列，最后將程序A排在第一步或最后一步，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得種.
故選：C
7．將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，其中一個(gè)路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18種B．24種C．36種D．72種
【答案】A
【分析】由于甲乙在同一路口執(zhí)勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人組，第一步給甲乙組選一人，剩余兩人為兩組，第二步把三組人安排到3個(gè)路口即可.
【詳解】5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，其中一個(gè)路口3人，所以不同路口的執(zhí)勤人數(shù)為，
又甲、乙在同一路口，先選一個(gè)人和甲乙組成一組有種選法,剩余兩人為兩組，
然后安排到3個(gè)路口共有種不同的安排方法，
故選：A
8．年07月01日是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，習(xí)近平總書(shū)記代表黨和人民莊嚴(yán)宣告，經(jīng)過(guò)全黨全國(guó)各族人民持續(xù)奮斗，我們實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)，在中華大地上全面建成了小康社會(huì)，歷史性地解決了絕對(duì)貧困問(wèn)題.某數(shù)學(xué)興趣小組把三個(gè)0?兩個(gè)2?兩個(gè)1與一個(gè)7組成一個(gè)八位數(shù)（如20001217），若其中三個(gè)0均不相鄰，則這個(gè)八位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．200B．240C．300D．600
【答案】C
【分析】由于三個(gè)0均不相鄰，所以采用插空法，第一步排列兩個(gè)2，兩個(gè)1，一個(gè)7，第二步再把0插入其中五個(gè)空，即可得答案.
【詳解】利用插空法，第一步排列兩個(gè)2，兩個(gè)1，一個(gè)7，共有種排法，
第二步再把0插入其中五個(gè)空，所以有種排法，
所以共有個(gè)八位數(shù).
故選：C.
9．霍慶市海軍青少年航空學(xué)校招生，某服務(wù)站點(diǎn)需要連續(xù)五天有志愿者參加志愿服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者計(jì)劃依次安排到該服務(wù)站點(diǎn)參加服務(wù)，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（ ）
A．48種B．60種C．76種D．96種
【答案】B
【分析】考慮兩種情況，即乙丙之間恰好安排的是甲，與乙丙之間安排的不恰好是甲兩種情況，采用插空法以及捆綁法，即可求得答案.
【詳解】當(dāng)乙丙兩人之間恰好安排的是甲時(shí)，先排甲乙丙之外的兩人有種排法，
將乙甲丙三人看作一個(gè)人，但乙丙可以交換位置，插到其余兩人的空位中，
此時(shí)共有種安排方案，
當(dāng)乙丙之間安排的不恰好是甲時(shí)，先排甲乙丙之外的兩人有種排法，再將乙丙插入到先排的兩人之間的空位中，有種排法，由于甲不安排第一天，故將甲插入到排完的四人形成的后面四個(gè)空位中，
此時(shí)共有 種安排方案，
故不同的安排方案共有種安排方案，
故選：B
10．若，則________．
【答案】5
【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式直接計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以，解?
故答案為：5.
11．某公司有9個(gè)連在一起的停車(chē)位，現(xiàn)有5輛不同型號(hào)的轎車(chē)需停放，若停放后恰有3個(gè)空車(chē)位連在一起，則不同的停放方法有____種.
【答案】3600
【解析】先將5輛不同型號(hào)的轎車(chē)停放好，再用插空法將空車(chē)插入5輛不同型號(hào)的轎車(chē)產(chǎn)生的空位中即可.
【詳解】分兩步：第一步，先將5輛不同型號(hào)的轎車(chē)停放好有種不同停法，第二步，再將3個(gè)空
車(chē)位打包和剩下的1個(gè)空車(chē)位插入5輛車(chē)產(chǎn)生的6個(gè)空位中有種不同的插法，根據(jù)分步
乘法原理得不同的停放方法種.
故答案為：3600.
【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)數(shù)原理中的排列問(wèn)題，求解排列問(wèn)題主要有以下方法：1.直接法，2.優(yōu)先法，3.捆綁法，4.插空法，5.先整體后局部，6.定序問(wèn)題除法處理，7.間接法等，做題時(shí)要靈活處理和運(yùn)用，是一道中檔題.
12．北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進(jìn)行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛(ài)；北京冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)，表達(dá)了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛(ài)．某校為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個(gè)吉祥物組裝安放至操場(chǎng)，每個(gè)吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個(gè)吉祥物，則不同的方案共有________種．
【答案】28
【分析】先分類(lèi)成兩種情況：四人一組和兩人一組以及三人一組和三人一組，然后根據(jù)計(jì)數(shù)原理求解即可．
【詳解】由題意可以分為兩種情況：第一種：四人一組和兩人一組，共有；
第二種：三人一組和三人一組，共有；
所以不同的方案一共有：．
故答案為：28
13．某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任．現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中選4人參加培訓(xùn)．
(1)若至多有1名主任參加，則有多少種派法？
(2)若呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加，則有多少種派法？
(3)若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，則有多少種派法？
【答案】(1)105；
(2)105；
(3)87.
【分析】（1）分無(wú)主任參加和只有1名主任參加兩種情況，再根據(jù)組合的方法求得答案；
（2）分2名醫(yī)生、3名醫(yī)生和4名醫(yī)生參加三種情況，再根據(jù)組合的方法即可求得答案；
（3）考慮張雅參加和不參加兩種情況，如果張雅不參加則李亮必須參加，進(jìn)而根據(jù)組合的方法即可求得答案.
（1）
若無(wú)主任參加，則有種派法，若只有1名主任參加，則有種派法，故不同的派法共有（種）.
（2）
由題意，可分為三類(lèi)考慮：
第一類(lèi)，呼吸內(nèi)科有2名醫(yī)生參加，則共有種派法；
第二類(lèi)，呼吸內(nèi)科有3名醫(yī)生參加，則共有種派法；
第三類(lèi)，呼吸內(nèi)科有4名醫(yī)生參加，則共有種派法．
所以呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加的派法共有（種）．
（3）
張雅既是主任，也是女醫(yī)生，屬于特殊元素，優(yōu)先考慮，所以以張雅是否參加來(lái)分類(lèi)．
第一類(lèi)，張雅參加，則有種派法，
第二類(lèi)，張雅不參加，則李亮必須參加，則有種派法．
所以至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加的派法共有（種）．
B組 挑戰(zhàn)自我
1．2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國(guó)家政策，選派了6名工作人員到A 、B、C三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）種．
A．540B．480C．360D．240
【答案】A
【分析】把6名工作人員分別分為，1，，，2，，，2，三種情況討論，然后分別計(jì)算即可求解．
【詳解】解：把6名工作人員分為1，1，4三組，則不同的安排方式共有：種，
把6名工作人員分為2，2，2三組，不同的安排方式共有：種，
把6名工作人員分為1，2，3三組，不同的安排方式共有：種，
綜上，不同的安排方式共有種，
故選：A．
2．疫情之下，口罩成為家家戶戶囤貨清單中必不可少的一項(xiàng)，某新聞?dòng)浾邽檎{(diào)查不同口罩的防護(hù)能力，分別在淘寶、京東、拼多多等購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)了7種口罩，安排4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，且每人至少統(tǒng)計(jì)1種口罩的相關(guān)數(shù)據(jù)（不重復(fù)統(tǒng)計(jì)），則不同的安排方法有（ ）
A．6000種B．7200種C．7800種D．8400種
【答案】D
【分析】由題意可知安排方法分三類(lèi)，第一類(lèi)，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)4種，第二類(lèi)，2個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)3種，第三類(lèi)，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，然后利用先分組后排列計(jì)算即得.
【詳解】由題意可知安排方法分三類(lèi)：
第一類(lèi)，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)4種，有（種）；
第二類(lèi)，2個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)3種，有（種）；
第三類(lèi)，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，有（種）；
故總的安排方法有（種）．
故選：D．
3．設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
【答案】A
【分析】利用隔板法，然后排除有兩個(gè)數(shù)相同的結(jié)果，再結(jié)合集合元素的無(wú)序性可得.
【詳解】將100個(gè)小球排成一列，在101個(gè)空位（包括兩段的空位）中插入第一個(gè)擋板，再在產(chǎn)生的102個(gè)空位中插入第二個(gè)擋板，將小球分成三段，分別記每段中的小球個(gè)數(shù)為a、b、c，共有種結(jié)果，
因?yàn)椋詀、b、c中含有兩個(gè)0,1,2，…，50各有3種結(jié)果，
所以a、b、c三個(gè)數(shù)各不相等的結(jié)果共有個(gè)
因?yàn)槿齻€(gè)元素的每種取值有6種不同順序，
所以，由集合元素的無(wú)序性可知符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：A
4．某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng)，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜（無(wú)論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為_(kāi)___________.（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】由題意可知，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜，所以本題是定序問(wèn)題，故結(jié)合倍縮法即可求出結(jié)果.
【詳解】一共有10條燈謎，共有種方法，由題意可知而其中按2，3，3，2組成的4列相對(duì)位置不變，所以結(jié)合倍縮法可知共有種，也即是這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法有種
故答案為：.
名稱
定義
排列
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
按照一定的順序排成一列
組合
合成一組
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝eq \f(n！,?n－m?！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)
性質(zhì)
(3)0?。?；Aeq \\al(n,n)＝n！
(4)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)

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