高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專(zhuān)用）第3課時(shí)函數(shù)的奇偶性和周期(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【回歸教材】
1.函數(shù)奇偶性定義
2.函數(shù)奇偶性性質(zhì)
①對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用或來(lái)判斷奇偶性.
②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：
③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）
3.函數(shù)對(duì)稱(chēng)性（異號(hào)對(duì)稱(chēng)）
（1）軸對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則： ①； ②；
（2）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則： ① ②
（3）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則：
4.函數(shù)周期性（同號(hào)周期）
（1）周期函數(shù)定義
對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期，則（）也是這個(gè)函數(shù)的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說(shuō)明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.
（3）函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧
設(shè)函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期；
②若，則函數(shù)的周期；
③若，則函數(shù)的周期；
④若，則函數(shù)的周期；
⑤，則函數(shù)的周期
【典例講練】
題型一判斷函數(shù)的奇偶性
【例1-1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1) (2) (3) (4)
【例1-2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；（2）；（3）.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】判斷下列函數(shù)的奇偶性并證明：
(1)； (2)．
題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
【例2-1】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，試求出函數(shù)在R上的表達(dá)式．
【例2-2】定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，最大值為，則__________.
【例2-3】（1）設(shè)定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，若成立，求m的取值范圍.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達(dá)式．
【練習(xí)2-2】已知定義在上的函數(shù).
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)求證：在上單調(diào)遞增；
(3)求不等式的解集.
題型三函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性
【例3-1】已知函數(shù)，若，則___________.
【例3-2】已知函數(shù)，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則（）
A．0B．6C．12D．24
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）
A．1B．2C．D．
【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，則（）
A．10130B．10132C．12136D．12138
題型四函數(shù)的周期性
【例4-1】已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A. B. 2C. D. 8
【例4-2】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R都滿(mǎn)足f(x)＋f(－x)＝0，偶函數(shù)，當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，f(x)＝－x，則f(2 021)＋f(2 022)＝（）
A．1B．0C．-1D．2
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】已知定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
【練習(xí)4-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的恒成立，且函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，則（）
A．2021B．－2021C．2022D．－2022
【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（九）】
【課時(shí)作業(yè)（九）】
A組基礎(chǔ)題
1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在R上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）
A．B．C．D．
2．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
3．函數(shù)的定義域?yàn)?，若是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則（）
A．是偶函數(shù)B．
C．D．
4．已知分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則（）
A．5B．C．3D．
5．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則（）
A．0B．1C．2D．
6．若，則有（）
A．B．C．D．
7．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
9．已知函數(shù)在，上的最大值和最小值分別為、，則（）
A．8B．6C．4D．2
10．（多選題)已知函數(shù)對(duì)，都有，，且，則（）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）中心對(duì)稱(chēng)
C．D．
11．（多選題)已知定義在R上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的一個(gè)周期為6B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．在區(qū)間上共有100個(gè)零點(diǎn)
12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為 __．
13．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件①②③的函數(shù) ．
①為偶函數(shù)； ②的最大值為2； ③不是二次函數(shù)．
14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.
B組能力提升能
1．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的，有，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）
A．0B．1C．2D．3
2．（多選題)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
3．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是______．
4．已知函數(shù)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①是偶函數(shù)； ②的值域是； ③在區(qū)間上是減函數(shù)．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)
奇函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
第 3 課時(shí) 函數(shù)的奇偶性和周期
編寫(xiě)：廖云波
【回歸教材】
1.函數(shù)奇偶性定義
2.函數(shù)奇偶性性質(zhì)
①對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用或來(lái)判斷奇偶性.
②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：
③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）
3.函數(shù)對(duì)稱(chēng)性（異號(hào)對(duì)稱(chēng)）
（1）軸對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則： ①； ②；
（2）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則： ① ②
（3）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則：
4.函數(shù)周期性（同號(hào)周期）
（1）周期函數(shù)定義
對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期，則（）也是這個(gè)函數(shù)的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說(shuō)明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.
（3）函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧
設(shè)函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期；
②若，則函數(shù)的周期；
③若，則函數(shù)的周期；
④若，則函數(shù)的周期；
⑤，則函數(shù)的周期
【典例講練】
題型一判斷函數(shù)的奇偶性
【例1-1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)偶函數(shù)
(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
(3)奇函數(shù)
(4)奇函數(shù)
【解析】
【分析】
分別求函數(shù)函數(shù)的定義域，再定義判斷與的關(guān)系即可得出結(jié)論.
(1)
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)；
(2)
解：由函數(shù)，
則，解得，奇函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
故，所以函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
(3)
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
綜上，對(duì)于任意的，都有，
所以函數(shù)為奇函數(shù)；
(4)
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
【例1-2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）偶函數(shù)；（2）非奇非偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)．
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判定方法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又由，即，
所以函數(shù)為偶函數(shù).
（2）由，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)榛颍涠x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．
（3）由題意，函數(shù)滿(mǎn)足，解得或，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得函數(shù)，
又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
即函數(shù)是奇函數(shù)．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】判斷下列函數(shù)的奇偶性并證明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；
(2)為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
首先確定定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)奇偶函數(shù)定義依次判斷兩個(gè)函數(shù)奇偶性即可.
(1)
，，定義域?yàn)椋?br>，，
為定義在上的奇函數(shù)；
(2)
在上恒成立，定義域?yàn)椋?br>，
為定義在上的奇函數(shù).
題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
【例2-1】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，試求出函數(shù)在R上的表達(dá)式．
【答案】
【解析】
【分析】
利用偶函數(shù)的性質(zhì)可求在R上的表達(dá)式.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，故，
故，
所以.
【例2-2】定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，最大值為，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性，可得所求和.
【詳解】
由題意，函數(shù)在上為偶函數(shù)，所以，解得，
又由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，
可得，可得的最大值為，即，
所以.
故答案為：.
【例2-3】（1）設(shè)定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，若成立，求m的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)奇偶性得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的定義域得到范圍.
（2）根據(jù)奇偶性得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的定義域得到范圍.
【詳解】
（1）定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，故，解得.
（2）定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，，則，解得.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達(dá)式．
【答案】，
【解析】
【分析】
本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性構(gòu)造方程.
【詳解】
解析：以代替條件等式中的，則有，
又，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
故．
又，
聯(lián)立可得，．
【練習(xí)2-2】已知定義在上的函數(shù).
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)求證：在上單調(diào)遞增；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）判斷的關(guān)系即可.
（2）任取，判斷的正負(fù)即可；
（3）將原不等式移項(xiàng)得，脫“f”，可解得原不等式的解集.
(1)
由已知函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)是奇函數(shù)；
(2)
任取，
因?yàn)椋?br>所以
所以在上單調(diào)遞增；
(3)
不等式可化為
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增
所以不等式可化為
解得.
題型三函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性
【例3-1】已知函數(shù)，若，則___________.
【答案】：4
【分析】
化簡(jiǎn)成奇函數(shù)加一個(gè)常數(shù)的結(jié)構(gòu),再求解的值即可.
【詳解】由題, ,設(shè),則為奇函數(shù).
故.故.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用,需要將所給的函數(shù)分離出奇函數(shù)加常數(shù)的結(jié)構(gòu),再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于中檔題.
【例3-2】已知函數(shù)，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則（）
A．0B．6C．12D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意得到，的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)為，，，，則，，同理可得：，，，，即可得到答案．
【詳解】
解：由得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，同時(shí)函數(shù)定義域也為，且
即，故也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
則函數(shù)與圖象的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
則不妨設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)為，，，，則，，
則，，
同理可得：，，，，
即，
故選：B．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由是奇函數(shù)，可以得到關(guān)于a的方程組，解之即可得到a的值.
【詳解】
由是奇函數(shù),知，
即，
由x的任意性，得，
得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
故選：A
【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，則（）
A．10130B．10132C．12136D．12138
【答案】D
【解析】
【分析】
由函數(shù)式得對(duì)稱(chēng)性，然后配對(duì)求和．
【詳解】
，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)時(shí)，，
所以
.
故選：D．
題型四函數(shù)的周期性
【例4-1】已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A. B. 2C. D. 8
【答案】：A
【分析】
根據(jù)等式，結(jié)合已知函數(shù)的解析式、指數(shù)冪運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值，考查了指數(shù)運(yùn)算公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
【例4-2】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R都滿(mǎn)足f(x)＋f(－x)＝0，偶函數(shù)，當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，f(x)＝－x，則f(2 021)＋f(2 022)＝（）
A．1B．0C．-1D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出函數(shù)的周期，然后轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】
由題意可知：
即，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)
又
故選：A.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】已知定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根已知條件求出的周期，根據(jù)周期性以及奇函數(shù)，結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】
因?yàn)闈M(mǎn)足，所以，
所以是周期為的函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以，
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
，
故選：D.
【練習(xí)4-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的恒成立，且函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，則（）
A．2021B．－2021C．2022D．－2022
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性進(jìn)行求解即可.
【詳解】
對(duì)任意的都有，令x＝0，則，即，即有，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)．又函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)為奇函數(shù)．
所以，所以，
所以8是函數(shù)的最小正周期．
，所以，故選：A．
【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（九）】
【課時(shí)作業(yè)（九）】
A組基礎(chǔ)題
1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在R上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
對(duì)于A：取特殊值，判斷出不是奇函數(shù)，即可否定結(jié)論；對(duì)于B：由的定義域?yàn)椋纯煞穸ńY(jié)論；對(duì)于C：由函數(shù)的單調(diào)性否定結(jié)論；對(duì)于D：利用奇偶性的定義判斷出是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性判斷出在上單調(diào)遞增，即可判斷.
【詳解】
對(duì)于A：因?yàn)?，所以，所以不是奇函?shù).故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不為R.所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：.
當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：的定義域?yàn)镽.
因?yàn)?，所以是奇函?shù).
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.
故D正確.
故選：D.
2．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br>即，所以函數(shù)的周期為，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以，所以.
故選：B.
3．函數(shù)的定義域?yàn)?，若是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則（）
A．是偶函數(shù)B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可推導(dǎo)得到，進(jìn)而得到，可知B錯(cuò)誤；由推導(dǎo)得到，知A正確；由已知關(guān)系式無(wú)法推導(dǎo)得到，知CD錯(cuò)誤.
【詳解】
是奇函數(shù)，；
是偶函數(shù)，，
，，
，，
是周期為的周期函數(shù)，B錯(cuò)誤；
，，是偶函數(shù)，A正確；
，，無(wú)法得到，C錯(cuò)誤；
，無(wú)法得到，D錯(cuò)誤.
故選：A.
4．已知分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則（）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)奇偶性即可求解.
【詳解】
由得：，因?yàn)榉謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，故可解得：
故選：B
5．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則（）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性得周期后求解
【詳解】
由題意，而是的奇函數(shù)，故，
可得，故是以4為周期的周期函數(shù)，
，又，，
故，
故選：B
6．若，則有（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由解析式確定函數(shù)單調(diào)性，再利用單調(diào)性即可求解.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，易得函數(shù)單調(diào)遞增，由，
可得，，
故選：B.
7．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，得到的取值情況，原不等式等價(jià)于或，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求出的取值范圍，即可得解；
【詳解】
解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
由圖可得時(shí)，時(shí)，時(shí)；
又當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，
不等式等價(jià)于或，
所以或或，即不等式的解集為；
故選：A
8．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性及奇偶性即可求解.
【詳解】
解：由題可知，，且，
故函數(shù)為偶函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，，
故在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，故，解?
故選：C .
9．已知函數(shù)在，上的最大值和最小值分別為、，則（）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)，，證明函數(shù)為奇函數(shù)，則有，從而可得出答案.
【詳解】
解：設(shè)，，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，
所以，
所以．
故選：A．
10．（多選題)已知函數(shù)對(duì)，都有，，且，則（）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）中心對(duì)稱(chēng)
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
由題意得，所以的周期為4，又因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可判斷A；又因?yàn)榈闹芷跒?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，可判斷B；，可判斷C；，可判斷D.
【詳解】
因?yàn)?，所以為奇函?shù)，
又因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱(chēng)，
所以，令等價(jià)于，所以，
再令等價(jià)于，所以，所以的周期為4，
由，可得：，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A不正確；
又因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，的周期為4，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；
令中，可得，所以，故C正確；
，故D不正確.
故選：BC.
11．（多選題)已知定義在R上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的一個(gè)周期為6B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．在區(qū)間上共有100個(gè)零點(diǎn)
【答案】BC
【解析】
【分析】
由條件結(jié)合周期函數(shù)的定義證明函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)奇偶性，周期性，單調(diào)性判斷B，C，并由零點(diǎn)的定義判斷D.
【詳解】
因?yàn)?，取，得，故，又是偶函?shù)，所以，所以，
故，即的一個(gè)周期為12，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，由周期性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由周期性可知的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故C項(xiàng)正確；
因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，，由周期性可知，在區(qū)間上，，而區(qū)間上有168個(gè)周期，故在區(qū)間上有336個(gè)零點(diǎn)，又，所以在區(qū)間上有337個(gè)零點(diǎn)，由為偶函數(shù)，可知在區(qū)間上有674個(gè)零點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：BC項(xiàng)．
12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為_(kāi)_．
【答案】##-0.5
【解析】
【詳解】
易知函數(shù)定義域?yàn)?br>函數(shù)是偶函數(shù)
對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立
，
，
對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立
，即 .
13．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件①②③的函數(shù)______．
①為偶函數(shù)；②的最大值為2；③不是二次函數(shù)．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由①知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，結(jié)合②和③可得符合條件的函數(shù).
【詳解】
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
又的最大值為2，所以可?。?br>故答案為：（答案不唯一）.
14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
把不等式化成不等式組，再利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求解作答.
【詳解】
因?yàn)槠婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，，
則在上是增函數(shù)，且，
不等式化為：或，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案為：
B組能力提升能
1．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的，有，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先判斷出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用周期性直接求解.
【詳解】
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，用代換x，可得：①
對(duì)任意的，有，把①代入有：，即②
在②式中，用代換x，有③.
②③對(duì)照可得：，用代換x，有恒成立，
所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).
所以.
在③中，令有，所以，
所以.
故選：A
2．（多選題)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】
因?yàn)?，均為偶函?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)（必要時(shí)結(jié)合圖象）即可得解.
3．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，可得，分段求解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)值集合，再結(jié)合圖象推理計(jì)算作答.
【詳解】
因，則，又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，由，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，
顯然，當(dāng)時(shí)，，如圖，
對(duì)任意，都有，必有，
所以m的取值范圍是.
故答案為：
4．已知函數(shù)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②的值域是；
③在區(qū)間上是減函數(shù)．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．
【答案】①③
【解析】
【分析】
計(jì)算出可判斷①，分、兩種情況求出的范圍，然后結(jié)合其周期性可得其值域，即可判斷②，當(dāng)時(shí)，，然后可判斷③.
【詳解】
因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故①正確，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
又因?yàn)?，所以的值域是，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故③正確，
故答案為：①③
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)
奇函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)

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