【回歸教材】
1.橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做 ．這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 ．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若 ，則集合P為橢圓； (2)若 ，則集合P為線段； (3)若 ，則集合P為空集．
2.橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)
【橢圓的常用結(jié)論】
(1)設橢圓上任意一點，則當時，有最小值b，P點在短軸端點處；當時，有最大值a，P點在長軸端點處．
(2)已知過焦點F1的弦AB，則的周長為4a．
(3)通徑：過焦點垂直與長軸的弦（最短的焦點弦）
(4)焦半徑范圍：設，F(xiàn)為橢圓焦點，則有.
(5)焦半徑長度：設，分別為左右焦點，.
【典例講練】
題型一 橢圓的定義及應用
【例1-1】已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為_________________.
【例1-2】已知是橢圓：的左焦點，為上一點，，則的最小值為______.
【例1-3】已知點是橢圓上一點，是其左右焦點，且，則三角形的面積為_________
歸納總結(jié)：
【練習1-1】已知是兩個定點且的周長等于則頂點的軌跡方程為______．
【練習1-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，點，則的最小值為__________．
【練習1-3】已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（ ）
A．B．C．D．
題型二 橢圓的標準方程
【例2-1】寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點；
（2）a＝4，c＝；
（3）過點P(－3，2)，且與橢圓有相同的焦點．
【例2-2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)中心在原點，焦點在x軸上，長軸長、短軸長分別為8和6；
(2)中心在原點，一個焦點坐標為，短軸長為4；
(3)對稱軸都在坐標軸上，長半軸長為10，離心率是0.6；
(4)中心在原點，焦點在x軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1．
歸納總結(jié)：
【練習2-1】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)長軸在x軸上，長軸的長為12，離心率為；
(2)經(jīng)過點和.
【練習2-2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點在軸上x，長軸長為4，焦距為2；
(2)一個焦點坐標為，短軸長為2．
題型三 橢圓的性質(zhì)
【例3-1】橢圓的長軸長為______，短軸長為______，焦點坐標為______，頂點坐標為______．
【例3-2】橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【例3-4】已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
歸納總結(jié)：
【練習3-1】已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P為C上一點，若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【練習3-2】已知分別是橢圓的左、右焦點，點，點在橢圓上，，分別是的中點，且的周長為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【練習3-3】已知，是橢圓C：的左、右焦點，O為坐標原點，點M是C上點（不在坐標軸上），點N是的中點，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【請完成課時作業(yè)（五十四）】
【課時作業(yè)（五十四）】
A組 基礎題
1．若直線過橢圓短軸端點和左頂點，則橢圓方程為（ ）
A．B．C．D．
2．焦點在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達卡門時所經(jīng)過的路程為（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
4．過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖所示，圓柱形玻璃杯中的水液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上的點，為的外角平分線，，則（ ）
A．1B．2C．D．4
7．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
8．【多選題】已知橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的上頂點和右頂點分別為A，B．若P，Q兩點都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標原點對稱，則（ ）
A．|PQ|的最大值為 B．為定值
C．橢圓上不存在點M，使得 D．若點P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為
9．【多選題】過橢圓的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，，是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（ ）
A．周長的最小值為18 B．四邊形可能為矩形
C．若直線PA斜率的取值范圍是，則直線PB斜率的取值范圍是 D．的最小值為-1
10．設橢圓的左、右兩焦點分別為，，是上的點，則使得是直角三角形的點的個數(shù)為_________.
11．設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積等于______.
12．已知橢圓的焦點分別、，點A為橢圓C的上頂點，直線，與橢圓C的另一個交點為B．若，則橢圓C的方程為______.
13．已知圓圓心為M，定點，動點A在圓M上，線段AN的垂直平分線交線段MA于點P
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)若點Q是曲線C上一點，且，求的面積.
B組 能力提升
1．已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
2．是橢圓的左焦點是橢圓上的動為定點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．
4．在橢圓中，直線上有兩點C、D (C點在第一象限)，左頂點為A，下頂點為B，右焦點為F.
(1)若∠AFB，求橢圓的標準方程；
(2)若點C的縱坐標為2，點D的縱坐標為1，則BC與AD的交點是否在橢圓上？請說明理由；
標準方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a、－b≤y≤b
－b≤x≤b、－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點
頂點坐標
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為 ；短軸B1B2的長為
焦距
|F1F2|＝
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系

第 5 課時 橢圓及其性質(zhì)
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓； (2)若a＝c，則集合P為線段； (3)若a0，n>0，m≠n)，
由和兩點在橢圓上可得
，即，
解得．
故所求橢圓的標準方程為．
（2）因為a＝4，所以b2＝a2－c2＝1，
所以當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程是；當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程是．
（3）因為所求的橢圓與橢圓的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝5．
設所求橢圓的標準方程為．
因為所求橢圓過點P(－3，2)，所以有①
又a2－b2＝c2＝5，②
由①②解得a2＝15，b2＝10．
故所求橢圓的標準方程為．
【例2-2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)中心在原點，焦點在x軸上，長軸長、短軸長分別為8和6；
(2)中心在原點，一個焦點坐標為，短軸長為4；
(3)對稱軸都在坐標軸上，長半軸長為10，離心率是0.6；
(4)中心在原點，焦點在x軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或；
(4).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)長軸長，短軸長，及焦點所在軸直接求解；（2）根據(jù)焦點坐標確定焦點在y軸上，求出得到橢圓方程；（3）確定，分焦點在x軸與y軸，寫出橢圓方程；（4）得到，，求出，得到橢圓方程
(1)
由題意得：，所以，結(jié)合焦點在x軸上，故橢圓方程為；
(2)
由題意得：，故，因為焦點在y軸上，故橢圓方程為
(3)
由題意得：，，所以，，當焦點在x軸上時，橢圓方程為；當焦點在y軸上時，橢圓方程為
(4)
由題意得：，，所以，，結(jié)合焦點在x軸上，故橢圓方程為
歸納總結(jié)：
【練習2-1】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)長軸在x軸上，長軸的長為12，離心率為；
(2)經(jīng)過點和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由長軸長及離心率求橢圓參數(shù)a、c，進而求參數(shù)b，即可寫出橢圓方程.
（2）由題設知P，Q分別是橢圓的短軸和長軸的一個端點，即可得a、b，結(jié)合頂點坐標特征寫出橢圓方程.
(1)
由已知,，，得：，，從而.
所以橢圓的標準方程為.
(2)
由橢圓的幾何性質(zhì)知，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，
所以點P，Q分別是橢圓的短軸和長軸的一個端點，于是有，.
又短軸、長軸分別在x軸和y軸上，所以橢圓的標準方程為.
【練習2-2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點在軸上x，長軸長為4，焦距為2；
(2)一個焦點坐標為，短軸長為2．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)長軸長求出，根據(jù)焦距求出，從而求出，寫出橢圓方程；（2）根據(jù)焦點坐標與短軸長求出b，c，從而求出a，寫出橢圓方程.
(1)
∵橢圓的焦點在x軸上，
∴設橢圓的方程為（），
∵長軸長為4，焦距為2，
∴，，
∴，，
∴，
∴橢圓的方程為；
(2)
焦點坐標為，短軸長為2，
設橢圓的方程為（），
∴，，
∴，
∴橢圓的方程為．
題型三 橢圓的性質(zhì)
【例3-1】橢圓的長軸長為______，短軸長為______，焦點坐標為______，頂點坐標為______．
【答案】 10 ，
【解析】
【分析】
將橢圓方程化為標準方程即可得到，進而可求長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標.
【詳解】
由題意知：橢圓標準方程為，
∴，
即長軸長為10，短軸長為，焦點坐標，頂點坐標，.
故答案為：10；；；
【例3-2】橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】
解：，
設，則，
則，
故，
又，則，
所以，即，
所以橢圓的離心率.
故選：A.
【例3-4】已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
畫出圖象，根據(jù)圖像判斷出，由此求得離心率的取值范圍．
【詳解】
解：由題意，如圖，
若在橢圓上存在點，使得由點所作的圓的兩條切線互相垂直，則只需，即，，
即，因為，
解得：．
，即，而，
，即．
故選：D．
歸納總結(jié)：
【練習3-1】已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P為C上一點，若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根據(jù)，且求得，再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于 的方程，解出 即可
【詳解】
點橢圓上的點，

，且

在 中，
即 ，整理得：
即
故選：D
【練習3-2】已知分別是橢圓的左、右焦點，點，點在橢圓上，，分別是的中點，且的周長為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因為，所以三點共線，且，根據(jù)橢圓的定義求得，
設，根據(jù)，求得，代入橢圓的方程，求得的值，即可求解.
【詳解】
因為，所以三點共線，且，
因為分別為和的中點，
所以，所以，
設，，，
由，可得，
求得，，所以，
因為點在橢圓上，所以，求得，，
所以橢圓的方程為.
故選：B.
【練習3-3】已知，是橢圓C：的左、右焦點，O為坐標原點，點M是C上點（不在坐標軸上），點N是的中點，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由角平分線的性質(zhì)定理有，再根據(jù)線段之間的關(guān)系建立不等式可求解.
【詳解】
因為是的中點，是的中點，所以，
因為平分，所以，
因為，所以，，由（或），得橢圓的離心率，又，所以橢圓的離心率的取值范圍是．
故選：A．
【請完成課時作業(yè)（五十四）】
【課時作業(yè)（五十四）】
A組 基礎題
1．若直線過橢圓短軸端點和左頂點，則橢圓方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，求出直線與x軸，y軸的交點，即可求解作答.
【詳解】
直線交x軸于，交y軸于，依題意，，
所以橢圓方程為.
故選：B
2．焦點在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)長軸長算出后，由離心率可得的值，從而可得橢圓的標準方程.
【詳解】
因為長軸長為，故長半軸長，因為，所以半焦距，
故，
又焦點在軸上，所以橢圓的標準方程為，
故選：D
3．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達卡門時所經(jīng)過的路程為（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
【答案】A
【解析】
【分析】
設橢圓的方程為，進而根據(jù)題意得，故，再根據(jù)橢圓的定義求解即可.
【詳解】
解：設橢圓的方程為，
因為此橢圓的離心率為，且，
所以，所以，
所以根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達卡門時所經(jīng)過的路程為cm.
故選：A
4．過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由與x軸交點橫坐標可得半焦距c，設出點A，B坐標，利用點差法求出的關(guān)系即可計算作答.
【詳解】
依題意，焦點，即橢圓C的半焦距，設，，
則有，兩式相減得：，
而，且，即有，
又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗證符合題意，
所以橢圓的方程為.
故選：A
5．如圖所示，圓柱形玻璃杯中的水液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設圓柱的半徑為，根據(jù)已知條件得到橢圓長軸和短軸與圓柱半徑的關(guān)系式，通過構(gòu)造齊次式求解橢圓的離心率即可.
【詳解】
解：設圓柱的半徑為，
由題意可知，橢圓的短軸長為圓柱的直徑，即，
橢圓的長軸為，即，
又在橢圓中，，所以.
故選：D.
6．如圖，分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上的點，為的外角平分線，，則（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
延長交的延長線于點，所以，結(jié)合橢圓的定義得，所以在中，．
【詳解】
如圖所示：

延長交的延長線于點，
因為為的外角平分線，，
所以易得，所以，，
結(jié)合橢圓的定義得，
又為的中點，為的中點，
所以在中，，
故選：B.
7．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.
【詳解】
解：因為離心率，解得，，
分別為C的左右頂點，則，
B為上頂點，所以.
所以，因為
所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
8．【多選題】已知橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的上頂點和右頂點分別為A，B．若P，Q兩點都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標原點對稱，則（ ）
A．|PQ|的最大值為
B．為定值
C．橢圓上不存在點M，使得
D．若點P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為
【答案】BD
【解析】
【分析】
A. 由|PQ|的最大值為長軸長判斷；B.由橢圓的定義判斷；C.由判斷；D.分別求得P，Q到直線AB的距離最大值判斷.
【詳解】
如圖所示：
A. |PQ|的最大值為長軸長2 ，故錯誤；
B. 易知是平行四邊形，則，因為，所以，故正確；
C.因為，所以，則，故橢圓上存在點M，使得，故錯誤；
D.直線AB所在直線方程為：，即，設，則點P到直線AB的距離為，其最大值為，同理點Q到直線AB的最大值為，所以四邊形APBQ面積的最大值為，故正確.
故選：BD
9．【多選題】過橢圓的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，，是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（ ）
A．周長的最小值為18
B．四邊形可能為矩形
C．若直線PA斜率的取值范圍是，則直線PB斜率的取值范圍是
D．的最小值為-1
【答案】AC
【解析】
【分析】
A由橢圓對稱性及定義有周長為，根據(jù)橢圓性質(zhì)即可判斷；B根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程與已知判斷正誤；C、D設，利用斜率兩點式可得，進而判斷C正誤，應用向量數(shù)量積的坐標表示列關(guān)于的表達式，結(jié)合橢圓有界性求最值.
【詳解】
A：根據(jù)橢圓的對稱性，，當PQ為橢圓的短軸時，有最小值8，所以周長的最小值為18，正確；
B：若四邊形為矩形，則點P，Q必在以為直徑的圓上，但此圓與橢圓無交點，錯誤；
C：設，則，因為直線PA斜率的范圍是，所以直線PB斜率的范圍是，正確；
D：設，則．因為，所以當時，最小值為，錯誤.
故選：AC．
10．設橢圓的左、右兩焦點分別為，，是上的點，則使得是直角三角形的點的個數(shù)為_________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷為上下頂點時的大小判斷直角三角形個數(shù)，再加上、對應直角三角形個數(shù)，即可得結(jié)果.
【詳解】
由橢圓性質(zhì)知：當為上下頂點時最大，此時，，
所以，故焦點三角形中最大為，故有2個；
又、對應的直角三角形各有2個；
綜上，使得是直角三角形的點的個數(shù)為6個.
故答案為：6
11．設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積等于_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用定義求出的各邊，再求出，即可求出的面積.
【詳解】
由，且，

在中，∠

.
故答案為：
12．已知橢圓的焦點分別、，點A為橢圓C的上頂點，直線，與橢圓C的另一個交點為B．若，則橢圓C的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用定義和已知先求，再由相似三角形可得點B坐標，代入橢圓方程可解.
【詳解】
如圖，過點B作x軸的垂線，垂足為M，
由定義知，，因為，所以
因為，，
所以，所以
將代入得，解得
所以
所以橢圓方程為.
故答案為：
13．已知圓圓心為M，定點，動點A在圓M上，線段AN的垂直平分線交線段MA于點P
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)若點Q是曲線C上一點，且，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意中的幾何關(guān)系，判斷動點的軌跡為橢圓，寫出其方程即可；
（2）利用橢圓定義結(jié)合余弦定理，即可求得，再求三角形面積即可.
(1)
由已知，故，
所以P點軌跡是以M、N為焦點的橢圓，
設P點軌跡方程為，則，
所以P點軌跡方程為.
(2)
不妨設，由橢圓定義可得，又，
則在中，由余弦定理可得：，
解得.
故的面積.
B組 能力提升
1．已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓方程求得，再由橢圓的定義可得，利用基本不等式即可求解．
【詳解】
解：由橢圓可得，所以，
因為點在上，所以，
所以，
當且僅當時等號成立，最大值為9.
故選：C．
2．是橢圓的左焦點是橢圓上的動為定點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用橢圓的幾何性質(zhì)，將求兩線段之和的最小值轉(zhuǎn)變?yōu)閮删€段之差的絕對值的最大值即可.
【詳解】
橢圓的，
如圖，
設橢圓的右焦點為 ，
則 ；
；
由圖形知，當在直線 上時， ，
當不在直線 上時，
根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有， ，
當在 的延長線上時， 取得最小值
的最小值為．
故選：C．
3．已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】
利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
【詳解】
∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
故答案為：13.

4．在橢圓中，直線上有兩點C、D (C點在第一象限)，左頂點為A，下頂點為B，右焦點為F.
(1)若∠AFB，求橢圓的標準方程；
(2)若點C的縱坐標為2，點D的縱坐標為1，則BC與AD的交點是否在橢圓上？請說明理由；
【答案】(1)
(2)交點為，在橢圓上，理由見解析
(3)6
【解析】
【分析】
（1）寫出三點的坐標，可將用坐標表示出來，求出的值，再結(jié)合已知條件，即可求出，進而寫出橢圓的標準方程；
（2）根據(jù)條件，寫出直線和的方程，求出交點坐標，再將其代入橢圓標準方程的左邊，即可判斷該點與橢圓的位置關(guān)系；
（3）利用三角換元（或者橢圓的參數(shù)方程）的方法設出點的坐標，再結(jié)合點的坐標，寫出直線和的方程，求出點的坐標，表示出，再利用三角恒等變換以及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡，最后根據(jù)重要不等式計算出的最小值.
(1)
由題可得，又，
所以，解得，
所以，
故橢圓的標準方程為；
(2)
由，得直線的方程為：，
由，得直線的方程為：，
聯(lián)立兩方程，解得交點為，
代入橢圓方程的左邊，得，
故直線與的交點在橢圓上；
標準方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a、－b≤y≤b
－b≤x≤b、－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點
頂點坐標
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2

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