雙曲線
學習目標
1．掌握雙曲線的定義和雙曲線的標準方程并會求解相關基本量．
2．掌握雙曲線的性質并會解決相關數學問題．
3．掌握雙曲線焦點三角形面積的計算方式及運用．
4．掌握雙曲線的焦半徑公式的使用方法．
【備注】1．本節(jié)重點是掌握雙曲線的定義及標準方程（特別是
之間的關系），會將雙曲線的一
般方程轉化為標準方程，掌握雙曲線的性質并會解決相關數學問題（特別是離心率相關問題），掌握雙曲線中有關焦點三角形與焦半徑的求解技巧；難點是雙曲線的性質、焦點三角形與焦半徑在解題過程中一些技巧的應用．
2．關聯知識：橢圓、拋物線、直線與圓.
一、 雙曲線及其方程
1. 雙曲線的定義
雙曲線的定義
平面內與兩個定點 ， 的距離的差的絕對值等于常數（小于且不等于零）的點的軌跡（或集
合） 叫做雙曲線．
這兩個定點叫做雙曲線的 焦點 ，兩焦點的距離叫做雙曲線的 焦距 ．
雙曲線定義的重要解讀
（1）定義中的絕對值不能去掉，否則動點的軌跡為雙曲線的一支；
（2）定義中“小于”這個條件不能去掉，因為：
①若“”，則點的軌跡是 射線 或 ；
②若“”，則點的軌跡 不存在 ；
③若“”,則點的軌跡就是 線段 的垂直平分線 .
經典例題
1. 已知平面中的兩點，，則滿足的點 的軌跡是（ ）．
A. 橢圓B. 雙曲線C. 一條線段D. 兩條射線
1
【備注】本題考查雙曲線的定義，注意與比較
【答案】B
【解析】根據雙曲線定義，點 的軌跡是以 ， 為焦點的雙曲線 .
故選 ．
【標注】
【知識點】求點的軌跡；雙曲線的定義
2. 已知兩定點，，動點 滿足，則當和 時， 點的軌跡是（
）．
A. 雙曲線和一條直線B. 雙曲線和一條射線
C. 雙曲線的一支和一條射線D. 雙曲線的一支和一條直線
【備注】本題考查雙曲線的定義及定義的重要解讀
（1）定義中的絕對值不能去掉，否則動點的軌跡為雙曲線的一支；
（2）若“”，則點的軌跡是射線 或 .
【答案】C
【解析】當時，，根據雙曲線的定義，它表示雙曲線的右支；
當時，， 、 、 三點共線，它表示以 為端點的射線．
【標注】【知識點】求點的軌跡
鞏固練習
1. 平面內，一個動點 ，兩個定點 ， ，若為大于零的常數，則動點 的軌跡為（ ）．
A. 雙曲線B. 射線
C. 雙曲線的一支或射線D. 線段
【答案】C
【解析】根據雙曲線定義，為，當即時，點 為雙曲線上的點
又因為
【標注】
所以點 為雙曲線上一支的動點，當
【知識點】求點的軌跡；雙曲線的定義
時， 為一條射線．
2. 兩定點、的距離之差的絕對值等于 的點 的軌跡是．
【答案】雙曲線
【標注】【素養(yǎng)】直觀想象；邏輯推理；數學運算
【知識點】求點的軌跡；雙曲線的定義
2. 雙曲線的標準方程
雙曲線的標準方程
①當焦點在 軸上時，雙曲線的標準方程為：
，其中左焦點
，右焦點
，如圖1．
圖1圖2
②當焦點在 軸上時，雙曲線的標準方程為：
，其中上焦點
，下焦點
，如圖2．
之間滿足的關系式為．
判斷雙曲線焦點位置的方法
①焦點在 軸上，則 項的系數為正；②焦點在 軸上，則 項的系數為正.
經典例題
1. 雙曲線上一點 到一個焦點的距離為 ，則點 到另一個焦點的距離為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】本題考查雙曲線的定義及基本量；首先根據雙曲線的標準方程找到 的值，再根據雙曲線的
定義得到關系式，求解即可；
這里注意求帶絕對值的方程將兩邊平方求解
【答案】A
【解析】由雙曲線定義知，兩焦點 與 到點 的距離之差的絕對值為 ，
即，
又因為，
故，
即，
故或（舍），
故選 ．
【標注】
【知識點】雙曲線的定義
2. 若曲線表示雙曲線，則 的取值范圍是．
【備注】根據雙曲線的標準方程， 與 的系數異號，列不等式可求解.【答案】
【解析】∵曲線表示雙曲線，
∴，
∴ 的取值范圍是．
【標注】【知識點】雙曲線的標準方程
3. 已知 ， 是雙曲線的兩個焦點，點 是雙曲線上任意一點，若點 是的重心，
則點 的軌跡方程為（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】本題設出點 、點 的坐標，根據重心坐標公式，用點 的坐標表示點 ，再根據點 在雙
曲線上，代入方程整理即可
【答案】C
【解析】依題意有點,，設點，
則，設點，根據重心坐標公式有，即，
代入雙曲線方程并簡化得．
故選 ．
【標注】
【知識點】求曲線方程的問題
4.表示的曲線方程為（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】本題根據給的式子，表示動點到與的距離之差的值等于 ,并且兩個定點的距
離大于 ,可判斷其為雙曲線，又因為整體沒有加絕對值，所以是雙曲線的一支
【答案】C
【解析】根據幾何意義，表示動點到與的距離之差等于 （且兩個定點的距離大于
）的集合，根據雙曲線定義可知，，，所以，由焦點在 軸上，所以
，且到點的距離比較大，所以，即曲線方程為．
故選 ．
【標注】
【知識點】雙曲線的定義；雙曲線的標準方程
5. 若點在雙曲線上，則的最小值是．
【備注】本題根據雙曲線方程將所求式子轉化為關于 的函數，再根據二次函數的圖象與性質求解最
小值即可
【答案】
【解析】點在雙曲線上，故，
進而得到：，
二次函數對稱軸為，
結合二次函數圖像及性質可知最小值為
時對應的值為 ．
故答案為： ．
【標注】【知識點】雙曲線中其他最值問題
6. 設 為坐標原點，直線與雙曲線 ：的兩條漸近線分別交于 ， 兩點，
若的面積為 ，則雙曲線 的焦距的最小值是（ ）．
A.B.C.D.
【備注】根據雙曲線漸近線公式可求得 、 兩點的坐標，表示出三角形面積，再根據 、 、 的關
系，利用均值不等式求最值即可
【答案】C
【解析】雙曲線的漸近線為，
∴，，
∵面積為 ，
∴，即，
∵，
∴．
注：當且僅當時，等號成立，即雙曲線焦距最小值為 ．
【標注】【知識點】雙曲線中其他最值問題；雙曲線的標準方程
7. 已知 是雙曲線的左焦點，定點， 是雙曲線右支上的動點，則的最小
值為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】設雙曲線的右焦點為 ,首先根據雙曲線的定義將轉化為,再根據
三點共線時取得最小值求解即可
【答案】D
【解析】∵ 點在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點為，
∴由雙曲線定義可得，，
而，
兩式相加得，
當且僅當 、 、 三點共線時等號成立．
則的最小值為 ．
故選 ．
【標注】
【知識點】利用雙曲線定義求線段最值
鞏固練習
1. “”是“方程表示雙曲線”的（ ）．
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】方程表示雙曲線，
則，解得或，
故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
故選 ．
【標注】
【知識點】充要條件與解析幾何結合；雙曲線的標準方程
2.
平面內兩個定點的距離為 ，則以兩定點的中點為原點，兩定點所在直線為坐標軸建立坐標系，到這兩個定點的距離之差的絕對值為 的點的軌跡方程為（ ）．
A.B.
C.或D.或
【答案】C
【解析】由雙曲線定義可知，，；，，注意坐標軸的不同建立．
【標注】【知識點】雙曲線的定義；求曲線方程的問題
3.
設雙曲線
的左右焦點分別為 ， ，過 的直線 交雙曲線左支于 ， 兩點，則
的最小值等于．
【答案】
【解析】
根據雙曲線
，得：
，
，
由雙曲線的定義可得：①，
②，
① ②可得：，
∵過雙曲線的左焦點 的直線交栓曲線的左支與 ， 兩點，
∴，
當 是雙曲線的通徑時 最小，∴
，
．
故答案為： ．
【標注】【知識點】雙曲線的標準方程
4.
已知雙曲線．
（ 2 ） 為雙曲線 右支上一動點， 點 的坐標是
，求 的最小值 ．
【答案】（ 1 ）雙曲線的標準方程為（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）由題可設所求雙曲線的方程為
或
，
．
①當時， 方程為，
令得，
即雙曲線方程為，
②當時， 方程為，
令得，
即雙曲線方程為，
（ 2 ）
雙曲線的標準方程為
設，滿足
或
，
．
則
，
當
時， 有最小值 為
．
【標注】【知識點】雙曲線中其他最值問題；雙曲線共漸近線問題
5. 已知雙曲線的左焦點為 ，點 為其右支上任意一點，點 的坐標為，則周長
的最小值為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】y
x
O
設雙曲線右焦點為 ，
周長
．
∵在雙曲線中，
，
∴，
∴周長為，
∵，．
∴，
∴周長最小，即最小，
易知兩點之間線段最短，
即
，
∴周長最小為．
故選 ．
【標注】
【知識點】利用雙曲線定義求線段最值
6. 已知雙曲線的左頂點為 ，右焦點為 ， 為雙曲線右支上一點，則的最小值為
．
【答案】
【解析】
根據題意，設
，
易得，，
故，
又，故，
于是，
當時，取到最小值 ．
【標注】【知識點】雙曲線中其他最值問題
3. 雙曲線的一般方程
雙曲線的一般方程
當時，方程可以變形為，由此可以看出方程表示雙
曲線的充要條件是且 異號 .
此時為雙曲線的一般方程.
雙曲線一般方程的應用
當題目中給定的條件為雙曲線上的兩點坐標，但不確定雙曲線的焦點位置的，求雙曲線方程時，可以設
，將其化為標準方程，即為.
因此，當時，表示焦點在 軸上的雙曲線；當時，表示焦點在 軸上的雙曲線.
經典例題
1. 根據下列條件，求雙曲線的標準方程．
（ 1 ）過點，且焦點在坐標軸上．
【備注】已知雙曲線上兩點求解標準方程，可以設雙曲線的方程為，再代入兩
點列方程組求解.
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
【解析】（ 1 ）設雙曲線方程為
．
∵ 、 兩點在雙曲線上，
∴，解得．
∴所求雙曲線方程為．
（ 2 ）∵焦點在 軸上，，
∴設所求雙曲線方程為：（其中），
∵雙曲線經過點，∴，
∴或（舍去），
∴所求雙曲線方程是．
（ 3 ）方法 ：的焦點為，又點在雙曲線上，
故
，
∴，，，
又焦點在 軸上，
故所求的雙曲線方程為
．
方法 ：設所求雙曲線方程為，
∵雙曲線過點，
∴，
∴或（舍去），
∴所求雙曲線方程為．
【標注】【知識點】求曲線方程的問題；雙曲線的定義；雙曲線的標準方程
2. 雙曲線的一個焦點為，則 的值為．
【備注】本題考查雙曲線的一般方程與標準方程的轉化；
方程可化為，再根據的關系求得 ，即可得到焦點坐標（要注意焦點所在的
軸）.
【答案】
【解析】
【標注】
由題意知焦點在 軸上，則
【知識點】雙曲線的標準方程
，所以
，解得
．
鞏固練習
1. 根據下列條件，求雙曲線的標準方程：
（ 3 ）過點，且焦點在坐標軸上．
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
【解析】（ 1 ）當焦點在 軸上時，設所求雙曲線的標準方程為
，
把代入，得，不符合題意；
當焦點在 軸上時，設所求雙曲線的標準方程為，
把代入，得．
∴所求雙曲線的標準方程為．
（ 2 ）方法一：∵焦點相同，
∴設所求雙曲線的標準方程為，
∴，即，①
∵雙曲線經過點，
∴．②
由①②，解得
，
，
∴雙曲線的標準方程為．
方法二：設所求雙曲線的方程為，
∵雙曲線經過點，
∴，解得或（舍去），
∴雙曲線的標準方程為．
（ 3 ）設雙曲線的方程為，
∵點 ， 在雙曲線上，∴
解得
∴雙曲線的標準方程為
．
【標注】【知識點】雙曲線的定義；雙曲線的標準方程；求曲線方程的問題
2. 雙曲線的一個焦點是，那么．
【答案】
【解析】
由題意可知焦點在 軸上，且
，根據
可求 ．
由雙曲線方程，得，∴，．
所以，解得．
【標注】【知識點】雙曲線的標準方程
4. 知識總結
（一）雙曲線的定義
平面內與兩個定點 ， 的距離的差的絕對值等于常數（小于
且不等于零）的點的軌跡（或集
合） 叫做雙曲線．
這兩個定點叫做雙曲線的 焦點 ，兩焦點的距離叫做雙曲線的 焦距 ．
（二）雙曲線的標準方程
①當焦點在 軸上時，雙曲線的標準方程為：
，其中左焦點，右焦點
②當焦點在 軸上時，雙曲線的標準方程為：
，其中上焦點
，下焦點
，如圖2．
之間滿足的關系式為．
（三）雙曲線的一般方程
當時，為雙曲線的一般方程.
二、 雙曲線的性質
1. 基本性質
（1）范圍
由方程可知，雙曲線 上任意一點的坐標都適合不等式
，即，解得或．
因此雙曲線 位于兩條直線和所夾平面區(qū)域的外側，如下圖：
【備注】這里以焦點在 軸的標準方程為例講解.
如果焦點在 軸上，則圖象位于和外側，.
（2）對稱性
雙曲線 是 以 軸， 軸為對稱軸的軸對稱圖形；也是以原點為對稱中心的中心對稱圖形 ．這個對稱中心叫做雙曲線的中心．
（3）頂點
如下圖，雙曲線與它的對稱軸的兩個交點叫做雙曲線的頂點．
雙曲線 的頂點是和，這兩個頂點是雙曲線兩支中相距最近的點．線段叫做雙曲
線的 實軸 ，它的長度等于 ．在 軸上作點，，線段叫做雙曲線的 虛軸 ，它的
長度等于 .
相應地， 和 分別是雙曲線的實半軸長和虛半軸長．
特別的，實軸和虛軸等長的雙曲線叫做 等軸雙曲線 ．
【備注】標準方程中，
令，可知雙曲線 與 軸有兩個交點，分別是和．
令，得，這個方程沒有實數根，說明雙曲線 與 軸沒有公共點．
（4）漸近線
焦點在 軸上的雙曲線
的漸近線方程是
；
焦點在 軸上的雙曲線的漸近線的方程是．
①共漸近線的雙曲線方程的統一表示
與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程，可以統一設為，代
入條件求出 即可．
②由漸近線設雙曲線方程的技巧
若雙曲線的漸近線方程為
，則可以設雙曲線方程為
，再利用已知條件求出
參數 即可．
【備注】下面研究雙曲線與一對相交直線
的位置關系．
由于雙曲線與都是關于原點呈中心對稱的，因此我們把注意力集中在第一象限即
可．
此時雙曲線方程可等價變形為，
，這說明在第一象限內，雙曲線 上的任意一點
總是位
于直線的下方．
由此可見，此雙曲線的右支向右上方無限延伸時，它總在直線
下方，且與直線
越來越接近，但不會相交（根據對稱性，其它三個象限也有同樣的狀況），我們稱
這種微妙的關系為“漸近”．
焦點在 軸上的雙曲線的漸近線方程是；
焦點在 軸上的雙曲線的漸近線的方程是．
（5）離心率
雙曲線的焦距與實軸的比
，叫做雙曲線的離心率.
雙曲線的離心率有如下的性質：
①由可得；
②雙曲線的離心率越大，它的開口就越 開闊 ．
【備注】（1）對于給定的雙曲線來說，已有若干個關系式，則四個參數中知道兩個可求解另
外兩個．
（2）關于求解離心率范圍的問題，其實可以轉化為確定 與 的比例問題，進而轉化為研究
三個參數中任意二者的比例問題．
（3）由關系式．因此 越大， 也越大，
即漸近線的斜率的絕對值越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹變得開闊．最終結論
就是：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．
【雙曲線性質對比】在講解完性質后，可為學生總結
標準方程
F2
B2A2
圖形
F1
A1
O
B1
A2
F2
B1
O
A1
B2
F1
范圍
對稱性
對稱軸： 軸、 軸；對稱中心：原點
頂點
軸
線段
是雙曲線的實軸，線段
實軸長，虛軸長
是雙曲線的虛軸．
漸近線直線直線
離心率
經典例題
1. 雙曲線，當 變化時，以下說法正確的是（ ）．
A. 焦點坐標不變B. 頂點坐標不變C. 漸近線不變D. 離心率不變
【備注】本題將方程轉化為雙曲線的標準方程，分別求解選項的內容，誰是定值誰就不變【答案】C
【解析】雙曲線，
當時，雙曲線焦點在 軸上，標準方程為：，則
，，，
焦點坐標為：，頂點坐標為：
，漸近線方程為：
，
離心率為： ；
當時，雙曲線焦點在 軸上，標準方程
為：，則
，，，
焦點坐標為：，頂點坐標為：
，漸近線方程為：
，離心率為： ，
則當 變化時只有漸近線方程不變，
綜上所述．
故選 ．
【標注】【知識點】雙曲線的標準方程；雙曲線的頂點與軸；求雙曲線的離心率；求雙曲線的漸
近線
2. 在平面直角坐標系中，經過點，漸近線方程為的雙曲線的
標準方程為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】本題求解應用方法一，利用由漸近線設雙曲線方程的技巧
若雙曲線的漸近線方程為，則可以設雙曲線方程為，再利用已
知條件求出參數 即可．
【答案】B
【解析】方法一：由題意，得，
∴，，
設雙曲線的方程為，
將代入，得，
∴雙曲線方程為．
方法二：當焦點在 軸上時，
則：漸近線，
∴，
設：，
代入，
得：，，
∴．
方法三：當焦點在 軸時，則：漸近線
，
∴，
∴設：，
代入，
得：，
∴
綜上故選 ．
【標注】【知識點】已知雙曲線的漸近線求其他參數；雙曲線的標準方程
【素養(yǎng)】數學運算【思想】方程思想
3. 雙曲線 過點，且與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線 的方程為．
【備注】本題考查與雙曲線
具有相同漸近線的雙曲線方程，可以統一設為
，代入點的坐標求出 即可．
【答案】
【解析】
因為雙曲線 與雙曲線
有相同的漸近線，
所以設雙曲線 的方程為，
又因為雙曲線 過點，
所以，
解得，
所以，
所以雙曲線 的方程為
．
【標注】【知識點】雙曲線共漸近線問題；雙曲線的標準方程
4. 設 為坐標原點， ， 是雙曲線的焦點，若在雙曲線上存在點 ，滿足
，，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】本題根據雙曲線的定義及余弦定理求解即可；
注：在雙曲線上有時給角的度數，與余弦定理綜合應用還是比較常見的，所以在此條件下
可思考是否可以應用余弦定理求解
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
①，
②，
①+②得，
即，即，所以，，故漸近線方程為．
【標注】【知識點】雙曲線的漸近線
5. 設雙曲線的右焦點為 ，右頂點為 ，過 作 的垂線與雙曲線交于 ， 兩
點，過 ， 分別作 ， 的垂線交于點 ．若 到直線 的距離小于，則該雙曲線的
漸近線斜率的取值范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】本題采用數形結合的思想，畫出草圖，根據與相似，可得到
【答案】A
【解析】方法一： ， 的坐標分別為，由圖像的對稱性知， 點在 軸上，則根據幾何關
系有
，故，
，即，，故漸近線斜率．
故選A．
方法二：如圖所示，
由題意知 為雙曲線的通徑，所以
，則
．
又，因為，，所以點 在 軸上．
由，得，即，
所以，則由題意知，即，
所以，即，即，
所以，解得，而雙曲線的漸近線斜率為 ，
所以雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是，
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的漸近線
6. 在平面直角坐標系 中，若雙曲線（，）的右焦點到一條漸近線的距離
為，則其離心率的值是．
【備注】本題屬于?？碱愋?，求焦點到漸近線的距離，或者通過焦點到漸近線的距離求解其他問
題，本題考查求解離心率：找到雙曲線的一條漸近線和雙曲線的一個焦點再利用點到直線
的距離公式，寫出表達式，根據的關系以及離心率的求解方法，即可求得
結論：雙曲線的一個焦點到漸近線的距離等于 （做小題可直接應用）
【答案】
【解析】
雙曲線的一條漸近線方程為
，
則到這條漸近線的距離為，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
【標注】
．
【知識點】求雙曲線的離心率
7. 已知橢圓，與雙曲線有共同的焦點，且其中的一個焦點 到雙曲線的兩
條漸近線的距離之和為 ，則雙曲線的離心率為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】本題可直接應用雙曲線的一個焦點到漸近線的距離等于 求解【答案】A
【解析】∵橢圓與雙曲線有共同的焦點，
∴，
∴雙曲線的焦點坐標為
，
，
設，
其漸近線方程為
，
∵焦點 到雙曲線的兩條漸近線的距離之和為 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的離心率
8. 過點的直線 與雙曲線 ：（,）的一條斜率為正值的漸近線平行,若雙曲線
的右支上的點到直線 的距離恒大于 ,則雙曲線 的離心率的最大值是．
【備注】本題比較簡單，應用點斜式表示出直線方程，再利用點到直線距離公式建立關系式，再利
用雙曲線中 、 、 的關系代換、變形求解即可
【答案】
【解析】由雙曲線 ：（,）的漸近線方程,
可得直線 的方程為,即,
由雙曲線 的右支上的點到直線 的距離恒大于 ,
可得直線 與的距離恒大于等于 ,
即有,
化簡可得,
,
即,即有,
可得離心率．
則離心率的最大值為 ．
故答案為： ．
【標注】【知識點】求雙曲線的離心率范圍
9. 雙曲線 的焦點是 ， ，若雙曲線 上存在點 ，使是有一個內角為 的等腰三角形，則
的離心率是（ ）．
A.B.C.D.
【備注】本題同樣畫出草圖，根據所給特殊角度，求得點 的坐標，再根據點 在雙曲線上，代入方
程，根據雙曲線中 、 、 的關系，代換變形求解即可
【答案】C
【解析】由題雙曲線 的兩焦點分別為 ， ，若在雙曲線 上存在點 ，使為頂角為
的等腰三角形，
∴可設等腰三角形的底為 ，等腰三角形的腰
，
經過 的直線與雙曲線的交點為 ，直線的斜率為 ，
∴，代入雙曲線方程可得，
∴，
∴．
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的離心率；雙曲線的標準方程
10.、 為雙曲線的左、右焦點，過 作 軸的垂線與雙曲線交于 ， 兩點，
，則 的離心率為（ ）．
A.B.C.D. 2
【備注】法一：在中應用余弦定理求解；
法二：答案版，在直角中，表示出角 的余弦值，再利用余弦的二倍角公式求解即
可
【答案】B【解析】
由題意可知：，
．
，
可得：，
可得：，
解得或（舍去）．
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的離心率
11. 已知雙曲線的離心率為，右頂點為 ，以 為圓心 為半徑作圓 ，
圓 與雙曲線 的一條漸近線交于 、 兩點，則有（ ）．
A. 漸近線方程為B. 漸近線方程為
C.D.
【備注】本題比較難，是圓與雙曲線的綜合；（老師可根據學生的程度選擇性講解）
本題主要思路，利用離心率，表示出 、 ；再利用 、 、 的關系，求出 ，進而表示出漸近線方程；再根據圓中弦長求解方法求解即可
【答案】BC
【解析】由題意可得，可設，， ，
則，，
圓 的圓心為，半徑 為 ，
雙曲線的漸近線方程為，即，
圓心 到漸近線的距離為，
弦長，
可得三角形為等邊三角形，
即有，
故選 ．
【標注】【知識點】雙曲線的漸近線；直線和雙曲線的位置關系；弦長求解問題
鞏固練習
1. 已知雙曲線的右焦點為 ，過點 向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為
，交另一條漸近線于 ，若，則雙曲線的漸近線方程為．
【答案】
【解析】
不妨設點 在第一象限，
則直線 的方程為，直線 的方程為，
又，
所以．
如圖，過點 、 分別向 軸作垂線交 軸于點 、 ，
則．
由題易知，點到直線 的距離為，
則，
因為，
所以．
直線 的方程為
，即
，
與直線 的方程聯立，得，
解得，，
所以，
得，，
化簡得，即，
所以，
故雙曲線的漸近線方程為
【標注】【知識點】雙曲線的漸近線
．
2. 已知雙曲線的左焦點為 ，離心率為 ，若經過 和兩點的直線平行
于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】設雙曲線的左焦點，離心率，，
則雙曲線為等軸雙曲線，即，
雙曲線的漸近線方程為，
則經過 和兩點的直線的斜率，
則，，則，
雙曲線的標準方程為．
故選B．
【標注】
【知識點】已知雙曲線的漸近線求其他參數；雙曲線的標準方程
3. 已知 ， 分別是雙曲線的左、右焦點，過 的直線與圓相切且
分別交雙曲線的左、右兩支于 、 兩點，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】根據雙曲線定義得，
在三角形中，
，
又 與圓
相切，
所以，
因此，
∴，
∴，
∴，（舍負），
因為雙曲線的漸近線方程為
，
所以雙曲線的漸近線方程為．
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的漸近線
4.
設雙曲線的一個焦點為 ，虛軸的一個端點為 ，如果直線 與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】設雙曲線方程為，則，，
直線與漸近線垂直，
所以，即，得，
即，解得或(舍去)．
【標注】【知識點】求雙曲線的離心率
5. 點到雙曲線漸近線的距離為 ，則雙曲線的離心率等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】不妨取一條漸近線，一般式為，點到漸近線的距離
，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的離心率
6. 已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為 ， ，點 在雙曲線的右支上，且
，則此雙曲線的離心率 的取值范圍為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由點 在雙曲線的右支上和雙曲線的定義得，
又∵，
∴，，
在中，由（三點共線可取等號），
∴，
∴，
∴．
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的離心率范圍
7. 在平面直角坐標系中，以雙曲線右焦點為圓心，以實半軸 為半徑的圓與其
漸近線相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是．
【答案】
【解析】
由題意圓與漸近線相交，即圓心到漸近線距離小于半徑．
焦點 到漸近線距離
，即，
又由．
故雙曲線離心率范圍為．
【標注】【素養(yǎng)】邏輯推理；數學運算
【知識點】求雙曲線的離心率范圍
2. 雙曲線的焦點三角形
雙曲線的焦點三角形面積公式
雙曲線的左、右焦點分別為 ， ，點 為雙曲線上任意一點，，則
雙曲線的焦點三角形的面積為．
【備注】推導過程
對于焦點,設
則
在
中，由余弦定理：
（
即：
①
又由于
②
所以．
焦點三角形中，常用的關系式有
①；
②；
③；
④．
經典例題
1. 已知 、 為雙曲線的左、右焦點，點 在 上，，則的面積為（
）．
A.B.C.D.
【備注】本題有兩種解法
方法一：求出 ，利用
求解
方法二：求出，利用求解
【答案】A
【解析】由雙曲線方程可得，
，，，
∴，，
設，，
由雙曲線定義可知，①，
在
中，由余弦定理可知，
②，
由①②得，，
∴．
故選 ．
【標注】
【知識點】雙曲線的焦點三角形問題（小題）
2. 設 ， 分別是雙曲線的左、右焦點，點 在雙曲線右支上且滿足
，雙曲線的漸近線方程為，則．
【備注】本題利用了的變形求解相關角的余弦值
1.利用題干的條件，將用 表示
2.在利用余弦定理即可得到結果
【答案】
【解析】
由雙曲線的定義可知：
，
又，
∴，
由雙曲線的漸近線方程得，
，
，
∴，，
由余弦定理，
．
【標注】【知識點】雙曲線的標準方程；雙曲線的焦點三角形問題（小題）；已知雙曲線的漸近
線求其他參數
鞏固練習
1. 設經過點的等軸雙曲線的焦點為 ， ，此雙曲線上一點 滿足，則的面積
為．
【答案】
【解析】
由題意，設雙曲線的方程為
，代入點
，可得
，
∴雙曲線的方程為，
即，
設，，由雙曲線的定義可得①，
由 滿足，可得，可得②，
∴② ① 可得，
∴的面積為．
故答案為： ．
【標注】【知識點】面積問題；雙曲線的焦點三角形問題（小題）
2. 已知 、 為雙曲線 ：的左、右焦點，點 在 上，，則（
）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因為，所以，，
由題可知，，
所以，，
由余弦定理可知
【標注】【知識點】雙曲線的焦點三角形問題（小題）
3. 雙曲線的焦半徑
．
雙曲線的焦半徑公式：(,)
當在右支上時，,.
當在左支上時，,
【備注】焦半徑公式的推導過程：
雙曲線
的左右焦點分別為
，
設雙曲線右支上任一點
則
因為，則
則
同理可推導．
，
同理在左支上一點的焦半徑也可推導.
經典例題
已知 ， 分別為雙曲線
的左、右焦點， 為雙曲線右支上的一點，且
．若為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為．
【備注】本題老師使用焦半徑公式給學生求解：
1.由題意設點，則；
2.根據題意且為等腰三角形，可列式
①或②
3.消去 可求解離心率，由于離心率的范圍，情況②要舍去.
【答案】
【解析】 為雙曲線右支上一點，
則由雙曲線的定義可得，
，
由，則，，
由為等腰三角形，則或，
即有或（舍去），即有．
故答案為 ．
【標注】【知識點】求雙曲線的離心率
鞏固練習
已知雙曲線
的左，右焦點分別為 ， ，點 在雙曲線的右支上，且
，則此雙曲線的離心率 的最大值為．
【答案】
【解析】
方法一：設
，由焦半徑得
，
，
∴，化簡得，
∵ 在雙曲線的右支上，
∴，所以，即 的最大值是 ．
故答案為： ．
方法二：由定義知
，又已知
，解得
，
，
，從而只要，就能得到 點存在，解得，
等號可以取到，即 的最大值為 ．
【標注】【知識點】求雙曲線的離心率
4. 知識總結
雙曲線的性質
若雙曲線方程
（一）范圍：或
（二）對稱性：雙曲線 是 以 軸， 軸為對稱軸的軸對稱圖形；也是以原點為對稱中心的中心對稱圖
形
（三）頂點:
雙曲線 的頂點是和，這兩個頂點是雙曲線兩支中相距最近的點．線段叫做雙曲
線的 實軸 ，它的長度等于 ．在 軸上作點，，線段叫做雙曲線的 虛軸 ，它的
長度等于 .
特別的，實軸和虛軸等長的雙曲線叫做 等軸雙曲線 ．
（四）漸近線
焦點在 軸上的雙曲線的漸近線方程是；
焦點在 軸上的雙曲線的漸近線的方程是．
（五）離心率
雙曲線的焦距與實軸的比
，叫做雙曲線的離心率.
雙曲線的離心率有如下的性質：
①由可得；
②雙曲線的離心率越大，它的開口就越 開闊 ．
（六）雙曲線的焦半徑
當在右支上時，,.
當在左支上時，,
（七）雙曲線的焦點三角形
雙曲線的焦點三角形的面積為
．
思維導圖
你學會了嗎？畫出思維導圖總結本節(jié)課所學吧！
【備注】
出門測
1. 已知，，，當和 時，點 軌跡分別為（ ）．
A. 雙曲線和一條直線B. 雙曲線和兩條射線
C. 雙曲線一支和一條直線D. 雙曲線一支和一條射線
【答案】B
【標注】【知識點】求點的軌跡；雙曲線的定義
2. 已知雙曲線的右焦點為 ，點 在雙曲線的漸近線上，是邊長為 的等
邊三角形（ 為原點），則雙曲線的方程為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】雙曲線（，）的右焦點為 ，點 在雙曲線的漸近線上，是邊
長為 的等邊三角形（ 為原點），
可得，，即
，，
解得，，雙曲線的焦點坐標在 軸，所得雙曲線方程為：．
故選 ．
【標注】【知識點】雙曲線的標準方程；雙曲線的定義
3. 若雙曲線（，）的兩個焦點為 ， ， 為雙曲線上一點，且，
則該雙曲線離心率 的取值范圍是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】設 ， 分別是左右焦點，則點 為右支上一點，如圖．依
據雙曲線定義知，則，則
，所以．∴，又，則．
故選 ．
【標注】
【知識點】求雙曲線的離心率范圍
4. 已知 是雙曲線的左焦點， 是該雙曲線的右頂點，過點 且垂直于 軸的直
線與雙曲線交于 ， 兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率 的取值范圍為．
【答案】
【解析】
根據雙曲線的對稱性，得
中，，
是銳角三角形，即
為銳角，
y
Ox
由此可得中，，
得，
∵，，
∴，即，
兩邊都除以 ，得，解之得，
∵雙曲線的離心率，
∴該雙曲線的離心率 的取值范圍是
．
【標注】【知識點】求雙曲線的離心率范圍
36

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3.2 雙曲線

版本： 人教A版 (2019)

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