拋物線
一、 拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1. 定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）拋物線的定義
叫做拋物線．
定點 叫做拋物線的，定直線 叫做拋物線的．
重要解讀：
①定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”一個動點，設(shè)為 ；
一個定點，設(shè)為 ；
一條定直線 （拋物線的準(zhǔn)線）；
一個定值（即點 到點 的距離與它到定直線的距離之比等于 ）.
②定點 不在定直線 上，否則動點 的軌跡就是過點 且垂直于直線 的一條直線.
（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖象
坐標(biāo)
焦點
位置
準(zhǔn)線
開口
注意：
①求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，先根據(jù)題意分析焦點以及準(zhǔn)線的位置，從而待定出上述四種標(biāo)準(zhǔn)方程中的一
種，再根據(jù)題目條件抽象出拋物線的定義或者直接獲得拋物線上定點的坐標(biāo)，求解出參數(shù) 帶回原方程
1
即可；
②利用拋物線方程求解焦點坐標(biāo)或者準(zhǔn)線方程時，一定要化成標(biāo)準(zhǔn)形式后再由標(biāo)準(zhǔn)方程讀出焦點坐標(biāo)和
準(zhǔn)線方程．如拋物線標(biāo)準(zhǔn)化之后為，相當(dāng)于，故焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
.
經(jīng)典例題
1. 已知點
在拋物線
的準(zhǔn)線上，記 的焦點為 ，則直線 的斜率為
．
2. 根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（ 1 ）（ 2 ）
焦點為
準(zhǔn)線為
．
．
（ 3 ）焦點到準(zhǔn)線的距離是 ．
（ 4 ）過點 ．
3.為坐標(biāo)原點， 為拋物線 ：的焦點， 為 上一點，若，則的面積為（
）．
A.B.C.D.
4. 已知拋物線方程為，定點，點 為拋物線上的動點， 到拋物線的準(zhǔn)線的距離為 ，
則最小值為（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
1. 拋物線的焦點到直線的距離 （ ）．
A.B.C.D.
2. 經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
3. 拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能
是（ ）．
A.B.C.D.
2. 知識總結(jié)
（1）拋物線的定義
叫做拋物線．
定點 叫做拋物線的，定直線 叫做拋物線的
（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖象
坐標(biāo)
焦點
位置
準(zhǔn)線
開口
二、 拋物線的性質(zhì)
1. 基本性質(zhì)
（1）范圍
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖象
范圍
（2）頂點
拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點；由
，故拋物線的頂點為
（3）對稱性以
為例
用 代替 ，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程不變，因此這條拋物線是以 軸為對稱軸的軸對稱圖形，此時， 軸為拋
物線的對稱軸（或軸）．
拋物線對稱軸及開口的判斷方法：.
（4）離心率
拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之比叫做拋物線的離心率，用 表示．
根據(jù)拋物線的描述定義，．
（5）焦半徑
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦半徑
注：為拋物線上一點
經(jīng)典例題
1. 若拋物線（）上任意一點到焦點的距離恒大于 ，則 的取值范圍是（ ）．
A.B.C.D.
2. 按要求填空．
（ 1 ）以雙曲線的右焦點為焦點，且以原點為頂點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
3. 已知拋物線的動弦 的中點的橫坐標(biāo)為 ，則 的最大值為（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
1.
已知拋物線的焦點為 ，準(zhǔn)線為 ， 為拋物線上一點，，垂足為 ．如果是
邊長為 的正三角形，則此拋物線的焦點坐標(biāo)為，點 的橫坐標(biāo)．
2. 已知點，拋物線的焦點是 ，若拋物線上存在一點 ，使得最小，則 點的坐
標(biāo)為（ ）
A.B.C.D.
3. 如圖所示，點 是拋物線的焦點，點 ， 分別在拋物線及圓的實線部
分上運動，且 總是平行于 軸，則的周長的取值范圍是．
2. 拋物線的焦點弦
1、拋物線的焦點弦（1）
是拋物線
過 的一條弦，設(shè)
，
，線段 的中點
，相應(yīng)的準(zhǔn)線
方程為 ，有如下結(jié)論：
（1）
(焦點弦長與中點關(guān)系)；
（2）拋物線過焦點的弦長
（3）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；
（4） , 在準(zhǔn)線上的投影分別為 ,,若 為
的中點，則
．
2、拋物線的焦點弦（2）
（5）拋物線
種，設(shè) 為焦點弦， 為準(zhǔn)線與 軸的交點，則
；
（6）已知 是拋物線的焦點弦，且，,則：
（7）若 的延長線交準(zhǔn)線于點 ,則 平行于 軸，反之，若過點 平行于 軸的直線交準(zhǔn)線于點 ,則
．
3、拋物線的焦點弦（3）
（8）已知 是過拋物線
焦點 的弦，則
4、拋物線的焦點弦（4）
（9）已知 是拋物線
的焦點弦，且直線 的傾斜角為 ，則
．并
且焦點弦中，通徑（過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短，為 ．
經(jīng)典例題
1. 設(shè)點 是拋物線的焦點，直線 過點 且與拋物線 交于 、 兩點，若 是 的中點
且，則 的值是（ ）．
A.B.C.D.
2. 設(shè) 為拋物線的焦點， 、 、 為該拋物線上三點．若，則
．
3.是拋物線的一條過焦點的弦，， 、 垂直于 軸， 、 分別為垂足，則梯形
的中位線長是（ ）．
A.B.C.D.
4. 設(shè)拋物線的焦點為 ，直線 過 且與拋物線交于 ， 兩點．若，且
，則．
5. 設(shè) 為拋物線 ：的焦點，過 且傾斜角為 的直線交 于 ， 兩點，則（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
1. 已知拋物線
的焦點為 ，過點 的直線 交拋物線于 ， 兩點，若
，則線段 的中點到
軸的距離為．
2. 已知以 為焦點的拋物線
上的兩點 、 滿足
，則弦 的中點到準(zhǔn)線的距離
為．
3. 已知拋物線的焦點為 ，直線與此拋物線相交于 兩點，則（
）．
A.B.C.D.
4. 設(shè) 為拋物線 ：的焦點，過 且傾斜角為 的直線交 于 ， 兩點，則（ ）．
A.B.C.D.
5. 如圖，已知 、 、 、 分別為拋物線的焦點 的直線 與拋物線和圓的交
點，若直線 的傾斜角為 ，則等于
3. 拋物線的通徑
過焦點且與焦點所在的軸垂直的直線與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑.
拋物線，將代入得,故拋物線的通徑長為 .
這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中 的一種幾何意義.通徑是.
經(jīng)典例題
在圓錐曲線中，我們把過焦點最短的弦稱為通徑，那么拋物線的通徑為 ，則 （ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
已知拋物線
的焦點到準(zhǔn)線的距離為 ，則此拋物線的所有經(jīng)過焦點的弦之中最短弦長
為．
4. 知識總結(jié)
（一）范圍
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖象
范圍
（二）頂點
拋物線的頂點為
（三）對稱性
拋物線對稱軸及開口的判斷方法：
.
（四）離心率
叫做拋物線的離心率，用 表示．
．
（五）焦半徑
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦半徑
（六）拋物線的焦點弦
是拋物線過 的一條弦，設(shè)，，線段 的中點，相應(yīng)的準(zhǔn)線
方程為 ，有如下結(jié)論：
（1）
(焦點弦長與中點關(guān)系)；
（2）
（3）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；
（4） , 在準(zhǔn)線上的投影分別為 ,,若 為
的中點，則
．
（5）拋物線種，設(shè) 為焦點弦， 為準(zhǔn)線與 軸的交點，則；
（6）已知 是拋物線的焦點弦，且，,則：
（7）若 的延長線交準(zhǔn)線于點 ,則 平行于 軸，反之，若過點 平行于 軸的直線交準(zhǔn)線于點 ,則
．
（8）已知 是過拋物線焦點 的弦，則
（9）已知 是拋物線的焦點弦，且直線 的傾斜角為 ，則．并
且焦點弦中，通徑（過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短，為 ．
（七）拋物線的通徑
拋物線
的通徑長為
.這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中 的一種幾何意義.通徑是
.
三、 軌跡方程求法
一般地，一條曲線可以看成動點依某種條件運動的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿足某種條件的點的
軌跡方程．
“軌跡方程”與“軌跡”區(qū)別
軌跡方程是坐標(biāo)關(guān)系式，是一個方程；有時在方程后，根據(jù)需要指明變量的取值范圍；
軌跡是點的集合，是曲線，所以說求軌跡方程和求軌跡是優(yōu)不同要求的，求軌跡需要說明是什么曲線，
求軌跡方程則不需要說明.
1. 直接法與定義法
（一）直接法
定義：將動點滿足的幾何條件（本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡單明了且易于表達）
“翻譯成”含 的等式就得到曲線的軌跡方程.
求解步驟：
①建立直角坐標(biāo)系；
②設(shè)動點 的坐標(biāo)為；
③把幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示；
④等價化簡，根據(jù)范圍或幾何意義驗證除去或補上相關(guān)的點．
（二）定義法
若能確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等），則可用曲線定義直接
寫出方程.
常見曲線軌跡的定義
①在平面內(nèi)，到兩定點的距離相等的點的軌跡是連接兩定點的線段的垂直平分線；
②平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
③平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心，以定長為半徑的圓；
④平面內(nèi)到定直線的距離等于某一定值的點的軌跡與這條直線平行的兩條直線；
⑤平面內(nèi)與兩個定點 ， 距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡是橢圓；
⑥平面內(nèi)與兩個定點 ， 的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于且不等于零）的點的軌跡是雙曲
線；
⑦平面內(nèi)與一個定點 和一條定直線
的距離相等的點的軌跡是拋物線．
經(jīng)典例題
1. 已知點，，直線 ， 相交于點 ，且它們的斜率之積為 ．
（ 1 ）求點 的軌跡方程．
2. 已知動圓 與圓
，圓
均內(nèi)切，則動圓圓心 的軌跡方程
是．
3.
平面內(nèi)兩個定點的距離為 ，則以兩定點的中點為原點，兩定點所在直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，到這兩個定點的距離之差的絕對值為 的點的軌跡方程為（ ）．
A.B.
C.或D.或
鞏固練習(xí)
1. 若動點
到點
的距離比它到直線
的距離小 ，則點 的軌跡方程為
．
2. 解答下列各題：
（ 1 ）動圓與定圓外切，且與直線相切，則動圓圓心 的軌跡是 （ ）．
A. 直線B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
（ 2 ）動點 到直線的距離減去它到點的距離等于 ，則點 的軌跡是（ ）．
A. 直線B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
（ 3 ）動點 到直線的距離等于它到點的距離，則點 的軌跡是（ ）．
A. 直線B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
（ 4 ）點 到點的距離比它到直線的距離大 ，則點 的軌跡是（ ）．
A. 一條拋物線B. 一條雙曲線C. 一個橢圓D. 以上都不對
3. 在中,，的周長是 ，則頂點 的軌跡方程是（ ）．
A.B.
C.D.
2. 待定系數(shù)法、相關(guān)點代入法與交軌法
（一）待定系數(shù)法
根據(jù)條件能知道曲線方程的類型，可設(shè)出其方程形式，再由條件確定其待定系數(shù)．
（二）相關(guān)點代入法
動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用 , 的代數(shù)
式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程．
（三）交軌法
在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)求兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常通過解方程組得出交點（含參
數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求出動點軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用．
經(jīng)典例題
1. 求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（ 1 ）已知橢圓長軸是短軸的 倍，并且過點．
（ 2 ）已知橢圓經(jīng)過兩點、．
2. 如圖，已知，直線 ：，點 為平面上的動點，過 作直線 的垂線，垂足為 ，
，求動點 的軌跡方程．
3. 已知點、、，動圓 與直線 相切于點 ，分別過點 、 且與圓 相切的兩條
直線相交于點 ，則點 的軌跡方程為（ ）．
A.B.
C.D.
4. 已知直線 ：和 ∶，則此兩直線的交點 的軌跡方
程為．
鞏固練習(xí)
1. 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（ 1 ）（ 2 ）
虛軸長為 ，離心率為 ．
焦點在 軸上，且兩頂點間的距離為 ，漸近線方程為
．
2. 已知 是拋物線上的焦點， 是拋物線上的一個動點，若動點 滿足，則 的軌跡
方程是．
3. 已知直線，．
（ 2 ）求 與 的交點 的軌跡方程 ．
3. 知識總結(jié)
（1）“軌跡方程”與“軌跡”區(qū)別
軌跡方程是坐標(biāo)關(guān)系式，是一個方程；有時在方程后，根據(jù)需要指明變量的取值范圍；
軌跡是點的集合，是曲線，所以說求軌跡方程和求軌跡是優(yōu)不同要求的，求軌跡需要說明是什么曲線，
求軌跡方程則不需要說明.
（2）求軌跡方法
直接法、相關(guān)點代入法、待定系數(shù)法、定義法、交軌法
思維導(dǎo)圖
你學(xué)會了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！
出門測
1. 已知以 為焦點的拋物線上的兩點 、 滿足， 為準(zhǔn)線與 軸的交點，則：
（ 4 ）則的值為．
2. 已知 為拋物線 ：上一點，點 到 的焦點的距離為 ，到 軸的距離為 ，則 （
）．
A.B.C.D.
3. 已知定點，它與拋物線上的動點 連線的中點 的軌跡方程為（ ）．
A.B.C.D.
4.且，直線 的方程為，，則 ， 的交點軌跡方程為．
14

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3.3 拋物線

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