一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是2的不等式稱為一元二次不等式.
其一般形式為或，其中均為常數(shù)，且.
一元二次函數(shù)的零點
一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的的零點.
例如：二次函數(shù)的兩個零點是.
二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系
解一元二次不等式的步驟：
①求對應一元二次方程的根；②根據(jù)二次函數(shù)圖像與軸的相對位置確定一元二次不等式的解集.
示意圖如下：
將原不等式化成的形式
計算的值
方程有兩個不相等的實數(shù)根
方程沒有實根
方程有兩個相等的實數(shù)根
不等式的解或
所有實數(shù)
不等式的解
分式不等式的解法：將分式不等式轉化為整式不等式，然后再求解！
解下列二次不等式
(1)； (2) ； (3)
應滿足什么條件才能使有意義？
若，解關于的不等式.
解下列分式不等式
； (2)； (3)
已知二次函數(shù)，令，解得.
求二次函數(shù)的解析式；
當關于的不等式恒成立時，求實數(shù)的范圍.
方程有一個正根和一個負根，求實數(shù)的取值范圍；
方程有一個根大于1，一個根小于1，求實數(shù)的取值范圍；
取何實數(shù)值時，關于的方程的兩個不相等的實根都大于2？
若關于的方程有兩實根，且，，求實數(shù)的取值范圍.
若關于的不等式對任意的實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍；
若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
已知函數(shù)，當時恒有，求實數(shù)的取值范圍；
已知函數(shù)，若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
跟蹤訓練
解下列不等式：
； (2)；

(3) ； (4)；
(5)； (6)；
(7)； (8)
二次方程的兩根為，若，則不等式的解為 .
已知，則關于的不等式的解是( )
A.或 B.或 C. D.
若關于的不等式的解中，恰有3個整數(shù)，則實數(shù)應滿足( )
A. B.或
C. D.或
在上定義運算：，則滿足的實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C.或 D.
若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
若不等式對任意的實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
當時，方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
判別式
的根
有兩個不相等的實數(shù)根
有兩個相等的實數(shù)根
沒有實數(shù)根
的解
或
所有實數(shù)
的解
無解
無解
第9講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
一元二次不等式的概念
一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是2的不等式稱為一元二次不等式.
其一般形式為或，其中均為常數(shù)，且.
一元二次函數(shù)的零點
一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的的零點.
例如：二次函數(shù)的兩個零點是.
二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系
解一元二次不等式的步驟：
①求對應一元二次方程的根；②根據(jù)二次函數(shù)圖像與軸的相對位置確定一元二次不等式的解集.
示意圖如下：
將原不等式化成的形式
計算的值
方程有兩個不相等的實數(shù)根
方程沒有實根
方程有兩個相等的實數(shù)根
不等式的解或
所有實數(shù)
不等式的解
分式不等式的解法：將分式不等式轉化為整式不等式，然后再求解！
解下列二次不等式
(1)； (2) ； (3)
【答案】(1)；(2)無解；(3)
應滿足什么條件才能使有意義？
【答案】
【解析】要使有意義，則，解得.
若，解關于的不等式.
【答案】見解析
【解析】由得，
當，即時，解得；
當，即時，解得；
當，即時，解得.
解下列分式不等式
； (2)； (3)
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】(1)，，解得；
，，，，
解得；
，
可化為，，解得.
已知二次函數(shù)，令，解得.
求二次函數(shù)的解析式；
當關于的不等式恒成立時，求實數(shù)的范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由解得，
所以，解得，所以解析式為；
(2)由得恒成立，
則，解得，
所以實數(shù)的范圍為.
方程有一個正根和一個負根，求實數(shù)的取值范圍；
方程有一個根大于1，一個根小于1，求實數(shù)的取值范圍；
取何實數(shù)值時，關于的方程的兩個不相等的實根都大于2？
若關于的方程有兩實根，且，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)解法一：令，
依題意知或解得；
解法二：依題意知，解得；
(2)解法一：令，則，解得；
解法二：依題意知，，解得；
(3)解法一：令，
依題意知，解得；
解法二：依題意知，，解得；
(4)設，
依題意知，解得.
若關于的不等式對任意的實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍；
若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
已知函數(shù)，當時恒有，求實數(shù)的取值范圍；
已知函數(shù)，若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【解析】(1)當時，不等式化為，不符合題意；
當時，要使對任意的實數(shù)恒成立，
則，解得；
(2)由得恒成立，
則，解得；
(3)設，依題意可知，解得；
(4)由時恒有得，設，
依題意可知或，
解得或，
綜上所述，；
(5)，設，
，所以是關于的一次函數(shù)，
依題意時恒成立，只需，
解得.
跟蹤訓練
解下列不等式：
； (2)；
(3) ； (4)；
(5)； (6)；
(7)； (8)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)；(8).
二次方程的兩根為，若，則不等式的解為 .
【答案】
已知，則關于的不等式的解是( )
A.或 B.或 C. D.
【答案】A
【解析】，，
由得，，，選A.
若關于的不等式的解中，恰有3個整數(shù)，則實數(shù)應滿足( )
A. B.或
C. D.或
【答案】D
【解析】由得，
當時，，依題意得；
當時，，依題意得，
綜上所述，或，選D.
在上定義運算：，則滿足的實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C.或 D.
【答案】B
【解析】依題意得，解得，選B.
若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由得恒成立，
，恒成立，
只需，解得，
所以的取值范圍是.
若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由得恒成立，
當，即時，不等式化為恒成立，符合題意；
當，即時，依題意得，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
若不等式對任意的實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】當時，不等式化為恒成立，符合題意；
當時，則，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
當時，方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】依題意方程有兩個不相等的實根，
設，
則，解得，
所以的取值范圍為.
判別式
的根
有兩個不相等的實數(shù)根
有兩個相等的實數(shù)根
沒有實數(shù)根
的解
或
所有實數(shù)
的解
無解
無解

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