第13講 冪函數(shù)圖像及其性質(zhì)1.冪函數(shù)的定義： 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．2.冪函數(shù)的圖象 3.冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．   ②過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)． ③單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近軸與軸．其中當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在遞增的趨勢(shì)越來(lái)越快，圖像下凹；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在遞增的趨勢(shì)越來(lái)越慢，圖像上凸.④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)． 基礎(chǔ)強(qiáng)化    下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是(   )  A．    B．   C．   D． 【答案】A     函數(shù)在區(qū)間上的最大值是(    )A．          B．      C．4          D．【答案】C     下列所給出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是(    )A．        B．      C．       D．【答案】B     函數(shù)的圖象是(    )          A           B             C           D【答案】A     下列命題中正確的是(    )A．當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)和點(diǎn)C．若冪函數(shù)是奇函數(shù)，則是定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限【答案】D【解析】A錯(cuò)誤:當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象是一條直線除去點(diǎn)；B錯(cuò)誤：冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)指數(shù)大于0時(shí)，都經(jīng)過(guò)點(diǎn)；C錯(cuò)誤：若冪函數(shù)是奇函數(shù)且，則是定義域上的減函數(shù)，例如；D正確：冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)第一象限，不可能出現(xiàn)在第四象限.     函數(shù)和圖象滿足(    )A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱    B．關(guān)于軸對(duì)稱    C．關(guān)于軸對(duì)稱    D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D      函數(shù)，滿足(    )A．是奇函數(shù)又是減函數(shù)               B．是偶函數(shù)又是增函數(shù)C．是奇函數(shù)又是增函數(shù)               D．是偶函數(shù)又是減函數(shù)【答案】C【解析】，作出圖像如下圖，由圖可知是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故選C.     函數(shù)的定義域是          .【答案】【解析】由可知其定義域?yàn)?/span>.     函數(shù)是偶函數(shù)，且在是減函數(shù)，則整數(shù)的取值集合是         .【答案】【解析】由在是減函數(shù)得，解得，整數(shù)，，又是偶函數(shù)，，則的取值集合是.  函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是           .【答案】【解析】函數(shù)中有，解得，在上遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間是. 比較下列各組中兩個(gè)值大小(1)和；     (2)和【答案】(1)；(2)  下面六個(gè)冪函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(1) ；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) (A)      (B)       (C)          (D)       (E)      (F) 【答案】(1)A；(2)F；(3)E；(4)C；(5)D；(6)B【解析】(1)，定義域?yàn)?/span>，非奇非偶函數(shù)，在單調(diào)遞增；(2)，定義域?yàn)?/span>，奇函數(shù)，在單調(diào)遞增；(3)，定義域?yàn)?/span>，偶函數(shù)，在單調(diào)遞增；(4)，定義域?yàn)?/span>，偶函數(shù)，在單調(diào)遞減；(5)，定義域?yàn)?/span>，奇函數(shù)，在單調(diào)遞減；(6)，定義域?yàn)?/span>，非奇非偶函數(shù)，在單調(diào)遞減.對(duì)比分析可知對(duì)應(yīng)關(guān)系為(1)A；(2)F；(3)E；(4)C；(5)D；(6)B.
跟蹤訓(xùn)練    下列函數(shù)中，值域是的函數(shù)是(      ) A．            B．           C．        D．【答案】C【解析】A中值域?yàn)?/span>；B中值域?yàn)?/span>；C中值域?yàn)?/span>；D中值域?yàn)?/span>，故選C.     函數(shù)的圖象(       ) A．關(guān)于直線對(duì)稱    B．關(guān)于軸對(duì)稱    C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱    D．關(guān)于軸對(duì)稱【答案】C【解析】是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選C.     冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(        )A．             B．          C．           D．【答案】B     已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為(　　) A．16                B.                C.             D．2【答案】C【解析】依題意設(shè)，則，，，，選C.     下列結(jié)論中，正確的是(　  　) ①冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限②時(shí)，冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和③冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)④冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小A．①②             B．③④          C．②③         D．①④【答案】D【解析】①正確：當(dāng)時(shí)，恒成立，故冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限；②錯(cuò)誤：時(shí)，無(wú)意義，故冪函數(shù)的圖象不過(guò)；③錯(cuò)誤：時(shí)，不具備單調(diào)性；④正確：當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上為減函數(shù)，故選D     在函數(shù)中，冪函數(shù)有(　 　)A．1個(gè)             B．2個(gè)              C．3個(gè)            D．4個(gè)【答案】B【解析】函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．所以只有是冪函數(shù)，個(gè)數(shù)為2，故選B.     已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則(      )  A．                   B．C．                   D．                                                                                                                                           【答案】B【解析】由偶函數(shù)在上單調(diào)遞減且可得，即，選B.     已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) ，則        .【答案】3【解析】依題意設(shè)，則，，.     已知函數(shù)，為何值時(shí)，是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)； (3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù)．【答案】(1)1；(2)；(3)或；(4)或.【解析】(1)若是正比例函數(shù)，則，解得；(2)若是反比例函數(shù)，則，解得；(3)若是反比例函數(shù)，則，解得或；(4)若是冪函數(shù)，則，解得或.  函數(shù)是冪函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，試確定的值．【答案】3【解析】是冪函數(shù)，則，解得或3，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，符合題意，綜上可知.  

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