1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用
2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
3.通過(guò)橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a|F1F2|這一條件．
2.注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.
3.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
4.用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟
(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.
(2)確定焦點(diǎn)位置.
(3)求出a,b,c.
(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).
5.利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧
①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系
在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系．
②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧
求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．
三、焦點(diǎn)三角形
橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
②S＝b2taneq \f(θ,2)＝ceq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y0))，當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y0))＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.
四、焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)
焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝eq \f(2b2,a).
五、弦長(zhǎng)公式
AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦(斜率為k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
弦長(zhǎng)l＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
六、求橢圓的離心率問題的一般思路
求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，求橢圓離心率或取值范圍
七、橢圓中的最值問題
1.橢圓中距離的最值問題的解法
①利用橢圓的定義結(jié)合平面幾何知識(shí)求解 (適用于所求的表達(dá)式中隱含有長(zhǎng)軸或者離心率e) 或利用均值不等式；②根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，把距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題(適用于定點(diǎn)在橢圓的對(duì)稱軸上)；③用橢圓的參數(shù)方程設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為三角問題求解．
2.橢圓中常見的最值問題
(1)橢圓上的點(diǎn)P到二焦點(diǎn)的距離之積取得最大值的點(diǎn)是橢圓短軸的端點(diǎn)，取得最小值的點(diǎn)在橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)。
(2)橢圓上到的橢圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到焦點(diǎn)距離之差取得最大值或最小值的點(diǎn)是這個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)連線延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn),最大值、最小值分別是定點(diǎn)到該焦點(diǎn)的距離和其相反數(shù)。
(3)橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離之和取得最小值或最大值的點(diǎn)是另一焦點(diǎn)與定點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)。
(4)橢圓上的點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的距離的倍的和的最小值(為橢圓的離心率)，可通過(guò)轉(zhuǎn)化為(為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)最小值，取得最小值的點(diǎn)是A到準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交點(diǎn)。
(5)以過(guò)橢圓中心的弦的端點(diǎn)及橢圓的某一焦點(diǎn)構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點(diǎn)與該焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。
(6)橢圓上的點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。
(7)橢圓上的點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。
(8)橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離最大值、最小值問題可利用兩點(diǎn)間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。
(9)橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上的距離最近和最遠(yuǎn)點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。
八、橢圓中點(diǎn)弦問題
1.根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個(gè)未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.
2.點(diǎn)差法:在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時(shí)，我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，代入圓錐曲線得兩方程后相減，得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，然后加以求解，這即為“點(diǎn)差法”，此法有著不可忽視的作用，其特點(diǎn)是巧代斜率.
九、橢圓中的一個(gè)定值問題
若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N是橢圓C上關(guān)于過(guò)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且不與點(diǎn)P重合，則。
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：求橢圓的方程
例1．(2022學(xué)年廣東省廣州市育才中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，，且離心率為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)二：橢圓定義的應(yīng)用
例2．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)三：求橢圓的離心率
例3．(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二上學(xué)期第一次大測(cè))己知橢圓的左右焦點(diǎn)分別、，過(guò)且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)，若，則該橢圓C的離心率______．
考點(diǎn)四：求橢圓離心率的取值范圍
例4．(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考)已知點(diǎn)A、B為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
考點(diǎn)五：橢圓中的焦點(diǎn)三角形
例5．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)六：與橢圓有關(guān)的最值
例6．(多選)(2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．的周長(zhǎng)為8B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2
C．的最大值為5D．面積最大值為3
考點(diǎn)七：直線與橢圓
例7．(2022學(xué)年江西省臨川一中暨臨川一博中學(xué)高二下學(xué)期第月考)已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
(1)求該橢圓的方程；
(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【真題演練】
1. (2021年新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則的最大值為
A．13B．12C．9D．6
2.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第七高級(jí)中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考)若方程表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A．B．C．D．
3．(2021年高考全國(guó)卷乙)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足
，則的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
4.(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學(xué)高二上學(xué)期第一次大測(cè))以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)和，兩焦點(diǎn)為，是上的動(dòng)點(diǎn)，斜率為的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是( )
A．面積的最大值為2
B．若直線方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為
C．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線方程為
D．的最大值為2
5.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮陰中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有( )
A．若，則B．面積的最大值為
C．的最大值為D．滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)
6. (2022年新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為,,離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D,E兩點(diǎn),,則的周長(zhǎng)是________．
7.(2022年新高考全國(guó)卷 = 2 \* ROMAN II)已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點(diǎn),l與x軸,y軸分別交于M,N兩點(diǎn),且,則l的方程為_______．
8. (2021年新高考全國(guó)卷Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為,右焦點(diǎn)為,且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線與曲線相切．證明：M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1. 橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．B．
C．或D．或
2.(2020-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線與直線的交點(diǎn)為P，若的面積是面積的2倍(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率為( )
A．B．C．D．
3.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
4.(多選)平面上，動(dòng)點(diǎn)M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是( )
A．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為4
B．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6
C．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6
D．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為8
5.(多選)(2022學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期3月月考)已知橢圓：，：，則( )
A．，的焦點(diǎn)都在軸上B．，的焦距相等
C．，沒有公共點(diǎn)D．離心率比離心率小
6.(多選)(2022學(xué)年河北省衡水市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是E上異于頂點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，圓I(圓心為I)與的三邊，，分別切于點(diǎn)A，B，C，延長(zhǎng)PI交x軸于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)H，則( )．
A．為定值B．為定值
C．為定值D．為定值
7.(2022學(xué)年安徽省滁州市部分學(xué)校高二下學(xué)期4月聯(lián)考)已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為______．
8.(2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)高中高二上學(xué)期12月月考)已知橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與橢圓形成的弦長(zhǎng)為，且橢圓上存在4個(gè)點(diǎn)M，N，P，Q構(gòu)成矩形，則矩形MNPQ面積的最大值為_________.
9.(2021－2022學(xué)年北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期統(tǒng)練)已知橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，不重合)，的面積的最大值為．過(guò)點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：，，三點(diǎn)在同一條直線上．
10．(2022學(xué)年黑龍江省大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上學(xué)期期末)已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2
第14講 橢圓
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用
2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
3.通過(guò)橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a|F1F2|這一條件．
2.注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.
3.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
4.用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟
(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.
(2)確定焦點(diǎn)位置.
(3)求出a,b,c.
(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).
5.利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧
①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系
在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系．
②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧
求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．
三、焦點(diǎn)三角形
橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
②S＝b2taneq \f(θ,2)＝ceq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y0))，當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y0))＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.
四、焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)
焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝eq \f(2b2,a).
五、弦長(zhǎng)公式
AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦(斜率為k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
弦長(zhǎng)l＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
六、求橢圓的離心率問題的一般思路
求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，求橢圓離心率或取值范圍
七、橢圓中的最值問題
1.橢圓中距離的最值問題的解法
①利用橢圓的定義結(jié)合平面幾何知識(shí)求解 (適用于所求的表達(dá)式中隱含有長(zhǎng)軸或者離心率e) 或利用均值不等式；②根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，把距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題(適用于定點(diǎn)在橢圓的對(duì)稱軸上)；③用橢圓的參數(shù)方程設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為三角問題求解．
2.橢圓中常見的最值問題
(1)橢圓上的點(diǎn)P到二焦點(diǎn)的距離之積取得最大值的點(diǎn)是橢圓短軸的端點(diǎn)，取得最小值的點(diǎn)在橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)。
(2)橢圓上到的橢圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到焦點(diǎn)距離之差取得最大值或最小值的點(diǎn)是這個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)連線延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn),最大值、最小值分別是定點(diǎn)到該焦點(diǎn)的距離和其相反數(shù)。
(3)橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離之和取得最小值或最大值的點(diǎn)是另一焦點(diǎn)與定點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)。
(4)橢圓上的點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的距離的倍的和的最小值(為橢圓的離心率)，可通過(guò)轉(zhuǎn)化為(為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)最小值，取得最小值的點(diǎn)是A到準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交點(diǎn)。
(5)以過(guò)橢圓中心的弦的端點(diǎn)及橢圓的某一焦點(diǎn)構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點(diǎn)與該焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。
(6)橢圓上的點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。
(7)橢圓上的點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。
(8)橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離最大值、最小值問題可利用兩點(diǎn)間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。
(9)橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上的距離最近和最遠(yuǎn)點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。
八、橢圓中點(diǎn)弦問題
1.根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個(gè)未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.
2.點(diǎn)差法:在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時(shí)，我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，代入圓錐曲線得兩方程后相減，得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，然后加以求解，這即為“點(diǎn)差法”，此法有著不可忽視的作用，其特點(diǎn)是巧代斜率.
九、橢圓中的一個(gè)定值問題
若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N是橢圓C上關(guān)于過(guò)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且不與點(diǎn)P重合，則。
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：求橢圓的方程
例1．(2022學(xué)年廣東省廣州市育才中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，，且離心率為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)橢圓定義可得，所以，由離心率，所以，
由，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選B
考點(diǎn)二：橢圓定義的應(yīng)用
例2．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由.因?yàn)椋菣E圓的上的點(diǎn)，、是橢圓的焦點(diǎn)，所以，因此的周長(zhǎng)為，故選D
考點(diǎn)三：求橢圓的離心率
例3．(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二上學(xué)期第一次大測(cè))己知橢圓的左右焦點(diǎn)分別、，過(guò)且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)，若，則該橢圓C的離心率______．
【答案】
【解析】依題意，令，在中，，則，由橢圓定義知，焦距，所以橢圓C的離心率為．
考點(diǎn)四：求橢圓離心率的取值范圍
例4．(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考)已知點(diǎn)A、B為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題得，所以，故選A．
考點(diǎn)五：橢圓中的焦點(diǎn)三角形
例5．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，由橢圓定義知：；
，，即，，
，橢圓的離心率.故選C.
考點(diǎn)六：與橢圓有關(guān)的最值
例6．(多選)(2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．的周長(zhǎng)為8B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2
C．的最大值為5D．面積最大值為3
【答案】ACD
【解析】由題可知，在橢圓中，，的周長(zhǎng)為,故A項(xiàng)正確；橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，代入，解得，故，所以的最大值為5，故C項(xiàng)正確；根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積最大，
故,故D項(xiàng)正確.故選ACD.
考點(diǎn)七：直線與橢圓
例7．(2022學(xué)年江西省臨川一中暨臨川一博中學(xué)高二下學(xué)期第月考)已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
(1)求該橢圓的方程；
(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】 (1)，，?橢圓，將代入可得，故，，橢圓方程為：；
(2)當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程可得：，
，，為常數(shù)，代入韋達(dá)定理可知，即為常數(shù)，，故，且，直線l過(guò)定點(diǎn)
當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，可檢驗(yàn)也成立，故存在定點(diǎn).
【真題演練】
1. (2021年新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則的最大值為
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在上,,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),
所以的最大值為9．故選．
2.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第七高級(jí)中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考)若方程表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選C.
3．(2021年高考全國(guó)卷乙)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足
，則的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，由，因?yàn)?，，所?br>，
因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選C．
4.(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學(xué)高二上學(xué)期第一次大測(cè))以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)和，兩焦點(diǎn)為，是上的動(dòng)點(diǎn)，斜率為的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是( )
A．面積的最大值為2
B．若直線方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為
C．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線方程為
D．的最大值為2
【答案】ACD
【解析】設(shè)橢圓C方程為，
因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)和，所以，解得
所以，橢圓C方程為，
設(shè)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，故A正確；若直線方程為，聯(lián)立方程得，
設(shè)，則，，
故點(diǎn)坐標(biāo)為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，故，
故，進(jìn)而由點(diǎn)差法知 ，即，
所以直線方程為，即，故C選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以，故的最大值?，D項(xiàng)正確．故選ACD
5.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮陰中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有( )
A．若，則B．面積的最大值為
C．的最大值為D．滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)
【答案】ABC
【解析】在橢圓中，，，，且，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，由余弦定理可得，因?yàn)椋?，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最大，
所以，面積的最大值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，所以，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)或時(shí)，為直角三角形，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則，
，，，
所以，，，此時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，
綜上所述，滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)，D錯(cuò).故選ABC.
6. (2022年新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為,,離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D,E兩點(diǎn),,則的周長(zhǎng)是________．
【答案】13
【解析】∵橢圓的離心率為,∴,∴,∴C的方程可化為,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,如圖所示,∵,∴,∴為正三角形,∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D,E兩點(diǎn),為線段的垂直平分線,直線的方程：,代入橢圓方程,整理化簡(jiǎn)得,
∴,
∴ , 得, ∵為線段的垂直平分線,根據(jù)對(duì)稱性,,∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng),利用橢圓的定義得周長(zhǎng)為.
7.(2022年新高考全國(guó)卷 = 2 \* ROMAN II)已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點(diǎn),l與x軸,y軸分別交于M,N兩點(diǎn),且,則l的方程為_______．
【答案】
【解析】解法一：設(shè)的中點(diǎn)為,因?yàn)?所以,
設(shè),,則,,
所以,即
所以,即,設(shè)直線,,,
令得,令得,即,,所以,
即,解得或(舍去),又,即,解得或(舍去),所以直線,即
解法二： ,設(shè)的中點(diǎn)為,則 ,設(shè),,
則,,
所以,即
所以,即,所以,由得,兩式聯(lián)立解得,所以所以直線AB方程為,即
8. (2021年新高考全國(guó)卷Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為,右焦點(diǎn)為,且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線與曲線相切．證明：M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是．
【解析】(1)由題意,橢圓半焦距且,所以,
又,所以橢圓方程為；
(2)由(1)得,曲線為,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線,不合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),
必要性：
若M,N,F三點(diǎn)共線,可設(shè)直線即,
由直線與曲線相切可得,解得,
聯(lián)立可得,所以,
所以,
所以必要性成立；
充分性：設(shè)直線即,
由直線與曲線相切可得,所以,
聯(lián)立可得,
所以,
所以
,
化簡(jiǎn)得,所以,
所以或,所以直線或,
所以直線過(guò)點(diǎn),M,N,F三點(diǎn)共線,充分性成立；
所以M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1. 橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意過(guò)點(diǎn)，故，，橢圓方程為，
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，橢圓方程為，故選C.
2.(2020-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線與直線的交點(diǎn)為P，若的面積是面積的2倍(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可知，故，所以與直線的交點(diǎn)P坐標(biāo)為，由的面積是面積的2倍知，，．所以．
故選C
3.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，直線與直線相交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，且，即PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，所以，點(diǎn)M為中點(diǎn)，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以O(shè)M是三角形的中位線，所以，其中，
因?yàn)镻與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，設(shè)，則，
則，
所以，又，所以，
∴的取值范圍是.故選D.
4.(多選)平面上，動(dòng)點(diǎn)M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是( )
A．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為4
B．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6
C．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6
D．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為8
【答案】BD
【解析】因?yàn)閮啥c(diǎn)，的距離為，所以選項(xiàng)A不符合橢圓定義，選項(xiàng)B符合橢圓定義；
因?yàn)閮啥c(diǎn)，的距離為，所以選項(xiàng)C不符合橢圓定義，選項(xiàng)D符合，故選BD
5.(多選)(2022學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期3月月考)已知橢圓：，：，則( )
A．，的焦點(diǎn)都在軸上B．，的焦距相等
C．，沒有公共點(diǎn)D．離心率比離心率小
【答案】BCD
【解析】因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以的焦點(diǎn)在y上，所以A不正確；
因?yàn)闄E圓的焦距為，橢圓的焦距為，所以B正確；
聯(lián)立橢圓，的方程，消除，得，所以無(wú)解，故橢圓，沒有公共點(diǎn)，所以C正確；因?yàn)闄E圓的離心率為，的離心率為，所以，所以D正確．故選BCD.
6.(多選)(2022學(xué)年河北省衡水市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是E上異于頂點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，圓I(圓心為I)與的三邊，，分別切于點(diǎn)A，B，C，延長(zhǎng)PI交x軸于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)H，則( )．
A．為定值B．為定值
C．為定值D．為定值
【答案】ACD
【解析】A：根據(jù)橢圓的定義，得，則A正確；B：設(shè)，，，，由余弦定理，得，即，解得，由于P在E上運(yùn)動(dòng)，所以的值也隨之變化，從而mn不是定值，則B錯(cuò)誤；
C：根據(jù)切線長(zhǎng)定理和橢圓的定義，得，
且，則，
所以為定值，則C正確；
D：連接IA，則，
由，解得；
由，得為定值，則D正確．故選ACD．
7.(2022學(xué)年安徽省滁州市部分學(xué)校高二下學(xué)期4月聯(lián)考)已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為______．
【答案】
【解析】由題設(shè)，解得，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為.
8.(2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)高中高二上學(xué)期12月月考)已知橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與橢圓形成的弦長(zhǎng)為，且橢圓上存在4個(gè)點(diǎn)M，N，P，Q構(gòu)成矩形，則矩形MNPQ面積的最大值為_________.
【答案】4
【解析】由于，所以，，故橢圓方程為：，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線為，與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)直線與橢圓的兩交點(diǎn)為，則由，，故，解得：，則，，所以橢圓方程為：，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，坐標(biāo)為，則，矩形MNPQ面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故矩形MNPQ面積最大值為4
9.(2021－2022學(xué)年北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期統(tǒng)練)已知橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，不重合)，的面積的最大值為．過(guò)點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：，，三點(diǎn)在同一條直線上．
【解析】 (1)依題意，即，
設(shè)，，則，所以，
又因?yàn)榍?，所以?br>所以橢圓方程為；
(2)由(1)可得，
設(shè)，，則，所以
所以，令，則，即
所以，，
由，即，所以，
所以，，三點(diǎn)在同一條直線上
10．(2022學(xué)年黑龍江省大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上學(xué)期期末)已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．
【解析】 (1)由題意可得，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即曲線C的方程為：；
(2)由題意可設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程得，
設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，
所以
，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線的距離，為，
所以四邊形ABDE面積為，令得，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABDE面積取得最大值為6．
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2

相關(guān)學(xué)案

新高一數(shù)學(xué)暑期銜接教材第14講-函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性：

這是一份新高一數(shù)學(xué)暑期銜接教材第14講-函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，共5頁(yè)。

新高一數(shù)學(xué)暑期銜接教材第3講-命題與條件：

這是一份新高一數(shù)學(xué)暑期銜接教材第3講-命題與條件，共7頁(yè)。學(xué)案主要包含了命題，條件等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第14講 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（教師版+學(xué)生版）：

這是一份2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第14講 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（教師版+學(xué)生版），文件包含2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義第2套第14講指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教師版含解析docx、2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義第2套第14講指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算學(xué)生版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共15頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第15講 指數(shù)函數(shù)（教師版+學(xué)生版）

2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第15講 指數(shù)函數(shù)（教師版+學(xué)生版）
2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第13講 冪函數(shù)（教師版+學(xué)生版）

2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第13講 冪函數(shù)（教師版+學(xué)生版）
2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第1講 集合的概念（教師版+學(xué)生版）

2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第1講 集合的概念（教師版+學(xué)生版）
2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第4講 集合習(xí)題課（教師版+學(xué)生版）

2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第4講 集合習(xí)題課（教師版+學(xué)生版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部