1. 根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式及一般式)
2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、直線的點(diǎn)斜式方程
1.直線的點(diǎn)斜式方程
2.點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用
(1)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式方程表示,其方程為x=x0.
(2)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率為0的直線能用點(diǎn)斜式方程表示,其方程為y=y0.
(3)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程:我們可設(shè)直線的方程為y-y0=k(x-x0),由于過點(diǎn)P0(x0,y0)且與x
軸垂直的直線不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直線系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中沒有直線x=x0.
二、直線的斜截式方程
1.把直線l與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距
(1)直線l在y軸上的截距,就是直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo) .
(2)直線l在y軸上的截距存在,等價(jià)于直線l的斜率存在.
2.直線的斜截式方程
3.斜截式方程的應(yīng)用
(1)斜率為k的直線系方程:若直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為y=kx+b,當(dāng)b取不同值時(shí),
這個(gè)方程表示斜率為k的直線系方程.
(2)對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1.
4.截距不是距離,截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo),是一個(gè)實(shí)數(shù),可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)和
零,而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù).
三、直線的兩點(diǎn)式方程
1.直線的兩點(diǎn)式方程
2.對(duì)直線的兩點(diǎn)式方程的理解
(1)直線的兩點(diǎn)式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線.
(2)直線的兩點(diǎn)式方程也可以寫成(y-y2)(x1- x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,則可表示任意的直線,但不再稱其為直線的兩點(diǎn)式方程.
3.寫直線的兩點(diǎn)式方程的步驟
(1)已知直線上的兩點(diǎn),首先判斷直線是否垂直于坐標(biāo)軸.
(2)若直線垂直于坐標(biāo)軸,則直接寫出方程.
(3)若直線不垂直于坐標(biāo)軸,則可根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線的方程.
4.運(yùn)用直線的兩點(diǎn)式方程時(shí)的注意事項(xiàng)
(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo),求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí),首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條
件:兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸,若滿足,則考慮用兩點(diǎn)式求方程.
(2)由于減法是有序的,所以用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常因字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
四、直線的截距式方程
1.直線的截距式方程
2.對(duì)直線的截距式方程的理解
(1)若直線與x軸相交于點(diǎn)(a,0),則稱a為直線在x軸上的截距,也稱橫截距;若直線與y軸相交
于點(diǎn)(0,b),則稱b為直線在y軸上的截距,也稱縱截距.
(3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即兩個(gè)截距存在且都不為0,因此它不能表 示過坐標(biāo)原點(diǎn)和垂直于x軸、y軸的直線.
3.運(yùn)用直線的截距式方程時(shí)的注意事項(xiàng)
題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m>0)”等條件時(shí),若采用截距式求直線的方程,一定要注意考慮“零截距”的情況.
五、直線的一般式方程
1.概念
在平面直角坐標(biāo)系中,任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示出來,每一
個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0
(其中A,B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程 ,簡稱一般式.
2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,則x= ,它表示一條與y軸平行或重合的直線;若A=0,B≠0,
則y=,它表示一條與x軸平行或重合的直線.
3.直線方程的五種形式的比較
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程
例1．(2020-2021學(xué)年廣西高二上學(xué)期學(xué)業(yè)水平考試)已知直線l的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)，那么直線l的方程為( )
A．B．
C．D．
考點(diǎn)二：直線的斜截式方程
例2．已知，，則下列直線的方程不可能是的是( )
A．B．
C．D．
考點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程
例3．(2021-2022學(xué)安徽省合肥市六校聯(lián)考高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)四：直線的截距式方程
例4．(2022學(xué)年廣東省佛山市第一中學(xué)高二上學(xué)期段考)已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則滿足條件的直線有( )條
A．1B．2C．3D．4
考點(diǎn)五：直線的一般式方程
例5．(2022學(xué)年山東省青島第十九中學(xué)高二上學(xué)期10月月考)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為( )
A．B．
C．D．
考點(diǎn)六：直線的平行問題
例6．(2022學(xué)年廣東省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期大聯(lián)考)若直線與直線平行，則m=( )
A．4B．C．1D．
考點(diǎn)七：直線的垂直問題
例7．(2022學(xué)年廣東省茂名市五校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末聯(lián)考)若直線與直線垂直，則a=( )
A．-2B．0C．0或-2D．1
考點(diǎn)8：直線的方程與其他知識(shí)的交匯
例8．過點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；
(2)對(duì)于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.
【真題演練】
1. (2022學(xué)年河北省臨城中學(xué)高二下學(xué)期開學(xué)考試)已知直線l的傾斜角為120°，則下列直線中，與直線l垂直的是( )
A．B．
C．D．
2.(2022學(xué)年湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學(xué)期11月期中)過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為( )
A．B．
C．D．
3. (2022學(xué)年浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二上學(xué)期期末)直線的傾斜角的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
4.(2022學(xué)年上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A?B，若的面積為24，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這樣的直線有( )
A．1條B．2條C．3條D．4條
5.(2022學(xué)年云南省昆明市第三中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知直線l∶x+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值可以是( )
A．0B．1C．-1D．-2.
6. (2022學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上學(xué)期期末)下列說法正確的是( )
A．直線的傾斜角范圍是
B．若直線與直線互相垂直，則
C．過兩點(diǎn)，的直線方程為
D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為
7. (2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考高三上學(xué)期12月月考)已知某直線滿足以下兩個(gè)條件，寫出該直線的一個(gè)方程：________．(用一般式方程表示)
①傾斜角為；②不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
8.(2020-2021學(xué)年重慶市青木關(guān)中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點(diǎn).
(1)求直線的方程；
(2)求邊上的高所在直線的方程.
【過關(guān)檢測】
1. (2022學(xué)年吉林省白山市高二上學(xué)期期末)與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)(2，3)的直線的方程為( )
A．B．C．D．
2.(2022學(xué)年河北省張家口市宣化第一中學(xué)高二上學(xué)期期末)如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3.已知直線，直線，且，則的值為( )
A．B．C．-2或-1D．
4.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，則的高CD所在的直線方程是( )
A．B．
C．D．
5.(多選)下列說法正確的是( )
A．＝k不能表示過點(diǎn)M(x1，y1)且斜率為k的直線方程
B．在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線方程為
C．直線y＝kx+b與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為b
D．過兩點(diǎn)A(x1，y1)B(x2，y2)的直線方程為
6.(多選)直線的方程分別為，，它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．B．
C．D．
7.(2022學(xué)年浙江省杭州第二中學(xué)濱江校區(qū)高二上學(xué)期期中)過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是___________.
8.經(jīng)過點(diǎn))且在x軸上的截距為3的直線方程是______．
9.(2022學(xué)年河北省滄州市高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)．
(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；
(2)若直線在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線的方程．
10．(2022學(xué)年湖北省荊州市石首市高二上學(xué)期期中)(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程；
(2)設(shè)直線l的方程為，若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積取最小值時(shí)，直線l的方程．
點(diǎn)斜式
已知條件
點(diǎn)P0(x0,y0)和斜率k
圖示

方程形式
y-y0=k(x-x0)
適用條件
斜率存在
斜截式
已知條件
斜率k和直線在y軸上的 截距 b
圖示

方程形式
y=kx+b
適用條件
斜率存在
名稱
已知條件
圖形
方程
適用條件
兩點(diǎn)式
直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),
P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)


直線不垂直于x軸
和y軸
名稱
已知條件
圖形
方程
適用條件
截距式
在x,y軸上的截距
分別為a,b,且a≠0,
b≠0


直線不垂直于x軸
和y軸,且不過原點(diǎn)
名稱
方程形式
常數(shù)的幾何意義
適用范圍
點(diǎn)斜式
y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直線上一定點(diǎn),
k是斜率
不垂直于x軸的直線
斜截式
y=kx+b
k是斜率,b是直線在y軸上的截距
不垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
(x1≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點(diǎn)
不垂直于x軸和y軸的直線
截距式
(a≠0,b≠0)
a是直線在x軸上的非零截距,b是直線在y軸上的非零截距
不垂直于x軸和y軸,且不過原點(diǎn)的直線
一般式
Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)
A,B,C為系數(shù)
任何位置的直線
第11講 直線的方程
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式及一般式)
2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、直線的點(diǎn)斜式方程
1.直線的點(diǎn)斜式方程
2.點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用
(1)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式方程表示,其方程為x=x0.
(2)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率為0的直線能用點(diǎn)斜式方程表示,其方程為y=y0.
(3)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程:我們可設(shè)直線的方程為y-y0=k(x-x0),由于過點(diǎn)P0(x0,y0)且與x
軸垂直的直線不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直線系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中沒有直線x=x0.
二、直線的斜截式方程
1.把直線l與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距
(1)直線l在y軸上的截距,就是直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo) .
(2)直線l在y軸上的截距存在,等價(jià)于直線l的斜率存在.
2.直線的斜截式方程
3.斜截式方程的應(yīng)用
(1)斜率為k的直線系方程:若直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為y=kx+b,當(dāng)b取不同值時(shí),
這個(gè)方程表示斜率為k的直線系方程.
(2)對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1.
4.截距不是距離,截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo),是一個(gè)實(shí)數(shù),可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)和
零,而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù).
三、直線的兩點(diǎn)式方程
1.直線的兩點(diǎn)式方程
2.對(duì)直線的兩點(diǎn)式方程的理解
(1)直線的兩點(diǎn)式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線.
(2)直線的兩點(diǎn)式方程也可以寫成(y-y2)(x1- x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,則可表示任意的直線,但不再稱其為直線的兩點(diǎn)式方程.
3.寫直線的兩點(diǎn)式方程的步驟
(1)已知直線上的兩點(diǎn),首先判斷直線是否垂直于坐標(biāo)軸.
(2)若直線垂直于坐標(biāo)軸,則直接寫出方程.
(3)若直線不垂直于坐標(biāo)軸,則可根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線的方程.
4.運(yùn)用直線的兩點(diǎn)式方程時(shí)的注意事項(xiàng)
(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo),求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí),首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條
件:兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸,若滿足,則考慮用兩點(diǎn)式求方程.
(2)由于減法是有序的,所以用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常因字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
四、直線的截距式方程
1.直線的截距式方程
2.對(duì)直線的截距式方程的理解
(1)若直線與x軸相交于點(diǎn)(a,0),則稱a為直線在x軸上的截距,也稱橫截距;若直線與y軸相交
于點(diǎn)(0,b),則稱b為直線在y軸上的截距,也稱縱截距.
(3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即兩個(gè)截距存在且都不為0,因此它不能表 示過坐標(biāo)原點(diǎn)和垂直于x軸、y軸的直線.
3.運(yùn)用直線的截距式方程時(shí)的注意事項(xiàng)
題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m>0)”等條件時(shí),若采用截距式求直線的方程,一定要注意考慮“零截距”的情況.
五、直線的一般式方程
1.概念
在平面直角坐標(biāo)系中,任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示出來,每一
個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0
(其中A,B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程 ,簡稱一般式.
2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,則x= ,它表示一條與y軸平行或重合的直線;若A=0,B≠0,
則y=,它表示一條與x軸平行或重合的直線.
3.直線方程的五種形式的比較
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程
例1．(2020-2021學(xué)年廣西高二上學(xué)期學(xué)業(yè)水平考試)已知直線l的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)，那么直線l的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依題意，直線l的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為.
故選D
考點(diǎn)二：直線的斜截式方程
例2．已知，，則下列直線的方程不可能是的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時(shí)，, 故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.
故選B
考點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程
例3．(2021-2022學(xué)安徽省合肥市六校聯(lián)考高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即．故選C．
考點(diǎn)四：直線的截距式方程
例4．(2022學(xué)年廣東省佛山市第一中學(xué)高二上學(xué)期段考)已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則滿足條件的直線有( )條
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】設(shè)直線l過原點(diǎn)，則l的方程為 ，將點(diǎn)(2,1)坐標(biāo)代入，
得 ，即l的方程為 ；
若直線l不過原點(diǎn)，設(shè)其為 ，將點(diǎn)(2,1)坐標(biāo)代入，
得……① ，由于 ，分別代入①，
解得 ，即直線l的方程為 ， ；
共有3條；故選C.
考點(diǎn)五：直線的一般式方程
例5．(2022學(xué)年山東省青島第十九中學(xué)高二上學(xué)期10月月考)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題可得，設(shè)平行于直線的直線的方程為，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為.
故選D.
考點(diǎn)六：直線的平行問題
例6．(2022學(xué)年廣東省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期大聯(lián)考)若直線與直線平行，則m=( )
A．4B．C．1D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得．故選A
考點(diǎn)七：直線的垂直問題
例7．(2022學(xué)年廣東省茂名市五校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末聯(lián)考)若直線與直線垂直，則a=( )
A．-2B．0C．0或-2D．1
【答案】C
【解析】因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得：或.故選C
考點(diǎn)8：直線的方程與其他知識(shí)的交匯
例8．過點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；
(2)對(duì)于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.
【解析】 (1)因?yàn)檫^點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，且是等腰直角三角形，
所以直線l的傾斜角為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即；
(2)設(shè)，，直線l的方程為，代入點(diǎn)可得，
若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即；
若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即面積最小為4，
此時(shí)直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即.
【真題演練】
1. (2022學(xué)年河北省臨城中學(xué)高二下學(xué)期開學(xué)考試)已知直線l的傾斜角為120°，則下列直線中，與直線l垂直的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】直線l的傾斜角為120°，則其斜率為tan120°＝，則與l垂直的直線斜率為.
A、B、C、D選項(xiàng)中的直線斜率分別為，，，，故選A.
2.(2022學(xué)年湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學(xué)期11月期中)過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由方向向量得直線的斜率為－，所以得直線方程為，即．
故選C.
3. (2022學(xué)年浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二上學(xué)期期末)直線的傾斜角的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵直線的斜率,，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得.故選A.
4.(2022學(xué)年上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A?B，若的面積為24，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這樣的直線有( )
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【解析】由題知直線的斜率存在，且不過原點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為，，
所以直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為
所以面積為，即，
所以或,
解方程，即，解得，
解方程，即，解得
所以這樣的直線有3條.故選C
5.(2022學(xué)年云南省昆明市第三中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知直線l∶x+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值可以是( )
A．0B．1C．-1D．-2.
【答案】ABCD
【解析】令y＝0，得到直線在x軸上的截距是，令x＝0，得到直線在y軸上的截距為2＋a，
∴不論a為何值，直線l在x軸和y軸上的截距總相等，故選ABCD.
6. (2022學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上學(xué)期期末)下列說法正確的是( )
A．直線的傾斜角范圍是
B．若直線與直線互相垂直，則
C．過兩點(diǎn)，的直線方程為
D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為
【答案】AC
【解析】對(duì)A：直線，其斜率，設(shè)直線傾斜角為，故可得，則，故A正確；對(duì)B：直線與直線互相垂直，則，
解得或，故錯(cuò)誤；對(duì)：過兩點(diǎn)，的直線方程為，故C正確；對(duì)D：經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為和，故D錯(cuò)誤；故選AC.
7. (2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考高三上學(xué)期12月月考)已知某直線滿足以下兩個(gè)條件，寫出該直線的一個(gè)方程：________．(用一般式方程表示)
①傾斜角為；②不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
【答案】(答案不唯一).
【解析】由題意得，斜率，又直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，即一般式方程中的常數(shù)項(xiàng)非零，
所以，直線的一個(gè)一般式方程為.故答案為：(答案不唯一).
8.(2020-2021學(xué)年重慶市青木關(guān)中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點(diǎn).
(1)求直線的方程；
(2)求邊上的高所在直線的方程.
【解析】 (1)∵四邊形為平行四邊形，∴.∴.
∴直線的方程為，即.
(2)∵，∴.
∴直線的方程為，即.
【過關(guān)檢測】
1. (2022學(xué)年吉林省白山市高二上學(xué)期期末)與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)(2，3)的直線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)(2，3)的直線的方程為，整理得．
故選C
2.(2022學(xué)年河北省張家口市宣化第一中學(xué)高二上學(xué)期期末)如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選A.
3.已知直線，直線，且，則的值為( )
A．B．C．-2或-1D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以且，解得：或，且，綜上：的值為或.故選C
4.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，則的高CD所在的直線方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即.故選D.
5.(多選)下列說法正確的是( )
A．＝k不能表示過點(diǎn)M(x1，y1)且斜率為k的直線方程
B．在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線方程為
C．直線y＝kx+b與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為b
D．過兩點(diǎn)A(x1，y1)B(x2，y2)的直線方程為
【答案】AD
【解析】＝k表示過點(diǎn)M(x1，y1)且斜率為k的直線去掉點(diǎn)，A正確；
在x軸，y軸上的截距分別為a，b，只有時(shí)，直線方程為，B錯(cuò)誤；
直線y＝kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，C錯(cuò)誤；
過兩點(diǎn)A(x1，y1)B(x2，y2)的直線
當(dāng)時(shí)，直線方程為，變形為，
當(dāng)時(shí)，直線方程為，也適合方程，
所以D正確．故選AD．
6.(多選)直線的方程分別為，，它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】直線斜率存在，則直線方程可化為，；
，，又，，C正確，D錯(cuò)誤；
又，，，A錯(cuò)誤，B正確.故選BC.
7.(2022學(xué)年浙江省杭州第二中學(xué)濱江校區(qū)高二上學(xué)期期中)過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是___________.
【答案】
【解析】設(shè)與直線垂直的直線為：，代入得：，解得：，所求直線方程為：.故答案為.
8.經(jīng)過點(diǎn))且在x軸上的截距為3的直線方程是______．
【答案】
【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線為：，橫截距為-1，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，直線可設(shè)為：.由在x軸上的截距為3，可得：，解得：，所以直線方程為：.
9.(2022學(xué)年河北省滄州市高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)．
(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；
(2)若直線在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線的方程．
【解析】 (1)因?yàn)橹本€與直線垂直
所以，設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
所以，解得，
所以直線的方程為．
(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式求得直線的方程是，即．
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，
所以直線的方程是．
綜上，所求直線的方程為或．
10．(2022學(xué)年湖北省荊州市石首市高二上學(xué)期期中)(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程；
(2)設(shè)直線l的方程為，若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積取最小值時(shí)，直線l的方程．
【解析】(1)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為＋＝1，
∵點(diǎn)在直線上，∴＋＝1，
解得，所以直線方程為x＋y－1＝0；
當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線斜率，∴直線的方程為，即3x＋4y＝0.
綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
(2)∵，∴M，，
∴＝＝≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)等號(hào)成立．
故所求直線l的方程為x＋y－2＝0.
點(diǎn)斜式
已知條件
點(diǎn)P0(x0,y0)和斜率k
圖示

方程形式
y-y0=k(x-x0)
適用條件
斜率存在
斜截式
已知條件
斜率k和直線在y軸上的 截距 b
圖示

方程形式
y=kx+b
適用條件
斜率存在
名稱
已知條件
圖形
方程
適用條件
兩點(diǎn)式
直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),
P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)


直線不垂直于x軸
和y軸
名稱
已知條件
圖形
方程
適用條件
截距式
在x,y軸上的截距
分別為a,b,且a≠0,
b≠0


直線不垂直于x軸
和y軸,且不過原點(diǎn)
名稱
方程形式
常數(shù)的幾何意義
適用范圍
點(diǎn)斜式
y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直線上一定點(diǎn),
k是斜率
不垂直于x軸的直線
斜截式
y=kx+b
k是斜率,b是直線在y軸上的截距
不垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
(x1≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點(diǎn)
不垂直于x軸和y軸的直線
截距式
(a≠0,b≠0)
a是直線在x軸上的非零截距,b是直線在y軸上的非零截距
不垂直于x軸和y軸,且不過原點(diǎn)的直線
一般式
Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)
A,B,C為系數(shù)
任何位置的直線

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