1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系
2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題
【基礎(chǔ)知識】
一、直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d= ,
由 消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.
二、圓的切線
1.若點在圓外,則過此點可以作圓的兩條切線;
2.若點在圓上,則過此點只能作圓的一條切線,且此點是切點;
3.若點在圓內(nèi),則過此點不能作圓的切線.
4.過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法
(1)若點P在圓上,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率為- ;若
斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.
(2)若點P在圓外,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r,解出k即
可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線).
5.過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論
(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;
(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;
(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y+D·
+E·+F=0.
三、圓的弦長的方法
1.交點法:若直線與圓的交點坐標容易求出,則直接利用兩點間的距離公式求解.
2.弦長公式:設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長公式:|AB|=.
(3)幾何法:圓的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長l三者之間的關(guān)系為r2=d2+,即弦長l=
四、利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法
1.由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)
知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:
①關(guān)于x、y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;
②關(guān)于x、y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;
③關(guān)于x、y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點間的距離等.
2.轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.
3.利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè) (θ為參數(shù)),代入目
標函數(shù),利用三角函數(shù)知識求最大(小)值.
五、圓與圓的位置關(guān)系
1.兩圓的位置關(guān)系
外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.
2.兩圓的位置關(guān)系的判定
(1)代數(shù)法:設(shè)兩圓的一般方程為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=
0(),聯(lián)立得方程組 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進行判斷),計算判別式Δ的值,按(2)的表中的標準進行判斷.
(2)幾何法:兩圓的半徑分別為r1,r2,計算兩圓連心線的長為d,按表中標準進行判斷.
3.兩圓的公共弦所在直線方程的求法
設(shè)☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.
故當兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程,即公共弦所在直線的方程.
當兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.
當兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程. 若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線的方程.
【考點剖析】
考點一：直線與圓位置關(guān)系的判斷
例1．(2022學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二上學(xué)期期中)直線與圓的位置關(guān)系是( )
A．相離B．相切C．相交D．不確定
考點二：求圓的切線方程
例2．(2022學(xué)年新疆石河子第二中學(xué)高二上學(xué)期月考)在平面直角坐標系xOy中，點，直線，圓C：．
(1)求b的取值范圍，并求出圓心坐標
(2)若圓C的半徑為1，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
(3)有一動圓M的半徑為1，圓心在l上，若動圓M上存在點N，使，求圓心M的橫坐標a的取值范圍．
考點三：與切線長有關(guān)的問題
例3．(2022學(xué)年四川省巴中市南江中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)直線上一點向圓引切線長的最小值為( )
A．B．1C．D．3
考點四：與弦長有關(guān)的問題
例4．(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作校高二上學(xué)期期中)已知過點的直線與圓相交于，兩點，若，則直線的方程為___________.
考點五：與圓有關(guān)的最值問題
例5．過圓內(nèi)點作圓的兩條互相垂直的弦和，則的最大值為__．
考點六：兩圓位置關(guān)系的判斷
例6．(2022學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣第一中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)圓與圓的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離
考點七：兩圓的公切線與公共弦問題
例7．(2022學(xué)年四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，點在圓上，則點到直線距離的最大值為( )
A．4B．6C．D．
【真題演練】
1. (2020年高考全國卷Ⅰ)已知⊙M：，直線：，為上
的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為
A． B．C． D．
2．(2020年高考全國卷Ⅱ)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的
距離為
A．B．C．D．
3．(2018年高考全國卷Ⅲ)直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓
上，則面積的取值范圍是( )
A．B．C．D．
4．(2016高考全國卷Ⅱ)圓的圓心到直線的距離為1，則( )
A．B．C．D．
5．(2021年新高考全國卷Ⅰ)已知點在圓上,點,,則
A．點到直線的距離小于10B．點到直線的距離大于2
C．當最小時,D．當最大時,
6. (2021年新高考全國卷Ⅱ) 已知直線與圓,點,則下列說法正確的是( )
A. 若點A在圓C上,則直線l與圓C相切B. 若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離
C. 若點A在圓C外,則直線l與圓C相離D. 若點A在直線l上,則直線l與圓C相切
7.(2022年新高考全國卷Ⅱ)設(shè)點,若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點,則a的取值范圍是_____．
8.(2022年新高考全國卷Ⅰ)寫出與圓和都相切的一條直線的方程_______．
【過關(guān)檢測】
1. (2022學(xué)年四川省涼山州寧南中學(xué)高二下學(xué)期月考)已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為( )
A．1B．2C．3D．
2. (2022學(xué)年安徽省皖南地區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)調(diào)研)過點作圓的切線，切點為B，則( )
A．2B．C．3D．
3. (2022學(xué)年云南省保山市昌寧縣高二下學(xué)期期中)若直線與圓有兩個公共點，則點與圓的位置關(guān)系是( )
A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都有可能
4.(2022學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期5月月考)已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
5.(多選)(2022學(xué)年重慶市清華中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)對于定點和圓：，下列說法正確的是( )
A．點在圓內(nèi)部
B．過點有兩條圓的切線
C．過點被圓截得的弦長最大時的直線方程為
D．過點被圓截得的弦長最小值為
6.(多選)(2022學(xué)年廣東省深圳市重點中學(xué)高二上學(xué)期期末)點P在圓上，點Q在圓上，則( )
A．兩個圓心所在的直線斜率為
B．兩個圓相交弦所在直線的方程為
C．兩圓公切線有兩條
D．|PQ|的最小值為0
7.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高二上學(xué)期期末)過點作圓的切線，則切線方程為______.
8.(2022學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)高二下學(xué)期期末)若點到直線l的距離分別為1和4，則這樣的直線l共有___________條．
9. (2022學(xué)年湖北省新高考協(xié)作體高二下學(xué)期期末)已知圓C：，直線l恒過點
(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；
(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.
10. (2022學(xué)年重慶市兩江中學(xué)校(教育集團)高二上學(xué)期月考)已知圓.
(1)若直線，證明:無論為何值，直線都與圓相交；
(2)若過點的直線與圓相交于兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程.位置關(guān)系
相交
相切
相離
公共點個數(shù)
2
1
0
幾何法
dr
代數(shù)法
Δ>0
Δ=0
Δ0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;
(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;
(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y+D·
+E·+F=0.
三、圓的弦長的方法
1.交點法:若直線與圓的交點坐標容易求出,則直接利用兩點間的距離公式求解.
2.弦長公式:設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長公式:|AB|=.
(3)幾何法:圓的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長l三者之間的關(guān)系為r2=d2+,即弦長l=
四、利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法
1.由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)
知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:
①關(guān)于x、y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;
②關(guān)于x、y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;
③關(guān)于x、y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點間的距離等.
2.轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.
3.利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè) (θ為參數(shù)),代入目
標函數(shù),利用三角函數(shù)知識求最大(小)值.
五、圓與圓的位置關(guān)系
1.兩圓的位置關(guān)系
外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.
2.兩圓的位置關(guān)系的判定
(1)代數(shù)法:設(shè)兩圓的一般方程為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=
0(),聯(lián)立得方程組 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進行判斷),計算判別式Δ的值,按(2)的表中的標準進行判斷.
(2)幾何法:兩圓的半徑分別為r1,r2,計算兩圓連心線的長為d,按表中標準進行判斷.
3.兩圓的公共弦所在直線方程的求法
設(shè)☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.
故當兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程,即公共弦所在直線的方程.
當兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.
當兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程. 若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線的方程.
【考點剖析】
考點一：直線與圓位置關(guān)系的判斷
例1．(2022學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二上學(xué)期期中)直線與圓的位置關(guān)系是( )
A．相離B．相切C．相交D．不確定
【答案】B
【解析】圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切．故選B
考點二：求圓的切線方程
例2．(2022學(xué)年新疆石河子第二中學(xué)高二上學(xué)期月考)在平面直角坐標系xOy中，點，直線，圓C：．
(1)求b的取值范圍，并求出圓心坐標
(2)若圓C的半徑為1，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
(3)有一動圓M的半徑為1，圓心在l上，若動圓M上存在點N，使，求圓心M的橫坐標a的取值范圍．
【解析】 (1)化為，
由得，∴的取值范圍為，圓心坐標為.
(2)由(1)知圓心的坐標為，當半徑為1時，
圓的方程為：，將代入，
得，∴在圓外，
設(shè)所求圓的切線方程為，即，∴.
∴，∴，
∴或者，∴所求圓的切線方程為：或者，
即或.
(3)∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心，又半徑為1，
則圓的方程為：，
又∵，
∴點在的中垂線上，的中點得直線：，
∴點應(yīng)該既在圓上又在直線上，即圓和直線有公共點.
∴，∴.
綜上所述，的取值范圍為：.
考點三：與切線長有關(guān)的問題
例3．(2022學(xué)年四川省巴中市南江中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)直線上一點向圓引切線長的最小值為( )
A．B．1C．D．3
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為.
所以切線長的最小值為.故選B
考點四：與弦長有關(guān)的問題
例4．(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作校高二上學(xué)期期中)已知過點的直線與圓相交于，兩點，若，則直線的方程為___________.
【答案】或
【解析】圓的圓心，半徑，直線截圓所得弦長，則弦心距，當過點的直線斜率不存在時，的方程為，圓心到直線的距離為1，符合題意要求；當過點的直線斜率存在時，的方程可設(shè)為，由，可得，此時的方程為綜上，直線的方程為或
考點五：與圓有關(guān)的最值問題
例5．過圓內(nèi)點作圓的兩條互相垂直的弦和，則的最大值為__．
【答案】
【解析】取中點，中點，如圖，則是矩形，，
，同理，注意到時，由得，從而，當且僅當時取等號．
所以，
當且僅當，即時等號成立．
所以的最大值是．
考點六：兩圓位置關(guān)系的判斷
例6．(2022學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣第一中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)圓與圓的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離
【答案】B
【解析】由得圓心坐標為，半徑，由得圓心坐標為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選B.
考點七：兩圓的公切線與公共弦問題
例7．(2022學(xué)年四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，點在圓上，則點到直線距離的最大值為( )
A．4B．6C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，則，過點作圓的切線，切點分別為、，則有，，則點、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為C，，半徑，則其方程為，變形可得，
聯(lián)立，可得圓C和圓O公共弦AB為：，又由，則有，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點，點在圓上，則點到直線距離的最大值為．故選B．
【真題演練】
1. (2020年高考全國卷Ⅰ)已知⊙M：，直線：，為上
的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當直線時，，，此時最小．∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選D．
2．(2020年高考全國卷Ⅱ)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的
距離為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為．由題意可得，可得，解得或，
所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；
圓心到直線的距離均為，圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為．故選B．
3．(2018年高考全國卷Ⅲ)直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓
上，則面積的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由直線易知，，故
圓的圓心到直線的距離為，
所以點到直線的距離的取值范圍為即
所以，故選A．
4．(2016高考全國卷Ⅱ)圓的圓心到直線的距離為1，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，所以圓心坐標為，所以圓心到直線的距離為：，所以，故選A．
5．(2021年新高考全國卷Ⅰ)已知點在圓上,點,,則
A．點到直線的距離小于10B．點到直線的距離大于2
C．當最小時,D．當最大時,
【答案】ACD
【解析】,,
過、的直線方程為,即,
圓的圓心坐標為,
圓心到直線的距離,
點到直線的距離的范圍為,,
,,,
點到直線的距離小于10,但不一定大于2,故正確,錯誤；
如圖,當過的直線與圓相切時,滿足最小或最大點位于時最小,位于時最大),
此時,
,故正確．
故選．
6. (2021年新高考全國卷Ⅱ) 已知直線與圓,點,則下列說法正確的是( )
A. 若點A在圓C上,則直線l與圓C相切B. 若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離
C. 若點A在圓C外,則直線l與圓C相離D. 若點A在直線l上,則直線l與圓C相切
【答案】ABD
【解析】圓心到直線l的距離,
若點在圓C上,則,所以,
則直線l與圓C相切,故A正確；
若點在圓C內(nèi),則,所以,
則直線l與圓C相離,故B正確；
若點在圓C外,則,所以,
則直線l與圓C相交,故C錯誤；
若點在直線l上,則即,
所以,直線l與圓C相切,故D正確.故選ABD.
7.(2022年新高考全國卷Ⅱ)設(shè)點,若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點,則a的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】關(guān)于對稱的點的坐標為,在直線上,
所以所在直線即為直線,所以直線的方程為,即；
圓,圓心,半徑,由直線l與圓有公共點,
得圓心到直線的距離,即,解得,即
8.(2022年新高考全國卷Ⅰ)寫出與圓和都相切的一條直線的方程_______．
【答案】或或
【解析】圓的圓心為,半徑為,圓的圓心為,半徑為,兩圓圓心距為,等于兩圓半徑之和,故兩圓外切,
如圖,當切線為l時,因為,所以,設(shè)方程為
O到l的距離,解得,所以l的方程為,
當切線為m時,設(shè)直線方程為,其中,,
由題意,解得,
當切線為n時,易知切線方程為,
【點評】本題為開放性試題,只需寫出其中一個方程,觀察圖象,確定直線是其中一條切線方程是最佳得分方案,另外當兩圓相切時直接把兩圓方程相減,也可以得出其中一條切線的方程,該法也能迅速實現(xiàn)得分,注意客觀題在正確的前提條件下可以不擇手段.
【過關(guān)檢測】
1. (2022學(xué)年四川省涼山州寧南中學(xué)高二下學(xué)期月考)已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為( )
A．1B．2C．3D．
【答案】A
【解析】由直線l得：，則直線l恒過定點，由圓，則圓心，
故圓心C到直線l的最大距離.故選A
2. (2022學(xué)年安徽省皖南地區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)調(diào)研)過點作圓的切線，切點為B，則( )
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】，故圓的圓心為C，半徑r＝2，
故.故選D.
3. (2022學(xué)年云南省保山市昌寧縣高二下學(xué)期期中)若直線與圓有兩個公共點，則點與圓的位置關(guān)系是( )
A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都有可能
【答案】B
【解析】直線與圓有兩個不同的交點，圓心到直線的距離小于半徑，即，，故點在圓外，故選B．
4.(2022學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期5月月考)已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，根據(jù)題意可得，圓、相離，則，即
∴，故選A．
5.(多選)(2022學(xué)年重慶市清華中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)對于定點和圓：，下列說法正確的是( )
A．點在圓內(nèi)部
B．過點有兩條圓的切線
C．過點被圓截得的弦長最大時的直線方程為
D．過點被圓截得的弦長最小值為
【答案】ACD
【解析】圓：的圓心為，半徑，又，所以，所以在圓內(nèi)，故A正確；因為點在圓內(nèi)，所以過點不能作圓的切線，故B錯誤；過點被圓截得的弦長最大，故過點的直徑，即直線經(jīng)過圓心，此時，所以直線方程為，即，故C正確；當過點且與垂直時弦長最短，最短為，故D正確；
故選ACD
6.(多選)(2022學(xué)年廣東省深圳市重點中學(xué)高二上學(xué)期期末)點P在圓上，點Q在圓上，則( )
A．兩個圓心所在的直線斜率為
B．兩個圓相交弦所在直線的方程為
C．兩圓公切線有兩條
D．|PQ|的最小值為0
【答案】AD
【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.兩個圓心所在的直線斜率為，所以本選項正確；因為，，所以兩圓相外切，故沒有相交弦，兩圓的公切線有三條，當點P、點Q運動到切點時，|PQ|的最小值為0，因此選項BC不正確，選項D正確，故選AD
7.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高二上學(xué)期期末)過點作圓的切線，則切線方程為______.
【答案】
【解析】因為點在圓上，故切線必垂直于切點與圓心連線，而切點與圓心連線的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為：即.
8.(2022學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)高二下學(xué)期期末)若點到直線l的距離分別為1和4，則這樣的直線l共有___________條．
【答案】3
【解析】以為圓心，1為半徑長的圓方程為，以為圓心，4為半徑的圓方程為，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，有三條公切線．
所以滿足條件的直線共有3條．
9. (2022學(xué)年湖北省新高考協(xié)作體高二下學(xué)期期末)已知圓C：，直線l恒過點
(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；
(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.
【解析】 (1)由題意可知，圓C的圓心為，半徑，
①當直線l的斜率不存在時，即l的方程為時，此時直線與圓相切，符合題意；
②當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，
化為一般式：，若直線l與圓相切，
則，即，解得，
：，即l：，
綜上，當直線l與圓C相切時，直線l的方程為或；
(2)由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，
直線l的方程為，即，
設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，
由垂徑定理可得，，即，
整理得，，解得或，
則直線l的方程為或
10. (2022學(xué)年重慶市兩江中學(xué)校(教育集團)高二上學(xué)期月考)已知圓.
(1)若直線，證明:無論為何值，直線都與圓相交；
(2)若過點的直線與圓相交于兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程.
【解析】 (1)轉(zhuǎn)化的方程
可得：，
由，解得，
所以直線恒過點，
由，
故點在圓內(nèi)，
即直線恒過圓內(nèi)一點，
所以無論為何值，直線都與圓相交；
(2)由的圓心為，半徑，
易知此時直線斜率存在且不為，
故設(shè)直線方程，
一般方程為，
圓心到直線的距離，
所以
所以，
令，
可得，當時，
所以的面積的最大值為，
此時由，解得，
解得或，符合題意，
此時直線方程為或.
位置關(guān)系
相交
相切
相離
公共點個數(shù)
2
1
0
幾何法
dr
代數(shù)法
Δ>0
Δ=0
Δ

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