1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
2.通過(guò)拋物線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、拋物線的概念
1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
【解讀】
(1)定直線l不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F.
(2)定義中包含三個(gè)定值,分別為一個(gè)定點(diǎn),一條定直線及一個(gè)確定的比值.
特別提醒：平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線.
2.拋物線定義的兩種應(yīng)用
(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題.
(2)解決最值問(wèn)題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問(wèn)題. 與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性,因此此類(lèi)問(wèn)題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑．
二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
【解讀】
1.利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型.
(2)求參數(shù)p的值.
(3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問(wèn)題
(1)對(duì)稱性:解決拋物線的內(nèi)接三角形問(wèn)題.
(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線:解決與拋物線的定義有關(guān)的問(wèn)題.
(3)范圍:解決與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題.
(4)焦點(diǎn):解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題.
3.應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧
(1)拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)便.
(2)軸對(duì)稱問(wèn)題,一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上,二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系.
(3)在直線和拋物線的綜合題中,經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.
三、直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法
設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.
(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn):
當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)Δ0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=( )
A．2B．3C．6D．9
2．(2020年高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，
若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
3.(多選)(2022新高考全國(guó)卷 = 2 \* ROMAN II)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn),若,則
A. 直線的斜率為B.
C. D.
4.(多選)(2022新高考全國(guó)卷 = 1 \* ROMAN I)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,過(guò)點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則
A. C的準(zhǔn)線為B. 直線AB與C相切
C. D.
5.(2022學(xué)年江蘇省南師附中高二下學(xué)期期末)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則到直線的距離為_(kāi)_____.
6.(2022學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二上學(xué)期期末)已知拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C上，若點(diǎn)B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個(gè)斜三角形，則______．
7.(2021高考全國(guó)卷 = 2 \* ROMAN II)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且
．已知點(diǎn)，且與l相切．
(1)求C，的方程；
(2)設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
8．(2021高考全國(guó)卷 = 1 \* ROMAN I)已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上
點(diǎn)的距離的最小值為．
(1)求；
(2)若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1.設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線( )
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)
C．平行于直線D．垂直于直線
2. (2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市高二下學(xué)期階段性測(cè)試)已知拋物線C的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)為.過(guò)F且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則l的方程為( )
A．B．
C．D．
3.已知曲線C：y2＝2px(p＞0)，過(guò)它的焦點(diǎn)F作直線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，可證明是一個(gè)定值m，則m＝( )
A．B．1C．2D．
4.(2022學(xué)年湖北省宜昌市英杰學(xué)校高二上學(xué)期12月月月考)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，于，于，則四邊形的面積為( )
A．32B．C．64D．
5.(多選)(2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線C：，圓F：(F為圓心)，點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓F上，點(diǎn)A，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．的最小值是B．的最小值是
C．當(dāng)最大時(shí)，D．當(dāng)最小時(shí)，
6.(多選)(2022學(xué)年重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點(diǎn)為，?是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．若直線過(guò)點(diǎn)，則
C．若，則的最小值為
D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為
7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，如果在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．
8.(2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市高二下學(xué)期5月月考)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在軸的上方)，則______．
9.(2022學(xué)年山西省太原市山西大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期6月診斷)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求線段AB的長(zhǎng)．
10.(2022學(xué)年云南省玉溪第一中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，.
(1)求拋物線的方程；
(2)兩條互相垂直的直線均過(guò)點(diǎn)，其中一條與交于兩點(diǎn)，另一條與直線交于點(diǎn)，判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
開(kāi)口方向
向右
向左
向上
向下
第16講 拋物線
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
2.通過(guò)拋物線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、拋物線的概念
1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
【解讀】
(1)定直線l不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F.
(2)定義中包含三個(gè)定值,分別為一個(gè)定點(diǎn),一條定直線及一個(gè)確定的比值.
特別提醒：平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線.
2.拋物線定義的兩種應(yīng)用
(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題.
(2)解決最值問(wèn)題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問(wèn)題. 與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性,因此此類(lèi)問(wèn)題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑．
二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
【解讀】
1.利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型.
(2)求參數(shù)p的值.
(3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問(wèn)題
(1)對(duì)稱性:解決拋物線的內(nèi)接三角形問(wèn)題.
(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線:解決與拋物線的定義有關(guān)的問(wèn)題.
(3)范圍:解決與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題.
(4)焦點(diǎn):解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題.
3.應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧
(1)拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)便.
(2)軸對(duì)稱問(wèn)題,一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上,二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系.
(3)在直線和拋物線的綜合題中,經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.
三、直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法
設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.
(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn):
當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)Δ0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=( )
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得．
故選C．
2．(2020年高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，
若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B．
3.(多選)(2022新高考全國(guó)卷 = 2 \* ROMAN II)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn),若,則
A. 直線的斜率為B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A,易得,由可得點(diǎn)在的垂直平分線上,則點(diǎn)橫坐標(biāo)為,代入拋物線可得,則,則直線的斜率為,A正確；
對(duì)于B,由斜率為可得直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程得,設(shè),則,則,代入拋物線得,解得,則,則,B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,由拋物線定義知：,C正確；
對(duì)于D,,則為銳角,
又,則為銳角, ,D正確.故選ACD.
4.(多選)(2022新高考全國(guó)卷 = 1 \* ROMAN I)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,過(guò)點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則
A. C的準(zhǔn)線為B. 直線AB與C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入得,所以拋物線C的方程為,故準(zhǔn)線方程為,A錯(cuò)誤；
,所以直線的方程為,
聯(lián)立,可得,解得,故B正確；
設(shè)過(guò)的直線為,若直線與軸重合,則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),
所以,直線的斜率存在,設(shè)其方程為,,
聯(lián)立,得,
所以,所以或,,
又,,
所以,故C正確；
因?yàn)?,
所以,而,故D正確.
故選BCD
5.(2022學(xué)年江蘇省南師附中高二下學(xué)期期末)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則到直線的距離為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】，設(shè)，因?yàn)?，所以，不妨取，則,,則，故到距離為.
6.(2022學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二上學(xué)期期末)已知拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C上，若點(diǎn)B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個(gè)斜三角形，則______．
【答案】2
【解析】如下圖，令，直線為拋物線準(zhǔn)線，軸，
由拋物線定義知：，又且，
所以，故，
又，故.
7.(2021高考全國(guó)卷 = 2 \* ROMAN II)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且
．已知點(diǎn)，且與l相切．
(1)求C，的方程；
(2)設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【解析】(1)依題意設(shè)拋物線，
，
所以拋物線的方程為，
與相切，所以半徑為，
所以的方程為；
(2)設(shè)
若斜率不存在，則方程為或，
若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，
則過(guò)與圓相切的另一條直線方程為，
此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；
若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)
則過(guò)與圓相切的直線為，
又，
，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，
所以直線與圓相切；
若直線斜率均存在，
則，
所以直線方程為，
整理得，
同理直線的方程為，
直線的方程為，
與圓相切，
整理得，
與圓相切，同理
所以為方程的兩根，
，
到直線的距離為：
，
所以直線與圓相切；
綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切．
8．(2021高考全國(guó)卷 = 1 \* ROMAN I)已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上
點(diǎn)的距離的最小值為．
(1)求；
(2)若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
【解析】(1)拋物線的焦點(diǎn)為，，
所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；
(2)拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，
所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1.設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線( )
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)
C．平行于直線D．垂直于直線
【答案】A
【解析】如圖所示：
．
因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
2. (2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市高二下學(xué)期階段性測(cè)試)已知拋物線C的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)為.過(guò)F且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則l的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依題意，拋物線C的方程：，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，
由消去x并整理得：，設(shè)，
于是得，而直線l的斜率為正，且，即，有，
即有，則，解得，因此，解得，
所以直線l的方程為：，即.故選D
3.已知曲線C：y2＝2px(p＞0)，過(guò)它的焦點(diǎn)F作直線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，可證明是一個(gè)定值m，則m＝( )
A．B．1C．2D．
【答案】A
【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(，0)，準(zhǔn)線的方程為：x，
由題意可得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為：x＝ty，設(shè)t＞0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立，整理可得：，
所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t(t1+y2)+p＝2pt2+p，
所以MN的中點(diǎn)Q(pt2，pt)，
由拋物線的性質(zhì)可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p(1+t2)，
|QF|pt，
由直線MN的方程可得tan∠QFP，所以cs∠QFP，
由題意在Rt△QFP中，|PF|p(1+t2)，
所以為定值，所以m的值為，故選A．
4.(2022學(xué)年湖北省宜昌市英杰學(xué)校高二上學(xué)期12月月月考)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，于，于，則四邊形的面積為( )
A．32B．C．64D．
【答案】D
【解析】由拋物線得其焦點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為，
與拋物線的方程聯(lián)立，整理得，即，解得，
所以，
所以，，，
所以四邊形的面積為，故選D.
5.(多選)(2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線C：，圓F：(F為圓心)，點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓F上，點(diǎn)A，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．的最小值是B．的最小值是
C．當(dāng)最大時(shí)，D．當(dāng)最小時(shí)，
【答案】AC
【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)，圓F：的圓心，半徑，
對(duì)于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值是，B不正確；
對(duì)于C，如圖所示，要使最大，當(dāng)且僅當(dāng)AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側(cè)，
所以當(dāng)最大時(shí)，，C正確；
對(duì)于D，因的最小值為，即P，A，Q共線，則當(dāng)最小時(shí)，即，D不正確.
故選AC
6.(多選)(2022學(xué)年重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點(diǎn)為，?是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．若直線過(guò)點(diǎn)，則
C．若，則的最小值為
D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，由拋物線方程知其焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意知：直線斜率存在，設(shè)其方程為：，由得：，，B正確；
對(duì)于C，若，則直線過(guò)焦點(diǎn)，的最小值為拋物線的通徑長(zhǎng)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
到軸的距離為，D正確.故選BD.
7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，如果在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】由題意可得、，設(shè)，則，，
又，則，即，
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，，解得，因此，的取值范圍是.
8.(2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市高二下學(xué)期5月月考)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在軸的上方)，則______．
【答案】
【解析】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為：，直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，解得，，
依題意，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，
由拋物線定義得：.
9.(2022學(xué)年山西省太原市山西大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期6月診斷)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求線段AB的長(zhǎng)．
【解析】 (1)由點(diǎn)在上，得，解得，
由拋物線的定義及，得，解得或，
結(jié)合，得，
故拋物線的方程為．
(2)顯然，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，
由消去并整理，得，
，直線與一定有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)，，則，
設(shè)中點(diǎn)為，則，，
即，
線段的中垂線方程為，
令，得，即，
所以，
又，
由，得，解得，
所以．
10.(2022學(xué)年云南省玉溪第一中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，.
(1)求拋物線的方程；
(2)兩條互相垂直的直線均過(guò)點(diǎn)，其中一條與交于兩點(diǎn)，另一條與直線交于點(diǎn)，判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
【解析】 (1)解：因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以①，
因?yàn)?，所以由焦半徑公式得②?br>由①②解得，
所以拋物線的方程為；
(2)解：由(1)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)有一條直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，則的方程為，
則有，
此時(shí)為等腰直角三角形且，
當(dāng)與的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)，是與拋物線的交點(diǎn)，
，
則，
聯(lián)立與拋物線的方程可得，
，
，
，
，
∴，
綜上可得，.
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
開(kāi)口方向
向右
向左
向上
向下

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